二次根式混合运算经典.ppt
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15.4 二次根式的混合运算课件(共16张PPT)
合运算顺序：先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的.
2.乘法公式：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
15.4 二次根式的混合运算
第十五章 二次根式
学习目标
1.掌握二次根式混合运算法则和顺序.2.会进行二次根式的混合运算.
学习重难点
二次根式混合运算法则.
难点
重点
熟练进行二次根式的混合运算.
复习巩固
分式的混合运算顺序：
先算乘除，再算加减；如果有括号，要先算括号内的.
新知引入
知识点 二次根式的混合运算
谈一谈
计算下列各式：谈一谈你在运算时，用到了哪些运算律和乘法公式.
运算时，用到了分配律和平方差公式.
例题解析
例1 计算下列各式：
例2 计算下列各式：
乘法公式在实数范围内也是成立的.
例3 计算下列各式：
随堂练习
B
拓展提升
D
2.若3-的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）b的值是 .
2.乘法公式：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
15.4 二次根式的混合运算
第十五章 二次根式
学习目标
1.掌握二次根式混合运算法则和顺序.2.会进行二次根式的混合运算.
学习重难点
二次根式混合运算法则.
难点
重点
熟练进行二次根式的混合运算.
复习巩固
分式的混合运算顺序：
先算乘除，再算加减；如果有括号，要先算括号内的.
新知引入
知识点 二次根式的混合运算
谈一谈
计算下列各式：谈一谈你在运算时，用到了哪些运算律和乘法公式.
运算时，用到了分配律和平方差公式.
例题解析
例1 计算下列各式：
例2 计算下列各式：
乘法公式在实数范围内也是成立的.
例3 计算下列各式：
随堂练习
B
拓展提升
D
2.若3-的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）b的值是 .
《二次根式的混合运算》PPT课件
二次根式的混合运算
- .
要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？
同类二次根式
下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
（不正确）
（不正确）
（不正确）
（正确）
（不正确）
彗眼识真:
计算
计算
1、注意运算顺序2、运用运算律
二:问题:
请学生举例.
例5 把下列各式分母有理化
基础训练
C
比较根式的大小.
提高题
解:
提 高题
想一想：还有其他方法吗？
提 高题
思考:
D
整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然适应.
二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.
观察题目的特点是否能应用乘法公式
2 计算
从例2可以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似.
我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次
- .
要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？
同类二次根式
下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
（不正确）
（不正确）
（不正确）
（正确）
（不正确）
彗眼识真:
计算
计算
1、注意运算顺序2、运用运算律
二:问题:
请学生举例.
例5 把下列各式分母有理化
基础训练
C
比较根式的大小.
提高题
解:
提 高题
想一想：还有其他方法吗？
提 高题
思考:
D
整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然适应.
二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.
观察题目的特点是否能应用乘法公式
2 计算
从例2可以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似.
我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
二次根式混合运算(经典)-PPT
2. 已知 a 2 3 b 2 3 （c 2 3）2 0
求 3a + 5b – c 的值。
解： 2a2 3ab b2 0 （a-b)(2a b) 0
当a b=0时， 即a=b, 原式= a a =0. a a
当2a b 0时，即2a=b, 原式= a 2a a (1 2) 1 2 2 2 3. a 2a a (1 2) 1 2
ba b a c b ad c
a a
b a c b ad c
二次根式运算 （提高篇）
三更灯火五更鸡，正是男儿读书时； 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。
18
一：二次根式混合运算
例1：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
可以互相讨论下，但要小声点
9
( 2 ) ( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ) = 2- 2 2+ 3 2 - 3 2× 2 = 2-2 2+ 3 2 -3× 2 = -4 + 2 .
10
例3 计算：
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
从例3的第(2)小题看到，二次根式的和相乘， 与多项式的乘法相类似.
