高二数学解析几何解答题专项训练(含解析)

高二数学解析几何解答题专项训练
1、已知抛物线27y x =-上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，
则AB 等于（ ）
A. 5
B.
C. 6
D.
2、已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的一条直线交椭圆于
P Q 、两点，若12PF F ∆的周长为4+，且长轴长与短轴长之比为。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）若12F P F Q PQ +=，求直线PQ 的方程.
3、抛物线C ：22y x =，过点()2,0的直线l 交C 与,A B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆。

（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程。

4、已知双曲线22
:143
x y C -=，其右顶点为P .
（1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；
（2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线
l 的距离均为d ，求d 的值.
5、已知曲线Γ：22
143
x y +=，直线l 经过点(),0P m 与Γ相交于A 、B 两点。

（1）若(
0,C 且2PC =，求证：P 必为Γ的焦点； （2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值；
（3）设O 为坐标原点，若m =l 的一个法向量为()1,n k =，求∆AOB 面积的
最大值。

6、在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，C 、D 两点的坐标为(1,0),(1,0)C D -,曲线E 上
的动点P 满足PC PD +=E 上的点A 、B 满足OA OB ⊥。

（1）求曲线E 的方程； （2）若点A 在第一象限，且OA OB =
，求点A 的坐标； （3）求证：原点到直线AB 的距离为定值
7、双曲线2
2
21y x b
-=（0b >）的左右焦点分别为F F 12,，直线l 过2F 且与双曲线交于A B ,；
（1）若l 的倾斜角为
2
π
，1F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率．
8、已知曲线Γ：22
143
x y +=，直线l 经过点(),0P m 与Γ相交于A 、B 两点.
（1
）若(0,C 且2PC =，求证：P 必为Γ的焦点；
（2）设0m >，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值；
（3）设O 为坐标原点，
若m =直线l 的一个法向量为()1,n k =，求∆AOB 面积最大值.
9、已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点3
(1,)2，它的一个焦点与抛物线2:4y x E =的焦
点重合， 斜率为k 的直线l 交抛物线E 于A B 、两点，交椭圆Γ于C D 、两点． （1）求椭圆Γ的方程；
（2）直线l 经过点()1,0F ，设点(1,)P k -，且PAB △
的面积为k 的值； （3）若直线l 过点()0,1M -，设直线OC ，OD 的斜率分别为12,k k ，且
12
121
,,k k k 成等差数列，求直线l 的方程.
10、椭圆Γ：22
154x y +=的中心为O ，
一方向向量为(1,)d k =的直线l 与Γ只有一个公共点M （1）若1k =且点M 在第二象限，求点M 的坐标；
（2）若经过O 的直线1l 与l 垂直，求证：点M 到直线1l 的距离2d ≤； （3）若点N 、P 在椭圆上，记直线ON 的斜率为1k ，且d 为直线OP 的一个法向量，且
14
5
k k = 求2
2
ON OP +的值.
答案与解析
1、B
2、（1
）由条件可知：224a c +=+
:a b =，∵2
2
2
a b c =+，解得22
184
x y +=
（2）设直线2PF 的方程为：()()11222,,,,x ty P x y Q x y =+；
因为1212F P F Q FO OP F O OQ OP OQ +=+++=+， 所以OP OQ PQ +=，所以OP OQ ⊥，所以12120x x y y +=
()22
22124408
42
x y t y ty x ty ⎧+
=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩
，12122244,22t y y y y t t --+==++ ()()2412121212121x x y y t y y t y y ++=+++
，解得：21,22
t t ==±
所以直线
PQ
0y ±-=。

3、（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+
由222x my y x =+⎧⎨=⎩可得y my --=2240，y y =-124，又()y y x x =2
1212=44；
因此OA 斜率与OB 斜率之积为
1212-4
==-14
y y x x ，即OA ⊥OB ，故坐标原点O 在圆M 上。

（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m +
故圆心M 的坐标为()2
+2
，m m ，圆M 的半径r =
由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++=
由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得m =1或m =-12
当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆M 的方程为()()22
3110x y -+-=；
当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆M 的方程为22
9185++4216x y ⎛
⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

4、（1）由题意，(2,0)P
，渐近线方程：y x =
20y ±=
则半径7
r d ==
=
，所以圆方程为：()2
21227x y -+=
（2）若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离均为d ，则其中一点必定是与直线
:2l y x =-平行的直线与双曲线其中一支的切点
设直线'l 与双曲线C 相切，并且与直线l 平行，则':l y x b =+，即有
22
3412
y x b x y =+⎧⎨-=⎩，得到22
81240x bx b +++=226416(3)0b b ∆=-+=，1b =±， 又d 是l 与'l
之间的距离，所以2d =
=
或者2d == 5、（1
）2PC ==，解得1m =±，所以()1,0P ±
，由于1c ==，
故Γ的焦点为()1,0±，所以P 在Γ的焦点上。

（2）设(),D x y ，22
314x y ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭， ()222221234PD x m y x mx m =-+=-++（22x -≤≤）
对称轴4x m =0>，所以当2x =-时，PD 取到最大值3，
故2449m m ++=，即2450m m +-=，解得5m =-或1m =，0m >，所以1m =
（3）l
:0x ky -=
，220
14
3x ky x y ⎧-=⎪
⎨+=⎪⎩，消去x 得，(
)223430k y +--=；
其中0∆>恒成立，设()11,A x y ，()22,B x y
，则y y k 12234+=
+y y k 1223
34
⋅=-
+
121
2
AOB
S y y ∆=-
=
= 设132
+=k u ，令24231
92416k t k k +=++ ，则211969126
u t u u u u
==≤++++ 当且仅当3u
=时，等号成立，即k =
时，面积的最大值为6=。

