工业系统工程回归分析

相关 分析
就是用一个指标来表明现象间相互 依存关系的密切程度
回归 分析
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就是根据相关关系的具体形态，选 择一个合适的数学模型，来近似地 表达变量间的平均变化关系。
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相关系数与判定系数
相关 系数
在直线相关的条件下，用以反映 两变量 间 线性相关 密切程度的指
标，用r表示
r S2xy
xxyy n
SxSy
x
2
x
n
y
2
y
n
nxyxy
nx2 x2 ny2 (y)2
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相关系数与判定系数
相关系数r的取值范围：-1≤r≤1
r>0 为正相关，r < 0 为负相关；
|r|=0 表示不存在线性关系；
|r|＝1 表示完全线性相关；
0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：
|r| < 0.4 为低度线性相关；
以样本统计量估计总体参数
样本一元线性回归方程：
工业系统工程回归分析
单/击/此/处/添/加/副/标/题/内/容
相关和回归分析
研究系统的相互联系、测定其联 系的紧密程度、揭示其变化的具 体形式和规律性的统计方法，是 构造各种系统模型、进行系统结 构分析、预测和控制的重要工具。
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【主要内容】
一、相关和回归分析的基本概念 二、一元线性回归分析 三、多元线性回归分析 四、非线性回归分析
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误差项的标准假定
假定１： 误差项的期望值为零: Ｅ（ut）＝０ 。
假定２：误差项的期望值为常数: Var(ut) ＝ 2 。
假定３： 误差项之间不存在序列相关,协方差为零:
Cov(utus)＝０ (ｔ≠ｓ) 。 假定４：自变量是给定变量，与误差项线性无关。
假定５：随机误差项服从正态分布。
满足以上标准假定的一元线性回归模型，称为标准的一元
线性回归模型。
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2、一元线性回归模型的估计
一元线性回归方程的几何意义
E (Y )
yˆ ˆ ˆ x
1
2
斜率
X 一元线性回归方程的可能形态
2为正
2为负
截距
2为0
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总体一元线性回归方程: Y ˆ E Y 12 X
函数关系
指现象间所具有的严格的确定性的依存 关系
相关关系
指客观现象间确实存在，但数量上不是 严格对应的依存关系
函数关系与相关关系之间并无严格的界限：有函数关系
的变量间，由于有测量误差及各种随机因素的干扰，可
表现为相关关系；对具有相关关系的变量有深刻了解之
后，相关关系有可能转化为或借助函数关系来描述。
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回归分析的种类
wk.baidu.com
按自变量的 个数分
按回归曲线 的形态分
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Simple Linear regression
一元回归
简单回归
多元回归 复回归
一 元 线
线性回归
性 回
非线性回归
归
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1、标准的一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Ｙt＝β1＋β2Ｘt＋ut u t是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的随机 变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Ｙ的影响。
当一个或一组变量每取一个值时，相应的另一 个变量可能有多个不同值与之对应 。
例、根据消费理论，商品需求量Q与商品 价格P、居民收入I之间具有相关关系：
QaP b1Ib2
相关关系，可用模型 yf(x1,x2, ,xn) 来表示。
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相关分析和回归分析
研究现象之间相关关系的两种基本方法：
直线相关关系.
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【例】计算工业总产值与能源消耗量之间的相关 系数及判定系数 资料
解结：论已知：n工业16,总产x 值91与6,能源y 消62耗5,量之间 存x在y 高37度887的, 正x相2 关55关08系6 ,，能y2 源 2消617耗5 量x r的 95.变2﹪化。能够n解x释y 工业x总y产值y变化的
0.4≤ |r| ＜0.7为显著性线性相关；
0.7≤|r| ＜1.0为高度显著性线性相关。
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相关系数与判定系数
判定 是相关系数的平方，用 r2 表示；用 系数 来衡量回归方程对y的解释程度。
判定系数取值范围： 0r2 1
r2 越接近于1，表明x与y之间的相关性越强； r2 越接近于0，表明两个变量之间几乎没有
(二)样本回归函数:
Yt ˆ1ˆ2Xet ｔ＝１，２，... n
ｅt称为残差，在概念上，ｅt与总体误差项ut相互对应；ｎ是
样本的容量。
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样本回归函数与总体回归函数区别
总体回归线是未知的，只有一条。样本回归线是根据样本数据拟合的， 每抽取一组样本，便可以拟合一条样本回归线。
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一、相关和回归分析的基本概念
比较下面两种现象间的依存关系
⒈ 出租汽车费用与行驶里程：
函数关系 确定性关系
总费用=行驶里程 每公里单价
2. 家庭收入与恩格尔系数：
相关关系 非确定性关系
家庭收入高，则恩格尔系数低。
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函数关系和相关关系
现象间的依存关系大致可以分成两种类型：
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函数关系
指变量之间存在着确定性依存关系。当一
个或一组变量每取一个值时，相应的另一个变 量必然有一个确定值与之对应 。
例 :圆面 S 积 r2
函数关系可以用一个确定的公式，即函数式
y f(x 1 ,x 2 , ,x n )
来表示。
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相关关系
指变量之间存在着非确定性依存关系。即
n x2 x2 n y2 ( y)2
16 37887 916 625
0.9757
16 55086 916 2 16 26175 625 2
r 29.11.2020 2 0.9757 2 0.9520
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二、一元线性回归分析
1、标准的一元线性回归模型 2、一元线性回归模型的估计 3、一元线性回归模型的检验 4、一元线性回归模型预测
总体回归函数中的β1和β2是未知的参数，表现为常数。而样本回归 函数中的 ˆ1和ˆ2t 是随机变量，其具体数值随所抽取的样本观测值不
同而变动。
总体回归函数中的ut是Ｙt与未知的总体回归线之间的纵向距离，它 是不可直接观测的。而样本回归函数中的ｅt是Ｙt与样本回归线之间 的纵向距离，当根据样本观测值拟合出样本回归线之后，可以计算出 ｅt的具体数值。