二次根式混合运算经典.ppt

练习：
1.已知ab=3，求 a
b a
+b
a b
的值
2.已知a+b=-8,ab=12,求
b
b a
+a
a b
的值
2. 已知 a 2 3 b 2 3 （c 2 3）2 0
求 3a + 5b – c 的值。
解： 2a2 3ab b2 0 （a-b)(2a b) 0
当a b=0时， 即a=b, 原式= a a =0. a a
解：（1）原式= a2 ab
（2）原式= x2 y xy xy2 xy x y
2
(3) 原式= 3 12 31 =2 （4）原式= 4x2 4x 1
（5）原式= x2 6xy 9 y2
(3) 3 1 3 1
例题讲析 （我是小老师）
例1.计算
（1） 8 3 6
解：原式= 8 6 3 6
∴x－1x＝± 5
2.注意到(x－1x)2＝(x＋1x)2－4，可得(x－1x)2＝5，x－1x＝± 5.
例5：化简： 3 2 2 3 2 2
解：原式= ( 2 1)2 ( 2 1)2
= 2 1
2 1
= 2 1 ( 2 1)
= 2 1 2 1
=-2
练习：
已知x
=
3
1 +2
，求 x2 - 6x +2 的值.
二次根式的混合运算是根据实数的运算律进 行的.
例3 计算：
(
1)
6-
3 8
×
2；
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
解
(1)
6-
3 8
×
2
=
6×
2-
3× 8
2
=
6× 2 -
3× 8
2
=
3× 2× 2 -
3 4
=
2
3-
3 2
=
(
2-
1) 2
3
=
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3 2
3
；
( 2 ) ( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ) = 2- 2 2+ 3 2- 3 2× 2 = 2-2 2+ 3 2 -3× 2 = -4 + 2 .
2
x-3
4
2
（3） 3 2
解：原式=
2
3 2
3 2 22
2
（4） 2 5 2
2
2
解：原式= 2 5 2 2 5 2 2
34 34
74 3
20 4 10 2
22 4 10
课堂小结
在进行二次根式的运算时，类比整式的运算，灵活合理运用恰当的方法， 要注意过程和结果的正确
老师忠告
2＋ 1
2－ 1
x2＋y2
解：∵x＝
2－ 1 ＝(
2＋ 1
2 －1)2＝3－2
2，
y＝
2＋ 1 ＝(
2－ 1
2 ＋1)2＝3＋2 2 ，
∴x＋y＝6，x－y＝－4 2 ，xy＝1.
原式＝ x＋yx－y ＝6×－4 2 x＋y2－2xy 62－2×1
＝－24 34
2 ＝－12 17
2.
三：注意二次根式运算中隐含条件
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
6 解：(1) 2－
18－120＝3
2－3
2－1＝－1
(2)(－3)2－ 4＋12－1＝9－2＋2＝9
(3)∵3< 10<4 ∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3
∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算
__加_1_、、二__减次__根、式_乘的__混_、合_运_除_算_的是混指合二运次算根．式的 2、二次根式的混合运算顺序与实数的运
算顺序相同： 先算__乘__除___，后算___加__减__，有括号的先 算括号里面的．
二次根式的混合运算：
3、二次根式的加减运算步骤： ① ② 4、二次根式的乘法运算公式：
。 2、完全平方和公式：
。 3、完全平方差公式：
。
如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm，4 3 cm，高 为 6 cm，那么它的面积是多少？
梯形面积 = 12(2 2 +4 3)× 6 =( 2 +2 3)× 6 = 2× 6 +2 3× 6 = 2×6 +2 3×6 = 2×2×3 +2 3×3×2 = 2 3 +2×3 2 = 2 3 +6 2(cm2).
解
11+
5 5
=
(1(1+
5)(15)(1-
5) 5)
=
1-2 5+( 5)2 12 -( 5)2
=
1-2 5+5 1-5
=
6-2 5 -4
=
-
3 2
+
1 2
5.
练习
1. 计算：
(1)
5× (
15 - 4
3)； 5
( 2 )( 1 + 2 3 )( 3 - 3 )；
( 3 )( 2 + 3 )( 2 - 3 )；
∴ a2－2a＋1＝ a－12 ＝|a－1|＝1－a.
∴原式＝a＋1a－1 － a＋1
1－a aa－1
＝a－1＋
1 a
.
∴当a＝ 1 时， 2＋ 3
原式＝ 1 －1＋(2＋ 3)＝3. 2＋ 3
计算 ：相信自己能行
(1) ａ(ａ＋ｂ)
（4）.2x 12
(2) (x2 y xy2 ) xy
（5） x 3y2
(2) a 1 5 2 , 52
b= 1 5 2. 52
= x xy- yx y x-y
= x+y
x-y
当x 1 , y 1 23
时，
原式=
1
2 1
1
3 1
3 3
2 2
5.
23
a2 2ab b2 7 （a-b）2 7 42 7 9 3
例2： (1)已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求：x2＋xy＋y2 的值．
( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
答案： 3 答案：5 3 - 3 答案：1 答案：43+30 2
1、计算：
（1）、3 2 1 33
(2)、7 2 1 5
(3)、7 （ 7）2
(4)(7 2 2 6)(2 6 7 2)
(5)、( 7 7 3)2
(6)、( 2 3 6)2 ( 2 3 6)2
如何计算
？ 2 +1 2 -1
2 +1 2 -1
= ((
2 +1)( 2 -1)(
2 +1) 2 +1)
=(
2)2+2 2+1 ( 2)2-1
= 2+2 2+1
从例4的第(1)小题的结 果受到启发，把分子与
分母都乘以( 2 +1)，就
可以使分母变成1.
