第讲区间套定理

第28讲 上（下）确界与区间套定理

讲授内容

一、 有界集.确界原理

定义1 设S 为R 中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切S x ∈，都有x ≤M(x ≥L)，则称S 为

有上界(下界)的数集，数M(L)称为S 的一个上界(下界)．

若数集S 既有上界又有下界，则称S 为有界集．若S 不是有界集，则称S 为无界集． 例1 证明数集n n N |{=+为正整数}有下界而无上界． 定义2 设S 是R 中的一个数集．若数η满足： （i ）对一切S x ∈，有η≤x ，即η是S 的上界；

（ii ）对任何ηα<存在S x o ∈，使得α>o x 即η又是S 的最小上界 则称数η为数集S 的上确界，记作S sup =η

定义3 设S 是R 中的一个数集．若数ξ满足： （i ）对一切S x ∈，有ξ≥x ，即ξ是S 的下界

（ii ）对任何ξβ>，存在S x o ∈，使得,β

上确界与下确界统称为确界．

例1 设x x S |{=为区间)1,0(中的有理数}.试按上、下确界的定义验证： .0inf ,1sup ==S S 解：先验证:1sup =S

（i ）对一切S x ∈，显然有1≤x 即1是S 的上界．

(ii )对任何1<α，若0≤α，则任取S x o ∈都有α>o x ；若0>α，则由有理数集在实数集中的稠密

性，在)1,(α中必有有理数o x 即存在S x o ∈，使得α>o x ．

类似地可验证0inf =S

注1 由上(下)确界的定义可见，若数集S 存在上(下)确界，则一定是唯一的．又若数集S 存在上、下确界，则有S S sup inf ≤．数集S 的确界可能属于S ，也可能不属于S ．

定理1.1(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界． 证明略

例2 设B A ,为非空数集，满足：对一切A x ∈和B y ∈有y x ≤．证明：数集A 有上确界，数集B 下确界，且B A inf sup ≤.

证：由假设，数集B 中任一数y 都是数集A 的上界，A 中任一数x 都是B 的下界，故由确界原理推知数集A 有上确界，数集B 有下确界．

现证不等式，对任何B y ∈，y 是数集A 的一个上界，而由上确界的定义知，A sup 是数集A 的最小上界，故有y A ≤sup ．而此式又表明数A sup 是数集B 的一个下界，故由下确界定义证得B A inf sup ≤．

二、区间套定理与柯西收敛准则

定义1 设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质： （¡）

[]n n b a ,[]11,++⊃n n b a ， ,2,1=n ；

（¡¡） 0)(lim =-∞

→n n n a b ，

则称[]{}n n b a ,为闭区间套，或简称区间套。

这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式： .1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ （1） 定理7.1（区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，

,2,1=n ，即ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2）

证：由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有

.,2,1, =≤n a n ξ （3） 同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有

ξ==∞

→∞

→n n n n a b lim lim ， （4）

且 .,2,1, =≥n b n ξ （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。

最后证明满足（2）的ξ是唯一的。设数ξ'也满足 ,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ 则由（2）式有

≤'-ξξ.,2,1, =-n a b n n 由区间套的条件（¡¡）得

≤'-ξξ0)(lim =-∞

→n n n a b ，

故有ξξ='.

由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：

推论 若[]),2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n >N 时有

[]n n b a ,⊂()．

；εξU

注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于开区间列，如⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝

⎛n 1,0，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且001lim =⎪⎭

⎫

⎝

⎛-∞→n n ，但不存在属于所有开区间的公共点.

作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的“数列的柯西收敛准则”（定理2.10）. 定

理2.10数列{}n a 收敛的充要条件是:对任给的0>ε,存在0>N ,使得对N n m >,有ε<-||n m a a . 证：[必要性] 设A a n n =∞

→lim .由数列极限定义,对任给的0>ε,存在0>N ,当N n m >,时有

,2

ε

<

-A a m 2

ε

<

-A a n

因而 εε

ε

=+

<

-+-≤-2

2

A a A a a a n m n m

[充分性] 按假设,对任给的0>ε,存在0>N ,使得对一切N n ≥有ε≤-N n a a ,即在区间

[]εε+-N N a a ,内含有{}n

a 中几乎所有的项(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“{}n

a 中几乎所有的

项”表示“{}n a 中除有限项外的所有项”). 据此,令21=

ε,则存在1N ,在区间⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+-21,2111N N a a 内含有{}n a 中几乎所有的项.记这个区间为

[]11,βα.

再令22

1=

ε，则存在)(12N N >，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2221,2122N N a a 内含有{}n a 中几乎所有的项．记