42 2
（4） a b 3 a b
解：原式= 5 3 5 2 3 3 3 2
15 2 5 3 2 3
解：原式= a 3 a a b b 3 a b b 3a ab 3 ab b
3a b 2 ab
2．计算
（1） 4 7 4 7
解：原式= 42
a2－1 a＋1
a2－2a＋1 a2－a
a＋1a－1 a＋1 a－1 aa－1
16.3 二次根式混合运算 公开课PPT教学课件
三更灯火五更鸡，正是男儿读书时； 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。
一：二次根式混合运算
例：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
〉〉解题示范——规范步骤，该得的分一分不丢！
(1)解：原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]
＝18－1－8＋4 2－1
[2分]
＝8＋4 2 (2)解：原式＝[( 10－3)( 10＋3)]2010
[4分]
＝[( 10)2－32]2010
[4分]
＝(10－9)2010＝1
9
知能迁移:
(1) 62－ 18－120； (2)(－3)2－ 4＋12－1.
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
16.3 二次根式的混合运算
1
说一说
如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm，4 3 cm， 高为 6 cm ，那么它的面积是多少？
梯形面积 = 12(2 2 +4 3)× 6 =( 2 +2 3)× 6 = 2× 6 +2 3× 6 = 2×6 +2 3×6 = 2×2×3 +2 3×3×2 = 2 3 +2×3 2 = 2 3 +6 2(cm2).
4
例 计算： 1- 5 . 1+ 5
解
11+
5 5
=
(1(1+
5)(15)(1-
5) 5)
=
1-2 5+( 5)2 12 -( 5)2
=
1-2 5+5 1-5
=
6-2 5 -4
一：二次根式混合运算
例：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
〉〉解题示范——规范步骤，该得的分一分不丢！
(1)解：原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]
＝18－1－8＋4 2－1
[2分]
＝8＋4 2 (2)解：原式＝[( 10－3)( 10＋3)]2010
[4分]
＝[( 10)2－32]2010
[4分]
＝(10－9)2010＝1
9
知能迁移:
(1) 62－ 18－120； (2)(－3)2－ 4＋12－1.
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
16.3 二次根式的混合运算
1
说一说
如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm，4 3 cm， 高为 6 cm ，那么它的面积是多少？
梯形面积 = 12(2 2 +4 3)× 6 =( 2 +2 3)× 6 = 2× 6 +2 3× 6 = 2×6 +2 3×6 = 2×2×3 +2 3×3×2 = 2 3 +2×3 2 = 2 3 +6 2(cm2).
4
例 计算： 1- 5 . 1+ 5
解
11+
5 5
=
(1(1+
5)(15)(1-
5) 5)
=
1-2 5+( 5)2 12 -( 5)2
=
1-2 5+5 1-5
=
6-2 5 -4
《二次根式的混合运算》二次根式PPT课件（上课用）
(1) 2 3 (2)2 3 (3) a 1 (4) x2 1 (5) 27 (6)5 2 3 5
(1) 2 3 (2)2 3 (3) a 1
(4) x2 1
(5) 3 (6)5 2 3 5
一. 分母有理化常规基本法
练习 1 1 2 3 2 2 1 3 1
二.分解约简法
化简 x y (m n) x y
•
13、认识到我们的所见所闻都是假象，认识到此生都是虚幻，我们才能真正认识到佛法的真相。钱多了会压死你，你承受得了吗?带，带不走，放，放不下。时时刻刻发悲心，饶益众生为他人。
•
14、梦想总是跑在我的前面。努力追寻它们，为了那一瞬间的同步，这就是动人的生命奇迹。
•
15、懒惰不会让你一下子跌倒，但会在不知不觉中减少你的收获;勤奋也不会让你一夜成功，但会在不知不觉中积累你的成果。人生需要挑战，更需要坚持和勤奋!
下，改变模样。
•
6、人生中总会有一段艰难的路，需要自己独自走完，没人帮助，没人陪伴，不必畏惧，昂头走过去就是了，经历所有的挫折与磨难，你会发现，自己远比想象中要强大得多。多走弯路，才会找到捷径，经历也是人生，修炼一颗强大的内心，做更好的自己！
•
7、“一定要成功”这种内在的推动力是我们生命中最神奇最有趣的东西。一个人要做成大事，绝不能缺少这种力量，因为这种力量能够驱动人不停地提高自己的能力。一个人只有先在心里肯定自己，相信自己，才能成就自己！
•
10、生活中，有人给予帮助，那是幸运，没人给予帮助，那是命运。我们要学会在幸运青睐自己的时候学会感恩，在命运磨练自己的时候学会坚韧。这既是对自己的尊重，也是对自己的负责。
•
11、人生的某些障碍，你是逃不掉的。与其费尽周折绕过去，不如勇敢地攀登，或许这会铸就你人生的高点。
《二次根式的混合运算》二次根式PPT课件 (共25张PPT)
x y 与 x y 互为有理化因式.
