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求其零、极点并绘出零、极点图。
解 例5-23 MATLBA程序及结果如下 b=[0.2 0.1 0.3 0.1 0.2]; %分子多项式系数 a =[1 -1.1 1.5 -0.7 0.3]; %分母多项式系数 r1=roots(a) % 求极点 r2=roots(b) % 求零点 zplane(b,a) % 画零、极点图
特别的 xnn
y n T n n h n h n H z
系统函数是系统单位脉冲响应 hn 的z变换。
2、系统函数与差分方程 线性非移变系统的数学模型是常系数差分方程，一般形 式为
N
M
akynkbkxnk
k0
k0
两边取z变换（零状态），可得：
N
M
akzkYz bkzkXz
必为因果系统。
(2)、稳定系统
由稳定系统的时域条件
hn 可知系统的傅
n
氏变换DTFT存在，Hz 收敛区必包含单位圆。其收敛
区为 RH z RH,且 RH1RH。所以收敛区包
含单位圆时，必为稳定系统。
(3)、因果稳定系统
综合上述(1)、(2)情况，当 RH z ，且 RH 1 时，系统是因果稳定系统。
k0
k0
令 a0 1
N
M
解出 YzakzkYzbkzkXz
k 1
k0
M
bk z k
Y z k0 N
X z
1
ak z k
பைடு நூலகம்k 1
M
M
Hz
Yz Xz
bkzk
k0 N 1 akzk
A 1ckz1
k1 N 1dkz1
（5-77）
k1
k1
其中 ck Hz的零点； dkHz的极点； 由上式可见，除了系数A，Hz 可由其零、极点确定。
Dk
k1 N
Dkejk
Hejej
k1
k1
其中
ejck ：零点 c k 指向单位圆的向量
C k Ckejk ——极坐标表示；
ejdk ：极点 d k 指向单位圆的向量
D kDkejk ——极坐标表示；
C k 、 D k ——零、极点矢量的模；
k 、 k ——零、极点矢量与正实轴的夹角。
a 1
求 Hej 并作 Hej~、~图。
解：由已知条件可知系统是因果稳定系统
Hz z
za 零点 z0 0
极点 z a
jImZ
C D
a1
ReZ
jImZ
D
C a1
ReZ
从 0~ 时
C C 1
DD 最 最大 小0
答案
r1 = 0.2367 + 0.8915i 0.2367 - 0.8915i 0.3133 + 0.5045i 0.3133 - 0.5045i
r2 = -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 0.2500 + 0.9682i 0.2500 - 0.9682i
1
M
H e j
Ck
A
k 1 N
Dk
k 1
M
N
kkNM
k1
k1
当 从 0~2 变化一周时，各矢量延逆时针方向旋转
一周。其矢量长度乘积的变化，反映频响振幅 H ej
变化，其夹角之和的变化反映频响相位 的变化。
jImZ
cC
d1 D1
1
1
D2 2 d2
ReZ
例5-25已知
Hz 1
1a
z1
za
0.8
0.6
0.4
Imaginary Part
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Part
3、系统函数收敛区与系统特性关系 (1)、因果系统
由因果系统的时域条件 n0时， hn0，以及 Hz 的定义，可知此时 Hz 只有z的 负幂项，其收敛区为
RH z 。所以 Hz 的收敛区包含无穷时，
例5-24 已知某离散系统的系统函数为
H z 0 1 .2 1 .0 1 .z 1 z 1 1 1 .0 5 .z 3 z 2 2 0 .0 7 .z 1 z 3 3 0 .0 3 .2 z z 4 4
判断该系统的稳定性。
解 根据系统稳定的条件，将系统函数写成零极点形式
