对数与对数运算专题

对数与对数运算
第一部分：知识清单 1.几个对数恒等式：
(1)负数和零没有对数；
(2)log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)； (3)log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)． (4)对数恒等式a log a N ＝N 2．对数的运算性质
如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ． (2)log a M N
＝log a M －log a N ． (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)． 3．换底公式
log a b ＝
log c b
log c a
(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)． 牢记换底公式的三个常用推论
(1)推论一：log a c ·log c a ＝1.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数．
(2)推论二：log a b ·log b c ·log c a ＝1.
(3)推论三：log a m b n ＝n m
log a b .此公式表示底数变为原来的m 次方，真数变为原来的n 次
第二部分：微题快测
一、对数的定义域（注：学生在解对数不等式、方程的时候常常忽略定义域） 1.若b ＝log a (5－a )，则（ ）
A.⎩⎨⎧a >0，
5－a >0， B.⎩⎨⎧a ≠1，
5－a >0，
C.⎩⎨⎧a >0，5-a ≠1，5－a >0，
D.⎩⎨⎧a >0，
a ≠1，5－a >0，
答案：D
2.若b ＝log a (1+a )，则（ ）
A.⎩⎨⎧a >0，1+a >0，
B.⎩⎨⎧a >0，a ≠1，1+a >0，
C.⎩⎨⎧a >0，1+a >0，
D.⎩⎨⎧a >0，1+a ≠1，1+a >0，
答案：B
3.若b ＝log (a -1)a ，则（ ）
A.⎩⎪⎨⎪⎧a >0，
a-1>0，a ≠1 B.⎩⎨⎧a >0，a-1≠1，a-1>0， C.⎩⎨⎧a >0，a-1>0， D.⎩⎨⎧a ≠1，1+a >0，
答案：B
4.若b ＝log (a -2)a ，则（ ）
A.⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a-2>0，a ≠1
B.⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a-2>0，
C.⎩
⎪⎨⎪⎧a >0，a-2≠1，D.⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a-2>0，a-2≠1
答案：D
5.若b =log (a -2)（6－a ），则（ ）
A.⎩⎪⎨⎪⎧a-2>0，6-a >0，a-2≠1
B.⎩⎪⎨⎪⎧a-2≠1，6-a >0，
C.⎩⎪⎨⎪⎧a-2>0，6-a >0，6-a ≠1
D.⎩⎪⎨⎪⎧a-2>0，
6-a ≠1，
答案：A
6.若a =log (b+8)b ，则（ ）
A.⎩⎪⎨⎪⎧b+8>0，b >0，b+8≠1
B.⎩⎪⎨⎪⎧b+8≠1，b >0，
C.⎩
⎪⎨⎪⎧b+8>0，b ≠1，D.⎩⎪⎨⎪⎧b+8>0，
b >0，b ≠1
答案：A 7.若b =log
1
x-1
（6－x ），则（ ）
A.⎩⎨⎧1
x-1>0，
6-x >0，6-x ≠1B.⎩⎨⎧1x-1≠1，6-x >0，C.⎩⎨⎧6-x >0，1x-1≠1，D.⎩⎪⎨⎪⎧1
x-1>0，6-x >0，1x-1≠1
答案：D
8.若m =log(n +1)n ，则（ ）
A.⎩⎪⎨⎪⎧n +1>0，n >0，n ≠1
B.⎩⎪⎨⎪⎧n +1>0，n >0，n +1≠1
C.⎩⎪⎨⎪⎧n >0，n +1≠1
D.⎩⎪⎨⎪⎧n +1>0，n ≠1，
答案：B
9.若m =log(a 2-1)a ，则（ ）
A.⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1>0，
a >0，
a ≠1
B.⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1>0，
a >0，
a 2
-1≠1
C.⎩
⎪⎨⎪⎧a >0，a 2-1>0D.⎩⎪⎨⎪⎧a 2
-1>0，a ≠1，
B.答案：B
10.若a=log ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2x x-2(6-x )3，则（ ） A.⎩⎨⎧2x
x-1
>0，(6-x )3>0，(6-x )3
≠1B.⎩⎨⎧2x x-1≠1，(6-x )3
>0，C.⎩
⎪⎨⎪⎧2x
x-1
>0，(6-x )3
>0，2x x-1≠1 D.⎩⎨⎧(6-x )3
>0，
2x x-1≠1，
答案：C
二、同底法解对数方程（注：同底法解对数方程算是一个必拿分的知识点，然而学生对此遗忘频率非常高，失分非常严重） 1.若log 2x ＝1，则x =（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D.－1 答案：B
