能量衡算方程式

能量衡算方程式
在图1-9所示的定态流动系统中，流体从截面1-1′流入，经粗细不同的管道，从截面2-2′流出。

管路上装有对流体作功的泵2及向流体输入或从流体取出热量的换热器1。

衡算范围：内壁面、1-1′与2-2′截面间。

衡算基准：1kg流体。

基准水平面：o-o′
设u1、u2分别为流体在截面1-1′与2-2′处的流速，m/s；p1、p2分别为流体在截面1-1′与2-2′处的压强，Pa。

1kg流体进、出系统时输入和输出的能量有下面各项：
（1）内能物质内部能量的总和称为内能。

1kg流体输入与输出的内能分别以U1和U2表示，其单位为J/kg。

（2）位能流体因受重力的作用，在不同的高度处具有不同的位能，相当于质量为m的流体自基准水平面升举到某高度Z所作功，即：
位能=mgZ
位能的单位是N·m或者J。

1kg流体输入与输出的位能分别为gZ1与gZ2，其单位为J/kg。

位能是个相对值，随所选的基准水平面位置而定，在基准水平面以上的位能为正值，以下的为负值。

（3）动能流体以一定的速度运动时，便具有一定的动能．质量为m，流速为u的流体所具有的动能为：
动能=mu2/2 动能的单位是N·m或J
1kg流体输入与输出的动能分别为u12/2与u22/2，其单位为J/kg。

（4）静压能(压强能) 静止流体内部任一处都有一定的静压强。

流动着的流体内部任何位置也都有一定的静压强。

如果在内部有液体流动的管壁上开孔，并与
一根垂直的玻璃管相接，液体便会在玻璃管内上升，上升的液柱高度便是运动着流体在该截面处的静压强的表现。

对于图1-9所示的流动系统，流体通过截面
1-1′时，由于该截面处流体具有一定的压力，这就需要对流体作相应的功，以克服这个压力，才能把流体推进系统里去。

于是通过截面1-1′，的流体必定要带着与所需的功相当的能量进入系统，流体所具有的这种能量称为静压能或流动功。

设质量为m、体积为Vl的流体通过截面1-1′，把该流体推进此截面所需的作用力为p1A1，而流体通过此截面所走的距离为V1/A1，则流体带入系统的静压能为：
对1kg流体，则：
同理，1kg流体离开系统时输出的静压能为p2v2，其单位为J/kg。

图1-9所示的定态流动系统中，流体只能从截面1-1′流入，面从截面2-2′流出，因此上述输入与输出系统的四项能量，实际上就是流体在截面1-1′及2-2′上所具有的各种能量，其中位能、动能及静压能又称为机械能，三者之和称为总机械能或总能量。

此外，在图1-9中的管路上还安装有换热器和泵，则进，出该系统的能量还有： (1)热设换热器向1kg流体供应的或从1kg流体取出的热量为Qc，其单位为J/kg。

若换热器对所衡算的流体加热，则Qc为从外界向系统输入的能量，若换热器对所衡算的流体冷却，则Qc为系统向外界输出的能量。

(2)外功(净功) 1kg流体通过泵(或其他输送设备)所获得的能量，称为外功或净功，有时还称为有效功，以Wc表示，其单位为J/kg。

根据能量守恒定律，连续定态流动系统的能量衡算是以输入的总能量等于输出的总能量，为依据的，于是便可列出1ks流体为墓准的能量衡算式，即：
（1-17）
令
式1-17又可写成：
（1-17a）
式1-17与1-17a是定态流动过程的总能量衡算式，也是流动系统中热力学第一定律的
表达式。

