2 作用在流体上的力

质量力分布在流体质量（体积） 质量力分布在流体质量（体积）上，是一种远程力。我们定义的质 是一种远程力。 即单位质量流体所承受的质量力， 量力为力的质量密度 f ，即单位质量流体所承受的质量力，是加速度 的单位。 的单位。
单位质量力
r r r r f = f xi + f y j + f z k
设体积为∆V的流体团，其质量 设体积为 的流体团， 的流体团 为 ∆m，所受质量力为 ∆F，则 ， ， ∆V→0
第二章
作用在流体上的力
• 流体不能承受集中力，只能承受分布力。分布力 流体不能承受集中力，只能承受分布力。 按表现形式又分为：质量力、 按表现形式又分为：质量力、表面力
即两类作用在流体上的力： 即两类作用在流体上的力：质量力和表面力
一、质量力
作用在每个流体微团上的力， 作用在每个流体微团上的力，其大小与流体质量 成正比。 成正比。例如：重力、惯性力、磁力
y u(y)
A B C
x
EXIT
练习2. 试分析图中三种情况下流体微元A受到哪些表面力 练习 试分析图中三种情况下流体微元 受到哪些表面力 和质量力作用？（ ？（1）静止水池（ ）明渠水流（ ） 和质量力作用？（ ）静止水池（2）明渠水流（3）平面弯道 水流。 水流。
A
A
A
EXIT
平衡流体受力分析
τ zx +
∂τ zx dz ∂z
τ yz
τ yx
p yy
不可压缩粘性流体的运动微分方程
不可压缩粘性流体的运动微分方程 （纳维—斯托克斯方程，N-S方程）
dv x 1 ∂p ∂ 2vx ∂ 2vx ∂ 2vx = fx − +υ( 2 + 2 + 2 ) ∂z ∂x ∂y ρ ∂x dt dv y ∂ 2v y ∂ 2v y ∂ 2v y 1 ∂p = fy − +υ( 2 + 2 + 2 ) ∂z ∂x ∂y ρ ∂y dt dv ∂ 2vz ∂ 2vz ∂ 2vz 1 ∂p z = fz − +υ( 2 + 2 + 2 ) ∂x ∂y ∂z ρ ∂z dt
或
r r r 1 ∂v r + ( v ⋅ ∇ ) v = f − ∇p ∂t ρ
不可压缩粘性流体运动时受力分析 不可压缩粘性流体运动时受力分析
取dx、dy、dz的平行六面体 dz的平行六面体 p 代表法向应力
p yy + ∂p yy ∂y dy
∂τ xy ∂y dy
τ 代表切向应力
fx、fy、fz 代表质量力
p xx
τ yz +
∂τ yz ∂y
τ xy +
dy
τ xz
∂τ zy
τ zx
fx
p zz
τ xy +
∂τ xy ∂x
dx
τ xy
fy τ zy + dz ∂z f z
τ zy
τ xz +
p xx + ∂τ xz dx ∂x
∂p xx dx ∂x
不可压缩粘性流体的 运动微分方程用图
∂p p zz + zz dz ∂z
单位面积上的表面力。 单位面积上的表面力。
△Fp
△F △FT
△A
r r δF pn = lim δA→0 δA
∆A→0
的含义为面元趋于面 元上的某定点， 元上的某定点 ， 所以应力是 定义在流体面上一点处的。 定义在流体面上一点处的 。 同一点处的应力还与作用面 的方位有关， 的方位有关 ， 所以须将作用 面的法向用脚标指明。 面的法向用脚标指明。
r pnτ
r r δFτ dFτ = lim = δA→0 δA dA
凡谈及应力，应注意明确以下几个要素： 凡谈及应力，应注意明确以下几个要素： 哪一点的应力； ① 哪一点的应力； ② 哪个方位作用面上的应力； 哪个方位作用面上的应力； 作用面的哪一侧流体是研究对象（表面力的受体）， ），从 ③ 作用面的哪一侧流体是研究对象（表面力的受体），从 而决定法线的指向； 而决定法线的指向； 应力在哪个方向上的分量。 ④ 应力在哪个方向上的分量。
x
1 fx − ρ 1 fy − ρ 1 fz − ρ
∂p =0 ∂x ∂p =0 ∂y ∂p =0 ∂z
流体平衡微分方程用图
理想流体运动时受力分析 理想流体运动时受力分析
边长为dx，dy，dz的微元平 边长为dx，dy，dz的微元平 行六面体。 行六面体。 形心坐标： 形心坐标： x，y，z 三方向质量力： 三方向质量力： fx， fy， fz 压强： 压强： p
p+ ∂p dy ∂y 2
p− ∂p dz ∂z 2
fy
∂p dx p− ∂x 2
p
p+
fz
fx
∂p dx ∂x 2
p+
∂p dz ∂z 2
p−
y
∂p dy ∂y 2
理想流体的运动微分 方程用图
o
x
z
理想流体的运动微分方程
理想流体的欧拉运动微分方程组
∂v x ∂v x ∂v x 1 ∂p ∂v x ∂t + v x ∂x + v y ∂y + v z ∂z = f x − ρ ∂x ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y 1 ∂p + vx + vy + vz = fy − ∂x ∂y ∂z ρ ∂y ∂t ∂v z ∂v z ∂v z ∂v z 1 ∂p + vx + vy + vz = fz − ∂x ∂y ∂z ρ ∂z ∂t
n
n Pn
作用点
作用面
定测
外法向
应力
EXIT
三、课堂讨论
练习1. 液体在两块平板间流动，流速分布如图所示， 练习 液体在两块平板间流动，流速分布如图所示，从中取 三块流体微元， 出A、B、C三块流体微元，试分析：（1）各微元上下两平面 、 、 三块流体微元 试分析： ） 上所受切应力的方向； 上所受切应力的方向 ； （ 2） 定性指出哪个面上的切应力最 ） 哪个最小？为什么？ 大？哪个最小？为什么？
n
∆P
应力pn 是矢量 ， 可向作用面的法向或切向投影 ， 分解成法 应力 是矢量，可向作用面的法向或切向投影， 应力和切应力。 应力和切应力。
EXIT
2.法向应力和切向应力 法向应力和切向应力 法向
r pnn
பைடு நூலகம்
r r δFn dFn = lim = δ A→ 0 δ A dA
△Fp
△F △FT
△A
在静止流体中取如图所示微小六面体。 在静止流体中取如图所示微小六面体。 设其中心点a(x,y,z)的密度为 ，压强为 ，所受质量力为 。 的密度为ρ，压强为p，所受质量力为f。 设其中心点 的密度为
y p- ∂p/∂x•dx/2 dy b o z x
f,p,ρ
a dx y z c dz
p+ ∂p/∂x•dx/2
∆F f = lim ∆V →0 ∆ m
的含义，按连续介质假设，即为流体团趋于流体质 的含义，按连续介质假设， 所以质量力是定义在流体质点上的。 点。所以质量力是定义在流体质点上的。
二、表面力
分离体以外的流体（或其他物体）通过分离体表面作 分离体以外的流体（或其他物体）通过分离体表面作 用在流体上的力， 用在流体上的力，其大小与作用面积成比 表面力分布在流体面上，是一种接触力。定义表面力的面积 表面力分布在流体面上，是一种接触力。 密度，即单位面积上流体所承受的表面力为应力。 密度，即单位面积上流体所承受的表面力为应力。 设面积为∆A的流体面元，法向为 n ，指向表 设面积为 的流体面元， 的流体面元 面力受体外侧， 面力受体外侧，所受表面力为 ∆F ，则应力 1.应力 应力