2.若log 3x ＝－1，则x =（ ）
A. 3
B. 1
3 C.
4 D. 9
答案：B
3.若lg x＝1，则x=（）
A. 10
B.
1
100
C.
1
10
D.
1
e
答案：A
4.若ln x＝0，则x=（）
A. 1
B.
1
100
C.
1
10
D.
1
e
答案：A
4.若ln x＝1，则x=（）
A. e
B. 0
C. －e
D. 1
e
答案：A
5.若log
2
x＝1024，则x=（）
A. 2
B. 1024
C. 21024
D. 10 答案：C
7.若log
2
x＝3，则x=（）
A. 5
B. 9
C. 6
D. 8
答案：D
8.若log
2
x＝3，则x=（）
A. 5
B. 9
C. 6
D. 8
答案：D
9.若log
2
x+1 ＝2，则x=（）
A. 15
B. 8
C. 3
D. 0
答案：A
10.若lg x=2，则x=（）
A. 10
B. 100
C.1
10 D.
1
100
答案：B
11.若log
2
(x－1)=2，则x=（）
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9 答案：B
12.若log
3|
|x=2，则x=（）
A. 3
B. ±3
C.9
D. ±9 答案：D
13.若log
2||
x－1=2，则x=（）
A.－3或5
B.3或－1
C.±5
D.2或0 答案：A
14.若log
2
错误!=1，则x=（）
A. 2
B.± 2
C.
2
2
D.±
2
2
答案：B
三、对数的加减运算（注：对数的运算法则是一个必拿分的知识点，然而学生对此遗忘频率非常高，失分非常严重）
1.计算log
510－log
5
2等于( )
A．log
5
8 B．lg 5 C．1 D．2 答案：C
2.计算log
52+log
5
3等于( )
A．log
56 B．log
5
5 C．lg
6 D．ln6
答案：A
3.计算log x2+log x3等于( )
A．log x6 B．log x 5 C．lg6 D．ln6 答案：A
4.计算log
22+log
2
8等于( )
A．log
2
10 B. 6 C．4 D．2 答案：C
5.计算lg100+lg10等于( )
A.1000
B.10
C.3
D.1
答案：C
6.计算lg100－lg10等于( )
A.1000
B.10
C.3
D.1 答案：D
7.计算lg2+lg5等于( )
A.10
B.lg7
C.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫
25 D.1
答案：D
8.计算ln e+ln(2e )等于( )
A.1+ln2
B.1－ln2
C.2+ln2
D.ln(2e ·e ) 答案：C
9.计算log 23+log 25+log 21等于( )
A.log 215
B.log 29
C.4
D.log 28 答案：A
10.计算log 2(2x +2)－log 2(x +1)等于( )
A.log 2(x +1)
B.log 2(3x +3)
C.log 23
D.1 答案：D
11.下列各式计算结果为log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
57的是( )
A.log 25－log 27
B.log 25+log 27
C.log 52－log 72
D.log 52+log 72 答案：A
12.计算lg e +lg2等于( )
A.lg(2e )
B.log 2 e C .lg ()e 2 D.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫
e 2
答案：A
13.计算lg6－lg2+lg 1
3等于( )
A.1
B.0
C.lg 133
D.lg 43
答案：B
14.计算log 2()x 2－1－log 2()x －1－log 2()x+1等于( ) A.log 2()x －1 B.log 2()x+1 C.1 D.0 答案：D
15.计算log 4(x+1)－log 4(x －1)等于( )
A.log 42
B.log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x+1x －1
C.log 4()2x
D.log 4()x 2
－1
答案：B
16.下列各式计算结果为log 2错误!的是( ) A.log 2()x －1+log 2(x +1)+log 2(x 2+1)
B.log 2()x －1+log 2(x +1)－log 2(x 2+1)
C.
