弯曲与扭转的组合变形
工程力学弯扭组合
Fy
Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y Fz
1
D 300 2
2 F'z
F'z
D1 D2
上海应用技术学院
Fy Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y
Fz
1 2
11
2 F'z
300
D
F'z
Fy M1 Fz
A
y M2
B
F'y
C
D1 D2
D
z 解：1. 外力分析
x
32 M 0.75 T 2 πd 3
2
O
x
32 1.0642 106 0.75 1 106 99.4MPa [σ ] 3 π 0.052
∴ 轴满足强度要求。
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例4 已知一单级直齿圆柱齿轮减速器输出轴，齿轮轮齿受力：14 Ft= 4053 N，Fr=1475.2 N，输出转矩T= 664669 N· mm，支 承间跨距 l=180mm，齿轮对称布置，轴的材料为 45钢，许 用应力[s ]=100 MPa。 试按第三强度理论确定该轴危险截面处的直径 d。
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㊀
x Me
–Fl
O
x
3. 应力分析 由危险截面上的s、t 分布可知： a、b点为危险点： 取单元体： a b A M O T
㊉
F
2 MesMa来自lBsM
M σM W T T sM τT Wp 2W
tT tT
b
材料力学组合变形
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力
工程力学弯扭组合精选全文
为弯扭组合。
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2. 内力分析 作 T 图： 作M 图：
危险截面为E 截面：
M 1kN m T 1kN m
3. 确定轴的直径 d
M1
A
z T
y
F
M2
E C
1kN·m
9
x
B
由第四强度理论：
O
x
σr4
M
M 2 0.75T 2 32 W
M 2 0.75T 2 πd 3
[σ]
O
1kN·m
用应力[s ]=100 MPa。
试按第三强度理论确定该轴危险截面处的直径 d。
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解： 计算简图： 1. 外力分析 约束力： FBy = FDy = Fr/2= 737.6 N FBz = FDz = Ft/2= 2026.5 N 2. 内力分析 作垂直面弯矩图： 作水平面弯矩图：
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径D= 300mm，材料的许用应力[s ]=160MPa。
试按第四强度理论确定轴AB的直径。
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8
y
F
M1
M2
A
E
C
z
x
B
解：1. 外力分析
由 SMx=0
M1
(FN
FN
)
D 2
得：F'N= 6.67kN FN= 13.33kN
将FN，F'N向轴线平移： F = F'N+FN= 20.1kN M2=1kN·m
M1
A
B
150
200
F2y = F2z tan10º=70.5N
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C 100 D z
F2y y M2
弯扭组合变形实验报告数据
实验名称：弯扭组合变形实验一、实验目的：1. 通过实验，了解和掌握材料在弯扭组合变形下的力学性能。
2. 熟悉和掌握弯扭组合变形的测量方法和数据处理技巧。
3. 通过实验，验证理论知识和计算方法的正确性。
二、实验设备：1. 材料试验机2. 弯曲和扭转加载装置3. 千分尺4. 数据记录仪三、实验材料：1. 实验材料为Q235钢，其化学成分和力学性能如下：-碳（C）含量：0.12%-锰（Mn）含量：0.3%-硅（Si）含量：0.3%-磷（P）含量：0.035%-硫（S）含量：0.035%-屈服强度：235MPa-抗拉强度：375MPa-伸长率：26%四、实验步骤：1. 将试样安装在试验机上，确保试样与加载装置之间的接触良好。