想一想
a b 的有理化因式为 a b
;
; ;
a b 的有理化因式为
b
ab
a x b y 的有理化因式为 a x b y
a b 的有理化因式为
.
例题1 把下列各式分母有理化:
1
3 ; 3 1
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
2
2已知a 3 2
5, b 3 2 5, 求a b ab 的值
2 2
复习 计算
1 1 1 5 12 9 48; 3 2
2
3
2 m n;
ab a b b.
2
例题4 解下列方程和不等式:
1
2
3 2 6x 2 2;
5x 6 3 3 5x.
问题
怎样计算下式？观察所得的积是否 含有二次根式？
x y x y x y
含有二次根式
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如 果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为有理化因式.
x y 与 x y 互为有理化因式.
复习 计算
2 1 3 40 2 0.1; 5
人教版八年级下册数学 二次根式
二次根式的混合运算
二个含有二次根式的代数式相 乘，如果它们的积不含有二次根式， 我们就说这两个含有二次根式的代 数式互为有理化因式.
例如： x y 的有理化因式是 x y 的有理化因式是
x y
x y
a x b y 的有理化因式是 a x b y
指出下列各式的有理化因式
想一想
a b 的有理化因式为 a b
;
; ;
a b 的有理化因式为
b
ab
a x b y 的有理化因式为 a x b y
a b 的有理化因式为
.
例题1 把下列各式分母有理化:
1
3 ; 3 1
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
2
2已知a 3 2
5, b 3 2 5, 求a b ab 的值
2 2
复习 计算
1 1 1 5 12 9 48; 3 2
2
3
2 m n;
ab a b b.
2
例题4 解下列方程和不等式:
1
2
3 2 6x 2 2;
5x 6 3 3 5x.
问题
怎样计算下式？观察所得的积是否 含有二次根式？
x y x y x y
含有二次根式
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如 果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为有理化因式.
x y 与 x y 互为有理化因式.
复习 计算
2 1 3 40 2 0.1; 5
人教版八年级下册数学 二次根式
二次根式的混合运算
二个含有二次根式的代数式相 乘，如果它们的积不含有二次根式， 我们就说这两个含有二次根式的代 数式互为有理化因式.
例如： x y 的有理化因式是 x y 的有理化因式是
x y
x y
a x b y 的有理化因式是 a x b y
指出下列各式的有理化因式
二次根式的混合运算课件
石家庄市第四中学 刘涛
强子在单位附近租了一套公寓，户型 如图，①、②两室都是正方形，面积分别 是24平方米和8平方米，图中阴影部分是 矩形的卫生间，你能告诉强子卫生间的面 积吗？
15.4二次根式的混合运算
计算下列各式 ⑴ 32 6 2
⑶ 24 8 8
a baac⑵bbdac3ab2cacaad82bbbcc25bd
⑸1
2 3
自我检测
⑵
2
7 1
⑷ 3 2 12 8Leabharlann ⑹ 1 3 3 122
2 2645 520 2
2 2 2
24 63102 5 2 2
22
2
2 1
2 1 2 1
除等以于一乘个以数这 （个2不数2等的1 于倒0数） 2 1
2 1
2 35
斐波那契（约1170﹣1250）是意大 利数学家，他研究了一列数，这列数非
1 5
1
2
5
n
1
2
5
n
来表示. （其中，n≥1）．这是用无 理数表示有理数的一个范例．
课后思考：请根据以上材料，通过计算求出 斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
作业: 15.4 习题A组 1，2题.
