随机数学选课指南

五．随机数学系列选课指南概述: 随机数学系列目前面向全校博士、硕士研究生开设5门课程：《数理统计（I）》，《数理统计（II）》，《随机过程（I）》，《随机过程（II）》和《最优估计方法》。

随机数学是描述和研究随机现象的统计规律性的数学理论和方法。

随机现象是最早被关注的一种不确定现象。

数学家在400多年前开始研究赌博现象，由此形成了概率的早期概念乃至古典概率论(大部分同学在本科学过古典概率论)，一批数学家对此作出了贡献。

到19世纪末，数学的发展要求对古典概率论的逻辑基础（象微积分一样）作出严格化。

做出概率严格化第一步的有伯恩斯坦，布雷尔等人，尤其是布雷尔，作为测度论的奠基者，首先指出将测度论方法引入概率论的重要性。

布雷尔的工作激起了数学家沿着这一新方向探索的行动。

其中，原苏联数学家哥尔莫戈罗夫在上世纪30年代前后的工作最杰出，他推导了弱大数定理和强大数定理的最一般的结果，在这些研究中，与可测函数论的类比起了极重要的作用，这成为以测度论为基础的概率论公理化的前奏。

由此，现代概率论与随机过程理论建立在一个坚实的基础上。

直到上世纪60年代，第二种不确定现象——模糊现象才被认识到并系统地加以研究，形成了模糊数学。

不确定数学和确定数学（又称为经典数学）在逻辑上存在两大区别：一是经典数学属于{0，1}二值逻辑，而不确定数学则属于[0，1]无限逻辑；二是确定数学满足形式逻辑的四大定律，而不确定数学不满足其中的排中律。

随着数学和整个科学的现代化进程，具有种种不确定性的现象不断发现，从而发展成有关的理论。

例如，混沌理论，耗散理论，非线性理论，计算复杂性中的P = ？NP问题等，它们的共同逻辑特征都不属于典型的形式逻辑范畴，“四大定律”不完全满足。

现在统称这些领域为复杂性数学。

这样，不确定数学现在包括随机数学，模糊数学和复杂性数学。

我们在研究生数学课程体系中集中安排了随机数学的几门重要课程。

随机数学一般被认为由概率论，随机过程，数理统计，时间序列分析，多元统计分析等分支组成（它们自己分成程度不同的课程），这些分支还与其它学科结合，构成了很多应用性很强的学科，如随机运筹学等，包括排队论，Markov决策论，库存论等。

概率论用随机变量描述静态的随机现象，在引入了测度之后，它借助于确定性数学中的分析工具来建立随机现象的统计规律性。

随机过程则研究随着时间（或其它参量）演变的随机现象的统计规律性，即研究随机现象的动态特性。

换言之，前者用随机变量在理论上描述静态的随机现象，描述的核心是给出分布规律；而后者借助于随机函数，研究动态的随机现象，研究的中心问题是它的发展演化的数学形式。

由于大多数同学在本科学习过基础概率论，我们不另行开设概率论方面的课（实际上现代概率论建立在测度论的基础上，工科的同学学的内容属于经典概率论，尚缺乏测度的数学基础），需要提高的内容放在随机过程的课程中。

随机过程的类型很多，理论也丰富多彩，考虑到有些同学在本科已接触过随机过程，所以我们开设《随机过程（I）》和《随机过程（II）》这两门程度不一又相互衔接的课程，以满足不同的需要。

概率论和随机过程是理论性很强但也是应用极广泛重要的数学分支，它们在许多学科中起了关键的作用，例如，信息信号类、通信控制类、图象语音处理与识别类学科和研究方向等，如果没有概率论和随机过程理论的支撑，很难想象它们今天会成为什么模样。

