非平稳高斯序列最大值的几乎处处中心极限定理

非平稳高斯序列最大值的几乎处处 中心极限定理
胡爱平 伍度 志 ， ， 彭作祥 刘瑞华 汪益川 ， ，
（． １重庆理工大学 数 学与统计学院， 重庆 ４ ０５ ；． 勤工程学院 基础部 ， ０ ０４２ 后 重庆 ４ １１ ； ０３ １ ３ 西南大 学 数 学与 统计 学 院 ， ． 重庆 ４０ １ ；． 勤 工程 学院 科 研部 ， 庆 ４ １１ ） ０ ７５４ 后 重 ０３ １
ｆｒ ｙ ｂ ｕ ｄ ｄ Ｔ ｅｅ ｏｅ，ｈ ｌ ｓ ｓ ｒ ｅ ｔａ ｌ ｔ ｔ ｅ ｒ ｍ ｒ ｔ ｅ ｍａ ｉ ｆ ｎ ｎ ｓ ｔ ｎ ｒ ｕ ｓａ ｅ ｕ ｎ ｅ ｉ ｄ ｒ ｅ ｏ ｍｌ ｏ ｎ ｅ ． ｈ ｒ ｆ ｒ ｔｅ ａ ｍｏ ｔ ｕ ｅ ｃ ｎｒ ｉ ｈ ｏ ｅ ｆ ｈ ｘ ｍａ ｏ ｏ —ｔ ｉ ａ ｙ Ｇａ ｓ ｉｎ ｓ ｑ ｅ ｃ ｓ ｅｉ ｄ． ｌ ｍｉ ｏ ａｏ ｖ ｗｈ ｃ ｅ ｅ ａｉｅ ｈ ｅ ｕ ｔｐ ｅ ｅ ｔ ｄ ｂ ｕ ｅ ｂ ａａ ｎ ｈ ｇ ａ ｚ ｎ ｉｈ ｇ ｎ ｒ ｌ ｓｔ ｅ ｒ ｓ ｌ ｒ ｓ ｎ ｅ ｙ Ｋｈ ｒ ｌ ａ ｔｒＧｏ ｃ ｉ ｄ ｎ ａ ． ｚ Ｋｅ ｗｏ ｄ ａｍｏ ｔｓ ｒ ｅ ｔ ｌ ｉ ｔｔ ｅ ｒ ｍ ； ｇ ｒ ｈ ｃ ａ ｅａ ｅ； ｏ —ｔｔ ｎ ｒ ｕ ｓ ｎ ｓ ｑ ｅ ｃ ｙ ｒ ｓ ｌ ｓ ｕ ｅ ｃ ｎ ｒ ｍｉ ｈ ｏ ｅ ｌ ａ ｉ ｍｉ ｖ ｒｇ ｎ ｎ ｓ ｉ ａ ｙ Ｇａ ｓ ｉ ｅ ｕ ｎ ｅ ａｌ ｏ ｔ ａｏ ａ
２ Ｄ ｐ ． ｆＦ ｕ ｄ ｔ ｎ Ｓｕ ｉｓ Ｌ ． ｅ ｔ ｏ ｏ ｎ ａｉ ｔ ｄ ｅ ， ＥＵ， ｈ ｎ ｑ ｎ ０ ３ ， ｈ ｎ ３ Ｓ ｈ ｏ ｆＭａ ｈ ｍａｉｓ ａ ｄ Ｆ ｎ ｎ ｅ ｏ Ｃ ｏ ｇ ｉｇ ４ １ １ Ｃ ｉ ａ； ． ｃ ｏ ｌｏ ｔ ｅ ｔ ｎ ｉ ａ ｃ ， １ ｃ
（ －
…
唧一 ） （ 南 ＋
）
，
当 一 ∞时 ， 由文献 ［３ ， 一 （ １ ］ １ ）～
ｅｐ（ ｎ ｘ 一 ａ ）～ Ｄ（ ）
， 又 （ 一 （ ） １ ｕ） 一致 有界 易得 ： Ｄ（ｑ ｇ ） ／ ｎ， ￣ （） １
～
从而有
≤６
ｅｐ 一 ｘ（
稳 的情 形 收稿 日期 ： １ — ２ ２ ２ １ ０ —８ ０
基金项 目 ： 重庆市教育委 员 会科学技术研究资助项 目 Ｋ １ ８８ （ Ｊ０ １） ０
作者简 介 ： 胡爱平， ｚ － ， 女， Ｌ 讲师， ￣－ － 主要从事概率论与数理统计研究。
——— —— 竺０ —— ——— 期
ｎ 一
¨ ，
＋１ ６ －
＋
， ，
式 中 ， ， 为 常数 。 由于 一