基本思路是不直接求极点，而是判断是否有极点在s的 右半平面（包括虚轴），或是否有极点在z平面的单位 圆外（上）。而利用MATLAB程序得到系统特征根， 可以直接判断系统的稳定性，或如例5-23利用MATLAB 程序可作出其零、极点图，直观作判断。 例5-23零、 极点图所有极点在单位圆内，所以是稳定系统。
1 0 .31 j0 3 .53 0 z 1 1 4 1 5 0 .31 j0 3 .53 0 z 145
式中极点的模 z1z20.232 6 0.8 792 10.9 521 25
z3z40.312 3 0.5 302 40.5 591 39
所有极点均在单位圆内，所以是稳定系统。
此例是通过求解系统极点，由其是否均在单位圆内，判 断系统的稳定性。对一个复杂系统来说，求极点并不容 易，有时是相当繁的（如本例）。所以判断连续系统是 否稳定往往是利用罗斯(Routh)准则，判断离散系统是否 稳定往往是利用劳斯（Jury）准则等。
与连续系统相似，系统函数由有理分式形式分解为零、
极点形式，有时并不容易，而用MATLBA可以很方便的 确定零、极点并作零、极点图。
例5-23 已知某系统的系统]函数为
H z 0 1 .2 1 .0 1 .z 1 z 1 1 1 .0 5 .z 3 z 2 2 0 .0 7 .z 1 z 3 3 0 .0 3 .2 z z 4 4
4、Hz 的零、极点与系统频响
系统频响的作图可利用零、极点，用矢量的方法定性 画出。
M
A 1ckz1
M
zck
Hz
k1 N
AkN1
zNM
1dkz1
zdk
k1
k1
M
ejck
Hej
Hz
zejAejNM
k1 N
ejdk
k1
M
Ck
M
Ckejk
Aj eNM
k1 N
Aj eNM
H z 1 0 .40 z 7 . 2 1 1 0 3 .z 8 1 4 z z 5 2 21 1 0 0 0 . .6 5 z 7 1 z 2 z 1 2 0 6 .36 z 5 2 1 0 .20 .3 2 1 j 0 .8 6 z 1 9 7 z z 2 11 1 1 0 0 .. 5 2 5 z 1 3 z j 2 0 .8 69 7 z 11
解 例5-23 MATLBA程序及结果如下 b=[0.2 0.1 0.3 0.1 0.2]; %分子多项式系数 a =[1 -1.1 1.5 -0.7 0.3]; %分母多项式系数 r1=roots(a) % 求极点 r2=roots(b) % 求零点 zplane(b,a) % 画零、极点图
特别的 xnn
y n T n n h n h n H z
系统函数是系统单位脉冲响应 hn 的z变换。
2、系统函数与差分方程 线性非移变系统的数学模型是常系数差分方程，一般形 式为
N
M
akynkbkxnk
k0
k0
两边取z变换（零状态），可得：
N
M
akzkYz bkzkXz
必为因果系统。
(2)、稳定系统
由稳定系统的时域条件
hn 可知系统的傅
n
氏变换DTFT存在，Hz 收敛区必包含单位圆。其收敛
区为 RH z RH,且 RH1RH。所以收敛区包
含单位圆时，必为稳定系统。
(3)、因果稳定系统
综合上述(1)、(2)情况，当 RH z ，且 RH 1 时，系统是因果稳定系统。
k0
k0
令 a0 1
N
M
解出 YzakzkYzbkzkXz
k 1
k0
M
bk z k
Y z k0 N
X z
1
ak z k
பைடு நூலகம்k 1
M
M
Hz
Yz Xz
bkzk
k0 N 1 akzk
A 1ckz1
k1 N 1dkz1
（5-77）
k1
k1
其中 ck Hz的零点； dkHz的极点； 由上式可见，除了系数A，Hz 可由其零、极点确定。
Dk
k1 N
Dkejk
Hejej
k1
k1
其中
ejck ：零点 c k 指向单位圆的向量
C k Ckejk ——极坐标表示；
ejdk ：极点 d k 指向单位圆的向量
D kDkejk ——极坐标表示；
C k 、 D k ——零、极点矢量的模；
k 、 k ——零、极点矢量与正实轴的夹角。
a 1
