第08讲 分式方程及其应用(解析版)

第8讲 分式方程及其应用

1．分式方程定义

分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程解法

分式方程转化为整式方程，解方程，求出解，代入最简公分母进行检验，得出分式方程的解． 3．分式方程的增根 使最简公分母为0的根．

注意：分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根． 4．分式方程的实际应用

(1)分式方程的实际应用常见类型及关系： ①工程问题： 工作效率＝

工作量工作时间；工作时间＝工作量

工作效率

；

②销售问题：售价＝标价×折扣； ③行程问题：时间＝路程

速度

.

(2)解分式方程的实际应用问题的一般步骤： ①审：审清题意；

②设：设出适当的未知数(直接设未知数或者间接设未知数)； ③找：找出各量之间的等量关系； ④列：根据等量关系，列出分式方程； ⑤解：解这个分式方程；

⑥验：检验所求的解是否是原分式方程的解，是否满足题意； ⑦答：写出答案．

审清题意是前提，找等量关系是关键，列出方程是重点．

考点1：分式方程的解法

【例题1】解方程：23x －1－1＝3

6x －2

.

【解答】解：方法一：去分母，得4－2(3x －1)＝3. 解得x ＝1

2

.

检验：当x ＝1

2时，2(3x －1)≠0，

∴x ＝1

2

是原分式方程的解．

方法二：设3x －1＝y 则原方程可化为2y －1＝3

2y ，

去分母，得4－2y ＝3. 解得y ＝1

2

.

∴3x －1＝12.解得x ＝1

2.

检验：当x ＝1

2时，6x －2≠0，

∴x ＝1

2是原分式方程的解．

方法三：移项，得23x －1－3

6x －2＝1.

通分，得1

6x －2

＝1.

由分式的性质，得6x －2＝1. 解得x ＝1

2

.

检验：当x ＝1

2时，6x －2≠0，

∴x ＝1

2

是原分式方程的解．

归纳：把分式方程转化为整式方程，再按照解整式方程的步骤解题，不同的是解分式方程需要验根． 考点2：分式方程的应用

【例题2(2018·吉林)如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．

解分式方程：甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度． 冰冰：400x ＝600x ＋20

庆庆：600y －400

y

＝20

根据以上信息，解答下列问题．

(1)冰冰同学所列方程中的x 表示甲队每天修路的长度； 庆庆同学所列方程中的y 表示甲队修路400米所用时间； (2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．

【解析】：(2)冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间＝乙队修路600米所用时间； 庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度－甲队每天修路的长度＝20米(选择一个即可)． (3)选冰冰的方程：400x ＝600

x ＋20，解得x ＝40.

经检验，x ＝40是原方程的根． 答：甲队每天修路的长度为40米． 选庆庆的方程：600y －400

y ＝20，解得y ＝10.

经检验，y ＝10是原方程的根． ∴400

y

＝40. 答：甲队每天修路的长度为40米．

归纳：列方程解实际问题时，必须验根，既要检查所求解是否为分式方程的增根，又要检查看是否满足应用题的实际意义．

考点3：分式方程与其它问题的综合应用

【例题3】（2019•山东潍坊•10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．

（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．）

【分析】（1）由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为10（1﹣20%）＝12万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为（x+1）元，可列出方程：

120000100000

-=1000

1

x x+

，求得x即可

（2）根据总利润＝（售价﹣成本）×数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值．

【解答】解：（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元，今年的批发销售总额为10（1﹣20%）＝12万元

∴120000100000

-=1000

1

x x+

整理得x2﹣19x﹣120＝0

解得x＝24或x＝﹣5（不合题意，舍去）

故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．（2）设每千克的平均售价为m元，依题意

由（1）知平均批发价为24元，则有

w＝（m﹣24）（41

3

m

-

×180+300）＝﹣60m2+4200m﹣66240

整理得w＝﹣60（m﹣35）2+7260

∵a＝﹣60＜0

∴抛物线开口向下

∴当m＝35元时，w取最大值

即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元

归纳：最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

一、选择题：

1. （2019，山东淄博，4分）解分式方程11

=

22

x

x x

-

--

﹣2时，去分母变形正确的是（）

A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2）B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2）C．﹣1+x＝1+2（2﹣x）D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）【答案】D

【解答】解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），

故选：D．