综合评价方法(参考)数学建模

第一章 综合评价概述
一、综合评价的目的 二、综合评价的一般步骤
一、综合评价的目的
＊
综合评价一般表现为以下几类问题： ａ。分类——对所研究对象的全部个体进行分类，
但不同于复合分组（重叠分组）； ｂ。比较、排序（直接对全部评价单位排序，或
在分类基础上对各小类按优劣排序）； ｃ。考察某一综合目标的整体实现程度（对某一
• 指标的无量纲化就是把不同计量单位的 指标数值，改造成可以直接加总的同量 纲数值，。即通过数学变换，消除计量 单位对原数据的影响。
• 指标的无量纲化是综合评价的前提 • 多数场合下，同向化处理过程与无量纲
化过程是同时进行的。
＊
数据指标的无量纲化处理方法
(1)标准差法：
xij

xij x j sj
– 相邻指标比较法；（先按重要性将全部评价指标排 序，再将相邻指标的重要性进行比较
– 层次分析法（ＡＨＰ）——互反式两两比较构权法。 – 模糊综合评价——模糊评价法奠基于模糊数学。它
不仅可对评价对象按综合分值的大小进行评价和排 序，而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度 原则去评定对象的等级。
＊

2(x j Mj 2(M
Mj
mj mj j xj mj
) )
, ,
mj M
xj
j m 2
M j x
j j
mj 2
Mj
其中M j＝max(xij ),m j min(xij )
＊
•1.3 将区间型化为极大型
对某个区间型数据指标 x ，则
x
f (x) a ln x b , 3 x 5
其中, , a,b 为待定常数．
＊
当“很满意”时，则隶属度为１，即 f (5) 1 ；
当“较满意”时，则隶属度为 0.8，即 f (3) 0.8；
当“很不满意”时，则隶属度为 0.01，即 f (1) 0.01．
计算得 1.1086, 0.8942, a 0.3915, b 0.3699。
4、模糊综合评价法
＊
1、 线性加权综合法的主要特点及适用条件
主要特点 （1）各指标可以相互补偿（等量补偿），即此升彼降，
总的评价值不变； （2）权重系数对评价结果的影响明显,权重大的指标对
综合指标作用较大 （3）计算简单,可操作性强. • 适用条件 – 各评价指标之间相互独立 – 对不完全独立的情况，其结果将导致各指标间信息的
k 1
– 极差法：
wj
dj
m
, j 1,2,m
dk
k 1
其中d j＝1mi,akxn | xij xkj | , j 1,2,m
(ik )
＊
２. 熵信息构权
• 根据综合评价的数值所提供信息量的大小来确定权重的方法，对 于i个被评价对象的第j项指标的指标值
xij [0,1](i 1,2,, n; j 1,2,m),
＊
f
(x)


1

1.1086( x

0.8942)
2
1 ,1
x3
0.3915ln x 0.3699 ,
3 x5
根据这个规律， 对于任何一个评价值， 都可给出一个合适的 量化值。
据实际情况可构 造其他的隶属函数。 如取偏大型正态分布。
2、评价指标类型的无量纲处理 ＊
• 2.３ 第j项指标的权重系数
wj
rj
m
,( j 1,2,, m)
rk
k 1
四、综合评价模型的建立方法 ＊
综合评价模型的建立方法
——由单项评价值计算综合评价值的方法。
1、线性加权综合法
m
y wj x j j 1
2、非线性加权综合法
m



j 1
x
wj j
3. 逼近理想点（TOPSIS)方法 参考《综合评价原理与应用》秦泰康，电子工业出版社，2003
则
f
(x)


1

1.1086( x

0.8942) 2
1 ,1
x3
0.3915ln x 0.3699 , 3 x 5
[1 (x )2 ]1,1 x 3
f (x) a ln x b , 3 x 5
其中, , a,b 为待定常数．
1、评价指标类型的一致化
＊
• 1.1 将极小型化为极大型
• 倒数法：
xj'

