最佳捕鱼策略——数学建模论文

最佳捕鱼策略

摘要

为了实现鳀鱼持续的经济效益，可持续的捕捞方案必不可少。本文建立了最优化模型，求出了在可持续条件下最大的鳀鱼年收获量以及自然死亡率和捕捞强度系数对模型的影响，并向渔业管理部门提出的鳀鱼资源利用的政策建议。

针对问题一，以一年为周期，年初各个年龄组鳀鱼的数量由上一年相关年龄组的数量决定，分别建立微分方程，得到各个年龄组鳀鱼数量与时间的关系式。以可持续条件下各个年龄组鳀鱼数量相同为约束条件，以捕捞的3、4龄鱼最大数量为目标函数建立最优化模型。采用Lingo17.0对模型进行求解，得到年初1龄鱼的数量为1110195994.1⨯条，年初2龄鱼的数量为1010373946.5⨯条，年初3龄鱼的数量为1010414670.2⨯条，年初4龄鱼的数量为710395523.8⨯条，年收获量最大值为1110887536.3⨯克。

针对问题二，由模型I 得出年收获量是自然死亡率和捕捞强度系数的关系。将捕捞强度系数赋一固定值，用Matlab 软件得出了在4龄鱼的捕捞强度系数为5的情况下，年收获量和自然死亡率成反向关系。

针对问题三，由前述得到的年收获量与自然死亡率和捕捞强度系数的关系，运用Matlab2016求解得到当4龄鱼的捕捞强度系数(k)以0.01为步长，从0到20分布时对应的F(k)的数值，并以k 的取值为横坐标，对应的F(k)为纵坐标，绘制捕获量F(m)随捕捞强度系数变化的曲线图，得出年收获量与捕捞强度系数成正向关系。

最后，本文从提高捕捞技术、保护鳀鱼苗种和生存环境、开发产业链等四个方面对鳀鱼资源的综合利用提出了建议。

关键词：年收获量最优化模型

1问题重述和分析

本题是最优化问题，此问涉及的各个变量为：每条1龄鱼、2龄鱼、3龄鱼、4龄鱼的平均重量分别是 5.1g、11.6g、17.9g、23.0g，自然死亡率为0.8，各个年龄组鳀鱼产卵量情况，产卵孵化期为每年后4月，3龄鱼和4龄鱼捕捞强度系数比为0.42：1，卵的存活率等。

分析此题，第一问需要解决的问题是求出在每年初各个年龄组鳀鱼数量相同的前提下，可以捕捞的3龄鱼和4龄鱼的最大条数，结合平均重量可得最大捕捞总重量。解决的思路是根据约束条件建立微分方程模型并求解。以一年为捕捞周期，为实现可持续捕捞，即要求每年初各个年龄组鳀鱼条数相同。年初1龄鱼的数量由上一年3、4龄鱼的数量决定，2龄鱼的数量由上一年1龄鱼的数量和自然死亡率决定，3龄鱼的数量由上一年2龄鱼的数量和自然死亡率决定，4龄鱼的数量与上一年3龄鱼数量、自然死亡率、捕捞强度系数决定。第二问根据自然死亡率的变动，优化模型；第三问是得出捕捞强度系数的变动对模型结果的影响；第四问提出鳀鱼捕捞方案，以使资源得到最大化利用。

2问题假设

（1）各个年龄组的鳀鱼到第二年都长一岁，4龄鱼在年末无留存。

（2）不考虑3、4龄鱼产卵和孵化在每年后4月的实际情况。假设年末卵全部孵化完毕。

（3）鳀鱼的数量随时间变化是连续型的。

（4）不考虑鳀鱼在鱼塘中的空间分布情况对捕捞的实际影响

3符号说明

表1符号和含义

符号含义

th i龄鱼在t时刻的数量（i=1,2,3,4；

0

各年龄组的鳀鱼的自然死亡率

四龄鱼的捕捞强度系数

产卵量

三龄鱼和四龄鱼的总收获量

a年初一龄鱼的数量

b年初二龄鱼的数量

c年初三龄鱼的数量

d年初四龄鱼的数量

f鳀鱼卵的成活率

4模型的建立及求解

4.1问题一的模型建立及求解

由题对各龄鱼t 时刻数量变化进行连续性分析，即1、2、3、4龄鱼的自然死亡是连续的，3、4龄鱼的被捕获也是连续的。对于1、2龄鱼来说，其一年中数量变化只与自然死亡有关。其数量满足

)1,0(;2,1);(m )(d ∈=-=t i t N dt

t N i i 解得，

21i e 0

t t 8.0i i ，；）（）（==-N N ——①对于3、4龄鱼来说，前八个月其数量既受自然死亡的影响，也受被捕获的影响，后四个月则仅受自然死亡的影响。其数量满足：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧∈-∈+-=)1,32();(32,0();()42.0m ()(d 333t t mN t t N k dt t N ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧∈-∈+-=)1,32();()32,0();()()(d 444t t mN t t N k m dt t N 解得：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧∈∈=-+-），（；（；）（）（132t e )32(32,0t e )0()t (32-t 3t k 42.033m m N N N ——②⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧∈∈=-+-），（；（；）（）（132t e )32(32,0t e )0()t (32-t 4t k 44m m N N N ——③由模型假设及题意（每年开始捕捞时渔场中各种年龄组鱼群条数不变）得：

3,2,1i 0

11i i ==+）；（）（N N ——④因为假设3、4龄鱼都在八月份产卵且平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105个，3龄鱼的产卵量是4龄鱼的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼与产卵量n 之比）为：

n 1022.11022.1f 1111+⨯⨯=，⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯=32(32(5.010109.1n 435N N 所以，

⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯==32(32(5.010109.1n 1022.11022.1nf )0(43511111N N N ——⑤

收获量为：⎰⎰+=32043203t)dt

(k 99.22t)dt (k 42.086.17N N F ——⑥F 即为目标函数，式1-5为约束条件，如下所示：

223334000.8(0.42)332()33(0.42)44(4=17.860.42()22.99()()(0);1,2 1

2(0);(0,)3() 222();(,1)332(0);(0,)3()2()3t i i m k t m t m k t m F kN t dt kN t dt

N t N e i N e t N t N e t N e t N t N e --+---+-+==⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩∈=⎰⎰ 2)3111513411 32;(,1)3()(0);1,2,3 41.221022(0) 1.109100.5()() 51.221033t i

i t N t N i N nf N N n -+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪∈⎪⎪⎩⎪==⎪⎪⨯⎛⎫==⨯⨯⨯⨯⨯⎪ ⎪⨯+⎝⎭⎩

由Lingo17.0优化求解得最优解如图1所示，源程序见附录。由图可知，年初1龄鱼的数量为1110195986.1⨯条，年初2龄鱼的数量为1010373913.5⨯条，年初3龄鱼的数量为1010414655.2⨯条，年初4龄鱼的数量为710392890.8⨯条，当捕捞强度系数k=17.36402时，年收获量取最大值为1110887536.3⨯克。