数理统计基本概念教案

第17讲 2

χ分布 t 分布 F 分布 正态总体统计量的分布

教学目的： 掌握2χ分布、t 分布、F 分布及正态总体统计量的分布。 教学重点： 2χ分布、t 分布、F 分布。 教学难点： 正态总体统计量的分布。 教学时数： 2学时。 教学过程：

第五章 数理统计的基本知识

§ 2χ分布、t 分布、F 分布

1. （

2.

2χ分布

定理1 设随机变量k X X X ,,,21 相互独立，且均服从()1,0N ，则随机变量

∑==k

i i X 1

22

χ

的概率密度为

()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=--.0,

0;0,221

21222x x e x k x f x k k χ 我们称随机变量2χ服从自由度为k 的2χ分布，记作()k 22~χχ。

注（1）可以证明，2χ分布具有可加性：即若随机变量21χ和2

2χ相互独立，且

()()222

21221~ ,~k k χχχχ

"

则

().~2122221k k ++χχχ

（2）上α分位数：对于不同自由度k 及不同的数()10<<αα，定义2

αχ是自由度

为k 的2χ分布上α分位数，如果其满足

()

()αχχα

χχα==≥⎰+∞

222

2

dx x f P

3. t 分布

定理2 设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从()1,0N ，Y 服从自由度为k 的2χ分布，则随机变量

k Y X t =

的概率密度为

|

()2

1

21221+-⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⎪⎭

⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ=k t k x k k k x f π 我们称随机变量t 服从自由度为k 的t 分布，记作()k t t ~。

注（1）可以证明，当自由度∞→k 时，t 分布将趋于()1,0N 。

（2）上α分位数：对于不同的自由度k 及不同的数()10<<αα，定义αt 是自由度为k 的t 分布上α分位数，如果其满足

()()αα

α==≥⎰

+∞

t t dx x f t t P

4. F 分布

定理3 设随机变量X 与Y 相互独立，分别服从自由度为1k 与2k 的2χ分布，则随机变量

2

1

k Y k X F =

、

的概率密度为

()()

;.

0,

00

,2222

2112

2

2

21

21212112

1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪

⎭⎫ ⎝⎛+Γ=+-x x k x k x

k k k k k k x f k k k k k F

我们称随机变量F 服从自由度为()21,k k 的F 分布，记作()21,~k k F F 。其中1k 称为第一自由度，2k 称为第二自由度。

注 （1）上α分位数：对于不同的自由度()21,k k 及不同的数()10<<αα，定义α

F 是自由度为()21,k k 的F 分布上α分位数，如果其满足

()()αα

α==≥⎰

+∞

F F dx x f F F P

（2） 容易证明，()()1,,12211=⋅-k k F k k F αα。

§ 正态总体统计量的分布

1. 单个正态总体的统计量的分布

！

从总体X 中抽取容量为n 的样本n X X X ,,,21 ，样本均值与样本方差分别是

()2

1

2

111,1∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X . 定理1 设总体X 服从正态分布()2

,σμN ，则样本均值X 服从正态分布⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛n

N 2

,σμ，即

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛n N X 2,~σμ

证 因为随机变量n X X X ,,,21 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布

()2,σμN ，所以由§中的定理知，它们的线性组合X 服从正态分布⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛n

N 2

,σμ。 定理2 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则统计量n

X u σμ

-=

服从标准正态分布

()1,0N ，即

()1,0~N n

X u σμ

-=

由定理1结论的标准化即得到定理2。

&

定理3 设总体X 服从正态分布()2

,σ

μN ，则统计量()∑=-=

n

i i

X X

1

2

2

2

1

σχ

服从自由

度为n 的2χ分布，即

()()n X X

n

i i

21

2

2

2

~1

χσχ∑=-=

证 注意到()2,~σμN X i ，则

()n i N X i ,,2,1 ,1,0~ =-σ

μ

又上述统计量相互独立，并按照2χ分布的定义可得结果。

定理4 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则 （1）样本均值X 与样本方差2S 相互独立； （2）统计量()2

22

1σ

χ

S n -=

服从自由度为1-n 的2χ分布，即

。

()()1~122

22

--=

n S n χσχ

证明略。

定理5 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则统计量n

S

X t μ-=

服从自由度为1-n 的

t 分布，即

()1~--=

n t n

S

X t μ

证 由定理2知，统计量

()1,0~N n

X u σμ

-=

又由定理4知，统计量

()()1~122

2

2

--=

n S n χσχ

￥

因为X 与2S 相互独立，所以u 与2χ也相互独立，于是根据t 分布的定义得结论。

2. 两个正态总体的统计量的分布

从总体X 中抽取容量为x n 的样本x n X X X ,,,21 ，从总体Y 中抽取容量为y n 的样本

y n Y Y Y ,,,21 。假设所有的抽样都是相互独立的，由此得到的样本()x i n i X ,,2,1 =与

()y j n j Y ,,2,1 =都是相互独立的随机变量。我们把取自两个总体的样本均值分别记作

∑∑====

y

x

n j j

y n i i x Y

n Y X n X 1

1

1

,1