复数代数形式的乘除运算

3.2.2 复数代数形式的乘除运算 学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．

知识点一 复数的乘法及其运算律

思考 怎样进行复数的乘法运算？

答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．

梳理 (1)复数的乘法法则

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积

(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.

(2)复数乘法的运算律

对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有

知识点二 共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.

知识点三 复数的除法法则

思考 类比根式除法的分母有理化，比如1＋33－2＝(1＋3)(3＋2)(3－2)(3＋2)

，你能写出复数的除法法则吗？

答案 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，

则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i.

1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．( √ )

2．两个共轭复数的和与积是实数．( √ )

3．若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( × )

类型一 复数代数形式的乘除运算

例1 计算：

(1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i

； (3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i

. 考点 复数的乘除法运算法则

题点 乘除法的运算法则

解 (1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝

⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭

⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32

i. (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i

＝i

2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i. (3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i

＝7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )

＝

21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i. 反思与感悟 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．

(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．

跟踪训练1 计算：

(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；

(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i

； (3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i

. 考点 复数的乘除法运算法则

题点 乘除法的运算法则

解 (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)

＝(24＋8i －6i ＋2)－(28＋21i －4i ＋3)

＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.

(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i

＝i (2－3i )2－3i ＋－i (2＋3i )2＋3i

＝i －i ＝0. (3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＝i 2－i －2i ＋2i －1＋i 2－i ＋i

＝1－3i －2＋i ＝(1－3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )

＝－2－i ＋6i ＋3i 25＝－5＋5i 5

＝－1＋i.

类型二 i 的运算性质

例2 计算：(1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i 2 017.

考点 虚数单位i 及其性质

题点 虚数单位i 的运算性质 解 (1)原式＝2(1＋i )－2i

＋⎝⎛⎭⎫22i 1 008 ＝i(1＋i)＋(－i)1 008

＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008

＝i －1＋i 4×252

＝i －1＋1

＝i.

(2)方法一 原式＝i (1－i 2 017)1－i ＝i －i 2 018

1－i

＝

i －(i 4)504·i 2

1－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i 2

＝i. 方法二 因为i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *)，

所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016)＋i 2 017

＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.

反思与感悟 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．

(2)记住以下结果，可提高运算速度

①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ；

②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i

＝i ；