1 xj
• 平移变换法
xj' M j xj
• 其中
M
j

max
1in
xij
＊
• 1.2 将居中型化为极大型
• 对于居中型指标 x j
x
取中间值
j
M
j
2
mj
为最好，要将其化为极大型指标，令
x
' j

＊
假设有多个评价人对某项因素评价为A，B，C，
D,E共5个等级: {v1 ,v2 ,v3 ,v4,v5}。
譬如：评价人对某事件“满意度”的评价可分为 {很满意，满意，较满意，不太满意，很不满意} 将其5个等级依次对应为5，4，3，2，1。
这里为连续量化，取偏大型柯西分布和对数函 数作为隶属函数：
[1 (x )2 ]1,1 x 3

11,
a
c
x
,
xa a xb
1
x
b c
,
xb
其中[a,b] 为 x 的最佳稳定区间，c max{a m, M b} ， M 和 m 分别为 x 可能取值的最大值和最小值。
＊
1.4 定性指标的量化处理方法
在实际中，很多问题都涉及到定性，或模 糊指标的定量处理问题。
(2)极值差法：
xij

xij m j M j mj
1 n
x j n i1 xij
s j
[1 n
n i1
( xij

x
j
)2
1
]2
(3)功效系数法：xij

c

xij mj M j mj

d
M j m1iaxn {xij } mj m1iinn{xij }
综合评价方法
第一章 综合评价概述 第二章 常用的综合评价方法 第三章 其它综合评价方法
历年竞赛题
（1）CUMCM1993-B:足球队排名问题； （2）CUMCM2001-B:公交车调度问题； （3）CUMCM2002-B:彩票中的数学问题； （4）CUMCM2004-D:公务员招聘问题； （5）CUMCM2005-A:长江水质的评价和预测问题； （6）CUMCM2005-C:雨量预报方法评价问题； （7）CUMCM2006-B:艾滋病疗法评价与预测问题； （8）CUMCM2007-C:手机“套餐”优惠几何问题； （9）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题； （10）CUMCM2008-D:NBA赛程的分析与评价问题； （11）CUMCM2009-D:会议筹备问题。
事物作出整体评价）。如小康目标的实现程度、 现代化的实现程度。当然必须有参考系。
二、综合评价的一般步骤 ＊
• 1．确定综合评价的目的 （分类？排序？实现程度？见上页） • 2．建立评价指标体系（见第二章，一） • 3. 对指标数据做预处理
在综合评价时，必须做到两点： • （1）使所有的指标都从同一角度说明总体，这就提出了如
xij [0,1] (i 1,2, ,n; j 1,2, ,m)
讨论与思考
＊
• 问题：
• （１）对于相对数是否需要经过无量纲化处理？
– 无量纲化处理这不仅适合于绝对数、平均数，也适 合于相对数，因为相对数不能直接加总，各自对比 标准不同，数据的变化范围不同，也需要无量纲化。
• （２）考试成绩有必要进行无量纲化吗？
何使指标一致化的问题； • （2）所有的指标可以相加，这就提出了如何消除指标之间
不同计量单位（不同度量）对指标数值大小的影响和不能加 总（综合）的问题，即对指标进行无量纲化处理——计算单 项评价值。无量纲化处理过程也就是计算单项指标评价值的 过程。（见第二章，二）
• 4．确定各个评价指标的权重 （见第二章，三） • 5．求综合评价值——将单项评价值综合而成。
• 客观赋权法——从指标的统计性质来考 虑，它是由客观数据决定。
– 变异信息构权 – 相关信息构权 – 熵信息构权。
＊
1. 变异信息构权（离散/方差信息构权）
• 指标的区分度越高，对排序的影响就越大。基于这种观点， 以区分度(方差)信息量为权重。
– 均方差法
wj
sj
m
, j 1,2,m
sk
每一个被评价对象与理想点进行比较。
如果某一个被评价对象指标 (xi1, xi2 ,, xim ) 在某种意
义下与
(
x1*
,
x
* 2
,,
xm*
)
最接近，则被评价对象
(xi1 , xi2 ,, xim ) 为最好的。
基于这种思想的综合评价方法称为逼近理想点的排序方法 （ The technique for order preference by similarity to ideal solution，简称为 TOPSIS）。
（见第二章，四）
第二章 综合评价的一般方法
一、评价指标体系的建立及筛选方法 二、综合评价指标的预处理方法 三、指标权数的确定方法 四、综合评价数学模型的建立方法
一、评价指标体系的建立及筛 ＊ 选方法
• 选取指标的原则：尽量少地选取主要的评价指标
• 1、专家调研法
• 2、最小均方差法
– 求第j项指标的均方差
重复，使评价结果不能客观地反映实际。
＊
2、非线性加权综合加权法主要特点及适用条件
主要特点:
（1）对数据要求较高，指标数值不能为0、 负数，
（2） 乘除法容易拉开评价档次，对较小数 值的变动更敏感。
适用条件： --各指标间有较强关联性
＊
3. 逼近理想点（TOPSIS）方法
设定系统指标的一个理想点 (x1* , x2* ,, xm* ) ，将
• 2.1 第j项的熵值
n
I j k pij ln( pij ) i 1
( j 1,2,, m)
k