6、（1）由2CD =
，2PC PD +=>知，曲线E 是以C 、D
为焦点，长轴
设其方程为22221x y a b +=
，则有1a c ==，∴曲线E 的方程为22
132
x y +
=；
（2）设直线OA 的方程为(0)y kx k =>，则直线OB 的方程为1(0)y x k k
=->
22236x y y kx ⎧+=⎨=⎩
得222236x k x +=，解得212
623x k =+，同理，2
222623k x k =+；
由OA =知22
43OA OB =，即2
22
226164(1)3(1)2323k k k k k +⋅=+⋅++ 解得26k =，因点A
在第一象限，故k =A
的坐标为；
（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当直线AB 平行于坐标轴时，由OA OB ⊥知A 、B 两点之一为
y x =±与椭圆的交点，
由22
236
x y y x ⎧+=⎨=±⎩
解得5x y ⎧
=±⎪⎪⎨
⎪
=±⎪⎩
此时原点到直线AB
的距离为5
d =
当直线AB 不平行于坐标轴时，设直线AB 的方程x my b =+，
由22236x y x my b
⎧+=⎨=+⎩ 得
222
(23)4260m y bmy b +++-= 由12120x x y y +=得1212()()0my b my b y y +++=即22
1212(1)()0
m y y mb y y b ++++=
因 2121222426,2323bm b y y y y m m -+=-=++，代入得
22222
22264(1)02323
b b m m b m m -+-+=++ 即2
2
56(1)b m =+，原点到直线AB
的距离d ==
=。

因为1F AB ∆是等边三角形，所以2A
c y =，即244(1)3b b +=，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为y =．
（2）由已知，1(2,0)F -，2(2,0)F ．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:(2)l y k x =-．显
然0k ≠．由2
213
(2)y x y k x ⎧-
=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(3)4430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且236(1)0k ∆=+>．
设AB 的中点为(,)M M M x y ．由11()0F A F B AB +⋅=即10F M AB ⋅=，知1F M AB ⊥，
而2
122
223M x x k x k +==-，26(2)3M M k y k x k =-=-，12323F M k k k =-， 所以11F M k k ⋅=-，即
2
3
123k k k ⋅=--，得2
35k =，故
l 的斜率为±． 8、（1）
2PC ==，解得1m =±，所以点()1,0P ±，
由于1c ==，故Γ的焦点为()1,0±，所以P 在Γ的焦点上.
（2）设(),D x y ，则22
314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，()22
2221234PD x m y x mx m =-+=-++（22x -≤≤）
对称轴4x m =0>，所以当2x =-时，PD 取到最大值3，
故2449m m ++=，即2450m m +-=，解得5m =-
或1m =；因为0m >，所以1m
=.
（3）l :0x ky =,220
143x ky x y ⎧-=⎪
⎨+
=⎪⎩
，()22
3430k y +--=其中0∆>恒成立。

12
1
2
AOB
S
y y ∆=-=
=设2
31u k =+，令242
31
92416
k t k k +=++ ，则211
969126
u t u u u u
==
≤++++
当且仅当3u =时，
max 1
12t =，面积的最大值为6=.
9、（1）设椭圆的方程为()22
2210x y a b a b +=>>，由题设得222
219141
a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，
2243
a b ⎧=∴⎨=⎩，∴椭圆Γ的方程是22
143x y +=
（2）设直线:(1)l y k x =-，由2
(1),
4,
y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++= l 与抛物线E 有两个交点，0k ≠，216(1)0k ∆=+>，
则22
4(1)k AB k +== (1,)P k -到l
的距离d =
又PAB
S =△
2214(1)2k k +∴⋅=
k = （3）设直线:1l y kx =-，由221,
1,4
3y kx x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩消去y 得()2243880k x kx +--=，
()0,1M -在椭圆内部，l ∴与椭圆恒有两个交点,设()()1122,,,C x y D x y ，
则1221228,438.
43k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，由12121,,k k k 成等差数列得121221*********x x x y x y k k k y y y y +=+=+=
122112122211212(1)(1)2()(1)(1)()1x kx x kx kx x x x kx kx k x x k x x -+--+=
=---++2222
168248843123
k k k
k k k k --==--++-，
即2k =±
，∴直线l
的方程为12
y x =±-．
10、（1）设直线l ：y x m =+，根据题意可得：
2
2
15
4y x m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()22910540x bx m ++-=……① ()()2
21049540b b ∆=-⨯⨯-=，解得29m =，因为M 在第二象限，故3m =，
代入①得2930250x x ++=，解得53x =-，进而43y =，故54,33M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭.
（2）根据题意可得，直线1l ：0x ky +=
设直线l ：y kx m =+（0m ≠），则2215
4y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩
消去y 得()()2224510540k x kmx m +++-=
()()()2
2210204540km k m ∆=-+⋅-=，解得22540k m -+=，即2254m k =+
且2554km x k -=
+，2454m y k =+，故2254,5454km
m M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
点M 到直线1l
的距离d =
=
=
当0k =时，0d =； 当0k ≠时，
d
=
2≤
，当且仅当k =. 综上①②可得，点
M 到直线1l 距离2d ≤. （3）根据条件可得直线OP 的斜率21k k =-
，由于145k k =，则直线ON 的斜率的14
5
k k = 于是直线ON 的方程为45y kx =，由22
15445x y y kx
⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，可得22
2554x k =+ 设点11(,)P x y ，则22
2
2221
1
12
16251612554k OP x y k x k +⎛
⎫=+=+= ⎪+⎝
⎭， 同理2
ON ()222
222
20154k x y k +=+=
+；
22
OP ON +=22251654k k +++
()2
2
20154k k ++2
24536954k k +==+。