静电场4

例 若真空中电荷q均匀分布在半径为a的球体内，计算电场能量。
解： 用高斯定理可以得到电场为
E E
qr 4 0 a q 4 0 r 3
3
(r<a)
(r<a)
所以
1 We 0 E 2 dV 2 V 1 q 0 4 2 0 3q 2 20 0a
–微分形式说明：
• 静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
旋度方程：
E 0
E dl 0
C
微分形式 积分形式
• 物理意义：
– 它们说明静电场是一种保守场。 – 积分形式说明：电场力做功的大小与路径无关。 – 微分形式说明：静电场没有旋度源；
高斯定理
积分形式 微分形式
内、外导体间的电压为
U E dr E1 dr E2 dr
a a r0
b
r0
b
l 2
1 b 1 r0 1n 1n r0 1 a 2
因此，单位长度的电容为
C
l
U

2
b 1 r0 1n 1n 2 r0 1 b
Q E dS
D dS q
s
S

E

D
利用物质特征方程
D E
1 4 0 9 109
1 0 8.85 1012 ( F / m) 4 9 109
例1 ：已知场求源，书例2.3（球坐标系） 解：真空中高斯定理的微分形式 E ， 得电荷密度为
l E e (V / m) 2
则两导体间的电位差
a b U

U ab
b
a
l l b d 1n (V ) 2 2 a
故同轴线单位长度电容
C1
l
U ab
2 b 1n a
( F / m)
例 一同轴线内导体的半径为a， 外导体的内半径为b, 内、 外导体之间填充两种绝缘材料，a<r<r0 的介电常数为ε1 ，r0<r<b 的介电常数为ε2， 如图 所示， 求单位长度的电容。
•
电容的大小与导体系统的尺寸和介电常数 有关。
同心金属球与金属球壳构成的球形电容器
图2.18，说明：半径a的导体球带电
q1 ,
则球壳内表面带电- q1 ，球壳外表面带电 q1 q2 各部分利用高斯定理求场，再求电位和电容
例：同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b，其
间填充两种介质，上半部分的介电常数为ε1，下半部分的介电常 数为ε2，如图所示。求球形电容器的电容。
1 E D
(r≥a)
介质内(a<r<b)：
Q
2
4 r r 1 P D 0E
1 E D Q 4 0 r
2

er
Q
r 4 r 2
er
er
介质外(b<r)：
0
P0
☆ 介质的边界条件
1. 法向： 2. 切向：
D1n D2 n S
同轴线电容器-内导体半径a，外导体半径b，两导体间
填充介质，由这样的两个同轴圆柱导体构成的电容器 例 设无限长同轴线内外导体间充满介电常数为ε (F/m)的均 匀电介质, 且内导体半径为a (m), 外导体的内半径为b (m), 如图 所示。试求同轴线单位长度的电容。
同轴线
［解］ 设内外导体单位长度的带电量分别为+ρl和-ρl (C/m)。 用高斯定理可求得内外导体间的电场强度
Qa C U ab
式中， C表示电容， 单位为F（法拉）； Qa表示导体a 的电荷， 单位为C（库仑）； Uab表示导体a相对于导 体b的电位， 单位为V（伏特）。
球形电容器-半径为a和b两个同心金属球构成的电容器
半径为a的内导体带点q，则两金属 球体之间的场强为：
E eR
q
4 0 r 2
E1t E2t
•导体边界条件(1为介质；2为导体)：
Dn S
Et 0
E1t E2t
•无电荷的介质边界条件：
D1n D2 n
法向边界条件:
D1 n S D2 n S q S S n ( D1 D2 ) S
D dS Q
s
r a, D1 0, E1 0
l1 l1 a r b, D2 2 rh h l1 , D2 , E2 er , 2 r 2 0 r l1 l 2 l1 l 2 r b, D3 2 rh h l1 h l 2 , D3 , E3 er , 2 r 2 0 r
1
☆ 单导体的电容
导体球为例，设半径为a的导体球，带电量为Q，球外部空间的场为 则导体球的电位为
E
Q 4 r 2
U

