固体物理第四章习题
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2
W WW . 1 2 N n ! n !
4
与无空位时相比，晶体熵的增量为
S kB ln W 2kB ln N! . N n !n !
若不考虑空位的出现对离子振动的影响，晶体的自 由能
F F0 nE T S F0 nE 2k BT ln N! , N n !n !
18
根据平衡条件
(
( F1 F2 ) F )T [ ]T 0 n n
ln N ! N ln N
并应用斯特林公式 得
F n 1 e k BT ( )T u1 kBT ln 3m( ) 3mk BT ln 0 n N n 2 1 e k BT
u 2 k BT
得
n F N n e ( )T u 2k BT ln 0 N n n n u n u 1 e 2 k BT T N 2k B ln( N ) n
u 1eV 1.602 1019 J kB 1.3811023 J / K
T 840 K
引进爱因斯坦温度
E kB
n Ne
u1
k BT
3m ( ) 1 e k BT
1 e
k BT
在高温时，即T>>E时，有
1 e
k BT
kBT
1 B
1 e
k BT
kBT
于是
3m u k T n N( ) e
3a 2
9
具有简单晶格的晶体滑移时，是一个晶格周期一 个晶格周期的一步步滑移．因此，最小滑移间距 为
3a 2
10
(2) 面心立方晶系原胞坐标系中的晶面族(h1h2h3) 的面间距
d h1h2h3 a
h1 h2 h3 h1 h2 h3 h1 h2 h3
2 2
2
.
可以看出，面间距最大的晶面族是{001}．将
该晶面指数代入《固体物理教程》1．32式（p. 30)，得到该晶面族对应的密勒指数为{110}．
8
面间距最大的晶面上格点最密，所以密勒指数 {110}晶面族是格点最密的面．面间距大的晶面间 的结合力小，所以格点最密的面便是滑移面． 最密的线一定分布在格点最密面上．由图虚线标 出的(110)晶面容易算出，最密的线上格点的周期 为
W1 ( N n)!n !
n个填隙原子在N个间隙位置上排列可能方式数为
W2 N! ( N n)!n ! N! ]2 ( N n)!n !
同时形成n个空位和n个填隙原子的可能方式数为
W WW 1 2 [
导致的晶体的熵的增加量为
N! S kB ln W 2kB ln ( N n)!n !
n Ne E 2kBT .
3
[解答] 由N个正离子中取出n个正离子形成n个空位的可 能方式数为
W1 N! . N n !n !
同样，由N个负离子中取出n个负离子形成n个空 位的可能方式数也为
W2 N! . N n !n !
因此，在晶体中形成n对正负离子空位的可能方 式数为 N!
15
晶体的自由能
F F0 nu TS F0 nu 2k BT ln N! ( N n)!n!
式中F0是只与晶体体积有关的自由能，u表示原 子位于间隙位置比在正常格点处高出的能量。 利用平衡条件 ( F ) 0
n
T
及斯特林公式
ln N ! N ln N N N ln N
其中F0是只与晶体体积有关的自由能．利用平衡条 件
F 0 n T
5
及斯特林公式 得：
ln N ! N ln N N N ln N
F E 2 k T N ln N N n ln N n n ln n B n n T N n E 2k BT ln 0 n n E 2 k BT e 由此得 N n
17
[求解] 设含有N个原子的简单晶体中，存在n个空位， 当原子振动频率不变时，晶体的自由能为
F1 F0 nu TS F0 nu k BT ln N! ( N n)!n!
按照爱因斯坦模型，有空位缺陷时晶体原子的 振动对自由能的贡献为（p. 141）
F2 3( N mn)k BT [ ln(1 e kBT )] 2kBT 3nmkBT [ ln(1 e kBT )] 2kBT
由于<，上式表明高温下空位更容易形成。
20
在低温情况下，即T<<E时，有
1 e 1 e
k BT k BT
1
n Ne
u1
k BT
3m ( ) 1 e k BT
1 e
k BT
于是
n Ne
u1
k BT
此式表明，低温下不仅缺陷数目少，而且空位 附近的原子与正常格点上的原子的频率偏差对 空位浓度的影响可以忽略。
能量u1比声子能量 或
3m (
大得多，将上式中
2
)
忽略掉，则有
n e N n
u1 k BT 3m ( ) 1 e k BT
1 e
k BT
由N>>n，得
n Ne
u1
k BT
3m ( ) 1 e k BT
1 e
k BT
19
n1 1.60 1019 38.6 u1 kB T 17 e exp e 1.72 10 . 23 N 1.38 10 300
2
5．在离子晶体中，由于电中性的要求、肖特基缺 陷都成对地产生，令n代表正负离子空位的对数. Ｅ是形成一对肖特基缺陷所需要的能量，Ｎ为整 个离子晶体中正负离子对的数目，证明
2a 2
12
Baidu Nhomakorabea
具有简单晶格的晶体滑移时，是一个晶格周期一 个晶格周期一步步滑移．因此，最小滑移间距为
2a 2
13
10. 有一简单晶格的晶体，原子在间隙位置上的 能量比在格点上高出1eV，试求有千分之一的原 子变成间隙原子时的温度。
14
[求解] 将间隙位置数、格点数及原子数三者视为近似相 等，并设为N。在N个格点中形成n个空位的可能 方式数为 N!