求 Hej 并作 Hej~、~图。
解：由已知条件可知系统是因果稳定系统
Hz z
za 零点 z0 0
极点 z a
jImZ
C D
a1
ReZ
jImZ
D
C a1
ReZ
从 0~ 时
C C 1
DD 最 最大 小0
答案
r1 = 0.2367 + 0.8915i 0.2367 - 0.8915i 0.3133 + 0.5045i 0.3133 - 0.5045i
r2 = -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 0.2500 + 0.9682i 0.2500 - 0.9682i
1
M
H e j
Ck
A
k 1 N
Dk
k 1
M
N
kkNM
k1
k1
当 从 0~2 变化一周时，各矢量延逆时针方向旋转
一周。其矢量长度乘积的变化，反映频响振幅 H ej
变化，其夹角之和的变化反映频响相位 的变化。
jImZ
cC
d1 D1
1
1
D2 2 d2
ReZ
例5-25已知
Hz 1
1a
z1
za
0.8
0.6
0.4
Imaginary Part
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Part
3、系统函数收敛区与系统特性关系 (1)、因果系统
由因果系统的时域条件 n0时， hn0，以及 Hz 的定义，可知此时 Hz 只有z的 负幂项，其收敛区为
RH z 。所以 Hz 的收敛区包含无穷时，
例5-24 已知某离散系统的系统函数为
H z 0 1 .2 1 .0 1 .z 1 z 1 1 1 .0 5 .z 3 z 2 2 0 .0 7 .z 1 z 3 3 0 .0 3 .2 z z 4 4
判断该系统的稳定性。
解 根据系统稳定的条件，将系统函数写成零极点形式
基本思路是不直接求极点，而是判断是否有极点在s的 右半平面（包括虚轴），或是否有极点在z平面的单位 圆外（上）。而利用MATLAB程序得到系统特征根， 可以直接判断系统的稳定性，或如例5-23利用MATLAB 程序可作出其零、极点图，直观作判断。 例5-23零、 极点图所有极点在单位圆内，所以是稳定系统。
1 0 .31 j0 3 .53 0 z 1 1 4 1 5 0 .31 j0 3 .53 0 z 145
式中极点的模 z1z20.232 6 0.8 792 10.9 521 25
z3z40.312 3 0.5 302 40.5 591 39
所有极点均在单位圆内，所以是稳定系统。
此例是通过求解系统极点，由其是否均在单位圆内，判 断系统的稳定性。对一个复杂系统来说，求极点并不容 易，有时是相当繁的（如本例）。所以判断连续系统是 否稳定往往是利用罗斯(Routh)准则，判断离散系统是否 稳定往往是利用劳斯（Jury）准则等。
与连续系统相似，系统函数由有理分式形式分解为零、
极点形式，有时并不容易，而用MATLBA可以很方便的 确定零、极点并作零、极点图。
例5-23 已知某系统的系统]函数为
H z 0 1 .2 1 .0 1 .z 1 z 1 1 1 .0 5 .z 3 z 2 2 0 .0 7 .z 1 z 3 3 0 .0 3 .2 z z 4 4
4、Hz 的零、极点与系统频响
系统频响的作图可利用零、极点，用矢量的方法定性 画出。
M
A 1ckz1
M
zck
Hz
k1 N
AkN1
zNM
1dkz1
zdk
k1
k1
M
ejck
Hej
Hz
zejAejNM
k1 N
ejdk
k1
M
Ck
M
Ckejk
Aj eNM
k1 N
Aj eNM
H z 1 0 .40 z 7 . 2 1 1 0 3 .z 8 1 4 z z 5 2 21 1 0 0 0 . .6 5 z 7 1 z 2 z 1 2 0 6 .36 z 5 2 1 0 .20 .3 2 1 j 0 .8 6 z 1 9 7 z z 2 11 1 1 0 0 .. 5 2 5 z 1 3 z j 2 0 .8 69 7 z 11