方程式中所包括的能量项目较多，可根据具体情况进行简化。

二、流动系统的机械能衡算式与柏努力（Bernoulli）方程式
（一）流动系统的机械能衡算式
在流体输送过程中，主要考虑各种形式机械能的转换。

为便于使用式1-17或1-17a，可把ΔU和Qc从式中消去，从而得到适用于计算流体输送系统的机械能变化关系式。

因图1-9中的换热器按加热器来考虑，则根据热力学第一定律知：
（1-18）
实际上，Qc′应当由两部分所组成：一部分是流体与环境所交换的热，即图1-9中换热器所提供的热量Qc；另一部分是由于流体在截面1-1′与2-2′间流动时，为克服流动阻力而消耗的一部分机械能，这部分机械能转变成热，致使流体的温度略微升高，而不能直接用于流体的输送，从实用上说，这部分机械能是损失掉了，因此常称为能量损失，设1kg流体在系统中流动，因克服流动阻力而损失的能量为Σhf，其单位为J/kg,所以
则式1-18可写成
（1-18a）
将式1-18a代入式1-17a，得：
（1-19）
因为
把上式代入式1-19中，可得：
（1-20）
式1-20是表示1kg流体流动时的机械能的变化关系，称为流体定态流动肘的机械能衡算式，对可压缩流体与不可压缩流体匀可适用。

由于一般输送过程中的流体，在多数情况下都可按不可压缩流体来考虑。

因此，后面着重讨论这个公式应用于不可压缩流体时的情况。

（二）柏努力方程式
不可压缩流体的比容v或密度ρ为常数，故式l-20中的积分项变为：
于是式1-20可改写成：
（1-21）
或
（1-21a）
若流体流动时不产生流动阻力，则流体的能量损失Σhf=0，这种流体称为理想流体。

实际上并不存在真正的理想流体，而是一种设想，但这种设想对解决工程实际问题具有重要意义。

对于理想流体，又没有外功加入，即Σhf=0及Wc=0时，式1-21a便可简化为：
（1-22）
式1-22称为柏努利方程式，式1-21及1-2la是柏努利方程式的引伸，习惯上也称为柏努利方程式。

柏努利方程式有两种推导方法，除了上述通过能量衡算推导外，有时还以理论解析法为主，并通过实验加以验证，其具体步骤为：
（1）在流动的理想流体中取一微元立方体，并分析其受力情况。

（2）以牛顿第二运动定律为依据，建立理想流体运动微分方程式。

（3）在特定条件下，对理想流体运动微分方程进行积分，得出理想流体沿流线稳态流动的柏努利方程式，但此式不能直接用于工程实际计算中。

（4）根据流管的概念，将沿流线定态流动的柏努利方程式演变为沿管道定态流动的柏努利方程式。

三、柏努力方程式的讨论
（1）式1-22表示理想流体在管道内作定态流动，而又没有外功加入时，在任一截面上单位质量流体所具有的位能，动能、静压能之和为一常数，称为总机械能，以E表示，其单位为J/kg。

常数意味着1kg理想流体在各截面上所具有的总机械能相等，而每一种形式的机械能不一定相等，但各种形式的机械能可以相互转换。

例如，某种理想流体在水平管道中稳态流动，若在莱处管道的截面积缩小时，则流速增加，因总机械能为常数，静压能就要相应降低，即一部分静压能转变为动能，反之，当另一处管道的截面积增大时，流速减小，动能减小，则静压能增加。

因此，式1-22也表示了理想流体流动过程中各种形式的机械能相互转换的数量关系。

（2）式1-2la中各项单位为J／kc，表示单位质量流体所具有的能量。

应注意gZ、u2/2、p/ρ与Wc、Σhf的区别。

前三项是指在某截面上流体本身所具有的能量，而后两项是指流体在两截面之间所获得和所消耗的能量。

（3）对于可压缩流体的流动，若所取系统两截面间的绝对压强变化小于原来绝对压强的20%时，仍可用式1-21和1-22进行计算，但此时式中的流体密度ρ
应以两截面间流体的平均密度ρm来代替。

这种处理方法所导致的误差，在工程计算上是允许的。

对于非定态流功系统的任一瞬间，柏努利方程式仍成立。

（4）如果系统里的流体是静止的，则u=o，没有运动，自然投有阻力，即Σhf=0；由于流体保持静止状态，也就不会有外功加入，即Wc=0，于是式1-21a变成：
上式与流体静力学基本方程式无异。