2. 设置试验机的弯曲和扭转加载参数，包括加载速度、加载时间等。
3. 开始加载，同时记录试样的弯曲和扭转角度以及载荷大小。
4. 当试样发生断裂时，停止加载，记录断裂载荷和断裂角度。
5. 清理实验现场，整理实验数据。
五、实验数据：1. 试样尺寸：长度100mm，宽度10mm，厚度2mm。
2. 弯曲加载参数：加载速度1mm/min，加载时间1min。
3. 扭转加载参数：加载速度1r/min，加载时间1min。
4. 实验数据记录如下：-弯曲角度：0°，15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°，180°。
-扭转角度：0°，15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°，180°。
-弯曲载荷：0N，2.5N，5N，7.5N，10N，12.5N，15N，17.5N，20N，22.5N，25N，27.5N，30N。
弯扭组合变形实验报告_2
弯扭组合变形实验报告
学院系专业班试验日期
姓名学号同组者姓名
一、实验目的
二、实验设备
仪器名称及型号精度
弯扭组合实验装置编号
三、试件尺寸及有关数据
试件材料：弹性模量E= MPa
泊松比μ= 应变片灵敏系数K=
试件外径D= mm 试件内径d= mm
自由端端部到测点的距离L= mm 臂长a= mm 试件弯曲截面系数W Z= cm3
试件扭转截面系数W P= cm3
四、实验数据与整理
2、实测主应变、主应力的计算
主应变：εεⅠⅡ
=0
090+2εε±主方向：000
450900090
22tan εεεϕεε--=
-
（式中00045090
εεε按平均增量计算） 主应力：2=
+1-E σεμεμⅠⅠⅡ（）， 2
=+1-E
σεμεμⅡⅡⅠ（） 计算结果：=εⅠ =εⅡ 0=ϕ
=σⅠ =σⅡ
3、弯曲正应力计算：w W E σε=⋅∆=
4、扭转剪应力计算：||1n n E
τεμ
=
∆=- 5、根据材料力学理论公式计算以下几个参数的理论值： 弯矩M = 扭矩T =
=σⅠ =σⅡ
0=ϕ w σ= n τ=
五、回答思考题。
材料力学_ 组合变形_：扭转与弯曲的组合_
M2 T2 W
M 2 0.75T 2 W
式中W为杆的抗弯截面系数.M,T分别为危险截面的弯矩和扭 矩. 以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆.
例题4 空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构,受力如图.AB杆的外
径 D=140mm,内外径之比α= d/D=0.8,材料的许用应力[] =
160MPa.试用第三强度理论校核AB杆的强度
A
C
D
F1
F2
解:将F2向AB杆的轴线简化得
400
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
400
F2 1kN Me 0.4kN m
AB为弯扭组合变形
B
A
C
D
F1
固定端截面是危险截面 F2
Mmax 0.8F1 0.4F2 0.8kN m
Tmax 0.4kN m
400
400
r3
Mm2 ax Tm2ax
W
d 38.5mm
W πd 3
32
d 44.83mm
MeC F=3F2
T=1kN·m + 1kN·m
+
例题6 F1=0.5kN,F2=1kN,[]=160MPa.
（1）用第三强度理论计算 AB 的直径 （2）若AB杆的直径 d = 40mm,并在B端加一水平力
F3 = 20kN,校核AB杆的强度.
400
400
B
对于许用拉压应力相等的塑性材
料制成的杆,这两点的危险程度是相同 的.可取任意点C1 来研究.
C1 点处于平面应力状态, 点的单元体如图示
该
C1
A截面
C3
C4
C2
C1
C3
T
C4
弯扭组合变形主应力的测定
弯扭组合变形主应力的测定