计算下列各式
⑴ 2 10 8 ⑶ 4 3 3 6 6
常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一
定顺序排列着的一列数称为数列）．后 来人们在研究它的过程中，发现了许多 意想不到的结果，在实际生活中，很多 花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的 花瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波 那契数列还有很多有趣的性质，在实际 生活中也有广泛的应用．
强子在单位附近租了一套公寓，户型 如图，①、②两室都是正方形，面积分别 是24平方米和8平方米，图中阴影部分是 矩形的卫生间，你能告诉强子卫生间的面 积吗？
15.4二次根式的混合运算
计算下列各式 ⑴ 32 6 2
⑶ 24 8 8
a baac⑵bbdac3ab2cacaad82bbbcc25bd
⑸1
2 3
自我检测
⑵
2
7 1
⑷ 3 2 12 8Leabharlann ⑹ 1 3 3 122
2 2645 520 2
2 2 2
24 63102 5 2 2
22
2
2 1
2 1 2 1
除等以于一乘个以数这 （个2不数2等的1 于倒0数） 2 1
2 1
2 35
斐波那契（约1170﹣1250）是意大 利数学家，他研究了一列数，这列数非
1 5
1
2
5
n
1
2
5
n
来表示. （其中，n≥1）．这是用无 理数表示有理数的一个范例．
课后思考：请根据以上材料，通过计算求出 斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
作业: 15.4 习题A组 1，2题.
计算下列各式
⑴ 2 10 8 ⑶ 4 3 3 6 6
常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一
定顺序排列着的一列数称为数列）．后 来人们在研究它的过程中，发现了许多 意想不到的结果，在实际生活中，很多 花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的 花瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波 那契数列还有很多有趣的性质，在实际 生活中也有广泛的应用．
二次根式的混合运算PPT教学课件
3、了解饱和一元醇的沸点和水溶性特点。 4、根据饱和一元醇的结构特征，说明醇的
化学性质及应用。
1、CH3CH2OH 2、
3、 4、 5、
CH2OH
OH
6、
左侧有机物中
属于醇的是 1 3 4 ；
属于酚的是
256
。
两者相似之处？ 体会醇与酚的区别。
CH3CH2OH
乙醇
乙二醇
丙三醇
茶多酚
苯酚
漆酚
思考●讨论 什么是醇？什么是酚？
5.饱和一元醇的水溶性
饱和一元醇分子中碳原子数1～3的醇能与水以任意 比例互溶；分子中碳原子数4～11的醇为油状液体， 仅部分溶与水；分子中碳原子更多的高级醇为固体， 不溶与水；
【规律】CnH2n+1OH可以看成是H-OH分子中的一个H 原子被烷基取代后的产物。当R-较小时，醇分子与水 分子形成的氢键使醇与水能互溶；随着分子中的R-的 增大，醇的物理性质接近烷烃。
1 羟基的反应
(1)取代反应
⊙醇与浓的氢卤酸（HCI、HBr、HI）发生反应时分
子中的碳氧键断裂，羟基被卤原子取代，生成相应
的卤代烃和水
△
C2H5OH + HBr
C2H5Br + H2O
⊙在酸做催化剂及加热下，醇发生分子间的取代生 成醚和水
(2)消去反应
含有 B－H醇在浓硫酸及一定温度下能发 生消去反应生成烯烃
2．先化简，再求值： xx－ －42＋x2－44x＋4÷x－x 2，其中 x＝ 2.
解：原式＝xx－－24＋x－422×x－x 2＝xx－ －42＋xx－4 2＝xxxx－ －42
＋xx－4 2＝xxx－－222＝x－x 2.
当 x＝
化学性质及应用。
1、CH3CH2OH 2、
3、 4、 5、
CH2OH
OH
6、
左侧有机物中
属于醇的是 1 3 4 ；
属于酚的是
256
。
两者相似之处？ 体会醇与酚的区别。
CH3CH2OH
乙醇
乙二醇
丙三醇
茶多酚
苯酚
漆酚
思考●讨论 什么是醇？什么是酚？
5.饱和一元醇的水溶性
饱和一元醇分子中碳原子数1～3的醇能与水以任意 比例互溶；分子中碳原子数4～11的醇为油状液体， 仅部分溶与水；分子中碳原子更多的高级醇为固体， 不溶与水；
【规律】CnH2n+1OH可以看成是H-OH分子中的一个H 原子被烷基取代后的产物。当R-较小时，醇分子与水 分子形成的氢键使醇与水能互溶；随着分子中的R-的 增大，醇的物理性质接近烷烃。
1 羟基的反应
(1)取代反应
⊙醇与浓的氢卤酸（HCI、HBr、HI）发生反应时分
子中的碳氧键断裂，羟基被卤原子取代，生成相应
的卤代烃和水
△
C2H5OH + HBr
C2H5Br + H2O
⊙在酸做催化剂及加热下，醇发生分子间的取代生 成醚和水
(2)消去反应
含有 B－H醇在浓硫酸及一定温度下能发 生消去反应生成烯烃
2．先化简，再求值： xx－ －42＋x2－44x＋4÷x－x 2，其中 x＝ 2.