0为常数，可以取k

1, ln(n)
pij

xij
n
xij
i 1
(i 1,2,, n; j 1,2,, m)
＊
• 2.2 第j项指标的差异系数
rj 1 I j ( j 1,2, m)
＊
假 设理想 点为 (x1* , x2* ,, xm* ) ， 对于 被评价 对 象
(xi1 , xi2 ,, xim ) ，则定义二者之间的加权距离:
m
yi
wj
f
( xij
x
* j
), i

1,2,, n
，
j 1
其中
w
j
为权系数，f
(xij
,
x*j
)
为
x ij
与
x
* j
之间的某种意义
下距离。
＊
通常可取 f (xij , x*j ) (xij x*j )2 ，则综合评价函数为
m
yi
w j (xij
二、综合评价指标的预处理方法 ＊
• 由于来自实际中的指标数据可能是各种各样的，特别是对 于不同类型，不同单位，不同数量组的数据，存在不可公 度性，在应用之前需要对这样的数据做一定的预处理，以 便于在综合评价中做相应的运算，比较，和分析等。
• -极大型（效益型）指标：取值越大越好 • -极小型（成本型）指标：取值越小越好 • -居中型指标：居于中间最好 • -区间型指标：取值越接近某个固定区间[a，b]越好 • -定性指标
– 成绩是一种分数，本身没有单位，而且都是百分制。 但由于不同科目试题的难易程度、分量都不一定相 同，其分数的“含金量”并不相同，因而不能相加。 无量纲化后，各科分数都以60分为中心而分布，具 有了可比性，因而可相加。
三、评价体系中权重系数的 ＊ 确定方法
• 主观赋权法
– 德尔菲法（专家法）——实际上各个专家可以根据 自己的理解选择不同的方法
诸如:教学质量、科研水平、工作政绩、人 员素质、各种满意度、信誉、态度、意识、 观念、能力等因素有关的政治、社会、人文 等领域的问题。
如何对有关问题给出定量分析呢？
＊
按国家的评价标准,评价因素一般分为五 个等级，如A，B，C，D，E。
如何将其量化？若A-，B+，C-，D+等又如 何合理量化？
根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化 方法是一种可行有效的方法。
– 求最小的均方差
sj
1 n
n i 1
( xij
xj )2 ( j
1,2,m)
s j0 min s1, s2 ,, sm
– 如果最小的均方差接近0，可将其删去，继续筛选；否则工作结束。
• 3、极小极大离差法
– 求每项的最大离差 – 求所有最大离差中最小的离差 – 将最小离差对应的指标项删除，原理同最小均方差法