不等式与不等关系知识梳理

不等式与不等关系

【考纲要求】

1.了解不等关系、不等式（组）的实际背景；

2.理解并掌握不等式的性质，理解不等关系；

3.能用不等式的基本性质解决某些数学问题.

【知识网络】

【考点梳理】

要点一、符号法则与比较大小

1. 实数的符号

任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立。

2. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：

①两个同号实数相加，和的符号不变

符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；

0,00a b a b <<⇒+<

②两个同号实数相乘，积是正数

符号语言：0,00a b ab >>⇒>；

0,00a b ab <<⇒>

③两个异号实数相乘，积是负数

符号语言：0,00a b ab ><⇒<

④任何实数的平方为非负数，0的平方为0

符号语言：20x R x ∈⇒≥，2

00x x =⇔=.

3、比较两个实数大小的法则：对任意两个实数a 、b

①0b a b a ->⇔>；

②0b a b a -<⇔<；

③0b a b a -=⇔=。

对于任意实数a 、b ,a b >,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立。

要点诠释：

这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 不等式与不等关系 不等式的性质

基本性质的应

实际背景

要点二、不等式的基本性质

１．不等式的基本性质

（1）a b b a >⇔<

（2）,a b b c a c >>⇒>

（3）a b c a c b +<⇔<-

a b a c b c >⇔+>+

（4）000c ac bc a b c ac bc c ac bc >⇒>⎧⎪>=⇒=⎨⎪<⇒<⎩

２．不等式的运算性质

（１）加法法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+

（２）减法法则：,a b c d a d b c >>⇒->-

（３）乘法法则：0,00a b c d ac bd >>>>⇒>> （４）除法法则：0,00a b a b c d d c >>>>⇒

>> （５）乘方法则：00(,2)n n a b a b n N n >>⇒>>∈≥

（６）开方法则：00(,2)a b n N n >>⇒

>>∈≥ 要点诠释：

不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。基本不等式可以在解题时直接应用。

要点三、比较大小的方法

1、作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小。

2、作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较

a b

与1的关系，进一步比较a 与b 的大小。

3、中间量法：若a>b 且b>c ，则a>c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.

4、利用函数的单调性比较大小：若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.

【典型例题】

类型一：比较代数式（值）的大小

例1．已知：,x y R ∈, 比较22x xy y -+和1x y +-的大小.

【解析】22()(1)x xy y x y -+-+-22

()()1x x y y xy =-+--+ 221(222222)2

x x y y xy =-+--+ 22221(21212)2

x x y y x y xy =-++-+++- 2221[(1)(1)()]2

x y x y =-+-+- ∵2(1)0x -≥，2(1)0y -≥，2

()0x y -≥ ∴222

1[(1)(1)()]02x y x y -+-+-≥

∴221x xy y x y -+≥+-.

【总结升华】作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论，其中判断差的符号为目的，变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法.

举一反三： 【高清课堂：不等式与不等关系394833 典型例题一】

【变式1】若0a b <<，则下列不等式中，不能成立的是( )

A. 11a b

> B. 11a b b >- C. a b > D. 22a b > 【解析】取特殊值2,1a b =-=-，代入验证即可

【答案】B

【变式2】已知(0)a b ab >≠,试比较

a 1和

b 1的大小. 【解析】∵ab

a b b 1a 1-=-， 又∵a b >即0b a -<

∴当0ab >时，

b

1a 1<； 当0ab <时，b

1a 1>. 【变式3】0x >且1x ≠，比较1log 3+x 与2log 2x 的大小. 【解析】作差：3(1log 3)2log 2log 3log 4log ()4

x x x x x x x +-=-= (1) 当⎪⎩

⎪⎨⎧<<<<143010x x ， 即01x <<时，3log ()04x x >，此时1log 32log 2x x +>.

(2) 当01314

x x <<⎧⎪⎨>⎪⎩，即x ∈∅ (3) 当时即34114301≤<⎪⎩

⎪⎨⎧≤<>x x x ，3log ()04x x ≤, 此时1log 32log 2x x +≤，其中34=x 时取等号. (4) 当⎪⎩⎪⎨⎧>>14

31x x 即34>x 时，3log ()04x x >， 此时1log 32log 2x x +> 例2．已知：a 、b R +∈, 且a b ≠,比较a b b a

a b a b 与的大小. 【解析】∵a 、b R +∈ ，∴0a b a b >，0b a

a b > 作商：()()()()()a b a b a b a b b a a b a b a a a a b b a b b b

--=== （*） (1)若a>b>0, 则1>b a ，a-b>0, 1)(>-b a b

a , 此时a

b b a a b a b >成立； (2)若b>a>0, 则10<-b a b

a , 此时a

b b a a b a b >成立。 综上，a b b a a b a b >总成立。

【总结升华】1、作商比较法的基本步骤是:

判定式子的符号并作商→变形→ 判定商式大于1或等于1或小于1 →结论。

2、正数的幂的乘积形式的大小比较一般用作商比较法.

举一反三：

【变式】已知a b c 、、为互不相等的正数，求证：2a 2b 2c b c c a a b a b c a b c .+++>

【解析】a b c 、、为不等正数，不失一般性，设a b c 0,>>>

这时2a 2b 2c a b c 0>，b c c a a b a b c 0+++>，则有：

2a 2b 2c (a b)(a c)(b c)(b a)(c a)(c b)a b b c c a b c c a a b a b c a b c a b c ()()()a b c b c a

-+--+--+----+++== a b c 0>>>Q a b c 1,a b 0;1,b c 0;01,c-a<0b c a

∴>->>-><< 由指数函数的性质可知：a b b c c a a b c ()1,()1,()1b c a

--->>> 2a 2b 2c

b c c a a b a b c 1a b c

+++∴>，即2a 2b 2c b c c a a b a b c a b c +++>. 类型二：不等式性质的应用

例3.（2016 浙江高考）已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若log a b >1 ，则（ ）

A.(a-1)(b-1) <0

B. (a-1)(a-b )>0

C. (b-1)(b-a )<0

D. (b-1)(b-a )>0

【解析】log a b >log a a=1,当a >1时，b >a >1,故b -1>0, b -a >0,所以(b-1)(b-a )>0;