2 2
2
.
可以看出，面间距最大的晶面族是{111}。
由第一章第15题可知，对于面心立方晶体，晶 面指数(h1h2h3)与晶面指数(hkl)的转换关系为
hkl h1 h2 h3 h1 h2 h3 h1 h2 h3 .
1 p
11
将晶面指数{111}代入上式，得到该晶面族对应的 密勒指数也为{111}．面间距最大的晶面上的格点 最密，所以，密勒指数{111}晶面族是格点最密的 面，即{111}面族是滑移面． 格点最密的线一定分布在格点最密的面上．由图 虚线标出的(111)晶面上的格点容易算出，最密的 线上格点的周期为
n 103 N
16
13. 对单原子晶体，在通常温度下，肖特基缺陷 数目与最邻近原子的振动频率的改变有关，试 用爱因斯坦模型，证明平衡时肖特基缺陷数目
n Ne
u1 k BT
( )3 m 1 e k BT
1 e
k BT
并讨论T>>E和T<<E的极限情况，其中u1是肖特 基形成能，m是空位的最近邻原子数，和为最 近邻无空位和有空位时原子的振动频率。
第四章 习题
1
2．假设把一个Na原子从Na晶体中移到表面上所需 的能量为1 eV，计算室温时肖特基缺陷相对浓度．
[解答]
对于肖特基缺陷，在单原子晶体中空位数为
n1 Neu1 kB T .
式中Ｎ为原子数，u1为将一个原子由晶体内的格 点移到表面所需的能量． 取空温时T＝300K，得室温时肖特基缺陷的相对 浓度
由于N>>n，因此得
n Ne E 2kBT .
6
8．对下列晶体结构，指出最密原子排列的晶列 方向，并求出最小滑移间距．
(1) 体心立方；
(2) 面心立方．
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[解答] (1) 体心立方晶系原胞坐标系中的晶面族(h1h2h3) 的面间距
d h1h2h3 a
h2 h3 h3 h1 h1 h2
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W WW . 1 2 N n ! n !
4
与无空位时相比，晶体熵的增量为
S kB ln W 2kB ln N! . N n !n !
若不考虑空位的出现对离子振动的影响，晶体的自 由能
F F0 nE T S F0 nE 2k BT ln N! , N n !n !
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根据平衡条件
(
( F1 F2 ) F )T [ ]T 0 n n
ln N ! N ln N
并应用斯特林公式 得
F n 1 e k BT ( )T u1 kBT ln 3m( ) 3mk BT ln 0 n N n 2 1 e k BT
u 2 k BT
得
n F N n e ( )T u 2k BT ln 0 N n n n u n u 1 e 2 k BT T N 2k B ln( N ) n
u 1eV 1.602 1019 J kB 1.3811023 J / K
T 840 K
引进爱因斯坦温度
E kB
n Ne
u1
k BT
3m ( ) 1 e k BT
1 e
k BT
在高温时，即T>>E时，有
1 e
k BT
kBT
1 B
1 e
k BT
kBT
于是
3m u k T n N( ) e
3a 2
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具有简单晶格的晶体滑移时，是一个晶格周期一 个晶格周期的一步步滑移．因此，最小滑移间距 为
3a 2
10
(2) 面心立方晶系原胞坐标系中的晶面族(h1h2h3) 的面间距
d h1h2h3 a
h1 h2 h3 h1 h2 h3 h1 h2 h3
2 2
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.
可以看出，面间距最大的晶面族是{001}．将
该晶面指数代入《固体物理教程》1．32式（p. 30)，得到该晶面族对应的密勒指数为{110}．
8
面间距最大的晶面上格点最密，所以密勒指数 {110}晶面族是格点最密的面．面间距大的晶面间 的结合力小，所以格点最密的面便是滑移面． 最密的线一定分布在格点最密面上．由图虚线标 出的(110)晶面容易算出，最密的线上格点的周期 为
W1 ( N n)!n !
n个填隙原子在N个间隙位置上排列可能方式数为
W2 N! ( N n)!n ! N! ]2 ( N n)!n !
同时形成n个空位和n个填隙原子的可能方式数为
W WW 1 2 [
导致的晶体的熵的增加量为
N! S kB ln W 2kB ln ( N n)!n !
n Ne E 2kBT .
