第九届华罗庚杯数学竞赛初赛试题及解答
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在直接坐标系xOy中，直线的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．
【答案】解：(1)把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。
【答案】解：（Ⅰ）C:
（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得
因为
由题意知，
代入得
8.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
(Ⅰ)当时，求不等式的解集；
(Ⅱ)如果求的取值范围.
【答案】解：(Ⅰ)当时，
所以，原不等式的解集为
(Ⅱ)由题意知
9.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】（本题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》
在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）求点到曲线上的点的距离的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）由点M的极坐标为，得点M的直角坐标为(4，4)，
所以直线OM的直角坐标方程为．……………………………………（4分）
∴，的取值范围是．…………（1 0分）
7.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于两点。
（Ⅰ）写出曲线和直线的普通方程；（Ⅱ）若成等比数列,求的值．
【答案】解：（I），
，…………（2分）
，…………（3分）
即，．…………（5分）
（II）方法1：直线上的点向圆C引切线长是
，
…………（8分）
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是…………（10分）
方法2：，…………（8分）
圆心C到距离是，
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是…………（10分）
6.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
第九届华罗庚杯数学竞赛初赛试题及解答
1.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试文】不等式的解集是
A．（一∞，-2)U(7,+co) B．[－2，7]
C．D．[－7，2]
【答案】C
【解析】由得，即，所以，选C.
2.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考文】如右图，是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为，且,设，则．
因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，
所以点P在直线上，
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，
从而点Q到直线的距离为
由此得，当时，d取得最小值，且最小值为。
10.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】（本题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》
已知函数
(1)证明:
(2)求不等式:的解集
在正中，
又，，
≌，
，
即，
所以，，，四点共圆ห้องสมุดไป่ตู้…………………………………………………（5分）
（Ⅱ）解：如图5，取的中点，连结，
则
，
.
，，
为正三角形，
即
所以点是外接圆的圆心，且圆的半径为．
由于，，，四点共圆，即，，，四点共圆，其半径为．
………………………………………………………………………（10分）
12.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】
（Ⅱ）由曲线C的参数方程(为参数)，
化成普通方程为：，
圆心为A(1，0)，半径为．
由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为
．………………………………………………………………（10分）
13.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）原不等式等价于
或
解之得，
即不等式的解集为．………………………………………………（5分）
（Ⅱ），
，解此不等式得．……………………………………（10分）
已知函数f(x)=|x+1|+|x﹣2|﹣m
（I）当时，求f(x) >0的解集；
（II）若关于的不等式f(x)≥2的解集是，求的取值范围．
【答案】解：（I）由题设知：，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：
，或，或，
解得函数的定义域为；…………（5分）
（II）不等式f(x)≥2即，
∵时，恒有，
不等式解集是，
【答案】解：（1）
当所以
（2）由（1）可知，当的解集为空集；
当；
当
综上，不等式
11.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】
如图6，在正△中，点分别在边上，且，，相交于点．
（1）求证：四点共圆；
（2）若正△的边长为2，求所在圆的半径．
【答案】（Ⅰ）证明：
【答案】
【解析】设圆的半径为，因为，所以，即，所以, , ,由相交弦定理可得,所以，所以.
3.【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】已知函数.若不等式的解集为，则实数的值为.
【答案】
【解析】因为不等式的解集为，即是方程的两个根，即，所以，即，解得。
4.【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试】如右图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径．
【答案】4
【解析】因为根据已知条件可知，连接AC，，，根据切线定理可知, ,可以解得为4.
5.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为．
（1）求圆心C的直角坐标；
（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．
【答案】解：(1)把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。
【答案】解：（Ⅰ）C:
（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得
因为
由题意知，
代入得
8.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
(Ⅰ)当时，求不等式的解集；
(Ⅱ)如果求的取值范围.
【答案】解：(Ⅰ)当时，
所以，原不等式的解集为
(Ⅱ)由题意知
9.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】（本题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》
在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）求点到曲线上的点的距离的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）由点M的极坐标为，得点M的直角坐标为(4，4)，
所以直线OM的直角坐标方程为．……………………………………（4分）
∴，的取值范围是．…………（1 0分）
7.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于两点。
（Ⅰ）写出曲线和直线的普通方程；（Ⅱ）若成等比数列,求的值．
【答案】解：（I），
，…………（2分）
，…………（3分）
即，．…………（5分）
（II）方法1：直线上的点向圆C引切线长是
，
…………（8分）
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是…………（10分）
方法2：，…………（8分）
圆心C到距离是，
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是…………（10分）
6.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
第九届华罗庚杯数学竞赛初赛试题及解答
1.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试文】不等式的解集是
A．（一∞，-2)U(7,+co) B．[－2，7]
C．D．[－7，2]
【答案】C
【解析】由得，即，所以，选C.
2.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考文】如右图，是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为，且,设，则．
因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，
所以点P在直线上，
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，
从而点Q到直线的距离为
由此得，当时，d取得最小值，且最小值为。
10.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】（本题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》
已知函数
(1)证明:
(2)求不等式:的解集
在正中，
又，，
≌，
，
即，
所以，，，四点共圆ห้องสมุดไป่ตู้…………………………………………………（5分）
（Ⅱ）解：如图5，取的中点，连结，
则
，
.
，，
为正三角形，
即
所以点是外接圆的圆心，且圆的半径为．
由于，，，四点共圆，即，，，四点共圆，其半径为．
………………………………………………………………………（10分）
12.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】
（Ⅱ）由曲线C的参数方程(为参数)，
化成普通方程为：，
圆心为A(1，0)，半径为．
由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为
．………………………………………………………………（10分）
13.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）原不等式等价于
或
解之得，
即不等式的解集为．………………………………………………（5分）
（Ⅱ），
，解此不等式得．……………………………………（10分）
已知函数f(x)=|x+1|+|x﹣2|﹣m
（I）当时，求f(x) >0的解集；
（II）若关于的不等式f(x)≥2的解集是，求的取值范围．
【答案】解：（I）由题设知：，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：
，或，或，
解得函数的定义域为；…………（5分）
（II）不等式f(x)≥2即，
∵时，恒有，
不等式解集是，
【答案】解：（1）
当所以
（2）由（1）可知，当的解集为空集；
当；
当
综上，不等式
11.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】
如图6，在正△中，点分别在边上，且，，相交于点．
（1）求证：四点共圆；
（2）若正△的边长为2，求所在圆的半径．
【答案】（Ⅰ）证明：
【答案】
【解析】设圆的半径为，因为，所以，即，所以, , ,由相交弦定理可得,所以，所以.
3.【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】已知函数.若不等式的解集为，则实数的值为.
【答案】
【解析】因为不等式的解集为，即是方程的两个根，即，所以，即，解得。
4.【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试】如右图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径．
【答案】4
【解析】因为根据已知条件可知，连接AC，，，根据切线定理可知, ,可以解得为4.
5.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为．
（1）求圆心C的直角坐标；
（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．