第讲区间套定理

第28讲 上（下）确界与区间套定理
讲授内容
一、 有界集.确界原理
定义1 设S 为R 中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切S x ∈，都有x ≤M(x ≥L)，则称S 为
有上界(下界)的数集，数M(L)称为S 的一个上界(下界)．
若数集S 既有上界又有下界，则称S 为有界集．若S 不是有界集，则称S 为无界集． 例1 证明数集n n N |{=+为正整数}有下界而无上界． 定义2 设S 是R 中的一个数集．若数η满足： （i ）对一切S x ∈，有η≤x ，即η是S 的上界；
（ii ）对任何ηα<存在S x o ∈，使得α>o x 即η又是S 的最小上界 则称数η为数集S 的上确界，记作S sup =η
定义3 设S 是R 中的一个数集．若数ξ满足： （i ）对一切S x ∈，有ξ≥x ，即ξ是S 的下界
（ii ）对任何ξβ>，存在S x o ∈，使得,β<o x 即ξ又是S 的最大下界，则称数ξ为数集S 的下确界，记作 S inf =ξ
上确界与下确界统称为确界．
例1 设x x S |{=为区间)1,0(中的有理数}.试按上、下确界的定义验证： .0inf ,1sup ==S S 解：先验证:1sup =S
（i ）对一切S x ∈，显然有1≤x 即1是S 的上界．
(ii )对任何1<α，若0≤α，则任取S x o ∈都有α>o x ；若0>α，则由有理数集在实数集中的稠密
性，在)1,(α中必有有理数o x 即存在S x o ∈，使得α>o x ．
类似地可验证0inf =S
注1 由上(下)确界的定义可见，若数集S 存在上(下)确界，则一定是唯一的．又若数集S 存在上、下确界，则有S S sup inf ≤．数集S 的确界可能属于S ，也可能不属于S ．
定理1.1(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界． 证明略
例2 设B A ,为非空数集，满足：对一切A x ∈和B y ∈有y x ≤．证明：数集A 有上确界，数集B 下确界，且B A inf sup ≤.
证：由假设，数集B 中任一数y 都是数集A 的上界，A 中任一数x 都是B 的下界，故由确界原理推知数集A 有上确界，数集B 有下确界．
现证不等式，对任何B y ∈，y 是数集A 的一个上界，而由上确界的定义知，A sup 是数集A 的最小上界，故有y A ≤sup ．而此式又表明数A sup 是数集B 的一个下界，故由下确界定义证得B A inf sup ≤．
二、区间套定理与柯西收敛准则
定义1 设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质： （¡）
[]n n b a ,[]11,++⊃n n b a ， ,2,1=n ；
（¡¡） 0)(lim =-∞
→n n n a b ，
则称[]{}n n b a ,为闭区间套，或简称区间套。

这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式： .1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ （1） 定理7.1（区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，
,2,1=n ，即ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2）
证：由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有
.,2,1, =≤n a n ξ （3） 同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有
ξ==∞
→∞
→n n n n a b lim lim ， （4）
且 .,2,1, =≥n b n ξ （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。

最后证明满足（2）的ξ是唯一的。

设数ξ'也满足 ,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ 则由（2）式有
≤'-ξξ.,2,1, =-n a b n n 由区间套的条件（¡¡）得
≤'-ξξ0)(lim =-∞
→n n n a b ，
故有ξξ='.
由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：
推论 若[]),2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n >N 时有
[]n n b a ,⊂()．
；εξU
注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。

对于开区间列，如⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝
⎛n 1,0，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且001lim =⎪⎭
⎫
⎝
⎛-∞→n n ，但不存在属于所有开区间的公共点.
作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的“数列的柯西收敛准则”（定理2.10）. 定
理2.10数列{}n a 收敛的充要条件是:对任给的0>ε,存在0>N ,使得对N n m >,有ε<-||n m a a . 证：[必要性] 设A a n n =∞
→lim .由数列极限定义,对任给的0>ε,存在0>N ,当N n m >,时有
,2
ε
<
-A a m 2
ε
<
-A a n
因而 εε
ε
=+
<
-+-≤-2
2
A a A a a a n m n m
[充分性] 按假设,对任给的0>ε,存在0>N ,使得对一切N n ≥有ε≤-N n a a ,即在区间
[]εε+-N N a a ,内含有{}n
a 中几乎所有的项(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“{}n
a 中几乎所有的
项”表示“{}n a 中除有限项外的所有项”). 据此,令21=
ε,则存在1N ,在区间⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-21,2111N N a a 内含有{}n a 中几乎所有的项.记这个区间为
[]11,βα.
再令22
1=
ε，则存在)(12N N >，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2221,2122N N a a 内含有{}n a 中几乎所有的项．记
[][]1122
22,21,21,22
βαβα ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
-
=N N
a a ， 它也含有{}n a 中几乎所有的项，且满足
[][]2
1,,222211≤-⊃αββαβα及
继续依次令,,2
1
21
3 n
，，=ε照以上方法得一闭区间列[]{}n n βα,，其中每个区间都含有{}n a 中几乎所有的项．且满足
[][],,2,1,,,11 =⊃++n n n n n βαβα
)(02
1
1
∞→→≤
--n n n n αβ
即[]{}n n βα,是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数[]n n βαξ,∈(),,2,1 =n ，
现在证明数ξ就是数列{}n a 的极限．事实上，由定理7.1的推论，对任给的0>ε，存在0>N ，使得当N n >时有
[]);(,εξβαU n n ⊂
因此在);(εξU 内除有限外的所有项，这就证得ξ=∞
→n n a lim ．。