弯扭组合变形是指同时施加弯曲和扭转两种形变的一种变形方式，其主应力的测定可以通过以下步骤进行：
1. 确定弯曲和扭转的载荷：测定施加弯曲和扭转的载荷。
2. 采用倾角法测定变形量：倾角法是一种常用的测定弯曲和扭转变形的方法。
在变形过程中，通过测量试件端面相对于初始状态发生的倾斜角度，计算出试件的弯曲和扭转变形量。
3. 计算主应力：根据材料的力学性质，可以利用测得的弯曲和扭转变形量计算出变形时试件所受的主应力。
4. 验证结果：通过与试验数据进行比较，验证计算结果的正确性。
需要注意的是，弯扭组合变形的主应力测定需要考虑弯曲和扭转两种载荷的相互影响。
同时，试件的几何形状、材料的力学性质等也会对测定结果产生影响。
工程力学-弯曲与扭转的组合变形
洛 阳 职 业 技 术 学 院
第五单元 组合变形的强度计算
模块二 弯曲与扭转的组合变形
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一、弯曲与扭转的组合变 形简介
构件在工作时机受弯曲的作用也受扭转的作用，这 样的情况我们称为弯曲和扭转组合变形，简称弯扭组合 变形。
洛 阳 职 业 技 术 学 院
z F2
M M
F F1 F2
F1
2）内力分析
在xy平面上弯曲变形的内力---弯矩
FL 9 103 800 M zc 1.8 106 Nm m 4 4
y 400 400 x MZ
FAy
1.8kN· m
FBy
x
扭转变形的内力---扭矩
T M 0.6KNm 0.6 106 Nmm
D 2
T M
T M
XY平面上弯曲的外力及内力
M EZ
Fr L Fr 2a Fa 4 4 2
ZY平面上弯曲的外力及内力
B Z MY MEY
E
C
X
Ft
X
M EY Ft L Ft 2a Ft a 4 4 2
求E点合弯矩M
ME M
2 EZ
M
2 EY
Fr a 2 Ft a 2 ( ) ( ) 2 2
3）强度校核
求出圆轴的WZ
WZ
d3
32
Hale Waihona Puke 21205 .8m m3
由第三强度理论
M2 T2 （ 1.8 2 0.6 2 ） 10 6 89.5 MPa [ ] 120 MPa W 21205 .8
弯曲与扭转组合变形的强度计算_工程力学_[共6页]
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σ1
σ+ 2
σ 2
2
+τ
2
，，
σ2
=
0
σ3
=
σ 2
−
σ 2
2
+τ2
对于塑性材料，通常选第三或第四强度理论，强度条件分别为
σ r3 = σ 2 + 4τ 2 ≤≤[σ≤] , σ r4 σ 2 + 3τ 2 [σ ]
（10.6）
将式（a）代入式（10.6）并注意到 Wp=2Wz，得到圆杆弯扭组合变形以内力表示的强度条件
= σ eq3
M 2 + = MT2 Wz
7.62 + 62 × 106 =
50.5 MPa <= [σ ]
80 MPa
π × 1253
32
计算结果表明轴 OA 的强度是足够的。
162
− 1125 × 103 1003 / 6
=6.99 MPa < [σ ]
故梁是安全的。
10.2 弯曲与扭转组合变形的强度计算
弯曲与扭转组合变形在机械工程中是很常见的，例如皮带轮传动轴、齿轮轴、曲柄轴等轴
类构件，在传递扭矩的同时往往还发生弯曲变形。
如图 10-5（a）所示水平直角曲拐，AB 段为圆杆，受集中力 F 作用。将 F 向 AB 杆的 B 端
σr3
= 1 M 2 + M Wz
2 n
≤≤[σ
]
,
σr4
= 1 M 2 + 0.75 Wz
M
2 n
[σ ]
（10.7）
工程中除了弯扭组合的杆件外，还有拉（压）与扭转的组合，或者拉压、弯曲与扭转的组 合变形，运用相同的分析方法，仍可用式（10.6）进行强度计算。
组合变形简介
Fl Wz
(4)
1 Fa
Fa
r IP
r
IP
3
(3)
Fl Wz
4
【图3-38】
---------
P2 ；
。 【图3-26】
二、 拉（压）与弯曲的组合变形
1 拉（压）与弯曲组合变形：
作用在轴线上的P使梁受压----------------压缩变形； 力偶Pe使梁产生弯曲----------弯曲变形。
P
e
x
Pe P
【图3-37】
