投入产出数学模型
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如果各部门的最终需求Y y1
y2 yn
已知，则由定理7.2.1知，方程(7-19)存在惟一 解 X x1 x2 xn 。
例2 设某工厂有三个车间，在某一个生产周 期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求
如表7.3，求各车间的总产值。
14
表7.3
车间
直耗系数 车间
Ⅰ
9
例1 已知某经济系统在一个生产周期内投入
产出情况如表7.2，试求直接消耗系数矩阵。
表7.2
产出 投入 中 1 间 2 投 3 入 净产值 总投入 中间消耗 1 2 3 100 25 30 80 50 30 40 25 60
最终需求
总产出
400 250 300
400 250 300
10
xij 解 由直接消耗系数的定义 aij x ，得直接 j
写成矩阵形式为
(7-20)
X DX Z 或 E D X Z
其中
n D diag ai1 i 1 Z z1
(7-21)
ai 2
i 1
n
a in , i 1
n
13
z2 zn
定理7.2.1 列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。
23
定理7.2.5 如果第j部门最终需求增加 y j，而
其他部门的最终需求不变，那么部门总产出
X的增量为
X y j B j e j
其中 X x1 x2 xn , B j b1 j b2 j bnj , e j 为单位坐标向量。 证明 由定理7.2.4知 B E A E ，将此
X E A Y
1
0.63 0.09 0.09 235 400 1 0.17 0.59 0.095 125 300 0.4455 0.1 0.085 0.58 210 350
即三个车间的总产值分别为400，300，350。
26
特别取y j 1，则有
i j, bij , i 1,2,, n xi bij 1, i j ,
上式的经济意义是，当第j部门的最终需求
增加一个单位，而其他部门最终需求不变时，
第i部门总产值的增加量为bij ，当第i部门的最终 需求增加一个单位而其他部门的最终需求不变 时，第i部门总产值的增加量为bij 1 。
8
二、直接消耗系数
定义7.2.1 第j部门生产单位价值所消耗第i部
门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗
系数，记作aij i, j 1,2,, n 。
xij 由定义得 aij i, j 1,2,, n xj
(7-17)
把投入产出表中的各个中间需求 xij 换成相应 的 aij 后得到的数表称为直接消耗系数表，并 称n阶矩阵 A aij 为直接消耗系数矩阵。
消耗部门
1 2 n
x11 x21 xn1 x12 x1n x22 x2 n xn 2 xnn
最终需求 消费 累计 出口 合计
y1 y2 yn
总 产出
x1 x2 xn
生 产 部 门
1 2 n
新 工 资 v1 v2 vn 创 纯收入 m1 m2 mn 价 z1 z2 zn 合 计 值
令 X x1
(7-18)
x2 xn , Y y1
y2 yn ，
(7-19)
12
(7-18)式可表示为 AX Y X ，或
E A X Y
称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。
类似地把 xij aij x j 代入平衡方程(7-14)得到
a11 x1 a21 x2 an1 xn z1 x1 a x a x a x z x 12 1 22 2 n2 n 2 2 a1n x1 a2 n x2 ann xn zn xn
(7-14)
xij z j x j j 1,2,, n
i 1
n
(7-15)
7
由(7-11)和(7-14)，可得
y z
i 1 i j 1
n
n
j
(7-16)
这表明就整个国民经济来讲，用于非生 产的消费、积累、储备和出口等方面产品的 总价值与整个国民经济净产值的总和相等。
22
27 5 8 1 1 E A 1 15 4 10 8 20 32
故所求完全消耗系数矩阵为
1.7 0.5 0.8 1 0 . 1 0 . 5 0 . 4 B E A E 0.8 2 2.2
由此例可知，完全消耗系数矩阵的值比直接 消耗系数矩阵的值要大的多。
a
i 1
n
ij
1 j 1,2,, n
11
由直接消耗系数的定义 xij aij x j，代入(7-17)，得
a11 x1 a12 x2 a1n xn y1 x1 a x a x a x y x 21 1 22 2 2n n 2 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn yn xn
27
若令
i j, bij , i, j 1,2,, n cij bij 1, i j ,
消耗系数矩阵
0.25 0.10 0.10 A 0.20 0.20 0.10 0.10 0.10 0.20 直接消耗系数 aij i, j 1,2,, n 具有下面重
要性质：
性质7.2.1 0 aij 1 i, j 1,2,, n 性质7.2.2
由定理7.2.1知(E-A)可逆，故
B A E A
1 1 1
E E A E A E A E
20
例3 假设某公司三个生产部门间的报告价值
型投入产出表如表7.4，
表7.4
产出 中间消耗 投入 1 2 3 中 1 1500 0 600 间 2 0 610 600 投 3 250 1525 3600 入
