§6.4正态总体的假设检验

F= (∑( Xi − µ1)2 ) m (∑(Yi − µ2 )2 ) n
i=1 i=1 n
2. 两个总体方差的假设检验: 两个总体方差的假设检验
~ F(m, n)
P{F ≤ F−α 2 (m, n)} = P{F ≥ F 2 (m, n)} = α 1 α
拒绝域为: 拒绝域为 {F ≤ F −α 2 (m, n)}∪{F ≥ F 2 (m, n)} 1 α
2
P{χ ≤ χ
2
2 1−α
2
(n −1)} = P{χ ≥ χα (n −1)} = α
2 2 2
2
2
2
2 拒绝域为: 拒绝域为 {χ 2 ≤ χ 2 α (n −1)}∪{χ 2 ≥ χα (n −1)} 1−
判断: 的观测值落入拒绝域, 拒绝H 否则, 接受H 判断 χ2 的观测值落入拒绝域 拒绝 0 , 否则 接受 0.
2
2 0.975
( 9 ) = 2.70
χ2 的观测值为 χ2=15.20 的观测值为:
2 0.975
(10 ) ≤ χ ≤ χ
2 0.025
(10 )
所以在显著性水平α=0.05 下接受 0. 下接受H 所以在显著性水平
独立, 设X~N(μ1,σ12), Y~N(μ2,σ22) 独立 X1 , … , Xm , Y1 , …, Yn分别是取自X, Y 的样本, 分别是取自 的样本 H0: σ12=σ22, H1: σ12≠σ22 均已知： (1) μ1, μ2 均已知： m H0 为真时 取 为真时,取
2 2 2
2 2 1−α 2 2
2
2 2
拒绝域为
{χ ≤ χ
(n)}∪{χ ≥ χα (n)}
判断: 的观测值落入拒绝域, 拒绝H 否则, 接受H 判断 χ2的观测值落入拒绝域 拒绝 0 , 否则 接受 0.
未知： (2) µ未知：
H0 为真时 取 为真时,取
χ =
2
nS
σ
2 n 2
~ χ (n −1)
(2)
µ未知： 未知：
取
χ =
2
nS
σ
2 n 2 0
~ χ (n −1)
2
其余同(1). 其余同
某织物强力指标X的均值 公斤. 例3 某织物强力指标 的均值 µ0 =21公斤 改 公斤 进工艺后生产一批织物，今从中取 件 进工艺后生产一批织物，今从中取30件，测 公斤. 得 X =21.55公斤 假设强力指标服从正态分 公斤 公斤， 布 N(µ, σ 2 ), 且已知 σ=1.2公斤， 问在显著 公斤 性水平 α=0.01下，新生产织物比过去的织物 下 强力是否有提高? 强力是否有提高
是取自X~N(μ,σ2) 的样本 的样本, 设X1,…Xn是取自
H0: μ=μ0, H1: µ≠µ0
X − µ0 ~ N(0,1) H0 为真时 取 U = 为真时,取 σ n
已知： (1)σ2 已知：
P{| U |≥ uα 2} = α
拒绝域为
| U |≥ uα 2
判断: 的观测值落入拒绝域, 拒绝H 否则, 接受H 判断 U 的观测值落入拒绝域 拒绝 0 , 否则 接受 0.
i=1
σ0
对给定的α, 查表得χ2α (或χ21-α ), 使得 或
P{χ ≥ χα (n)} = α (P{χ ≤ χ (n)} = α)
2 2 2 2 1−α
2
拒绝域为: 拒绝域为
{χ ≥ χα (n)}
2 2
({χ ≤ χ
2 1−α
(n)}
判断: 的观测值落入拒绝域, 拒绝H 否则, 接受H 判断 χ2的观测值落入拒绝域 拒绝 0 , 否则 接受 0.
(10 ) = 3.25
χ2 的观测值为 χ2=16.88 的观测值为:
χ
2 0.975
(10 ) ≤ χ ≤ χ
2
2 0.025
(10 )
所以在显著性水平α=0.05 下接受 0. 下接受H 所以在显著性水平
拒绝域为: 拒绝域为 {χ 2 ≤ χ 2 (n −1)}∪{χ 2 ≥ χ 2 (n −1)} α 1−α
§6.4 正态总体参数的假设检验
正态总体X~N(μ,σ2) 是最常见的分布 其 是最常见的分布, 正态总体 参数μ,σ2的有关检验在实际中经常遇到 的有关检验在实际中经常遇到.
