高中三年级总复习直线与圆的方程知识点总结与典型例题

直线与圆的方程

一、直线的方程 1、倾斜角：

，范围0≤α＜π，

x l //轴或与x 轴重合时，α=00

。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0⇔κ=0

已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜

02

>⇔k π

P 2（x 2,y 2） α=

κπ

⇔2

不存在

⇒k=

1

212x x y y -- 022<⇔<<κππ

当1x =2x 时，α=900

，κ不存在。当0≥κ时，α=arctank ，κ＜0时，α=π+arctank 3、截距（略）曲线过原点⇔横纵截距都为0。

几种特殊位置的直线 ①x 轴：y=0 ②y 轴：x=0

③平行于x 轴：y=b

④平行于y 轴：x=a ⑤过原点：y=kx

两个重要结论：①平面内任何一条直线的方程都是关于x 、y 的二元一次方程。

②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。

5、直线系：（1）共点直线系方程：p 0（x 0,y 0）为定值，k 为参数y-y 0=k （x-x 0） 特别：y=kx+b ，表示过（0、b ）的直线系（不含y 轴） （2）平行直线系：①y=kx+b ，k 为定值，b 为参数。 ②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系 ③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C 垂直的直线系

（3）过L 1,L 2交点的直线系A 1x+B 1y+C 1+入（A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含L2） 6、三点共线的判定：①

AC BC AB =+，②K AB =K BC ，

③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。

二、两直线的位置关系

（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、L 1 到L 2的角为0，则1

21

21tan k k k k •+-=

θ（121-≠k k ）

3、夹角：1

21

21tan k k k k +-=

θ

4、点到直线距离：2

2

00B

A c By Ax d +++=

（已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0）

①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0⇒2

221B A c c d +-=

②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C

±022

=+B A d

③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是

02

2

1=++

+C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --'

一般方法：

如图：(思路1)设P 点关于L 的对称点为P 0(x 0,y 0) 则 Kpp 0﹡K L =－1

P, P 0中点满足L 方

程

解出P 0(x 0,y 0)

（思路2）写出过P ⊥L 的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出

P 0(x 0,y 0)的坐标。 P

（3）直线关于点对称

L ：AX+BY+C=0关于点P （X 0、Y 0）的对称直线l '：A （2X 0-X ）+B （2Y 0-Y ）+C=0 （4）直线关于直线对称

①几种特殊位置的对称：已知曲线f(x 、y)=0

关于x 轴对称曲线是f(x 、-y)=0 关于y=x 对称曲线是f(y 、x)=0 关于y 轴对称曲线是f(-x 、y)=0 关于y= -x 对称曲线是f(-y 、-x)=0 关于原点对称曲线是f(-x 、-y)=0 关于x=a 对称曲线是f(2a-x 、y)=0

关于y=b 对称曲线是f(x 、2b-y)=0

一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。 三、简单的线性规划

不等式表示的区域 AX+BY+C=0

约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。 要点：①作图必须准确（建议稍画大一点）。②线性约束条件必须考虑完整。

③先找可行域再找最优解。 四、圆的方程

1、圆的方程：①标准方程 ()2

2

)(r b y a x =-+-，c （a 、b ）为圆心，r 为半径。

②一般方程：02

2=++++F EY DX y x ，

⎪⎭

⎫

⎝⎛--2,2E D C ，2

422F

E D r -+=

当042

2

=-+F E D 时，表示一个点。

当042

2<-+F E D 时，不表示任何图形。 ③参数方程： θcos r a x +=

θsin r b y += θ为参数

以A （X 1，Y 1），B （X 2，Y 2）为直径的两端点的圆的方程是 （X-X 1）（X-X 2）+（Y-Y 1）（Y-Y 2）=0

2、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d ，然后与r 比较大小。

3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离

判定：①联立方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程：△＞0⇔相交、△＝0⇔相切、△＜0⇔相离

②利用圆心c (a 、b)到直线AX+BY+C=0的距离d 来确定： d ＜r ⇔相交、d ＝r ⇔相切d ＞r ⇔相离

（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的kt △） 4、圆的切线：（1）过圆上一点的切线方程

与圆2

2

2

r y x =+相切于点（x 1、y 1）的切线方程是2

11r y y x x =+ 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-相切于点（x 1、y 1）的切成方程 为：2

11))(())((r b y b y a x a x =--+--

与圆02

2

=++++F EY DX y x 相切于点（x 1、y 1）的切线是

0)2

()2(

1

111=++++++F y y E x x D y y x x （2）过圆外一点切线方程的求法：已知：p 0(x 0，y 0)是圆

222)()(r b y a x =-+- 外一点

2

2121)()(r b y a x =-+-

①设切点是p 1(x 1、y 1)解方程组

2

21010))(())((r b y b y a x a x =--+--

先求出p 1的坐标，再写切线的方程

②设切线是)(00x x k y y -=-即000=+--y kx y kx 再由

r k y kx b ka =++--1

2

0，求出k ，再写出方程。

（当k 值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于x 轴的切线）

③已知斜率的切线方程：设b kx y +=（b 待定），利用圆心到L 距离为r ，确定b 。 5、圆与圆的位置关系