圆的内接四边形PPT讲稿

则∠BOD=
150
O
º
B
O D
C
D
C
E
例1：如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点.经过点
A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D.经
过点B的直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点
F.求证：CE∥DF分. 析：只要证明同旁内角互补即可！并利用圆内
证明：连接AB．
接四边形的性质定理．
∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴ ∠BAD＝∠E．
3 四边形存在外接圆的判定定理
圆内接四边形的性质定理１： 圆的内接四边形的对角互补．
D
E
A
圆内接四边形的性质定理2：
圆内接四边形的外角等于
O
B
C
它的内角的对角．
3 四边形存在外接圆的判定定理
已知：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°, 求证：A、B、C、D在同一圆周上（简称四点共圆）.
分析：不在同一直线上的三点确定一个圆．经过A、B、C三点作⊙O，如果能够由条 件得到⊙O过点D，那么就证明了命题．
2 圆内接四边形的性质定理
1.如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ 弧BCD和弧BAD所对的 圆心角的和是周角.
∴∠A＋∠C＝
A
1同8理0°∠B＋∠D＝180°
圆内接四边形的性质定理１：
B
圆的内接四边形的对角互补．
D O
C
D
2.圆内接四边形的性质定理
A O.
B
C
E
圆内接四边形的性质定理2： 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
大于任一不相邻的内角”矛盾，故 点D不可能在⊙O的外部．
（2）如果点D在⊙O的内部．显然AD 的延长线必定与圆相交，设交点为E， 连接EC，则有∠E+∠B=180°.由题设 ∠B+∠ADC=180°,可得 ∠E=∠ADC ．这与“三角形的外角大 于任一不相邻的内角”矛盾，故点D不
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可能在⊙O的内部．
D
又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形，
∴ ∠BAD+∠F=180º．
D
A
∴ ∠E+∠F=180º． ∴ CE//DF．
C
O１
E
B
O2 F
变式1：如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点．过A点的直线CD与⊙O1交
于点C，与⊙O2交于点D．过B点的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点 F．求证：CE//DF.
O
接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.
B
C
D
A
O
B
C
A
F
B
O·
E
C
D
思考: （1 ） 任意三角形都有外接圆吗？
（2）一般地,任意四边形都有外接圆吗? （3）任意矩形是否有外接圆?
那么任意四边形有外接圆吗?
探究：观察下图，这组图中的四边形都内接于圆． 你能发现这些四边形的共同特征吗？ 特殊到一般的方法!
1、(1)圆内接平行四边形一定是
形. 矩
(2)圆内接梯形一定是 (3)圆内接菱形一定是
等形腰. 梯
形.
正方
2.如果四边形一边上的两个顶点的视角相等，那么四 D
C
边形的四个顶点共圆．
已知：如图，四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB.
求证: A、B、C、D四点共圆．
AD 的度数与BC 的度数和的一半等于∠APD的度数．
分析：由于∠APD既不是圆心角，也不是圆周
D
角，为此我们需要构造一个与∠APD相等的圆
B
心角或圆周角，以便利用定理．
P
A
证明：如图，过点C作CE//AB交圆于E，则
C
有∠APD ＝∠C. E
一 定理的探究
A
１．定义：如果多边形的所有顶点都
在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内
圆的内接四边形课件
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半．
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 反之，９０°的圆周角所对的弦是直径．
例2． 如图，AB与CD相交于圆内一点P．求证：
显然， ⊙O与点D有且只有三种位置关系: (1)点D在圆外；(2)点D在圆内；(3)点D在圆上． 只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题．
D
分类讨论思想 反证法
D
D
A
A
A
O
B
C
O
O
B
C
B
C
证明： (1) 如果点D在⊙O的外部．设E是
(分类讨论思想及反证法)
AD与圆周的交点，连接EC，则有 ∠AEC+∠B=180°.由题设 ∠B+∠D=180°,可得 ∠D=∠AEC ．这与“三角形的外角
证明：连接PQ．在四边形QFPC中， ∵ FP⊥BC,FQ⊥AC ，∴∠FQA＝∠FPC．
∴Q、F、P、C四点共圆． ∴∠QFC＝∠QPC．
C 又∵CF⊥AB，
∴∠QFC＋∠QFA＝90°． 而∠A＋∠QFA＝90°． ∴∠QFC＝∠A． ∴∠QPC＝∠A．
∴A、B、P、Q四点共圆．
Q
A
F
P B
练习2：
应用格式：在四边形ABCD中，∵A+C=180°,∴四点A,B,C,D共圆．
圆内接四边形判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角， 那么这个四边形的四个顶点共圆．
应用格式：在四边形ABCD中，∵∠A=∠DCE,∴四点A A,B,C,D共圆．
D
A
O
B
C
O
B
D
C
E
二 定理的应用
练习 ：
A
D
A
EO
O
C1
2
B
F
D
A
C
O1
O2
F
B E
变式2:如图,⊙O1和⊙O2有两个公共点A﹑B．
过A﹑B两点的直线分别交⊙O1于C 、E, 交⊙O2于D 、F，且CD∥EF．求证：CE=DF．
由例1可知:CE//DF, 又∵CD//EF, ∴DCEF为平行四边 形． ∴CE=DF.
例２. 如图,CF是△ABC的AB边上的高,FP⊥BC,FQ⊥AC.求证: A、B、P、 Q四点共圆．
1、如图，四边形ABCD为⊙O的
内接四边形，已知∠BOD=100°,
B
则∠BAD=
,∠BCD=
.
50º
130
º 2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,
则∠A= 60∠B= 9∠0C=
∠D1=20
设A=2x,则Cº=4x. ∵A+C=º180º, ∴x=30ºº.
90º
A
3、如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠DCE=75º，
E
综上所述，
D
E
A
点D只能在圆 A
周上，即A、
O
B、C、D四
O
B
C 点共圆．
B
C
3 四边形存在外接圆的判定定理
说明：在此判定定理的证明中，用到了分类讨论的思想和反证法．又当问题的 结论存在多种情形时，通过对每一种情形分别讨论，最后获得结论的方法，称 为穷举法．于是
圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个 顶点共圆．