解：原式＝xx－－24＋x－422×x－x 2＝xx－ －42＋xx－4 2＝xxxx－ －42
＋xx－4 2＝xxx－－222＝x－x 2.
当 x＝
《二次根式的混合运算》二次根式PPT课件2 (共22张PPT)
【针对训练】
【答案】
探究点二 多项式乘法法则积公式在 二次根式混合运算中的应用
活动二：阅读教材第16页例5，相互交 流思考下列问题 ：
（1）第（1）小题的第一步的计算依据是什么？ （2）第（2）小题的第一步的计算依据是什么？
【小组讨论2】
(1)二次根式的运算中还能使用 多项式的乘法法则和公式吗 ？
活动一：阅读教材第16页例4，相互交流思 考下列问题 ：
（1）第（1）小题第一步的依据是什么？ 第二步的根据是什么？第三步为什么没有合并 ？ （2）第（2）小题第一步根据整式除法中 的什么法则？第二部应用的整式除法中的什么 运算法则？
【小组讨论1】
(1)二次根式的混合运算与 整式的混合运算有什么相 似之处 ？
二次根式的混合运算
●激情导入
这节课我们就来学习二次根式的混合运算.
●理清学习目标
• 1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含 有二次根式的多项式乘法公式的应用． • 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含 有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
●自主预习练习
●聚焦主题合作探究
探究点一 运算律在二次根式混合运算 中的应用
•
1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职 责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志》刘备语 译：对任何一件事，不要因为它是很小的、不显眼的坏事就去做；相反，对于一些微小的。却有益于别人的好事，不要因为它意义不大就不去做它。 3．见善如不及，见不善如探汤。 ——《论语》 译：见到好的人，生怕来不及向他学习，见到好的事，生怕迟了就做不了。看到了恶人、坏事，就像是接触到热得发烫的水一样，要立刻离开，避得远远的。 4．躬自厚而薄责于人，则远怨矣。 ——《论语》 译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，是“薄责于人”，这样的话，就不会互相怨恨。 5．君子成人之美，不成人之恶。小人反是。 ——《论语》 译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失败、 错误或痛苦时推波助澜。小人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。 6．见贤思齐焉，见不贤而内自省也。 ——《论语》 译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或不足，就要冷静反省，看自己 是不是也有他那样的缺点或不足。 7．己所不欲，勿施于人。 ——《论语》 译：自己不想要的（痛苦、灾难、祸事……），就不要把它强加到别人身上去。 8．当仁，不让于师。 ——《论语》 译：遇到应该做的好事，不能犹豫不决，即使老师在一旁，也应该抢着去做。后发展为成语“当仁不让”。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。 18．君子坦荡荡，小人长戚戚。 ——《论语》 译：君子心胸开朗，思想上坦率洁净，外貌动作也显得十分舒畅安定。小人心里欲念太多，心理负担很重，就常忧虑、担心，外貌、动作也显得忐忑不安，常是坐不定， 站不稳的样子。ຫໍສະໝຸດ 【针对训练】【答案】
《二次根式的混合运算》PPT课件
=(
2)2+2 2 +1 ( 2)2 -1
= 2+2 2+1
从例3的第(1)小题的结 果受到启发，把分子与
分母都乘以( 2 +1)，就
可以使分母变成1.
= 3+2 2.