= 3+2 2.
例5 计算： 1- 5 . 1+ 5
5、二次根式的除法运算公式：
一、借用整式乘法的法则进行二次根式混合运算。 1.整式乘法中单项式乘以多项式的法则用字母 表示为： . 2.整式乘法中多项式与多项式相乘的法则用字母 表示为
上次更新: 2020年7月19日星期日
二、套用乘法公式进行二次根式混合运算 乘法公式中平方差公式、完全平方公式用字 母如何表示？ 1、平方差公式：
1．计算
（1） 2 3 5
解：原式= 2 3 2 5 6 10
（3） 5 3 3 2
第一轮
（2） 80 40 5
解：原式= 80 5 40 5
80 5 40 5
42 2
（4） a b 3 a b
解：原式= 5 3 5 2 3 3 3 2
(1)题目中的隐含条件为a＝ 1 2＋
<1，所以 3
a2－2a＋1 ＝
a－12 ＝|a－1|＝1－a，而不是a－1；
(2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之
一，上题中的隐含条件a＝ a2－2a＋1＝ a－12＝|a－1| ＝1－a是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析能力 的培养，提高解题的正确性.
例3 已知：a＝
1 2＋
3，求aa2＋－11 －
a2－2a＋1 a2－a
的值．
学生作答
解：原式＝ a＋1a－1－ a－12
a＋1
aa－1
＝a－1－ a－1 ＝a－1－ 1 .
aa－1
a
∴当a＝ 1 时， 2＋ 3
原式＝ 1 －1－(2＋ 3 )＝－1－2 3 . 2＋ 3
规范解答
解：∵a＝ 1 <1，∴a－1<0. 2＋ 3
(7)、(7 54 3 21） 3
(8)、18 ( 3 2)
注意：
1、运算顺序 。 2、运用运算律和乘法公式，简化运算。 3、结果为最简二次根式。
二、巧用“分母有理化”进行二次根式混合运算
1、分母有理化的定义： 把分母中的根号化去。
2、方法： 分子、分母同时乘以分母的有理化因式。
3、有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们 的积中不含二次根式 ，我们说这两个二次根 式互为有理化因式。
例3 计算：
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
从例3的第(2)小题看到，二次根式的和相乘， 与多项式的乘法相类似.
我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二 次根式的和相乘的运算.
例4 计算：
( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ； ( 2 )( 2 - 3 )2 .
动脑筋
当2a b 0时，即2a=b, 原式= a 2a a (1 2) 1 2 2 2 3. a 2a a (1 2) 1 2
1: 先化简，再求值：
（a 1）2 4 （a 1）-2 4
a
a
1 其中a =
，
3
(2)已知 x＋1x＝－3，求 x－1x的值．
解： (2)∵x－1x2＝x＋1x2－4＝(－3)2－4＝5
(3)已知a＝3＋2 5 ，b＝3－2 5 ，求a2b－ab2的值；
解：∵a－b＝(3＋2 5)－(3－2 5)＝4 5 ， ab＝(3＋2 5 )(3－2 5 )＝－11，
∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝(－11)×4 5 ＝－44 5 .
(4)已知x＝ 2－ 1 ，y＝ 2＋ 1 ，求 x2－y2 的值；
15 2 5 3 2 3
解：原式= a 3 a a b b 3 a b b 3a ab 3 ab b
3a b 2 ab
2．计算
（1） 4 7 4 7
解：原式= 42
2
7
16 7 9
第二轮
（2） 6 2 6 2
解：原式=
2
2
6 2
62
4、常见的互为有理化因式：
a 的有理化因式：
ba b a c b ad c
a a
b a c b ad c
二次根式运算 （提高篇）
三更灯火五更鸡，正是男儿读书时； 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。
一：二次根式混合运算
例1：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
〉〉解题示范——规范步骤，该得的分一分不丢！
(1)解：原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]
＝18－1－8＋4 2－1
[2分]
＝8＋4 2 (2)解：原式＝[( 10－3)( 10＋3)]2010
＝[( 10)2－32]2010
[4分] [4分]
＝(10－9)2010＝1
知能迁移:
(1) 62－ 18－120； (2)(－3)2－ 4＋12－1.
86 36
4 33 2
(2) 4 2 3 6 2 2
解：原式= 4 2 2 2 3 6 2 2 23 3 2
例2. 计算
(1) 2 3 2 5 2
解：原式= 2 5 2 3 2 15 2 2 2 15
13 2 2
(2) 5 3 5 3
2
2
解：原式= 5 3
二：二次根式运算中的技巧
例4、（1）当x= 1 , y 1时，求代数式
23
(2) 已知：a= 1 , b= 1
52
52
x y 的值； x y x y
, 求 a2 2ab b2 7的值
解：(1) x y x y x y
= x（ x y）- （ y x y） （ x y)( x y）
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15
1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4， xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即 可.
53
2
例3.先化简，再求值
2 a 3 a 3 a a 6 6 ，其中 a 2 1
解：原式= 2 a2 3 a2 6a 6
2a2 6 a2 6a 6
a2 6a
当 a 2 1 时，
2
原式= 2 1 6 2 1
22 2 16 2 6
4 2 3
课堂展示