(完整版)离散系统的系统函数

第
4.系统函数的求解（重点）
4 页
1)由hk求Hz: hk Hz
2)由系统差分方程求H z
3)由系统框图求H z
hk
X
例1（自学） 已知离散系统的差分方程为：
y k 3 y k 1 2 y k 2 x k x k 1 ，激励
K2

K
1
H(z)
K1 e j z
z e j

K1 e j z
z e j
共轭单极点 hk 2 K1 k cos(k ) (k)
实数单极点
hk

A0δk

N

Aj
p
j
k

k
j 1
H极z点的性质，决定了 的hk特 性。其规律可能是指数
X
第
1．由零极点分布确定单位响应
7
页
M
bi zi
H
z

i0 N
ajzj
j0
M
z zi
k i1
N

z

pj

j 1
展成部分分式：（假设无重根）
zi : 零点 p j : 极点
1)H(z)为单极点Hபைடு நூலகம்z
N j0
Aj z z pj

A0

N Aj z j1 z p j
因为
hk Hz
所以
hk

Z 1 A0


N j 1
Aj z z pj

N
A0 k Aj
j 1
p j k k
X
第
2)H(z)为共轭单极点时:
8 页
H(z)
K1

K2
z z c jd z c jd
第 11
页
z域复变量域s域复变量关系：z esT
z re j
s j
re j ＝e( j)T eT e jT
r eT T
X
第
因果系统函数极点与h(t)，h(k)响应的关系
12 页
s平面
z平面
极点位置 h(t)特点 极点位置 h(k)特点
虚轴上
N
M
Y z a j z j X z bi zi
j0
i0
激励为因果序列
x 1 x 2 0
系统处于零状态
y 1 y 2 0
X
M
H
z


Yzs z X z

bi z i
i0
N
a jz j
j0
2．单位响应
注意:1）对于低阶系统根据系统函数的极点分布判断系 统的稳定较易实现,但对于高阶系统求特征根（极点）不 容易，可采用朱里准则（根据特征方程系数）判断.
2）对一般系统稳定判断原则是：
H(z)收敛域是否包含单位园，如包含则系统稳定
H(s)收敛域是否包含虚轴，如包含则系统稳定
X
z～s平面的映射关系（自学）
第 3
H只z与系统的差分方 页
程的系数、结构有关， 描述了系统的固有特 性。
(k)
h(k ) 系统
若xk δk，则Xz 1 Yzs z H zX z
hk Hz
3.系统的零状态响应
yzs k hk xk Yzsz Hz X z X
第 1 页
第五节 离散系统的系统函数
单位响应与系统函数 系统函数的零极点分布对系统特性的影响 稳定性和因果性
X
一．系统函数与单位响应
第 2
页
1.系统函数
线性时不变离散系统由线性常系 数差分方程描述，一般形式为
N
M
a j yk j bi xk i
j0
i0
上式两边取z变换得
xk 2k k, 求系统函数 Hz及零状态响应 yzs k。
解：
在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换
Y z 3z1Y z 2z2Y z X z 1 z1
则
Hz
Y z X z

1
1 z1 3z1 2z2
等幅
单位圆上 等幅
原点s=0
左半平面
收敛域含虚轴
右半平面
t 1
s
衰减(稳定)
增幅
z 1
单位圆内
收敛域含单位园
单位圆外
k z
z 1
减幅(稳定)
增幅
X
第
2．离散系统的稳定性
13
页
(1)定义：对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必 定是有界的。
(2)稳定性判据 判据1：（时域判断） 离散系统稳定的充要条件：单位序列响应绝对可和。
衰减、上升，或为减幅、增幅、等幅振荡。
系统函数的零点只影响h(k)的幅度和相位.
X
极点位置与h(k)形状的关系(因果序列）
第 9
j Im z
页
1
O
1
Re z
hk 2 K1 k cos(k ) (k)
pj
hk

A0δk
N

Aj p j
k kX
第
根据极点分布或收敛域判断系统的稳定性
10 页
对因果系统：
1.H(z)极点全部在单位园内,h(k)衰减,系统稳定 2.H(z)极点只要有一个在单位园外,或单位园上有二重
极点(包括z=±1),h(k)增幅,系统不稳定. 3.H(z) 在单位园上有单极点(包括z=±1), h(k)等幅或等 幅振荡,系统处于临界稳定.

hk
n
因果序列： 极点
收敛域
临界稳定的极 点
H(s)的极点全 H(z)的极点全部 部在左半平面 在单位圆内

hk
判据2：（z域判断）k 对于因果系统，其稳定的充要条件为：
H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单
位圆在内。 收敛域：z a, 。a 1
X
第
3.因果连续系统和离散系统稳定性的比较 14 页
连续系统
离散系统
系统稳定的充 要条件
ht d t

z
zz 1 1z 2

z
z
2
求系统的零状态响应
Y z H z X z z z z 2
z2 z2 z2
所以 yzs k k 1 2k k
X
第
二．系统函数的零极点分布对系统特性的影响6 页 因为hk H z，所以可以从H z的零极点分布情况， 确定单位响应hk 的特性 1.由零极点分布确定单位响应 2.离散系统的稳定性 3.系统的因果性