有限差分法基本原理

n1 i
in
n
n
i 1
i 1
0
t
2x
差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程 问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为：
in1
in
t 2x
(in1
n i 1
)
i0 (xi )
观察上述差分格式可看出：若知道第 层n的 ，可 由一个差分式子直接算出第 n 层1 的 ， 故称这类格式
有限差分法基本原理
流体的控制方程
u u u v u w u p 0
t x y z x
v u v v v w v p 0
t x y z y
w u w v w w w p 0
t x y z z
流体的控制方程
Du Dt
p x
x
2
u x
2 3
V
y
u y
v x
z
离散网格点
差分和逼近误差
差分概念：
设有x 的解析函数 y f (x) ，函数y 对x 的导
数为：
dy lim y lim f (x x) f (x)
dx x0 x x0
x
dy dy 、dx 分别是函数及自变量的微分，dx 是函数 对自变量的导数，又称微商。上式中的y 、x 分别 称为函数及其自变量的差分y ， 为函数对自变量的差
限差分方程的解是收敛的。
一般情况下，证明收敛性T是(非i,常n难) 的，x暂l不i0m,予t以证0 T明it。
x t
3.稳定性 稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。在 数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差， 因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其 他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影 响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不 稳定的。
0
t
x
ui0 u (xi )
uin1
uin
a
t x
(uin1
uin )
Hale Waihona Puke Baidu
ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
FTBS格式（时间向前差分、空间向后差分）
uin1
uin
a
t x
(uin
un i 1
)
ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
u a u 0 t x u(x,0) u(x)
几种差分格式介绍
w x
u z
Dv Dt
p y
x
u y
v x
y
2
v y
2 3
V
z
w y
v z
Dw Dt
p w
x
w x
u z
y
v z
w y
z
2
w z
2 3
V
数值离散概述
有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先 将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连 续的求解域，将待求解的流动变量（如密度、速度等） 存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相 应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的 差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差 分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格 点上流动变量的数值解。
u a u 0 t x u(x,0) u(x)
几种差分格式介绍
迎风格式
u a u 0 t x u(x,0) u(x)
模型方程
为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过
于复杂，常用一些简单的方程来模拟流体力学方程进行 讨论分析，以阐明关于一些离散方法的概念。这些方程 就叫做模型方程。常用的模型方程：
对流方程：
0
t x
对流－扩散方程： 2
t x x2
热传导方程：
t
2
x 2
Poisson方程：
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差
二阶中心差分：
差分和逼近误差
二阶中心差分：
差分方程的建立过程
差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分 和差商是用有限形式表示的，而微分和导数是以极限 形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商 近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。
2）该定理只适用于线性问题，对非线性此定理至今未得到证明。
重要的实际意义：一般情况下，证明有限差分方程的解收敛于它所近似的偏微 分方程的解比较困难。而证明有限差分方程的稳定性和相容性相对来说比较容易。根据 该定理只要证明有限差分方程是相容的、稳定的，就保证了收敛性。
几种差分格式介绍
FTCS格式（时间向前差分、空间中心差分）
8
5
9
5
3.0 100 68. 45. 21. 14.
8
3
9
1
0.5 0.6 0.7
0
00
00
0
00
0
00
12.
5
0 6.2 12.
5
5
6.2 6.2 21.
55
9
6.2 14. 21.
51
9
0.8 0.9 1.0
00
100
0 50 100 25 50 100
25 62. 100 5
37. 62. 100 55 37. 68. 100 58 45. 68. 100 38
2.针对某一点，用差商近似代替导数
对流方程在 (xi , t点n )为
n
n
0
t i x i
t
tn1 tn tn1
o
x xi1 xi xi1
t x
时间导数用一阶向前差商近似代替：
n
n1 i
in
t i
t
空间导数用一阶中心差商近似代替：
n
n i 1
n i 1
x i
2x
则对流方程在 (xi , t点n )对应的差分方程为
一个可用的偏微分方程的差分表达式必须是相容的。否则在
、 趋近零时，差分方程不能趋于原微分方程，差分方程的解就不能代表微分方程的 解，差分求解就失去了意义!