二:问题 :
( x y )( x y )
两个含有二次根式的非零代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式，我们 就说这两个含有二次根式的非零代数式 互为有理化因式。
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126、生命不是要超越别人，而是要超越自己。
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127、长得漂亮是优势，活得漂亮是本事。
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128、如果要飞得高，就该把地平线忘掉。
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129、你不要一直不满他人，你应该一直检讨自己才对。
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130、生活是一面镜子。你对它笑，它就对你笑；你对它哭，它也对你哭。
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131、要改变命运，首先改变自己。
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132、人生就像一个动物园，当你以为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！
4 2 32 32 2
6 2 3 3
计算
1、注意运算顺序 2、运用运算律
(1). 27 3 6 2
(2).
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3 2 3 2 2
3 2 3 2 2
2 2 1 81 9
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练习：
1.已知ab=3，求 a
b a
+b
a b
的值
2.已知a+b=-8,ab=12,求
b
b a
+a
a b
的值
2. 已知 a 2 3 b 2 3 （c 2 3）2 0
求 3a + 5b – c 的值。
解： 2a2 3ab b2 0 （a-b)(2a b) 0
当a b=0时， 即a=b, 原式= a a =0. a a
二：二次根式运算中的技巧
例4、（1）当x= 1 , y 1时，求代数式
23
(2) 已知：a= 1 , b= 1
52
52
x y 的值； x y x y
, 求 a2 2ab b2 7的值
解：(1) x y x y x y
= x（ x y）- （ y x y） （ x y)( x y）
5、二次根式的除法运算公式：
一、借用整式乘法的法则进行二次根式混合运算。 1.整式乘法中单项式乘以多项式的法则用字母 表示为： . 2.整式乘法中多项式与多项式相乘的法则用字母 表示为
上次更新: 2020年7月19日星期日
二、套用乘法公式进行二次根式混合运算 乘法公式中平方差公式、完全平方公式用字 母如何表示？ 1、平方差公式：
例3 计算：
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
从例3的第(2)小题看到，二次根式的和相乘， 与多项式的乘法相类似.
我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二 次根式的和相乘的运算.
例4 计算：
( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ； ( 2 )( 2 - 3 )2 .
动脑筋
例3 已知：a＝
1 2＋
3，求aa2＋－11 －
a2－2a＋1 a2－a
的值．
学生作答
解：原式＝ a＋1a－1－ a－12
a＋1
aa－1
＝a－1－ a－1 ＝a－1－ 1 .
aa－1
a
∴当a＝ 1 时， 2＋ 3
原式＝ 1 －1－(2＋ 3 )＝－1－2 3 . 2＋ 3
规范解答
解：∵a＝ 1 <1，∴a－1<0. 2＋ 3
∴x－1x＝± 5
2.注意到(x－1x)2＝(x＋1x)2－4，可得(x－1x)2＝5，x－1x＝± 5.
例5：化简： 3 2 2 3 2 2
解：原式= ( 2 1)2 ( 2 1)2
= 2 1
2 1
= 2 1 ( 2 1)
= 2 1 2 1
=-2
练习：
已知x
=
3
1 +2
，求 x2 - 6x +2 的值.
2
x-3
(1)题目中的隐含条件为a＝ 1 2＋
<1，所以 3
a2－2a＋1 ＝
a－12 ＝|a－1|＝1－a，而不是a－1；
(2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之
一，上题中的隐含条件a＝ a2－2a＋1＝ a－12＝|a－1| ＝1－a是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析能力 的培养，提高解题的正确性.
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算
__加_1_、、二__减次__根、式_乘的__混_、合_运_除_算_的是混指合二运次算根．式的 2、二次根式的混合运算顺序与实数的运
算顺序相同： 先算__乘__除___，后算___加__减__，有括号的先 算括号里面的．
二次根式的混合运算：
3、二次根式的加减运算步骤： ① ② 4、二次根式的乘法运算公式：
4、常见的互为有理化因式：
a 的有理化因式：
ba b a c b ad c
a a
b a c b ad c
二次根式运算 （提高篇）
三更灯火五更鸡，正是男儿读书时； 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。
一：二次根式混合运算
例1：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
∴ a2－2a＋1＝ a－12 ＝|a－1|＝1－a.
∴原式＝a＋1a－1 － a＋1
1－a aa－1
＝a－1＋
1 a
.