＜０ 故 ｎ ∞时 ， ， １ （。 （ ， 一 ≤ ｎ － １ｇ ） １ ８ ）： 。 （。 ｌｇ ） （ １ｇ。ｎ
，
） ５． ／
。
１ ｉ ，一≥ ｃ ≤Ⅱ， ｉ ｔ ≤ ＜ ａ
数 列使 得 ｎ １一 （ ） 一 致有 界 ， 当 — ｏ时 ： （ ） 则 。
ｆ ＜ Ｒ ＝Ｄ １ ｕ 某 ＝ １ Ｋ （ ） 为
，
ｈ ｘ（ ｐ－
证明 取 常数 满 足 ０＜ ＜１ － ８
，
）
由于
（１ ｌ ｎ ）。 （ｇｇ ｏ０ ”）
唧一 ） （ ＝
ＨＵ ． ｉ ｇ Ｗ Ｕ ｈ ， Ａｉｐ ｎ ， Ｄｕ ｚ ｉ ＰＥＮＧ ｏ ｘ ａ ｇ ＬＩ Ｒｕ — ｕ ， ＡＮＧ ． ｈ ａ Ｚｕ ． ｉｎ ， Ｕ ｉｈ ａ Ｗ Ｙｉｃ ｕ ｎ
（ ． ｃｏ ｌ ｆ ｔｅ ｔ ｓａ ｄＳａ ｓｃ ， ｈ ｎ ｑｎ ｎｖｒ ｔ ｏ ｅｈ ｏｏｙ Ｃ ｏ ｇ ｉ ０ ０ ４ Ｃ ｉａ １ Ｓｈ ｏ ｏ ｈｍａ ｃ ｎ ｔ ｉｉｓＣ ｏｇ ｉｇＵ ｉ ｓ ｙ ｆ ｃｎ ｌ ， ｈ ｎｑｎ ４ ０ ５ ， ｈｎ ； Ｍａ ｉ ｔｔ ｅ ｉ Ｔ ｇ ｇ
ｔｅｅｅｉｓａｃｎｔｎ ０＜Ｏ＜１ ｆ ｏｉｖ ｔ ｅ ｒｅｅｏｇ ， ｃ ａ ａ ｉ ｊ ＞ｎ ， ｌ Ｉ Ｉ １ ｌ Ｉ一 Ｉ ｈｒ ｘ ｔ ｏｓ ｔ ｓ ａ ／ ， ｒ ｓｉ ｉ ｅ ｒ ｌ ｇ ｎｕｈ ｓ ｈｔ ｔ ｓＩ－ ｌ ｒ ｏ —ｉ（ｏ ｏ ｉ ） ｏ ｐ ｔｅ ｎ ｇ ｎ ａ ｕ ｈ ｇ ｇｇ ｉｕｉ ｓ ｎ—
Ｓ ｕ ｗ ｓ Ｕ ｉ ｒ ｔ， ｈ ｎ ｑｎ ０ ７ ５ Ｃ ｉａ ４ Ｄ ｐ．ｆ ｃ ｎｅ＆ Ｒ ｓａ ｈ Ｌ Ｕ， ｈ ｎ ｑ ｇ４ １ １ ， ｈｎ ） ｏ ｔ ｅｔ ｎｖ ｓ ｙ Ｃ ｏ ｇ ｉｇ ０ １ ， ｈｎ ；． ｅｔｏ Ｓｉ ｃ ｈ ｅｉ ４ ｅ ｅｅｒ ，Ｅ Ｃ ｏ ｇ ｉ ０ ３ １ Ｃ ｉａ ｃ ｎ
，
≤ ｎ， ｉ ＝ ＥＸ ｒ ｊ
＝ 酗 ， ，＝
，
（ ）和 （ 分 别表 示正 态分 布 函数 和密度 函数 ， ｊ 示性 函数 记 Ｒ ） 为 ＝ｒｌｇ — ｌ Ｉ（ｏ ｌｇ ｏ １ｇ。
，
Ｉ 一ｉ ） 。 Ｉ
１ 引理及 其 证 明
引理 设 ｛ ｎｎ ｝ Ｘ ， ≥ 为上述非平稳标准化高斯序列 ， 若满足 ｕ ｓｐ
去
ｌｇ ０
） １ｇｏ （ｏ ｌｇ
唧 ）料 ｐ南 ） ｚ ｅ ≤ （ ≤ Ｘ 一
ｌ ｎ 【ｌ ｏｇ 一 ｏｇ ｎ ’ 。 ｌ ｏ ）
１
１
…
１
由式 （ ） 引理 条件 ， １及 上式 不超 过
丽１ Ｅ ｅ ）｛・ ） ｘ ｅ （ ｝ ｐ ｏ ｚ 差 Ｘ ｐ
