第三章 外分是和活动标架

第三章 外微分是和活动标架

一 外微分形式 1 Grassmann 代数

（1） 主要概念

2n

维向量空间()v G ，外乘、Grassmann 代数

设V 是n 维向

量

空间，{}e e e n ,ΛΛ21是它

的一组基。

()V V V V n p V G ΛΛΛ⊕⊕⊕⊕=10其中

R ,R V V n ≈=0

⎭⎬⎫⎩⎨⎧∧∧∧=∑<<≤a i i i i i i p i p

p a p

e e e a V ΛΛΛ12111（2）主要性质和公式

命题 1 Grassmanm 代数满足反交换律。

V V q

p y ,x ∈∈则 ()x y y x pq

∧=∧-1

推论 设V y ,x 1∈ 则

0,=∧∧-=∧x x x y y x

命题

2 设

{}e e e n ,ΛΛ21是V 一维基

，

,,,21V y y y p ∈Λ,则

有()

∑===n

j j

ij i p i e a y 12,1ΛΛ

∑≤≤≤≤=∧∧∧n p i i pi pi i i p p

p

a a a a y y y ΛΛΛ

ΛΛΛΛ11112111p

i i i e e e ∧∧∧ (21)

推论 1 V 中

的一组向量y y y p

,Λ21是线性无关的必要和充分条件是：021≠∧∧∧y y y p

Λ.

推论

2 设{}

y y y n ,ΛΛ21是V 的另一组基，并

且()∑===n

j j

ij i n i e a y 1

,,2,1Λ ()0det ≠a ij

则有

()a y y y ij n det 21=∧∧∧Λe e e n

∧∧∧Λ21 2 外微分形式

（1） 主要概念

坐标域U 上

的-∞

C 函数环K 上的模V ，外微

分、外微分形式、P 次外形式（简称-p 形式）。

（2） 主要性质

与公式

设坐标域U

中点的坐标是()x x x n

Λ,,21，它们的微分是()x x x n d d d Λ,,21，

V 是以()

x x x n d ,d ,d Λ21基底的系数属于U 上的-∞C 函数

环K 的模，然后用做Grassmann 代数：

()V V V

n V G ⊕⊕⊕=Λ10,

其

中 ,,10V K V V ==

=V n

),...,,({21n

x x x a ∧∧21dx dx

K dx n ≈∧}...， ==p

p

V ω{ ),...,,(21...1...11n i i i i x x x a

p p ∑<<≤∧1i dx

}...2p

i i dx dx ∧∧。 定义 外微分V V p p :d 1+→为对于V p p

∈ω

=ωp

d ()∑≤<<≤∧∧n n i i i i i i p p

p x x x x a d d ΛΛΛΛ11

111,,

∑∑∂≤<<≤=∧∧∧⎪⎭⎫ ⎝⎛∂=n n i i i

i i i i i i p p p x x x x a d d d ΛΛΛ11111定义了外微分的Grassmann 代数()()d ,v G 称为U 上的外微分形式代数，它们的元素称为U 上的外微

分形式，其中V p

中的元素称为U 上

的p 次外形式，

-1形式又称Pfaff 形式。

tan Car 引理

给U 上的p 个线性无关Pfaff 的形式()n p f f n

≤≤11Λ，如果在U 上另有p 个Pfaff 形式g g g n

,,Λ21，使得 02221=∧++∧+∧g f g f g f n n Λ则存在U 上的-∞

C 函

数()p ,,,j ,i a ij Λ21=，使

得()

∑===p

j j ij

i p ,,,i f a g 121Λ其中a a ji

ij =. 推论 如果U 上存在两个-∞

C

函数f 和g ，满足0=∧g f ，则存在U 上另一个-∞

C 函数a 使得af g =

Poincare 引理 设 ∈ω()V G ，则()02

==ωωd d d 。

Stokes

公式

设G 是R n 中一个p 维

区域()n p ≤≤1，G

∂是G 的边缘，,V p 1-∈ω则下列公式成立： ⎰⎰∂=G G

d ωω （3） 例题

设U 是R 3中的一个区域，坐标是{}z ,y ,x ，K 是-∞C 函数环

(){}V ,z ,y ,x f 是以{}dz ,dy ,dx 为基，系数属于K 的模。 ,0

K V = ==V V 1

()dx z y x P ,,{

()dy z y x Q ,,+

()},,dz z y x RE +

=V 2

()dz dy z y x P ∧,,{

()dx dz z y x Q ∧+,,

}),,(dy dx z y x R ∧+

(){}dz dy dx z y x f V ∧∧=,,3

(){}K z y x f =≈,,

其中f ,R ,Q ,P 都是