log 2()x －1－log 2(x +1)－log 2(x 2+1)
D.－log 2()x －1－log 2(x +1)－log 2(x 2
+1)
答案：A
四、对数的乘法运算（注：用换底公式计算对数的乘法运算是一个必拿分的知识点，然而学生对此遗忘频率非常高，失分非常严重） 1.log 35·log 59等于( )
A ．log 1545
B ．log 814
C ．1
D ．2 答案：D
2.log 95·log 253等于( )
A ．2
B ．4
C ．12
D ．1
4
答案：D
3.log 29·log 38等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 答案：C
4.log 38·log 227等于( )
A ．1
B ．3
C ．6
D ．9 答案：D
5.log 98·log 23等于( )
A ．32
B ．23
C ．34
D ．4
3
答案：A
6.log 38·log 83等于( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．4 答案：B
7.log 38·log 89·log 93等于( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．±1 答案：B
8.log 23·log 34·log 45·log 52等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．4 答案：B
9.log 34·log 1627等于( )
A ．32
B ．23
C ．94
D ．49
答案：A 10.log 4
1
27
·log 32等于( ) A ．32 B ．23 C ．－32 D ．－23
答案：C
11.log 23·log 38·log 416等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：C
12.log (x －1)2·log 8(x 2－2x +1)等于( ) A ．23 B ．32 C ．－23 D ．－32
答案：A
13.log (x +1)16·log 4(x 3+3x 2+3x +1)等于( ) A ．23 B ．3
2 C ．－6 D ．6
答案：D
五、推论三：log a m b n
＝n
m
log a b 的应用（注：考查用推论化简底数、真数中的幂和根式，是大多数学生失分的重灾区） 1.lg1000等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．1
3
答案：C
2.log 832等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．53
D ．3
5
答案：C
3.lg0.01等于（ ）
A ．0.1
B ．100
C ．-2
D ．-e 答案：C
4.log 53
25等于（ ）
A ．1
B ．23
C ．53
D ．3
5
答案：B
4.log 21024等于（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10 答案：D
5.lne 5等于（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 答案：C
6.log 10248等于（ ）
A ．310
B ．103
C ．1
128 D ．128
答案：A
7.log 279等于（ ）
A ．32
B ．23
C ．1
3
D ．3
答案：B
8..log 644等于（ ）
A ．3
B ．23
C ．13
D ．－1
3
答案：C
9.log 161
4
等于（ ）
A ．13
B ．－23
C ．12
D ．－12
答案：D
10.log a b +log a 1
b
等于（ ）
A ．1
B ．－1
C ．1
2 D ．0
答案：D
11.log 279－log 1664等于（ ）
A ．－23
B ．23
C ．－56
D ．56
答案：C
12.log 279·log 1664等于（ ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2 答案：C
13.已知(log a b+log b a )2=4，且a >b ，则log a b 等于（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．1或－1 答案：A
14.((
2log 2-等于（ ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2 答案：A 15.lg
110·lg 1100+lg 11000+lg 110000
A．－1 B．0 C．－5 D．1
答案：C
组题说明：
1.针对性：每一组题针对一个知识点，比如上面的第一组题针对的是对数的定义域，第二组针对的是同底法解对数方程，第三组针对的是对数的加减运算，
第四组针对的是对数的乘法运算，第五组针对的是推论三：log a m b n＝n
m
log a b的
应用；
2.最小阻力原则：要最大限度简化运算，降低阻力，使学生以最小的阻力、最快的速度体验公式的结构、性质和用法；
3.有效重复原则：每个知识点尽量组织20个左右的微题，让学生有充分亲身体验的机会，也避免了学生死记答案或互相抄袭
4.原创性：尽量原创，避免学生上网搜答案，从而保证学生课外使用的效度与可信度.。