chap5-1作业及答案

第五章 数学物理方程和定解条件的导出

5-1 波动方程的定解问题 作业及答案

1. 一长为l 的均匀细杆，0x =端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b 后静止（在弹性限度内），突然放手任其振动，写出振动方程与定解条件。 解：

① 方程：

2222222[()()](,)(,)[]tt xx xx u sdx x dx x s t

u u x dx t u x t u dx Y Y dx t x x x

Y u u a u ρρρρρ

∂=+-∂∂∂+∂∂=-=∂∂∂∂== ② 边界条件

(0,)0()(,)0(0)x u t F t u l t t Ys =⎧⎪⎨==≥⎪⎩

自由振动

③ 初始条件 t u(x,0)u(x,0),()x u (,0)0b b x l l

x ⎧==⎪⎨⎪=⎩由比例得

2. 一根均匀柔软的细弦沿x 轴绷紧，垂直于平衡位置作微小的横振动，求其振动方程。

解：应用牛顿定律于纵向及横向。

① 纵向。由纵向加速度为零

21T()cos T()cos 0

g dx dT g dx

ααρρ-+==-x+dx x 积分

0()(0)()(0)()

x T x T g dx g x T x T g x g l x ρρρρ-=-=-∴=-=-⎰

② 横向

21T()sin T()sin sin [][][][]11:[][()]()tt x

x x dx x x tt x tt x tt tt x x xx x

u dx

tg u Tu Tu u dx

Tu dx u dx x

Tu u x

u Tu g l x u x x

g l x u gu ααρα

αρρρρρρ+-==∴-=∂=∂∂=∂∂∂==-∂∂=--x+dx x 因联立

3. 长为l 的弦两端固定，密度为ρ，开始时在x c ε-<处受到冲量I 作用，写出初始条件。

解：1.初始条件

1）初位移，0t =时弦来不及振动，故(,0)0u x =

2）初速度，在x c ε-<段，由动量定理：21t t P Fdt I ==⎰Δ,而动量的变化为(,0)2(,0)t t P mu x u x ερ==Δ，将两式联立，有(,0),2t I u x x c εερ=-< 在x c ε-<段，没有受到外界作用，故(,0)0,t u x x c ε=-<

4. 长为l 的均匀细杆，在振动过程中0x =端固定，另一端受拉力0F 的作用，试写出边界条件（杆的横截面积为S ,杨氏模量为Y ）. 解：我们取(0,)ε和(,)l l ε-段进行研究，设杆的体密度为ρ，

对于(0,)ε段，由牛顿第二定律有：202u s p F t

ερε∂=-∂ 由胡克定律

202x x u p Ys

x u u s Ys F t x

εεερε==∂=∂∂∂∴=-∂∂ 当0ε→有00

0x u

Ys F x =∂-=∂

即00x F u

x Ys

=∂=

∂ 对于(,)l l ε-段有202x l u u s F Ys t x

ερε=-∂∂=-∂∂

当0ε→有0x l F u

x Ys

=∂=

∂ 故其边界条件为

00x x l F u u x x Ys

==∂∂=

=∂∂ 5. 线密度为ρ长为l 的弦，两端固定，在某种介质中作阻尼振动，单位长度的弦所受阻力u F h t

∂=-∂，试写出其运动方程。 解：任取(,)x x dx +一小段弦进行研究，由牛顿定律在垂直方向有

2212sin sin x dx x u u T T g dx h dx dx t t

ααρρ+∂∂---=∂∂ 水平方向有 21cos cos 0x dx x T T αα+-= 我们研究的范围限于微小振动

21210,cos cos 1αααα∴≈→≈≈即 亦即x dx x T T T +== 且1122sin tan ,sin tan x x dx

u u x x αααα+∂∂≈=≈=∂∂

22222222()x dx x u u u u T gdx h dx dx x x t t u u u T dx gdx h dx dx x x t t u u u T g h x t t

ρρρρρρ+⎡⎤∂∂∂∂∴---=⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦

∂∂∂∂--=∂∂∂∂∂∂∂--=∂∂∂ 因为g ρ这项很小，可以忽略不计 所以22220u T u h u t x t

ρρ∂∂∂-+=∂∂∂

令2T

a

ρ

=

故运动方程为：

22

2

22

0 u u h u

a

t x t

ρ

∂∂∂

-+=∂∂∂