二、 拉（压）与弯曲的组合变形
1 拉（压）与弯曲组合变形：
种简单受力只产生一种基本变形；
利用叠加原理,把各种变形下产生的应力
进行叠加,求得组合变形时横截面上的应力。
最后
,选择适当的
强度理论,进行强度计算。
二、 拉（压）与弯曲的组合变形
1 拉（压）与弯曲组合变形：
P1
P P1使悬臂梁产生沿x方向的拉伸作用
---------
P2使悬臂梁产生绕对称面弯曲的作用
M
N
二、拉（压）与弯曲的组合变形
2 双弯曲：
y
Mz
My
x
z
Mz y My z
IZ
Iy
A
A max
max
Mz WZ
My Wy
C max C
中性轴
二、拉（压）与弯曲的组合变形
3 双弯曲与轴拉：
y
§3-5 组合变形简介
1、概念 2、拉（压）弯组合变形 3、弯扭组合变形
第八章组合变形构件的强度-
Fx F cos; Fy F sin 2.内力分析
FN Fx F cos FS Fy F sin M z Fy (l x) 上侧受拉
F sin(l x)
m
xm l
z
Fx
x
Fy
F
y
z
FS
FN x
y Mz
§8-2 弯曲与拉伸(或压缩)得组合
一、拉(压)与弯曲组合变形
第八章组合变形构件的强度
第八章 组合变形构件得强度
轴向拉(压)
F
内
FN
力
FN F
扭转
m
x
T
T m
F
应
T
力
FN (x)
A
max
(ρ) T ρ Ip
对称弯曲
FS
M
σ
τ FS
M
My
;
FS
S
z
Iz
bI z
§8-1 概述 一、组合变形
F2
F1
Me
F1 — 轴向拉伸 F2 — 弯曲变形 Me — 扭转变形
F2
2
F1
1
z
FN F1
A bh
x 3
My Wy
F1 b h b2
2 6
3F1 bh
4
l
l
y
Mz Wz
F1 h b h2
2 6
3F1 bh
1
F1 bh
3F1 bh
3F1 bh
F1 bh
3
2
F1 bh
3F1 bh
3F1 bh
7 F1 bh
4
F1 bh
3F1 bh
3F1 bh
材料力学组合变形的强度计算第3节 弯曲与扭转的组合变形
1）外力分析
=
+
2）内力分析，确定危险截面的位置 —— A+ 截面
M max Fl M T M B Fa
k、k 两点为危险点
M max
Wz
MT
WP
3）强度计算
危险点的应力是二向应力状态，轴类零件一般都采 用塑性材料——钢材，因此应选用第三或第四强度理 论建立强度条件，即：
r3
32
F
l2 πd 3
R2
[ ]
按第四强度理论得到强度条件为
r4 32 F
l 2 0.75 R2 πd 3
[ ]
例9-3 卷扬机结构尺寸如图所示，l = 0.8m，R =0.18m，AB轴径 d = 0.06m。已知电动机的功率 P = 22kW，轴AB的转速 n =150r/min，轴材料的许用
应力[ ] = 100MPa，试校核AB轴的强度。
解： 1）外力分析 — 计算电动机输入的力偶矩 M0
M0
9550
P n
9550 22 150
Nm
1.4
k
N m
卷扬机的最大起重量 G M0 1.4 kN 7.78 kN R 0.18
2）内力分析，确定危险截面的位置 —— C_截面
1 3
2
2
2
2
2 0
r3 2 4 2 [ ]
r4 2 3 2 [ ]
WZ
d3
32
，WP
弯曲与扭转的组合变形
eq4
齿轮轴安全
习题
8-12，8-14, 8-16 , 8-24
d3
32 1172 95.82
(22103)3
144MPa 180MPa
轴安全
例题：齿轮轴受力及尺寸如图示。已知伞齿轮的受为：
轴向力PX=16.5kN，径向力PY=0.414kN，切向力PZ=4.55kN；直齿 轮的受力为：径向力PYD=5.25kN，切向力PZD=14.49kN。轴的直 径d=40mm，材料的许用应力[σ]=300MPa。试用第四强度理论校 核轴的强度。
YB ZB
外力值的计算
M0
9550 PK n
955014.65 240
583 Nm
YA 4.39kN
t1
MD R1
583 30 102
1.79kN
t2
MC R2
583 20 103
2.69kN
ZA 6.33kN YB 1.71kN ZB 4.74kN
皮带轮自重G1=250N,皮带方向与Z轴平行；C轮为被动轮，皮带轮