a
Q Q dr 2 4 r 4 a
则导体球的电容为
Q C 4 a U
计算地球的电容
a 6370km, C 700 F
Ⅰ C 13 C 11
两金属球体之间的电压为：
U E dr
a b
1 1 ( ) 4 0 a b
q
所以球形电容器的电容为 C q 4 0
U
1 1 a b
外半径 b , C 4 0 a
很多情况下， 电荷分布在导体上或导体系统 中， 因此导体是储存电荷的容器。储存电 荷的容器称为电容器(Capacitor)。
2
a r 2 1 2 2 0 3 4r dr a 4 4r dr r a
例 若一同轴线内导体的半径为a，外导体的内半径为b，之
间填充介电常数为ε的介质，当内、外导体间的电压为U，求单位 长度的电场能量。 解：设内、外导体间电压为U时，内导体单位长度带电量为 ρl， 则导体间的电场强度为
3. 互电容：多个导体, 较复杂的带电情况, 两两 导体之间的相对电容参数. （多导体）
＋ ＋ ＋＋ ＋ ＋ ＋ ＋ U － 导体a
＋ ＋＋ ＋ ＋ E
＋ ＋＋ ＋ ＋＋ ＋＋
－ － － －－ － － － － － － － 导体b － －－ －－ －－ －－ －－
双导体构成的电容
一个导体上的电荷量与此导体相对于另一导体的电 位之比定义为电容(Ｃapacitance)， 其表达式为
0 E
用球坐标中的散度公式
0
1 (r 2 Ar ) A 2 r r
可得
0
4r o E0 2 a
(r>a)
(r<a)
例2_1：已知源求场 两个无限长的半径为a和b的柱壳，同轴放置，圆柱内外 表面分布电荷线密度分别为l1，l2 ， 求：电场。
2
球外为真空，真空中 D 0 r E 0 E
例4 ，静电场中的导体与介质（分清那是导体，导体内场强为0） 一个半径为a的导体球，带电量为Q，在导体球外套有外半径为b P。
的同心介质球壳， 壳外是空气，如图所示。求空间任一点的D、 E、
解：
Q D e 2 r 4 r
解：
E1 E2 Eer
在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分，有
21r 2 E1 2 2 r 2 E2 2 ( 1 2 )r 2 E q q E , 2 2 (1 2 )r
b b
内外导体间的电压：
q q 1 1 U Edr dr ( ) 2 2 (1 2 )r 2 (1 2 ) b a a a q 2 ab(1 2 ) 电容为：C U ba
例3，填充介质后已知源求场，
半径a,介电常数 的介质球，球体内均匀分布着密度为ρ的电荷， 求介质球内外的电场强度和极化强度。
D dS q fc
S
D 0 r E E 0 E P
利用上面介质中的高斯定理先求D，然后除以介电常数求E，再求极化P
( 0 )r 4 3 r r r a, D内 4 r r ，D内 er ,E内 er , P 0 ( r 1)E内 er 3 3 3 3 4 3 a3 a3 2 r a, D外 4 r a ，D外 2 er ,E 外 e ,P 0 2 r 3 3r 3 0 r
解：设内、外导体单位长度带电分别为ρl 、-ρl，内、外导体 间的场分布具有轴对称性。由高斯定理可求出内、外导体间的电 位移为
l D er 2 r
各区域的电场强度为
E1 er
l 21r
l 2 2 r
(a r r0 ) ( r0 r b)
E2 er
例2_2：已知源求场
两个无限长的半径为a和b的柱壳，同轴放置，圆柱内外表面分布 电荷面密度分别为s1，s2 ， 求：电场。
D dS Q
s
r a, D1 0, E1 0 a s1 a s1 a r b, D2 2 rh 2 ah s1 , D2 , E2 er , r 0r a s1 b s 2 a s1 b s 2 r b, D3 2 rh 2 ah s1 2 bh s 2 , D3 , E3 er , r 0r
n
1
D1
D1n D2 n S
h 0 D2
S
1 媒质1
分界面
2 媒质2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
切向边界条件:
E dl E1 l1 E2 l2 E1t l E2 t l 0
l
n ( E2 E1 ) 0
E1t E2t
l E ( a r b) 2 r
两导体间的电压为
l b U 1n 2 a
即
2 U l b 1n a
E
U b r1n a
( a r b)
单位长度的电场能量为
1 U U 2 We E dV 2 rdr a b 2 2 2 b 2r 1n 1n a a 1 2 CU 2
静电场的方程—散度方程和旋度方程
散度方程：
• 物理意义：
D dS q
积分形式
D
微分形式
–它们描述了静电场的发散性，给出了通过封闭面的 电通量与面内所围电荷量之间的关系； –积分形式: 任意封闭面的电通量＝面内所围电荷总 量
• 说明：静电场具有通量源，即自由电荷。
例5 同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b， 其间填充两种介质，上半部分的介电常数为ε1，下半部分的介电 常数为ε2，如图所示。设内、外导体带电分别为q和-q， 求各部 分的电位移矢量和电场强度。
解：
E1 E2 Eer
21r E1 2 2 r E2 2 (1 2 )r E q
C 12 Ⅱ C 23 C 22 C 33 地
Ⅲ
多导体系统的电容
§2.9 静电场能量
能量体密度：
1 2 e E 2
在各向同性物质中， W e 静电场的能量：
e dV
1 1 1 2 2 We E D d E d E d 2 2 2
2 2 2
在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分，有
q E 2 (1 2 )r 2 1q D1 er 2 (1 2 )r 2 2q D2 er 2 (1 2 )r 2
2.8 导体的电容 Capacitance
• 电容的定义
1. 传统的定义：两个导体, 分别带电q和－q, 电 位差U，则C=q/U; （双导体） 2. 自电容：孤立导体, 带电q, 电位y, 则C= q/y; （单导体）