高考数学140分必读之把关题解析30讲(13)

高考数学140分必读之把关题解析30讲（13）
把关题解析30讲〔13〕
1．山东理
〔21〕〔本小题总分值12分〕
数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈
〔I 〕证明数列{}1n a +是等比数列；
〔II 〕令2
12()n n f x a x a x a x =++
+，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较
2(1)f '与22313n n -的大小.
解：由*
15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得
()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时
21215S S =++因此21126a a a +=+又15a =因此211a =从而()21121a a +=+
故总有112(1)n n a a ++=+，*
n N ∈又115,10a a =+≠从而
11
21
n n a a ++=+即数列{}1n a +是等
比数列；
〔II 〕由〔I 〕知321n
n a =⨯- 因为2
12()n n f x a x a x a x =++
+因此112()2n n f x a a x na x -'=+++
从而12(1)2n f a a na '=+++=()()
23212321(321)n n ⨯-+⨯-+
+⨯- =(
)2
32222n n +⨯+
+⨯-()12n ++
+=()1(1)
31262
n n n n ++-⋅-
+ 由上()
()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()
21221n n --=
()()1212121(21)n n n n -⋅--+=12(1)2(21)n n n ⎡⎤--+⎣⎦①
当1n =时，①式=0因此2
2(1)2313f n n '=-； 当2n =时，①式=-120<因此2
2(1)2313f n n '<- 当3n ≥时，10n ->又()0
1
1211n
n
n n
n n n n C C C C -=+=++
++≥2221n n +>+
因此()()12210n
n n ⎡⎤--+>⎣⎦
即①0>从而2(1)f '>22313n n -
(22)(本小题总分值14分) 动圆过定点,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且与直线2p x =-相切，其中0p >.
〔I 〕求动圆圆心C 的轨迹的方程；
〔II 〕设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分不为α和β，当,αβ变化且
αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，
并求出该定点的坐标.
解：〔I 〕如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
为记为F ，过点M 作直线2
p
x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2p x =-
的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
为焦点，2
p x =-
为准线，因此轨迹方程为2
2(0)y px P =>； 〔II 〕如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠〔否那么αβπ+=〕且12,0x x ≠因
此直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，明显22
12
12,22y y x x p p
==，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=由韦达定理知
121222,p pb
y y y y k k
+=
⋅=
① 〔1〕当2
π
θ=
时，即2
π
αβ+=
时，tan tan 1αβ⋅=因此
12
121212
1,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212
204y y y y p -=因此2124y y p =由①知：2
24pb p k
=因此2.b pk =因此直线AB 的方程可表示为2y kx Pk =+，即(2)0k x P y +-=因此直线AB 恒过定点()2,0p - 〔2〕当2
π
θ≠
时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=
tan tan 1tan tan αβ
αβ
+-=
122122()4p y y y y p +-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pk θ=-，因此22tan p
b pk θ
=+，
x =
现在，直线AB 的方程可表示为y kx =+
22tan p pk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛
⎫
+--
= ⎪⎝⎭
因此直线AB 恒过定点22,tan p p θ
⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
因此由〔1〕〔2〕知，当2
πθ=时，直线AB 恒过定点()2,0p -，当2
πθ≠
时直线AB 恒过
定点22,
tan p p θ
⎛⎫- ⎪⎝
⎭
. 2．重庆理
21．〔本小题总分值12分〕
椭圆C 1的方程为14
22
=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分不为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分不是C 1的左、右焦点. 〔Ⅰ〕求双曲线C 2的方程； 〔Ⅱ〕假设直线2:+
=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与
C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA 〔其中O 为原点〕，求k 的取值范畴.
解：〔Ⅰ〕设双曲线C 2的方程为12
2
22=-b y a x ，那么.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由 故C 2的方程为.13
22
=-y x 〔II 〕将.0428)41(14
22222
=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得
,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k
即 .4
1
2>
k ① 0926)31(13
22222
=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.
由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得
.
13
1
.0)1(36)31(36)26(,031222222
2
<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即 )
2)(2(,66319
,3126),,(),,(2
2+++=+<+<⋅--=⋅-=
+B A B A B A B A B A B A B
A B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA k x x k k x x y x B y x A 而得由则设
.1
37
3231262319)1(2
)(2)1(2
22
22
2-+=+-⋅+--⋅
+=++++=k k k k k k k x x k x x k B A B A
.0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得
.3
1
151322<>
k k 或 ③ 由①、②、③得
.115
13
314122<<<<k k 或 故k 的取值范畴为)1,15
13
()33,21()21,33()1513,1( ---- 22．〔本小题总分值12分〕
数列{a n }满足)1(2
1
)11(1211≥+++
==+n a n n a a n
n n 且. 〔Ⅰ〕用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；
〔Ⅱ〕不等式)1(:,0)1ln(2
≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数
e=2.71828….
〔Ⅰ〕证明：〔1〕当n=2时，222≥=a ，不等式成立. 〔2〕假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k
那么22
1
))1(11(1≥+++
=+k k k a k k a . 这确实是讲，当1+=k n 时不等式成立.
依照〔1〕、〔2〕可知：22≥≥n a k 对所有成立.
〔Ⅱ〕证法一：
由递推公式及〔Ⅰ〕的结论有 )1.()2
1
11(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n n
n n n 两边取对数并利用不等式得 n n n a n n a ln )2
1
11ln(ln 21
++++≤+
.2
1
1ln 2n
n n n a +++
≤ 故n n n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n 上式从1到1-n 求和可得
1212
1
2121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤
-n n n n a a .2211112
1121
121111)3121(211<-+-=--
⋅+--++-+-=n n n n n 即).1(,2ln 2
≥<<n e
a a n n 故
〔Ⅱ〕证法二：
由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n
对成立，故
).2()1(1
)1(11(21)11(21≥-+-+<+++
=+n n n a n n a n n a n
n
n n
令).2())
1(1
1(),2(1
1≥-+
≤≥+=+n b n n b n a b n
n n n 则
取对数并利用不等式得 n n b n n b ln ))
1(1
1ln(ln 1+-+
≤+
).2()
1(1ln ≥-+
≤n n n b n
上式从2到n 求和得 )
1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤
-+n n b b n .11
113121211<--++-+-
=n
n 因).2(3,3ln 1ln .313
ln 11122≥=<+<=+=+++n e e
b b a b n n 故
故1,,,2,132
222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立.。