自重G2=150N,半径R2=20cm,皮带方向与Z轴夹45度角。电动机的
功 率 PK=14.65 千 瓦 ， 轴 的 转 速 n=240 转 / 分 ， 轴 材 料 的 许 应 力
[σ]=80MPa 。 试用第三强度理论设计轴的直径d。
拉 伸 扭
B
D 圆轴扭转
转 与
弯
曲
的
B
D 平面弯曲
组
PYD
合 变
形
B PZD D
平面弯曲
PY PZ C Px A
FN kN
5-6圆轴弯曲与扭转组合变形的强度条件、5-7圆轴的疲劳失效
§5-6 圆轴弯曲与扭转组合变形的强度条件 课时计划：讲授4学时教学目标：1．理解圆轴弯曲与扭转组合变形的概念；2．掌握圆轴弯曲与扭转组合变形的强度条件。
教材分析:1．重点为圆轴弯曲与扭转组合变形的强度条件；2．难点为利用强度条件解决工程中的强度问题。
教学设计：本节课的主要内容是讲解圆轴弯曲与扭转组合变形的强度条件及其应用。
重点为圆轴弯曲与扭转组合变形的强度条件，并通过对教材例题的讲解，使学生在此过程中进一步理解，进而学会用其解决校核强度、设计截面和确定许用载荷三类常见工程中梁的强度问题。
第1学时教学内容：一、圆轴弯曲与扭转组合变形的概念如图由电机带动的轮轴，受电机转矩e M 和皮带拉力T F 、t F 的作用。
侧视图：将两带拉力平移到轮心，得力t T F F F +=和附加力偶矩R F M T T =，R F M t t =，合成t T F M M M -=。
这样，在皮带轮的圆轴上，作用有与轴线垂直的集中力t TF F F +=，和与轴线垂直的力偶F M ，且e F M M =。
力F 方向与轴垂直，使圆轴弯曲变形；电机转矩e M 和附加力偶F M 作用面都和轴线垂直，使圆扭转变形。
注意，轮轴匀速转动，一定有e F M M = 所以，圆轴存在弯曲与扭转组合变形。
运转中的机器轮轴，都存在弯曲与扭转组合变形。
二、圆轴弯曲与扭转组合变形的强度条件在既有弯矩M 又有扭矩T 的截面上，最大弯曲正应力max σ位于离中性轴最远的上下边缘点a 和b ，最大扭转切应力m ax τ也位于横截面边缘。
所以,在弯曲与扭转组合变形构件危险点上,既有正应力又有切应力,两种应力互相垂直,不能代数和叠加。
工程实际中的弯扭组合变形的圆轴，危险截面上有无穷多弯矩和扭矩的大小比值，危险点上也有无穷多正应力和切应力的比值，不可能用试验测定每一种比值之下材料强度实效的正应力和切应力，也就不能通过试验建立弯扭组合变形的强度条件。
材料的弯曲.扭转组合变形的强度计算
机械工业出版社A C E机械中的转轴，通常在弯曲与扭转组合变形下工作。
现以电机轴为例，说明这种组合变形的强度计算。
图示的电机轴，在外伸端装有带轮，工作时，电机给轴输入一定转矩，通过带轮的带传递给其他设备。
设带的紧边拉力为2F ，松边拉力为F ，不计带轮自重。
第二节弯曲与扭转组合变形的强度计算F2F机械工业出版社(1) 外力分析将电机轴的外伸部分简化为悬臂梁，把作用于带上的拉力向杆的轴线简化，得到一个力F'和一个力偶Me其值分别为F'=3FM e=2FD/2-FD/2=FD/2力F'使轴在垂直平面内发生弯曲，力偶Me使轴扭转，故轴上产生弯曲与扭转组合变形。
M elB x zyAF'(2) 内力分析轴的弯曲图和扭矩如图。
由图可知，固定端截面A 为危险截面，其上的弯矩和扭矩值分别为Mn M n图+_M图F'lM=F'l M n=M e=FD/2ACEF2F机械工业出版社(1) 外力分析F '=3F M e =FD /2M elB x zy AF '(2) 内力分析M =F 'l M n =FD /2(3)应力分析由于在危险截面上同时作用着弯矩和扭矩，故该截面上必然同时存在弯曲正应力和扭转切应力，其分布情况如图。
由应力分布图可见，C 、E 两点的正应力和切应力均分别达到了最大值。
因此，C 、E 两点为危险点，该两点的弯曲正应力和扭转切应力分别为CEMCEM nzW M =σnnW M =τ（a ）A C E F 2F机械工业出版社(1) 外力分析F '=3F M e =FD /2M elB xzy AF '(2) 内力分析M =F 'l M n =FD /2(3)应力分析CEMCEM nz W M =σnn W M =τ点C 、点E 上同时并存有正应力与切应力，这两种应力或因方向不同、或因破坏机理不同，它们是不能直接相加的。
