三角函数(必修4第一章)过关检测题

三角函数（必修4第一章）过关检测题
时间：90分钟 满分：100分
一、选择题（每小题4分，共40分） 1．下列各角中与－30°角终边不相同的是( ) A ．330° B ．－750° C ．1 770° D ．－1 410° 2．若－π
2
＜α＜0，则点(tanα，cosα)位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．已知α∈(π2，3π2)，tan(α－3π)＝－34，则sin(π－α)＋sin(π
2＋α)的值为( )
A ．±15
B ．－15 C.15 D ．－7
5
4．sin(π＋α)＋cos(π2＋α)＝－m ，则cos(3π
2－α)＋2sin(6π－α)等于( )
A ．－2m 3
B ．－3m 2 C.2m 3 D.3m
2
5．将函数y ＝sin4x 的图象向左平移π
12个单位，得到y ＝sin(4x ＋φ)的图象，则φ等于( )
A ．－π12
B ．－π3 C.π3 D.π12
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ≤π
2)的图象与y ＝2直线相交的两个相邻
交点间的距离为π，且f(0)＝3，则( )
A ．ω＝12，φ＝π6
B ．ω＝12，φ＝π3
C ．ω＝2，φ＝π6
D ．ω＝2，φ＝π
3
7．已知函数f(x)＝sin(2π－2x)，则该函数的图象( ) A ．关于点(π4，0)对称 B ．关于点(π
2，0)对称
C ．关于直线x ＝3π
4
对称 D ．关于直线x ＝π对称
8．已知函数y ＝3sin2x 的值域为[3，3]，则下列范围可作为该函数定义域的为( ) A ．[0，5π12] B ．[π12，2π3] C ．[－π12，π12] D ．[π12，5π
12]
9．函数y ＝|tanx|·cosx(0≤x ＜32π且x ≠π
2
)的图象是( )
10．给定函数：①f(x)＝xcos(3π2＋x)，②g(x)＝1＋sin 2(π＋x)，③p(x)＝cos(cos(π
2＋x))中，
偶函数的个数是( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 二、填空题（每小题4分，共28分）
11．若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为
________．
12．设0≤θ＜2π，如果sinθ＜0且cos2θ＜0，则θ的取值范围是________．
13．已知tanα＝2，则sin 2α＋2sinαcosα＝________.
14．若α是第三象限角，则1－2sin (π－α)cos (π－α)＝________.
15．已知函数y ＝2sinωx(ω＞0)的图象与直线y ＋2＝0的相邻的两个公共点之间的距离为
2π
3
，则ω的值为________． 16．已知函数f(x)＝3sin(ωx －π
6)(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完
全相同，若x ∈[0，π
2
]，则f(x)的取值范围是________．
17．定义在R 上的函数f(x)：当sinx ≤cosx 时，f(x)＝cosx ；当sinx ＞cosx 时，f(x)＝sinx.给出以下结论： ①f(x)是周期函数； ②f(x)的最小值为－1；
③当且仅当x ＝2kπ(k ∈Z )时，f(x)取最大值； ④当且仅当2kπ－π
2
＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f(x)＞0；
⑤f(x)的图象上相邻最低点的距离是2π.
其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．
三、解答题（第18题10分，第19题10分，第20题12分，共32分） 18．已知0＜α＜π2，若cos α－sin α＝－5
5，求2cos αsin α－cos α＋11－tan α的值．
19．1＋tan (π＋α)1＋tan (2π－α)＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin (3π2＋α)·cos (π2＋α)＋2sin 2(α－π)的值．
20．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π
6
)
(1)求f (x )的单调减区间；
(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标．
答案详细解析
1、解析：∵330°＝360°－30°，－750°＝－2×360°－30°，1 770°＝5×360°－30°，－1 410°＝－4×360°＋30°. ∴与－30°角终边不相同的是－1 410°. 答案：D
2、解析：∵－π
2
＜α＜0，∴α为第四象限角，
∴tanα＜0，cosα＞0.
∴(tanα，cosα)是第二象限的点． 答案：B
3、解析：∵tan(α－3π)＝－tan(3π－α)＝－tan(π－α)＝tanα， ∴tanα＝－3
4
.
∵α∈(π2，3π2)，∴sinα＝35，cosα＝－45.
∴sin(π－α)＋sin(π2＋α)＝sinα＋co sα＝－15.
答案：B
4、解析：由已知得：－sinα－sinα＝－m ，∴sinα＝m
2，
所求式子＝－(sinα＋2sinα)＝－3sinα＝－3m
2.因此B 项对．
答案：B
5、解析：y ＝sin4x 的图象向左平移π12个单位后，得到y ＝sin4(x ＋π12)，即y ＝sin(4x ＋π
3)，
即φ＝π
3
.因此C 项对．
答案：C
6、解析：由已知f(x)的最小正周期为π，则2π
ω＝π，∴ω＝2，则f(x)＝2sin(2x ＋φ)．
又∵f(0)＝3，则f(0)＝2sinφ＝3，∴sinφ＝32
， ∵－π2≤φ≤π2，∴φ＝π3.