门对第i部门的完全消耗系数，记作
bij i, j 1,2,, n 。
18
由bij 构成的n阶方阵 B bij 称为各部门间的
完全消耗系数矩阵。
定理7.2.3 第j部门对第i部门的完全消耗系数 bij
满足方程
bij aij bik akj i, j 1,2,, n
(7-11)
x
j 1
n
ij yi xi i 1,2,, n
(7-12)
6
需求平衡方程组：
xi xij yi i 1,2,, n
j 1
n
(7-13)
投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：
x11 x21 xn1 z1 x1 x x x z x 12 22 n2 2 2 x1n x2 n xnn zn xn
k 1
n
定理7.2.4 设n个部门的直接消耗系数矩阵为 A，完全消耗系数矩阵为B，则有
19
B E A E
1
证明 由定理7.2.3知，
bij aij bik akj
k 1 n
i, j 1,2,, n
将 n 个等式用矩阵表示为
2
B A BA或B E A A
最终需求
400 1840 625
总产出
2500 3050 6000
求各部门间的完全消耗系数矩阵。
21
解 依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中
各列，得到直接消耗系数矩阵为
0.6 0 0.1 6 0 1 1 A 0 0.2 0.1 0 2 1 10 0.1 0.5 0.6 1 5 6 0 1 4 1 E A 0 8 1 10 1 5 4
总投入
x1
x2 xn
4
投入产出表描述了各经济部门在某个时期
的投入产出情况。它的行表示某部门的产出；
列表示某部门的投入。如表7.1中第一行x1表 示部门1的总产出水平，x11为本部门的使用 量，x1 j (j=1,2,…,n)为部门1提供给部门j的使用 量，各部门的供给最终需求（包括居民消耗、 政府使用、出口和社会储备等）为 y j (j=1,2,…,n)。这几个方面投入的总和代表了这 个时期的总产出水平。
投入～从事一项经济活动的消耗； 产出～从事经济活动的结果； 投入产出数学模型～通过编制投入产出表，运 用线性代数工具建立数学模型，从而揭示 国民经济各部门、再生产各环节之间的内 在联系，并据此进行经济分析、预测和安 排预算计划。按计量单位不同，该模型可 分为价值型和实物型。
3
表7.1：投入产出表
流量 投入 产出
i 1
n E D 1 aij 0 i 1 j 1 n
n
所以E-D可逆。
17
三、完全消耗系数
直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗，
不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出
如下定义。
定义7.2.2 第j部门生产单位价值量直接和间
接消耗的第i部门的价值量总和，称为第j部
0.25 0.2 0.1
Ⅱ
0.1 0.2 0.1
Ⅲ
0.1 0.1 0.2
最终需求
235 125 210
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
解
0.75 0.1 0.1 E A 0.2 0.8 0.1 0.1 0.1 0.8
15
0.63 0.09 0.09 1 1 E A 0.17 0.59 0.095 0.4455 0.1 0.085 0.58
25
定理7.2.5表明，由第j部门最终需求的增加
（其他部门的最终需求不变），引起了各部门
总产值的增加。 y j B j e j 从数量上表示了各 部门的增加量。如果没有这些追加，第j部门要 完成增加 y j最终需求的任务就不能实现。 如果定理7.2.5的结论用分量表示
i j, y j bij , i 1,2,, n xi y j bij e j , i j ,
16
定理7.2.2 方程(E-D)X=Z的系数矩阵E-D是可逆
的。 证明 因
n n n E D diag1 ai1 1 ai 2 1 ain i 1 i 1 i 1
1 aij 0 j 1,2,, n ，故 由பைடு நூலகம்质7.2.2知，
5
投入产出的基本平衡关系
从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出 从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入 (7-9) (7-10)
由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：
x11 x12 x1n y1 x1 x x x y x 21 22 2n 2 2 xn1 xn 2 xnn yn xn
投入产出数学模型
1
在经济活动中分析投入多少财力、物力、
人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高
低的主要标志。投入产出技术正是研究一个
经济系统各部门间的“投入”与“产出”关 系的 数学模型，该方法最早由美国著名的经济学
家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前
比较成熟的经济分析方法。
2
一、投入产出数学模型的概念
1
关系代入方程(7-19)，得
24
X E A Y B E Y BY Y
1
由定理假设，部门最终需求增量
Y 0,,0, y j ,0,,0 y j e j
于是
X BY Y By j e j y j e j