这些学科的研究生应该扎实地学习和掌握概率论和随机过程的基本理论和方法，作为深入研究的最重要的起点和基础。

数理统计和概率论一样，也是研究静态的随机现象，但是它采用的方法和概率论不同，它从实际得到的数据（即所谓随机变量总体的样本）来“挖掘”出随机变量的分布规律。

所以，数理统计是一门应用性很强的数学分支，它研究如何有效地收集、整理和分析受到随机影响和干扰的数据，对所考虑的问题作出统计推断或预测，为采取决策和行动提供依据的一门学科。

凡是有大量数据出现的地方，由于实际数据都带有干扰和误差，所以都要用到数理统计的方法来处理。

建立在现代数学与概率论基础上的数理统计，近半个世纪来，在理论，方法，应用上都有较大的发展。

抽样调查，估计和检测理论，试验设计，回归分析、回归设计与回归诊断，多元分析，非参数估计，时间序列分析，统计决策函数，统计计算，随机模拟，探索性数据分析等统计分支，相继产生并且在实践中普遍使用，把以描述性为主的传统统计发展到以推断为主的现代统计。

数理统计是概率论的“实验”部分，而概率论则是统计的理论基础。

如同数理统计和概率论的关系那样，时间序列分析是从得到的动态数据（即随机过程的样本）中，对所考虑的对象作出合理的数学模型，计算模型的参数，从而对所讨论的随机过程作出其特性的统计推断，为采取决策和行动提供依据。

动态数据和静态数据的根本区别在于后者的次序可以打乱而不影响计算结果；相反，动态数据的先后不可随意变化。

时间序列分析实际上可称为随机过程的“数理统计”，当然，处理方法上有很大的不同。

数理统计和时间序列分析内容异常丰富，已成为当前最活跃的学科之一，并且构成了许多学科，诸如数据处理，信号估计检测，模式识别，信息科学，图象分析处理和人工智能等学科中骨架性知识。

一个专业人员如果不懂数理统计和时间序列分析的数学思想和方法，将使得深刻理解和掌握上述学科的精髓，发生根本性的困难。

传统上应用数学较少的学科领域如生命生物，医学药学，化学化工乃至人文等，都需要做试验作观察，试验要合理设计，数据要正确处理，这些都需要数理统计和时间序列分析的基本知识。

这里要指出，数理统计和时间序列分析必须以概率论和随机过程的理论作为其研究和方法设计的指导。

只有坚实地掌握概率论和随机过程的基本理论，才有可能真正理解和掌握数理统计和时间序列分析的方法，达到“知其然，并知其所以然”的境界。

1．课程《数理统计（I）》45学时/2学分第一学期开课本课程介绍基础数理统计的数学理论和方法，包括数理统计的基本概念，抽样分布，参数估计，假设检验，方差分析，回归分析，正交试验和质量控制初步，为众多学科专业需要较多统计工具的研究生，提供随机数学方面的训练，打下扎实的基础。

具有基本的数理统计的知识和分析能力，是现代科技、管理人员的最基本的素养之一，这门课对于各个学科专业，都是适用的。

本课程的学习基础为：高等数学, 线性代数, 概率论（工科）。

考虑到很多同学在本科时已经学过一定程度的统计课，所以建议：对于已在本科掌握了基本的数理统计的知识和分析能力，而且学科的研究很需要统计的同学，可以直接选择《数理统计（II）》或者随机数学系列的其它课程，而本课程的内容可以通过自学或旁听，温故知新。

这样可学到更多的东西。

提高学习效果。

对于原来非工科的同学（比如属于大生命生物，大人文学科），需要进修统计的，欢迎选修或者通过旁听方式来提高自己。

2．课程《数理统计（II）》45学时/3学分第二学期开课本课程是《数理统计（I）》的扩展和深化，其主要内容由两大板块内容组成：多元统计分析和时间序列分析。

时间序列是按照时间顺序取得的一系列数据。

很多数据是以时间序列的形式出现的：如一个公司的利润的月度数据，国民经济的年度数据，上海地区每小时的用电量数据，公路事故数量的周度数据，某化工过程的按小时的观测数据，等等。