下面分别讨论它们的假设检验. 下面分别讨论它们的假设检验
一、总体均值的假设检验 1.单个总体均值的假设检验 单个总体均值的假设检验 单个
注意： 注意：
F−α (m, n) =1 F (n, m) 1 α
1 1 P{F ≥ F−α (m, n)} =1−α ⇔ P{ ≤ } =1−α 1 F F−α (m, n) 1
1 1 ⇔ P{ > } =α F F−α (m, n) 1
1 所以F (n, m) = α F −α (m, n) 1
为比较两台自动机床的精度， 例2 为比较两台自动机床的精度，分别取 容量为10和 的两个样本 的两个样本， 容量为 和8的两个样本，测量某个指标的 尺寸(假定服从正态分布 得到下列结果： 假定服从正态分布)， 尺寸 假定服从正态分布 ，得到下列结果：
车床甲： 车床甲：1.08, 1.10, 1.12, 1.14, 1.15, 1.25, 1.36, 1.38,1.40,1.42 车床乙： 车床乙：1.11, 1.12, 1.18, 1.22, 1.33, 1.35, 1.36, 1.38
某工厂用自动包装机包装奶粉, 例1 某工厂用自动包装机包装奶粉 在某天生产 的奶粉中随机抽取10袋 测得重量分别为 测得重量分别为: 的奶粉中随机抽取 袋,测得重量分别为 495, 510, 505, 489, 503, 502, 512, 497, 506, 492克. 克 设包装机包装奶粉重量X~N(μ,σ2) , 25), 设包装机包装奶粉重量 能否认为各袋净重的标准差σ0=5 克? (α=0.05). 分两种情形: =500克 未知. 分两种情形: (1) μ0=500克, (2) μ0未知.
F−α 2 (9,7) = F .95(9,7)= 1/ F .05(7,9) 1 0 0
=1/ 3.29 = 0.304
由于 0.304<1.51<3.68， 故接受 0 . ， 故接受H 这时可能犯第二类错误. 这时可能犯第二类错误
三、单侧假设检验: 单侧假设检验
1.单个总体单侧均值的假设检验 是取自X~N(μ,σ2) 的样本 的样本, 设X1,…Xn是取自 H0: μ≤μ0, (H0: μ≥μ0 ) 已知： (1)σ2 已知： 取 U = X − µ0 ~ N(0,1 (µ = µ0 ) ) σ n
拒绝域为
X − µ0 t= ~ t(n −1) (µ = µ0 ) Sn n −1
{t ≥ tα (n −1)} ( {t ≤ t1−α (n −1)} )
判断: 的观测值落入拒绝域, 拒绝H 否则, 接受H 判断 t 的观测值落入拒绝域 拒绝 0 , 否则 接受 0.
2. 单个总体单侧方差的假设检验
的信息, 为真时,样本均值 样本均值≤ 样本均值反应了µ的信息 当H0 为真时 样本均值≤μ0 (或U≤0) 的可能性就大 而样本均值≥μ0 (或U≥0)的 或 的可能性就大, 而样本均值≥ 或 的 可能性就小. 所以拒绝域应设置在右侧. 可能性就小 所以拒绝域应设置在右侧
对给定的α, 查表得uα (或u1-α), 使得 或
1.单总体方差的假设检验 的样本, 是取自X~N(μ,σ2) 的样本 设X1,…Xn是取自 H0: σ2=σ02, H1: σ2≠σ02 已知： (1)µ已知： n Xi − µ 2 2 2 ) ~ χ (n) H0 为真时 取 χ = ∑( 为真时,取 σ0 i=1
P{χ ≤ χ
2
2 1−α
2
(n)} = P{χ ≥ χα (n)} = α
2
判断: 的观测值落入拒绝域, 拒绝H 否则, 接受H 判断 F 的观测值落入拒绝域 拒绝 0 , 否则 接受 0.
(2) μ1,μ2 均未知： 均未知： H0 为真时 取 为真时, 2 2 (n −1)mSX mSX (m−1) F= = 2 ~ F(m−1, n −1) 2 (m−1)nSY nSY (n −1)
X −Y ~ t(m+ n − 2) 1 1 SW + m n
H0 为真时 取 Tห้องสมุดไป่ตู้= 为真时,取
P{| T |≥ tα 2} = α
拒绝域为: 拒绝域为
| T |≥ tα 2
判断: 的观测值落入拒绝域, 拒绝H 否则, 接受H 判断 T 的观测值落入拒绝域 拒绝 0 , 否则 接受 0.
