1980年高考数学全国卷(理科)及其参考答案

1980年高考数学全国卷（理科）及其参考答案

一．（本题满分6分）

将多项式x 5y-9xy 5分别在下列范围内分解因式： 1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围解：1.x 5y-9xy 5=xy(x 2+3y 2)(x 2-3y 2). 2.x 5y-9xy 5=xy(x 2+3y 2)(x+3y)(x-3y).

3.x 5y-9xy 5=xy(x+3yi)(x-3yi)(x+3y)(x-3y). 二．（本题满6分）

半径为1、2、3的三个圆两两外切证明：以这三个圆的圆心为顶

点的三角形是直角三角形

证：设⊙O 1⊙O 2⊙O 3的半径为1、2、3因这三个圆两两外切，故有

O 1O 2=1+2=3， O 2O 3=2+3=5，O 1O 3=1+3=4， 则有O 1O 22 + O 1O 32=32+42=52= O 2O 32

根据勾股定理的逆定理，

△O 1O 2O 3为直角三角形

三．（本题满分10分）

用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点

证：取△ABC 最长一边BC 所在的直线为X 轴，经过A 的高线为Y 轴，设A 、B 、C 的坐标分别为A （0，a ）、B （b ，0）、C （c ，0），根据所选坐标系，如图，有a >0,b<0,c>0

12 1 2

AB 的方程为1=+

a y

b x ，其斜率为a b - AC 的方程为1=+

a y c

x

，其斜率为c

a - 高线CE 的方程为(1) )(c x a b

y -=

高线BD 的方程为(2) )(b x a

c

y -=

解（1）、（2），得：（b-c)x=0

∵b-c ≠0∴x=0

即高线CE 、BD 的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO 上

因此，三条高线交于一点

四．（本题满分10分） 证明对数换底公式：)1,1,(log log log ``≠≠=b a N b a b

N

N a a b 都是正数 解：见课本

五．（本题满分10分）

直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）直线PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面N （如图）证

明：平面N 必与平面M 相交，且交线垂直于AB

证：用反证法假如平面N 与平面M 平行，则PA 也垂直于N ，因此PA

与PB 重合，B 点与A 点重合，但这与题设矛盾，

所以平面N 与平面M 相交

设平面N 与平面M 的交线为L

∵PA ⊥平面M ，∴PA ⊥L

又∵PB ⊥平面N ，∴PB ⊥L

∴L ⊥平面PAB ，∴L ⊥AB

六．（本题满分12分） 设三角函数),3

5k sin(

)x (f π

+π=其中k ≠0 1．写出f(x)极大值M 、极小值m 与最小正周期;

2．试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M 与一个值是m

解：1.M=1，m=-1，.1025k

k T π

π=⨯=

2.f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m 而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f(x)

至少有一个值是M 与一个值是m ， 必须且只须使f(x)的周期≤1即：

.4.3110,110 =≥≤ππ

k k

可见，k=32就是这样的最小正整数

七．（本题满分14分）

CD 为直角三角形ABC 中斜边AB 上的高，已知△ACD 、△CBD 、 △ABC 的面积成等比数列，求∠B （用反三角函数表示）

解：设CD=h ，AB=c ，BD=x ， 则 AD=c-x

因此，△ACD 的面积为)(2

1

x c h -，

△CBD 的面积为hx 21

，

A D B

△ABC 的面积为hc 2

1， 依题意，

222111()(),222

(),0,hx h c x hc x c c x x cx c x =-⋅=-+-==即即

∵取负号不合题意，∴取正号，得.2

1

5c x -= 又依直角三角形的性质，有

AC 2=AD ·AB=c(c-x). 但 x 2=c(c-x)∴AC 2=x 2 ∴AC=x=DB=

.2

1

5c - 在直角三角形ABC 中，2

1521

5sin -=-==c c

AB

AC

B

故 .2

1

5arcsin

-=∠B 八．（本题满分14分）

已知0＜α＜π，证明：;2

sin 2α

αctg ≤并讨论α为何值时等号成立

解：即证：.sin cos 12sin 2α

α

α+≤

两端乘以sin α，问题化为证明2sin αsin2α≤1+cos α. 而 2sin αsin2α=4sin αcos 2α=4(1-cos 2α)cos α

=4(1-cos α)(1+cos α)cos α

所以问题又化为证明不等式 (1+cos α)[4(1-cos α)cos α-1]≤0

（1+cos α)⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--2

21cos 4α≤0

∴不等式得证

∵0＜α＜π,∴等号成立当且仅当cos α-2

1

=0 即α=600 九．（本题满分18分）

抛物线的方程是y 2=2x ，有一个半径为1的圆，圆心在x 轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直

（注：设P （x 0,y 0)是抛物线y 2=2px 上一点，则抛物线在P 点处的切

线斜率是

y P

） 解：设圆的方程为（x-k)2+y 2=1

再设圆与抛物线的一个交点为P （x 0,y 0) 在P 点圆半径的斜率=

k

x y -00. 在P 点抛物线的切线斜率=

1y

在P 点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P 点相切

(1) .1000k

x y y -=∴

因P （x 0 ,y 0)是圆与抛物线的交点， ∴y 02=2x 0 , (2) (x 0-k)2+y 02=1. (3)

由（1）、（2）式消去y 0 ,得x 0=-k,

Y