材料力学§9-4扭转与弯曲的组合-南昌工程学院
2
4
2 x2来自 2
4
2
2
, 2 0
按第三强度理论作强度计算，相当应力为
r3 1 3 2
2
4 2
2
2 4 2
(a)
按第四强度理论作强度计算，相当应力为
r4
1 2
[(
1
2 )2
(
2
3)2
同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加。 例如，B截面上的弯矩MzB和 MyB（图f）按矢量相加所得 的总弯矩MB（图g）为：
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000 N m)2 1064 N m
由Mz 图和My 图可知，B 截
面上的总弯矩最大，并且由扭矩
第9章 组合变形
§9-4 扭转与弯曲的组合
主讲院校：南昌工程学院 主讲老师：章宝华 课程名称：材料力学
§9-4 扭转与弯曲的组合
以由塑性材料制造的曲拐为 例来说明这类组合变形时应 1力.内及力其分强析度的计算方法。
A面上内力最大，该截 面为危险截面，其内力
值分别为弯矩M＝Fl，扭 矩MT＝Fa。
该杆为直径为d 的圆截面杆。
r3
2
2
M WZ
4 2MWTZM
M 2 MT2 WZ
r4
2
2
M WZ
3
MT 2WZ
M 2 0.75M T 2 WZ
式中,M和MT分别为危险截面上的弯矩和扭矩，WZ为圆截面的弯曲截面系数。
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y
400
500
600
A
2t2
t1
C
D
x
B
z
t2
2t1
y
2t2
45 c z t2
G2
y
t1
Dz
G1
2t1
y
400
500
600
1.外力简化
A
2t2
t1
C
D
x
B
M0
9550
PK n
MC MD M0
z
3t2
t2
y
2t2
2t1
y
t1
t1
MD R1
t2
MC R2
pcy 3t2 cos 45 G2 PCZ 3t2 sin 45
PCZ 3t2 sin 45 5.7kN
PDy G1 0.25kN
PDz 3t1 5.37kN
y ZAA
FAY y
A y
MC
C
z PCY
PCZ
MC
C
z
MD
D
PDY
PDZ
MD
D
A
FAY y
C
z PCY
Z AA
C
z
PCZ
D
PDY
D
PDZ
Bx
YB Z B
2.内力计算
B x 圆轴
扭转 弯
B x Xy面的
x 45
t2
y
ZAA FAY
cz
MD
G2
MC
C
z PCY
PCZ
D M D G1
3t1 z 2t1
PDy G1 PDz 3t1
YA,
Z
A
,
YB
,
Z
可由
B
平衡方程求得。
MD
B 轴上的外力
D PDZ
PDY
可全部确定
YB Z B
y
ZA
A
FAY
MC
C
z PCY
PCZ
MD
D PDZ
PDY
Bx
YB ZB
外力值的计算
§8–4 弯曲与扭转的组合变形
•问题的特点：在横截面上既有正应力又有切应力。
•分析问题的方法：由于正应力和切应力不能直接 相叠加，因此，必须根据不同的材料，采用适当 的强度理论进行强度分析。
•分析问题的步骤：根据内力图，确定危险截面，在 危险截面上画出应力分布，确定最大（拉、压）应 力（即：危险点），采用强度理论进行强度校核。
eq4 2 3t 2
（C）
eq4
1 W
M 2 0.75T 2 （D）
（B）（D）式适用于 塑性材料的圆截面或空 心圆截面轴发生弯扭组 合变形的强度校核。
思考：如果危险截面是拉伸-弯曲-扭转组合变形， 应当怎么样校核强度？
y
PY
A
Px
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
PZ
Me
z
思考：曲拐受力如图，危险截面在哪里？应当 怎么样校核强度？
1 3
2
2 0
2
2
t
2
校核危险点的强度
对于脆性材料，由于拉大压小，应采用第一强度理论。
eq1 1
代入已求的主应力得：
eq1
2
2
2
t 2
T
校核危险点的强度 对于塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论。