［ ］Ｃ Ｅ Ｇ等在文献［ ］ ３ ，Ｈ Ｎ ４ 中分别证明了独立随机变量最大值的几乎处处 中心极限定理 。之后 ， 许多文献 ［ —１ ］ ５ １ 在各种不同条件下给 出了相应随机序列 的几乎处处 中心极限定理 。其 中， Ｈ Ｒ Ｌ Ａ Ｔ Ｒ在 Ｋ Ｕ ＥＢ ＡＡ 文献［２ 中研究了平稳高斯序列最大值 的几乎处处中心极限定理 ， １］ 本文则将文献 ［２ 的结论推广到非平 １］
ｉ 量 ｅ一）嚎．（ｌ ｘ ｕｘ ２ （ｇ（ ｐ ｐ ０１ｇ （ ｅ ０ ｏ
ｎｊ
１
｝ ≤
Ｋ － 去 志 耋ｐ芋 ［ ＿ ： （ｅ＿） ｆ ｘ ２ｅ １ （ ） 后勤 Nhomakorabea工
程
学
院
学
报
・
ｅ
。 。
’ ｝≤
Ｋ 一 ２ 一
ｌｎ ｏ＇ ｇ￣
；
・ ・ ｘ ｌｇｏｎ ） ） Ｍ ｅｐ ０（ ｏｌｇ ¨ ｝≤
ｎ ｅ ／ （ｇｇ ‘ｘ １ｌｎ ｐ ｏｏ
… ｐ Ｄ （ ｇ ｇ￣ ） ｛ （ １ ｌ ｎ） ０ ｏ ¨ ｌ
式 中 ， ， 为 常数 ， Ｋ， 引理 得证 。
（ ｇ ｇ ） ） （ ｌ ｎ ¨ ， ｏ
引理 ２ ｛ ｎ≥ １ Ｘ， ｝为 非 平 稳 标 准 化 高斯 序 列 ， 为某 数 列 使 得 几 １一 （ ｎ ）一 致 有 界 ， ｕ （ Ｕ） 若
Ａｂ ｔａ ｔ Ｔ ｅ ａｍｏ ｔｓ ｒ ｅ ｔａ ｌ ｔｔ ｅ ｒｍ ｏ ｈ ｘｍａ ｏ ｏ —ｔ ｔ ｎ ｒ ｕ ｓ ｎ ｓ ｑ ｅ ｃ ｓ ｓ ｄｅ ｎ ｅ ａ ｓ ｒ ｃ ｈ ｌ ｓ ｕ ｅ ｃ ｎｒ ｌ ｉ ｈ ｏ ｅ ｆ ｒ ｔｅ ｍａ ｉ ｆｎ ｎ ｓａｉ ａｙ Ｇａ ｓ ｉ ｅ ｕ ｎ ｅ ｉ ｔ ｉｄ ｕ ｄ ｒ ｗｅ ｋ ｍｉ ｏ ａ ｕ
对 于 随机变 量最 大值 的几乎 处处 中心极 限定 理 （ Ｓ Ｌ ） Ａ Ｃ Ｔ 的研 究 ， 在近 二 十年来 已成为 概率 统计 领域 的一个 热 点研究 问题 。文 献 ［ １—２ 分 别 研 究 了独立 同分 布 随 机 变量 的相 关 结 论 ，Ｆ ＨＲ Ｅ 等 在 文献 ］ Ａ ＮＲ
）≤６ ＂ ｅｐ 一ｒ ）＝ ｎ＋ ｘ （ ａ ］ ｎ
２
Ｕ
ｎ
ｅｐ 一 Ｘ （
唧 ｃ 一
，：
Ｋｎ （） （ ｘ－ ） （） ≤ ， ｎ（ ）（ —（￣）（ ）－ ｎ一 １ （ ）） ｎ｝ ） ≤ ， ｅ ｐ 雨６ Ｉ ｎ 一 ｎ——— （ 一 焉
ｓ ｐＩ Ｉ＜ １ 则对 ＜ｎ有 ： ｕ ， 一 Ⅱ
眠≤ ｋ ｕ一（ ｕ ≤ ≤ ｕ ， ｎ Ｐ （ ｕ 圭 ，ｎ ） ≤ Ｍ＜ ￣
Ａ
，
ｌ ｘ（ ｐ＿ ｅ
Ａ
一
） 。
ｉ ｊ ｋ ＝ｌ ＋ ＝
证 明 引入标 准正 态 随机变量 序 列 ｛ １≤ ≤ ｎ ， 足 （ ， ， ）与 （ ｝满 … Ａ
关 键词 几 乎 处处 中心极 限定理 ； 对数 平 均 ； 平稳 高斯序 列 非 文献 标 志码 ： Ａ 中图分 类号 ： ２ １４ ０ １ ．