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[解答] 由N个正离子中取出n个正离子形成n个空位的可 能方式数为
W1 N! . N n !n !
同样，由N个负离子中取出n个负离子形成n个空 位的可能方式数也为
W2 N! . N n !n !
因此，在晶体中形成n对正负离子空位的可能方 式数为 N!
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晶体的自由能
F F0 nu TS F0 nu 2k BT ln N! ( N n)!n!
式中F0是只与晶体体积有关的自由能，u表示原 子位于间隙位置比在正常格点处高出的能量。 利用平衡条件 ( F ) 0
n
T
及斯特林公式
ln N ! N ln N N N ln N
其中F0是只与晶体体积有关的自由能．利用平衡条 件
F 0 n T
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及斯特林公式 得：
ln N ! N ln N N N ln N
F E 2 k T N ln N N n ln N n n ln n B n n T N n E 2k BT ln 0 n n E 2 k BT e 由此得 N n
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[求解] 设含有N个原子的简单晶体中，存在n个空位， 当原子振动频率不变时，晶体的自由能为
F1 F0 nu TS F0 nu k BT ln N! ( N n)!n!
按照爱因斯坦模型，有空位缺陷时晶体原子的 振动对自由能的贡献为（p. 141）
F2 3( N mn)k BT [ ln(1 e kBT )] 2kBT 3nmkBT [ ln(1 e kBT )] 2kBT
由于<，上式表明高温下空位更容易形成。
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在低温情况下，即T<<E时，有
1 e 1 e
k BT k BT
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n Ne
u1
k BT
3m ( ) 1 e k BT
1 e
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于是
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此式表明，低温下不仅缺陷数目少，而且空位 附近的原子与正常格点上的原子的频率偏差对 空位浓度的影响可以忽略。
能量u1比声子能量 或
3m (
大得多，将上式中
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忽略掉，则有
n e N n
u1 k BT 3m ( ) 1 e k BT
1 e
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由N>>n，得
n Ne
u1
k BT
3m ( ) 1 e k BT
1 e
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n1 1.60 1019 38.6 u1 kB T 17 e exp e 1.72 10 . 23 N 1.38 10 300
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5．在离子晶体中，由于电中性的要求、肖特基缺 陷都成对地产生，令n代表正负离子空位的对数. Ｅ是形成一对肖特基缺陷所需要的能量，Ｎ为整 个离子晶体中正负离子对的数目，证明
2a 2
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Baidu Nhomakorabea
具有简单晶格的晶体滑移时，是一个晶格周期一 个晶格周期一步步滑移．因此，最小滑移间距为
2a 2
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10. 有一简单晶格的晶体，原子在间隙位置上的 能量比在格点上高出1eV，试求有千分之一的原 子变成间隙原子时的温度。
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[求解] 将间隙位置数、格点数及原子数三者视为近似相 等，并设为N。在N个格点中形成n个空位的可能 方式数为 N!
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可以看出，面间距最大的晶面族是{111}。
由第一章第15题可知，对于面心立方晶体，晶 面指数(h1h2h3)与晶面指数(hkl)的转换关系为
hkl h1 h2 h3 h1 h2 h3 h1 h2 h3 .
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将晶面指数{111}代入上式，得到该晶面族对应的 密勒指数也为{111}．面间距最大的晶面上的格点 最密，所以，密勒指数{111}晶面族是格点最密的 面，即{111}面族是滑移面． 格点最密的线一定分布在格点最密的面上．由图 虚线标出的(111)晶面上的格点容易算出，最密的 线上格点的周期为
n 103 N
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13. 对单原子晶体，在通常温度下，肖特基缺陷 数目与最邻近原子的振动频率的改变有关，试 用爱因斯坦模型，证明平衡时肖特基缺陷数目
n Ne
u1 k BT
( )3 m 1 e k BT
1 e
k BT
并讨论T>>E和T<<E的极限情况，其中u1是肖特 基形成能，m是空位的最近邻原子数，和为最 近邻无空位和有空位时原子的振动频率。
第四章 习题
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2．假设把一个Na原子从Na晶体中移到表面上所需 的能量为1 eV，计算室温时肖特基缺陷相对浓度．
[解答]
对于肖特基缺陷，在单原子晶体中空位数为
n1 Neu1 kB T .
式中Ｎ为原子数，u1为将一个原子由晶体内的格 点移到表面所需的能量． 取空温时T＝300K，得室温时肖特基缺陷的相对 浓度
由于N>>n，因此得
n Ne E 2kBT .
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8．对下列晶体结构，指出最密原子排列的晶列 方向，并求出最小滑移间距．
(1) 体心立方；
(2) 面心立方．
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[解答] (1) 体心立方晶系原胞坐标系中的晶面族(h1h2h3) 的面间距
d h1h2h3 a
h2 h3 h3 h1 h1 h2
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