y j Be j y j e j y j B j e j
y2 yn
已知，则由定理7.2.1知，方程(7-19)存在惟一 解 X x1 x2 xn 。
例2 设某工厂有三个车间，在某一个生产周 期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求
如表7.3，求各车间的总产值。
14
表7.3
车间
直耗系数 车间
Ⅰ
9
例1 已知某经济系统在一个生产周期内投入
产出情况如表7.2，试求直接消耗系数矩阵。
表7.2
产出 投入 中 1 间 2 投 3 入 净产值 总投入 中间消耗 1 2 3 100 25 30 80 50 30 40 25 60
最终需求
总产出
400 250 300
400 250 300
10
xij 解 由直接消耗系数的定义 aij x ，得直接 j
写成矩阵形式为
(7-20)
X DX Z 或 E D X Z
其中
n D diag ai1 i 1 Z z1
(7-21)
ai 2
i 1
n
a in , i 1
n
13
z2 zn
定理7.2.1 列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。
23
定理7.2.5 如果第j部门最终需求增加 y j，而
其他部门的最终需求不变，那么部门总产出
X的增量为
X y j B j e j
其中 X x1 x2 xn , B j b1 j b2 j bnj , e j 为单位坐标向量。 证明 由定理7.2.4知 B E A E ，将此
X E A Y
1
0.63 0.09 0.09 235 400 1 0.17 0.59 0.095 125 300 0.4455 0.1 0.085 0.58 210 350
即三个车间的总产值分别为400，300，350。
26
特别取y j 1，则有
i j, bij , i 1,2,, n xi bij 1, i j ,
上式的经济意义是，当第j部门的最终需求
增加一个单位，而其他部门最终需求不变时，
第i部门总产值的增加量为bij ，当第i部门的最终 需求增加一个单位而其他部门的最终需求不变 时，第i部门总产值的增加量为bij 1 。
8
二、直接消耗系数
定义7.2.1 第j部门生产单位价值所消耗第i部
门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗
系数，记作aij i, j 1,2,, n 。
xij 由定义得 aij i, j 1,2,, n xj
(7-17)
把投入产出表中的各个中间需求 xij 换成相应 的 aij 后得到的数表称为直接消耗系数表，并 称n阶矩阵 A aij 为直接消耗系数矩阵。
消耗部门
1 2 n
x11 x21 xn1 x12 x1n x22 x2 n xn 2 xnn
最终需求 消费 累计 出口 合计
y1 y2 yn
总 产出
x1 x2 xn
生 产 部 门
1 2 n
新 工 资 v1 v2 vn 创 纯收入 m1 m2 mn 价 z1 z2 zn 合 计 值
令 X x1
(7-18)
x2 xn , Y y1
y2 yn ，
(7-19)
12
(7-18)式可表示为 AX Y X ，或
E A X Y
称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。
类似地把 xij aij x j 代入平衡方程(7-14)得到
a11 x1 a21 x2 an1 xn z1 x1 a x a x a x z x 12 1 22 2 n2 n 2 2 a1n x1 a2 n x2 ann xn zn xn
(7-14)
xij z j x j j 1,2,, n
i 1
n
(7-15)
7
由(7-11)和(7-14)，可得
y z
i 1 i j 1
n
n
j
(7-16)
这表明就整个国民经济来讲，用于非生 产的消费、积累、储备和出口等方面产品的 总价值与整个国民经济净产值的总和相等。
22
27 5 8 1 1 E A 1 15 4 10 8 20 32
故所求完全消耗系数矩阵为
1.7 0.5 0.8 1 0 . 1 0 . 5 0 . 4 B E A E 0.8 2 2.2
由此例可知，完全消耗系数矩阵的值比直接 消耗系数矩阵的值要大的多。
a
i 1
n
ij
1 j 1,2,, n
11
由直接消耗系数的定义 xij aij x j，代入(7-17)，得
a11 x1 a12 x2 a1n xn y1 x1 a x a x a x y x 21 1 22 2 2n n 2 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn yn xn
27
若令
i j, bij , i, j 1,2,, n cij bij 1, i j ,
消耗系数矩阵
0.25 0.10 0.10 A 0.20 0.20 0.10 0.10 0.10 0.20 直接消耗系数 aij i, j 1,2,, n 具有下面重
要性质：
性质7.2.1 0 aij 1 i, j 1,2,, n 性质7.2.2
由定理7.2.1知(E-A)可逆，故
B A E A
1 1 1
E E A E A E A E
20
例3 假设某公司三个生产部门间的报告价值
型投入产出表如表7.4，
表7.4
产出 中间消耗 投入 1 2 3 中 1 1500 0 600 间 2 0 610 600 投 3 250 1525 3600 入
门对第i部门的完全消耗系数，记作
bij i, j 1,2,, n 。