Ａｌ ｓ ｕｒ ｎ ｒ ｌＬ ｍｉ ｈｅ ｒ ｍ ｏ ｈ ａ ｉ ａ ｏ ｎ ｓａ ｉｎ ｒ ｕ ｓａ ｅ ｕ ｎ ｅ ｍｏ ｔＳ ｅ Ｃｅ ｔａ ｉ ｔＴ ｏ ｅ ｆｒｔ ｅ Ｍ ｘｍ ｆＮｏ —ｔ ｔ ａ ｙ Ｇａ ｓ ｉｎ Ｓ ｑ ｅ ｃ ｏ
…
，
）同分 布 ，Ｘ 小 （ｋ
，
Ｘ ）与 （ 小 ｎ Ａ
…
）同分 布 ， （ 且
一，ｋ （ 小 Ｘ ）与 Ａ
Ａ
… ，
）独 立 ， 由正 态 比较 引理 即可 得 。 则
摘 要 在 较 弱的条 件 下 ， 究 了一 类非 平稳 高 斯序 列 的 几 乎 处 处 中心 极 限 定理 。 研
设 ｛ 凡 ｝ Ｘ ，≥１ 为一非 平稳 高斯 序 列 ， 其 协 方 差 为 ｒ 记 ＝Ｃ ｙ置 ， ） ｏ（ 。假 设 该 序 列 满足 如 下条件 ： 充分 大 的 ｎ 若存在 ０＜Ｏ＜１当ｌ－ ｌ 时 ， ｇ 一ｉ（ｏｌｇ —ｉ） 一 致 对 ， ｔ ｊ ＞ｎ ｉ ｒ Ｉ １ｇ Ｉ ｏｌ ｌ 有界 。在这 一条件 下 ， 通过 利 用概 率极 限理 论 ， 到 了该 非平稳 高斯序 列 最 大值 的 几乎 处 得 处 中心极 限定理 。该 结论 将 Ｋ Ｕ Ｅ Ｂ Ａ Ａ Ｈ Ｒ Ｌ Ａ Ｔ Ｒ关 于平稳 高斯序 列 最 大值 的 几乎 处处 中心 极 限定理推 广到 非 平稳 的情形 。
—
—
—
—
—
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—
—
—
胡 平 平 高序 最值 几 处 中极 定 爱 等 非稳 斯 列 大 的乎 处 心 限理
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 一
。
８ ３
，
设｛ ， ≥ 瓦 ｝ 为一非平稳 高斯序列 ，Ｘ ＝ＯＤ Ｅ ，Ｘ ＝１ ｌ ≤
第２ ７卷 第 ３期 ２１ ０ １年 ５月
后
勤
工
程
学
院
学
报
Ｖｏ． ７ １２ Ｎｏ． ３ Ｍ ． ０１ ｄ ２ １ ｖ
Ｊ ＲＮＡＬ ＯＦ Ｌ Ｉ Ｔ Ｃ ＧＩ ＥＲ ＮＧ ＯＵ ＯＧ Ｓ Ｉ ＡＬ ＥＮ ＮＥ Ｉ ＵＮＩ ＥＲＳ Ｔ Ｖ ＩＹ
文 章 编 号 ：６ ２— ８ ３ ２ １ ）３— ０ ２— ５ １７ ７ ４ （０ １ ０ ０ ８ ０
ｑ ａ ｆａｉ ． ｅ｛ ｎ ｝ｂ ｅｕ ｎｅｏ ｎｎｓ ｔ ｎｒ ａｓｉ ｅｕｎｅ ｗｔ ｏａｉ ｃ ＝Ｃ ｙ ， ） ａｄｓｐｏｅ ｕ ｉｃｔ ｎ Ｌ ｔＸ ， ≥１ ｅａｓｑ ｅｃ ｆ ｏ — ａｏａｙＧ ｕｓ ｎｓｑｅｃ ， ｉ ｅｖｒ ｎｅｒ ｌｉ ｏ ｔｉ ａ ｈ ａ ｏ （ ， ，ｎ ｕ ｐｓ