∴当a＝ 1 时， 2＋ 3
原式＝ 1 －1＋(2＋ 3)＝3. 2＋ 3
计算 ：相信自己能行
(1) ａ(ａ＋ｂ)
（4）.2x 12
(2) (x2 y xy2 ) xy
（5） x 3y2
4
2
（3） 3 2
解：原式=
2
3 2
3 2 22
2
（4） 2 5 2
2
2
解：原式= 2 5 2 2 5 2 2
34 34
74 3
20 4 10 2
22 4 10
课堂小结
在进行二次根式的运算时，类比整式的运算，灵活合理运用恰当的方法， 要注意过程和结果的正确
老师忠告
〉〉解题示范——规范步骤，该得的分一分不丢！
(1)解：原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]
＝18－1－8＋4 2－1
[2分]
＝8＋4 2 (2)解：原式＝[( 10－3)( 10＋3)]2010
＝[( 10)2－32]2010
[4分] [4分]
＝(10－9)2010＝1
知能迁移:
(1) 62－ 18－120； (2)(－3)2－ 4＋12－1.
二次根式的混合运算是根据实数的运算律进 行的.
例3 计算：
(
1)
6-
3 8
×
2；
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
解
(1)
6-
3 8
×
2
=
6×
2-
3× 8
2
=
6× 2 -
3× 8
2
=
3× 2× 2 -
3 4
=
2
3-
3 2
=
(
2-
1) 2
3
=
3 2
3
；
( 2 ) ( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ) = 2- 2 2+ 3 2- 3 2× 2 = 2-2 2+ 3 2 -3× 2 = -4 + 2 .
解：（1）原式= a2 ab
（2）原式= x2 y xy xy2 xy x y
2
(3) 原式= 3 12 31 =2 （4）原式= 4x2 4x 1
（5）原式= x2 6xy 9 y2
(3) 3 1 3 1
例题讲析 （我是小老师）
例1.计算
（1） 8 3 6
解：原式= 8 6 3 6
如何计算
？ 2 +1 2 -1
2 +1 2 -1
= ((
2 +1)( 2 -1)(
2 +1) 2 +1)
=(
2)2+2 2+1 ( 2)2-1
= 2+2 2+1
从例4的第(1)小题的结 果受到启发，把分子与
分母都乘以( 2 +1)，就
可以使分母变成1.
= 3+2 2.
例5 计算： 1- 5 . 1+ 5
(7)、(7 54 3 21） 3
(8)、18 ( 3 2)
注意：
1、运算顺序 。 2、运用运算律和乘法公式，简化运算。 3、结果为最简二次根式。
二、巧用“分母有理化”进行二次根式混合运算
1、分母有理化的定义： 把分母中的根号化去。
2、方法： 分子、分母同时乘以分母的有理化因式。
3、有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们 的积中不含二次根式 ，我们说这两个二次根 式互为有理化因式。
。 2、完全平方和公式：
。 3、完全平方差公式：
。
如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm，4 3 cm，高 为 6 cm，那么它的面积是多少？
梯形面积 = 12(2 2 +4 3)× 6 =( 2 +2 3)× 6 = 2× 6 +2 3× 6 = 2×6 +2 3×6 = 2×2×3 +2 3×3×2 = 2 3 +2×3 2 = 2 3 +6 2(cm2).
1．计算
（1） 2 3
第一轮
（2） 80 40 5
解：原式= 80 5 40 5
80 5 40 5
42 2
（4） a b 3 a b
解：原式= 5 3 5 2 3 3 3 2
解
11+
5 5
=
(1(1+
5)(15)(1-
5) 5)
=
1-2 5+( 5)2 12 -( 5)2
=
1-2 5+5 1-5
=
6-2 5 -4
=
-
3 2
+
1 2
5.
练习
1. 计算：
(1)
5× (
15 - 4
3)； 5
( 2 )( 1 + 2 3 )( 3 - 3 )；
( 3 )( 2 + 3 )( 2 - 3 )；
53
2
例3.先化简，再求值
2 a 3 a 3 a a 6 6 ，其中 a 2 1
解：原式= 2 a2 3 a2 6a 6
2a2 6 a2 6a 6
a2 6a
当 a 2 1 时，
2
原式= 2 1 6 2 1
22 2 16 2 6
4 2 3
课堂展示