18
由bij 构成的n阶方阵 B bij 称为各部门间的
完全消耗系数矩阵。
定理7.2.3 第j部门对第i部门的完全消耗系数 bij
满足方程
bij aij bik akj i, j 1,2,, n
(7-11)
x
j 1
n
ij yi xi i 1,2,, n
(7-12)
6
需求平衡方程组：
xi xij yi i 1,2,, n
j 1
n
(7-13)
投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：
x11 x21 xn1 z1 x1 x x x z x 12 22 n2 2 2 x1n x2 n xnn zn xn
k 1
n
定理7.2.4 设n个部门的直接消耗系数矩阵为 A，完全消耗系数矩阵为B，则有
19
B E A E
1
证明 由定理7.2.3知，
bij aij bik akj
k 1 n
i, j 1,2,, n
将 n 个等式用矩阵表示为
2
B A BA或B E A A
最终需求
400 1840 625
总产出
2500 3050 6000
求各部门间的完全消耗系数矩阵。
21
解 依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中
各列，得到直接消耗系数矩阵为
0.6 0 0.1 6 0 1 1 A 0 0.2 0.1 0 2 1 10 0.1 0.5 0.6 1 5 6 0 1 4 1 E A 0 8 1 10 1 5 4
总投入
x1
x2 xn
4
投入产出表描述了各经济部门在某个时期
的投入产出情况。它的行表示某部门的产出；
列表示某部门的投入。如表7.1中第一行x1表 示部门1的总产出水平，x11为本部门的使用 量，x1 j (j=1,2,…,n)为部门1提供给部门j的使用 量，各部门的供给最终需求（包括居民消耗、 政府使用、出口和社会储备等）为 y j (j=1,2,…,n)。这几个方面投入的总和代表了这 个时期的总产出水平。
投入～从事一项经济活动的消耗； 产出～从事经济活动的结果； 投入产出数学模型～通过编制投入产出表，运 用线性代数工具建立数学模型，从而揭示 国民经济各部门、再生产各环节之间的内 在联系，并据此进行经济分析、预测和安 排预算计划。按计量单位不同，该模型可 分为价值型和实物型。
3
表7.1：投入产出表
流量 投入 产出
i 1
n E D 1 aij 0 i 1 j 1 n
n
所以E-D可逆。
17
三、完全消耗系数
直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗，
不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出
如下定义。
定义7.2.2 第j部门生产单位价值量直接和间
接消耗的第i部门的价值量总和，称为第j部
0.25 0.2 0.1
Ⅱ
0.1 0.2 0.1
Ⅲ
0.1 0.1 0.2
最终需求
235 125 210
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
解
0.75 0.1 0.1 E A 0.2 0.8 0.1 0.1 0.1 0.8
15
0.63 0.09 0.09 1 1 E A 0.17 0.59 0.095 0.4455 0.1 0.085 0.58
25
定理7.2.5表明，由第j部门最终需求的增加
（其他部门的最终需求不变），引起了各部门
总产值的增加。 y j B j e j 从数量上表示了各 部门的增加量。如果没有这些追加，第j部门要 完成增加 y j最终需求的任务就不能实现。 如果定理7.2.5的结论用分量表示
i j, y j bij , i 1,2,, n xi y j bij e j , i j ,
16
定理7.2.2 方程(E-D)X=Z的系数矩阵E-D是可逆
的。 证明 因
n n n E D diag1 ai1 1 ai 2 1 ain i 1 i 1 i 1
1 aij 0 j 1,2,, n ，故 由பைடு நூலகம்质7.2.2知，
5
投入产出的基本平衡关系
从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出 从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入 (7-9) (7-10)
由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：
x11 x12 x1n y1 x1 x x x y x 21 22 2n 2 2 xn1 xn 2 xnn yn xn
投入产出数学模型
1
在经济活动中分析投入多少财力、物力、
人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高
低的主要标志。投入产出技术正是研究一个
经济系统各部门间的“投入”与“产出”关 系的 数学模型，该方法最早由美国著名的经济学
家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前
比较成熟的经济分析方法。
2
一、投入产出数学模型的概念
1
关系代入方程(7-19)，得
24
X E A Y B E Y BY Y
1
由定理假设，部门最终需求增量
Y 0,,0, y j ,0,,0 y j e j
于是
X BY Y By j e j y j e j
y j Be j y j e j y j B j e j