答案：D
7、解析：由已知f(x)＝－sin2x ，令2x ＝kπ，k ∈Z ，得x ＝kπ2，k ∈Z ，则对称中心为(kπ2，
0)，k ∈Z ，故B 项正确．令2x ＝kπ＋π2，k ∈Z ，x ＝kπ2＋π4，k ∈Z ，即对称轴为x ＝kπ2＋π
4，k
∈Z ，故C 、D 两项不正确．
答案：B
8、解析：由已知3≤3sin2x ≤3，∴1
2
≤sin2x ≤1.
∴2kπ＋π6≤2x ≤2kπ＋5π
6
，k ∈Z ，
∴kπ＋π12≤x ≤kπ＋5π
12，k ∈Z .从而D 项正确．
答案：D
9、解析：由已知y ＝|tanx|cosx(0≤x ＜3π2且x ≠π
2)可化为y ＝⎩⎨⎧
sinx (0≤x ＜π
2或π≤x ＜3π
2)
－sinx (π
2
＜x ＜π).
从而C 项正确．
答案：C
10、解析：①f(x)＝xsinx ，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx ，
∴f(x)为偶函数．②g(x)＝1＋sin 2x ，g(－x)＝1＋sin 2(－x)＝1＋sin 2x ＝g(x)，∴g(x)为偶函数．③p(x)＝cos[cos(π
2＋x)]＝cos(－sinx)＝cos(sinx)，p(－x)＝cos[sin(－x)]＝cos(－sinx)＝
cos(sinx)＝p(x)．∴p(x)为偶函数．
答案：A
11、解析：由题意得扇形的半径为1sin 1，由扇形面积公式S ＝12αr 2得S ＝12×2×1
sin 21＝
1
sin 21
. 答案：
1sin 21
12、解析：∵0≤θ＜2π，且sinθ＜0，∴π＜θ＜2π，由cos2θ＜0得2kπ＋π2＜2θ＜2kπ＋3π
2，
即kπ＋π4＜θ＜kπ＋3π
4
(k ∈Z )，
∵π＜θ＜2π，∴k ＝1，θ的取值范围是5π4＜θ＜7π4.
答案：(5π4，7π
4
)
13、解析：sin 2
α＋2sinαcosα＝sin 2α＋2sinαcosαsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tanα1＋tan 2α＝4＋41＋4＝8
5
.
答案：8
5
14、解析：1－2sin (π－α)cos (π－α)＝1＋2sinαcosα ＝sin 2α＋cos 2α＋2sinαcosα＝|sinα＋cosα|， 又α在第三象限，∴sinα＜0，cosα＜0， ∴|sinα＋cosα|＝－(sinα＋cosα)． 答案：－(sinα＋cosα)
15、解析：依题意可知：y ＝2sinωx(ω＞0)的图象与直线y ＋2＝0的相邻的两个公共点之间的距离即为y ＝2sinωx(ω＞0)的图象上两个最小值之间的距离，而y ＝2sinωx(ω＞0)的图象上两个最小值之间的距离为一个周期，由T ＝2πω＝2π3
ω＝3.
答案：3
16、解析：∵f(x)与g(x)的对称轴完全相同， ∴f(x)与g(x)的周期相同． 知ω＝2，
∴f(x)＝3sin(2x －π
6)，
当x ∈[0，π
2]时，
2x －π6∈[－π6，5
6π]，
sin(2x －π6)∈[－1
2，1]
f(x)的取值范围是[－3
2，3]．
答案：[－3
2
，3]
17、解析：f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
sinx ，sinx ＞cosx
cosx ，sinx ≤cosx ，
其图象如图所示：
观察图象可知f(x)是以2π为最小正周期的周期函数，故①正确；最小值为－2
2
，当x ＝2kπ＋π
2
时，f(x)也取最大值，故②③错误；观察图象知④⑤正确．
答案：①④⑤
18、解：将cos α－sin α＝－55两边平方，得1－2sin αcos α＝1
5
， 则sin αcos α＝2
5
.
∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×25＝9
5.
又0＜α＜π2，则sin α＋cos α＝35
5
.
解方程组⎩⎨
⎧
sin α＋cos α＝35
5cos α－sin α＝－5
5
，
得sin α＝255，cos α＝55，tan α＝sin α
cos α
＝2.
故2cos αsin α－cos α＋11－tan α＝2×25－55＋11－2
＝5－9
5.
19、解：由已知得1＋tan α
1－tan α＝3＋22，
∴tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝2
2
，
∴cos 2(π－α)＋sin (3π2＋α)cos (π
2
＋α)＋2sin 2(α－π)
＝cos 2α＋(－cos α)·(－sin α)＋2sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan α＋2tan 2α
1＋tan 2α
＝
1＋22＋11＋12
＝4＋2
3. 20、解：因为f (x )＝2sin(2x ＋π
6)．所以
(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π
2(k ∈Z )得，
k π＋π6≤x ≤k π＋2π
3
(k ∈Z )．
∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π
3
](k ∈Z )．
(2)由sin(2x ＋π6)＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2－π
12(k ∈Z )．
∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π
12，0)．。