二、总体方差的假设检验
解: 设 H0: σ2=σ02
H0 为真时 取 为真时,取
2
χ = ∑(
i=1
n
拒绝域为: 拒绝域为 {χ 2 ≤ χ 2 α 1−
2
σ0 2 2 (n)}∪{χ ≥ χα (n)}
2
Xi − µ
)2 ~ χ2 (n)
α=0.05 查表得 :
χ
2 0.025
(10 ) = 20.5, χ
2 0.975
否定域为W: 否定域为
F ≤ F−α 2 (9,7) 或 1 F ≥ F 2 (9,7) α
否定域为W: F ≤ F−α 2 (9,7) 或 F ≥ F 2 (9,7) 否定域为 1 α 由样本值可计算得F的实测值为: 由样本值可计算得 的实测值为: 的实测值为 F=1.51 查表得 F 2 (9,7) = F .05(9,7) = 3.68 0 α
在α=0.1 时, 问这两台机床是否有同样的 精度? 精度
解:设两台自动机床的方差分别为σ12,σ22,
下检验假设: 在α=0.1下检验假设: 下检验假设
H0 : σ = σ ⇔ H1 : σ ≠ σ
2 1 2 2 2 1
2 1 2 2
2 2
S ~ F(9,7) 取统计量 F = S 2 2 其中 S1 , S2 为两样本的样本方差的修正值 为两样本的样本方差的修正值.
P{F ≤ F−α 2 (m−1, n −1)} = P{F ≥ Fα 2 (m−1, n −1)} = α 1
拒绝域为: 拒绝域为
2
{F ≤ F−α 2 (m −1, n −1)}∪{F ≥ F 2 (m −1, n −1)} 1 α
判断: 的观测值落入拒绝域, 拒绝H 否则, 接受H 判断 F 的观测值落入拒绝域 拒绝 0 , 否则 接受 0.
是取自X~N(μ,σ2) 的样本 的样本, 设X1,…Xn是取自 H0: σ2≤σ02, ( H1: σ2≥σ02) (1) µ已知： 已知： n Xi − µ 2 2 2 χ = ∑( ) ~ χ 2 (n) (σ 2 = σ0 ) 取
为真时, 的信息, 分子部分的和反应了σ2的信息 当H0 为真时 统 计量较小的可能性就大, 而统计量较小的可能性就小. 计量较小的可能性就大 而统计量较小的可能性就小 所以拒绝域应设置在右侧. 所以拒绝域应设置在右侧
σ
2 1
H0 为真时 取 U = 为真时,取
P{| U |≥ uα 2} = α
拒绝域为: 拒绝域为
m
+
σ
2 2
~ N(0,1)
n
| U |≥ uα 2
判断: 的观测值落入拒绝域, 拒绝H 否则, 接受H 判断 U 的观测值落入拒绝域 拒绝 0 , 否则 接受 0.
(2)
均未知, σ12,σ22 均未知,但σ12=σ22 =σ2
2.两个总体均值的假设检验 两个总体均值的假设检验 总体均值的假设检验:
独立, 设X~N(μ1,σ12), Y~N(μ2,σ22) 独立 X1,…Xm, Y1,…Yn分别是取自 分别是取自X,Y 的样本 的样本, (1) 均已知： σ12,σ22 均已知：
X −Y
H0: μ1=μ2, H1: μ1≠μ2
未知： (2)σ2 未知：
H0 为真时 取 为真时,取
X − µ0 t= ~ t(n −1) Sn n −1
P{| t |≥ tα 2 (n −1)} = α
拒绝域为
| t |≥ tα 2 (n −1)
判断: 的观测值落入拒绝域, 拒绝H 否则, 接受H 判断 t 的观测值落入拒绝域 拒绝 0 , 否则 接受 0.
P{U ≥ uα } = α (P{U ≤ u1−α } = α)
拒绝域为
{ ≥ uα } ({ ≤ u1−α }) U U
判断: 的观测值落入拒绝域, 拒绝H 否则, 接受H 判断 U 的观测值落入拒绝域 拒绝 0 , 否则 接受 0.
未知： (2)σ2 未知： 取
P{t ≥ tα (n −1)} = α ( P{t ≤ t1−α (n −1)} = α )
两种情形下 nS 2 2 ~ χ (n −1) 均接受 H0. H0 为真时 取 χ = 为真时,取 σ 2 2 2 2 P{χ ≤ χ1−α (n −1)} = P{χ ≥ χα (n −1)} =α 2
2 n 2 0
未知： (2) µ未知：
2
2
α=0.05 查表得:
2
2
χ
χ
2 0.025
( 9 ) =19.02, χ