由此可见，柏努利方程式除表示流体的流动规律外，还表示了流体静止状态的规律，而流体的静止状态只不过是流动状态的一种特殊形式。

（5）如果流体的衡算基准不同，式1-21a可写成不同形式。

①以单位重量流体为衡算基准。

将式1-21a各项除以g，则得：
令
则
（1-21b）
上式各项单位为m。

表示单位重量的流体所具有的能量。

各项单位还可简化为m，m虽是一个长度单位，但在这里却反映了一定物理童义，它麦示单位重量流体所具有的机械能，可以把它自身从基准水平面升举的高度。

②以单位体积流体为衡算基准。

将式1-21a各项乘以流体密度ρ，则
（1-21c）
上式各项单位为Pa，表示单位体积流体所具有的能量，简化后即为压强的单位。

采用不同衡算基准的柏努力方程式1-21b与1-21c，对后的“流体输送设备”
章的计算很重要。

热量衡算
当物料经物理或化学变化时，如果其动能、位能或对外界所作之功，对于总能量的变化影响甚小可以忽略时，能量守恒定律可以简化为热量衡算。

它是建立过程数学模型的一个重要手段，是化工计算的重要组成部分。

进行热量衡算，可以确定为达到一定的物理或化学变化须向设备传入或从设备传出的热量；根据热量衡算可确定加热剂或冷却剂的用量以及设备的换热面积，或可建立起进入和离开设备的物料的热状态（包括温度、压力、组成和相态）之间的关系，对于复杂过程，热量衡算往往须与物料衡算联立求解。

为进行热量衡算，首先必须根据需要划定一个衡算的空间范围，称为控制体。

控制体可以是整个生产过程、生产过程的某一部分、单元操作、反应过程、设备的某一部分或设备的微分单元。

根据能量守恒定律，在忽略动能、位能和对外作功的条件下，出入控制体的热量之间存在如下关系：
物料带入控制体的热量＋控制体内产生的热量＝物料带出控制体的热量＋控制体内热量的积累＋由控制体边界传出的热量
对于连续定态过程，控制体内没有热量的积累。

如果在控制体内不发生化学反应，又没有采用电加热等热源，则控制体内产生的热量为零，此时热量衡算式可简化为：
物料带入控量的积累－物料带出控制体的热量＝由控制体边界传出的热量
对于间歇过程,采用热量J作为计算单位；对于连续过程，则采用热流量J/s。

物质具有的热能,是对照某一基准状态来计量的,相当于物质从基准状态加热到所处状态需要的热量。

当物质发生相态变化时,须计入相变时的潜热,如汽化热（或冷凝热）、熔融热(或凝固热)等。

不同液体混合时，须计入由于浓度变化而产生的混合热(或溶解热)。

工程上常用热力学参数焓表示单位质量物质所具有的热量。

单位质量物料状态变化所需的热量，等于两种状态下焓值的差。

热量衡算的步骤，与物料衡算大致相同。

当物料经物理或化学变化时，如果其动能、位能或对外界所作之功，对于总能量的变化影响甚小可以忽略时，能量守恒定律可以简化为热量衡算。

它是建立过程数学模型的一个重要手段，是化工计算的重要组成部分。

进行热量衡算，可以确定为达到一定的物理或化学变化须向设备传入或从设备传出的热量；根据热量衡算可确定加热剂或冷却剂的用量以及设备的换热面积，或可建立起进入和离开设备的物料的热状态（包括温度、压力、组成和相态）之间的关系，对于复杂过程，热量衡算往往须与物料衡算联立求解。

物质具有的热能,是对照某一基准状态来计量的,相当于物质从基准状态加热到所处状态需要的热量。

当物质发生相态变化时,须计入相变时的潜热,如汽化热（或冷凝热）、熔融热(或凝固热)等。

不同液体混合时，须计入由于浓度变化而产生的混合热(或溶解热)。

工程上常用热力学参数焓表示单位质量物质所具有的热量。

单位质量物料状态变化所需的热量，等于两种状态下焓值的差。

热量衡算的步骤，与物料衡算大致相同。