时间序列分析就是对大量的按照时间顺序取得的一系列数据进行动态处理，识别并建立模型、拟合及检验，发现隐藏在数据内部的规律，并利用这种规律进行预测。

它在经济、管理，工程，生命科学，物理、化学、力学及社会科学中有着十分广泛的应用。

在许多实际问题中，常常需要处理多个变量（指标）的观测数据。

如果用一元统计的方法，则势必要把多个变量分开分析，一次处理一个变量。

由于这种方法忽视了变量之间的可能存在着的相关性，因此，一般说来，丢失的信息太多。

为此，我们讨论一种新的方法，它首先给出一大堆多维（随机）数据中分析出变量之间的相关性，然后根据这种相关性对这些变量在尽量不进行丢失的信息的情况下降低其维数（主成分分析），将其进行科学的分类（聚类分析），判断某一新的数据属于哪一类（判别分析），以及分析在大量随机数据的背后是否存在某种共同的原因(因子分析)。

这些分析技术称为多元统计分析。

多元统计分析和时间序列分析都是许多学科研究人员需要掌握的基本技能，凡接触数据的，都涉及数据的分析，而且只有透过数据的分析，才可能进一步掌握研究对象的规律性，才可能进一步推测与决策。

因此理解和掌握多元统计分析和时间序列分析，是这些领域科研、管理人员的基本素养之一。

本课程的学习基础为：高等数学, 线性代数, 概率论（工科）和《数理统计（I）》，最好能掌握随机过程的基本知识，如果有缺乏随机过程的基础的同学也选择了本课，希望他们在老师引导下自行学习掌握之。

对于原来非工科的同学（比如属于大生命生物，大人文学科），需要进修统计的，欢迎选修或者通过旁听方式来提高自己。

3．课程《随机过程（I）》36学时/2学分第一学期开课本课程是随机过程组合课程的基础部分。

对于没有学过随机过程的同学它属于入门课程，对接触过部分随机过程的同学，可把学习这门课程作为温故知新和打扎实基础的提高过程。

随机数学是研究自然界中不确定现象之一——随机现象及其统计规律性的数学理论与方法。

概率论与随机过程是随机数学的主要分支。

概率论在数学上用随机变量来研究随机现象的静态特性，而随机过程则研究随着时间（或其它参量）演变的随机现象的统计规律，即研究随机现象的动态特性。

换言之，前者研究随机变量，而后者研究随机函数，探讨随机现象的发展与变化的过程。

概率论是随机过程的基础，随机过程是概率论的深入发展。

随机过程的发展动力除了数学本身需要之外，20世纪初物理，力学，化学，生物，通信，管理，控制论，规划论，排队论，信息论等学科的需要，推动了随机过程理论发展。

反过来，随机过程的理论又指导了这些学科的发展。

至今，随机过程的内容十分丰富，应用极其广泛。

概率论和随机过程是理论性很强但也是应用极广泛重要的数学分支，它们在许多学科中起了关键的作用，例如，信息信号类、通信控制类、图象语音处理与识别类学科和研究方向等，如果没有概率论和随机过程理论的支撑，很难想象它们今天会成为什么模样。

而且概率论和随机过程是学习数理统计和时间系列分析的基础。

这些学科的研究生必须学习和掌握概率论和随机过程的基本理论和方法。

作为基础内容，本课程设定主干内容: 随机过程概论，普阿松过程，高斯过程，布朗运动，马氏过程, 均方随机分析，平稳过程。

通过该门课程的学习，期望学生能较好地理解随机数学的基本思想，掌握随机过程的数学理论。

掌握几个基本而常用的过程的处理方法，如正态过程、普阿松过程等；特别是马氏过程要重点理解并掌握；会对随机过程进行数学分析，掌握平稳过程的谱分解。