按第三强度理论
eq3 1 3
代入已求的主应力得：
按第四强度理论
M0
9550 PK n
955014.65 240
583 Nm
YA 4.39kN
t1
MD R1
583 30 102
1.79kN
t2
MC R2
583 20 103
2.69kN
ZA 6.33kN YB 1.71kN ZB 4.74kN
pcy 3t2 cos 45 G2 5.85kN
一、拉（压）--扭转组合变形
A
z
y
B
P Me
校核AB杆的强度
x •内力分析：拉-扭组合变形
•画内力图
•找危险截面
N
任意截面
T
应力分析 找危险点
D1
t
D2 危险点应力状态分析
D1
N
A
t T
WT
原 始 单 元 体
在D1点截取原始单元体
D1
t
t D1
D1点是二向应力状态，根据主应 力公式求得主应力：
A截面危险！
？ 圆截面双向平面弯曲如何
处理弯矩的问题
My
最大拉应力σT
M
Mz z
最大压应力σC
中性轴 y
应力分析 找危险点
D1
t
D2 危险点应力状态分析
D1
M
W
t T
WT
原 始 单 元 体
在D1点截取原始单元体
D1
t
t D1
D1点是二向应力状态，根据主应 力公式求得主应力：
1 3
2
2 0
2
2
t
2
校核危险点的强度
对于塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论。
按第三强度理论
按第四强度理论
eq3 1 3
代入已求的主应力得：
eq4
1 2
1
2
2
2
3
2
3
1
2
代入已求的主应力得：
eq3 2 4t 2
eq4 2 3t 2
代入原始单元体应力元素，并注 意到圆截面WT=2W得：
x
3.设计直径
eq3
1 W
M 2 T2
1
d3
32
32 M 2 T 2
d 3
M 2 T 2
32
3.02 103
2
0.538 103
2
3
80 106
73.6 103 m 73.6mm
2t2
A
zC
D
t2
t1
d
2t1
取d 74mm
x
B
例题：图示齿轮轴，齿轮C，E的节圆直径D1= 50 mm，D2= 130 mm， PYC=3.83kN，PZC=1.393kN；PYE=1.473kN，PZE=0.536kN，轴的直径d = 22mm，材料为45号钢，许用应力[]= 180MPa。试用第三强度理论校核
eq3
1 W
M 2 T 2
代入原始单元体应力元素，并注 意到圆截面WT=2W得：
eq4
1 W
M 2 0.75T 2
研究结果的讨论 对于危险点应力状态的强度条件
eq3 2 4t 2
（A）
eq3
1 W
M2 T2
（B）
W
D1
tn
公式的使用条件
（A）（C）式适用于形 如D1点应力状态的强度 校核；
eq4
1 2
1
2
2
2
3
2
3
1
2
代入已求的主应力得：
eq3 2 4t 2
eq4 2 3t 2
试比较采用哪个强度理论偏于保守（安全）？
二、弯曲--扭转组合变形
问题
A
z
y
T
MZ
PYL MY
PZL
校核AB杆的强度
PY B PZ
x Me
Me
内力分析
找危险截面
xy平面：MZ max PY L xz平面：MY max PZ L
扭 组
合
YB
平面弯曲
变
形
Xz面的
B x 平面弯曲
ZB
y
ZAA FAY
MC
C
z PCY
PCZ
T kNm
M Z kNm 1.756
M Y kNm 2.532
MD
D PDZ
PDY
0.538
1.026 2.844
M kNm 3.08
3.02
Bx
YB
ZB
画内力图
x 找危险截面
C面危险！
x 危险截面内力
x T 0.538kNm M 3.08kNm
y q
2 ql 3
C
P
A
B
a
z
l
例题：皮带轮传动轴如图示。已知D轮为主动轮，半径R1=30cm, 皮带轮自重 G1=250N, 皮 带 方 向 与 Z 轴 平 行 ； C 轮 为 被 动 轮 ， 皮 带 轮 自 重 G2=150N, 半 径 R2=20cm,皮带方向与Z轴夹45度角。电动机的功率PK=14.65千瓦，轴的转速 n=240转/分，轴材料的许应力[σ]=80MPa 。 试用第三强度理论设计轴的直径 d。