x t
2.收敛性
收敛性研究的是差分方程的解与微分方程的解之间的差别问
题。如果在求解区域中的任一离散点
上，当网格步长 、
趋于零时，有限差分方程的解趋近于所近似的微分(方x,程t )解，则称有
T *n1 i
ST
*n i 1
(1
2S
)T
*n i
ST
*n i 1
n1 i
S
n i
1
(1
2S
)
n i
S
n i 1
上式称为误差传播方程。
4.Lax等价定理
对于一个适定的线性初值问题，如果有限差分近似是相容的，则稳定性是收敛性 的充分和必要条件。这是有限差分方法最基本的定律。
适用条件：
1）偏微分方程的解存在、唯一且连续地依赖于初值；
100 0
100
0.5 0.6 0.7
0
00
00
0
00
0
00
100
0.8 0.9 1.0
00
100
0 100 100
100 0
100
-
200 100
100
差分法的基本理论
1.相容性
上例中，令
Ti n1
Tin
t x 2
(Ti
n 1
2Tin
Ti
n 1
)
T表(i示, n差)分方程的精确解．利用Taylor级数将
程：
Ti n1
1 2
(Ti
n 1
Ti
n 1
)
显式有限差分模板：
x tT
0.0
0.1
0.0 100 0
0.2 0.3 0.4
00
0
0.5 100 50 0
0
0
1.0 100 50 25 0
0
1.5 100 62. 25 12. 0
5
5
2.0 100 62. 37. 12. 6.2
5
5
5
5
2.5 100 68. 37. 21. 6.2
为显示格式。
显式有限差分模板：
时间推进：
例 考虑长度为1的均匀 直杆，其表面是绝热的， 而且杆截面足够细，可
以把断面上的所有点的温度看成是相同的。x 轴取为沿
杆轴方向，x 0, x 1 对应杆的端点，则杆内温度分 布T (x,t)
随时间变化 由TT下t(x,面0)的0x2扩T2 散方程来描述：
上式中邻近节点的解在(i，n)点展开，整理并略去上标后可得
T t
2T x 2
ET
上分式方就程是的与差差分分方E方程T程,其等差价商的2都t微可t2分2T以方用in程Ta式yl。or一级般1数x2地表2说x示44，T，任这in何样一都O个可(微t 2 , x4 )
以得到一个与差分方程对应的新的微分方程，该微分方程称为差
分方程的修正方程式。
T t
2T x 2
ET
ET
t 2T 2t 2
n
i
x2 4T 12x 4
n
i
O(t 2 , x2 )
上式中的 差。显然 与
就E是、T 差成分正方比程，与一微般分情方况程下的，差当别步，长称趋之向为零截时断,误有限差分方程的截断误
差是趋向于零E的T，则称x有限差t 分方程与相应的偏微分方程是相容的。
2
x2
2
y 2
f
Laplace方程：
2
x2
2
y 2
0
差分方程的建立过程
以对流方程说明差分方程的建立过程。
0
t x
(x,0) (x)
差分方程的建立过程
1.划分网格
选定步长 x 和t ，然后在坐标平面用平行于坐标 轴的两族直线划分网格：
xi x0 ix, tn nt
i 0, 1, 2, ..., n 0, 1, 2, ...,
商。
x
差分和逼近误差
差分的三种形式（一阶）：
向前差分
y f (x x) f (x)
向后差分
y f (x) f (x x)
中心差分
y f (x x) f (x x)
与其对应的差商的三种形式（一阶）：
向前差商
y f (x x) f (x)
x
x
向后差商
y f (x) f (x x)
如仍取 102, x 0.1, 而为缩短计算时间，时 间步长 取t 1.0 ，则最终的差分方程：
T n1 i
Tn i 1
Tin
Tn i 1
x tT
0.0
0.1
0.0 100 0
0.2 0.3 0.4
00
0
0.5 100 100 0
0
0
1.0 100 0
100 0
0
1.5 100 200 -
Von Neumann稳定性分析方法简介
分析例题
Ti n1
Tin
t x 2
(Ti
n 1
2Tin
Ti
n 1
),
S
t x 2
T n1 i
STin1
(1
2S )Tin
STin1
上式中 为Ti差n 分方程的精确解,如果令 为差分方程T的*in 近似数值
解，之间的误差为 。同样，近似数值解也满足同样的方程：
u a u 0 t x u(x,0) u (x)
uin 1
uin
un i 1
un i 1
0
t
2x
ui0 u (xi )
uin 1
uin
a
t 2x
(uin1
un i 1
)
ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
FTFS格式（时间向前差分、空间向前差分）
uin1 uin
un i 1
uin
T (0, t) 100
T (1, t) 100
时间导数用一阶向前差商近似代替：
T
n
Ti n1
Tin
t i
t
空间导数用二阶中心差商近似代替：
2T x 2
in
Tn i 1
2Tin x 2
Tn i 1
Ti n1
Tin
t x 2
(Tin1
2Tin
Tin1)
取 102, x 0.1, t 0.5 ，则最终的差分方
x
x
中心差商
y f (x x) f (x x)
x
2x
差分和逼近误差
由导数（微商）和差商的定义可知，当自变量的 差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。 因此在数值计算中常用差商近似代替导数。
差分和逼近误差
用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。
差分和逼近误差
差分和逼近误差
逼近误差：差商与导数之间的误差，表明差商逼近导数的程度。 由函数的 Taylor 级数展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分的量级，称为用 差商代替导数的精度。