曲线运动教学案

专题03 曲线运动教学案（教师版）【2013考纲解读】曲线运动是历年高考的必考内容，一般以选择题的形式出现，重点考查加速度、线速度、角速度、向心加速度等概念及其应用。

本部分知识经常与其他知识点如牛顿定律、动量、能量、机械振动、电场、磁场、电磁感应等知识综合出现在计算题中，近几年的考查更趋向于对考生分析问题、应用知识能力的考查。

【知识网络构建】【重点知识整合】(4)平抛运动的两个重要推论①做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图1－3－1所示．由②做平抛运动的物体在任意时刻、任意位置处的瞬时速度与水平方向的夹角θ及位移与水平方向的夹角φ满足：tanθ＝2tanφ.2．类平抛运动以一定的初速度将物体抛出，如果物体受的合力恒定且与初速度方向垂直，则物体所做的运动为类平抛运动，如以初速度v0垂直电场方向射入匀强电场中的带电粒子的运动．类平抛运动的性质及解题方法与平抛运动类似，也是用运动的分解法．三、圆周运动1．描述圆周运动的物理量物理量大小方向物理意义线速度圆弧上各点的切线方向描述质点沿圆角速度中学不研究其方向周运动的快慢周期、频率无方向描述线速度方向心加速度时刻指向圆心向改变的快慢相互关系注意：同一转动体上各点的角速度相等，皮带传动轮子边缘各点的线速度大小相等． 2．向心力做圆周运动物体的向心力可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由各力的合力或某力的分力提供．物体做匀速圆周运动时，物体受到的合力全部提供向心力；物体做变速圆周运动时，物体的合力的方向不一定沿半径指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力改变物体速度的大小．3．处理圆周运动的动力学问题的步骤 (1)首先要明确研究对象；(2)对其受力分析，明确向心力的来源；(3)确定其运动轨道所在的平面、圆心的位置以及半径；(4)将牛顿第二定律应用于圆周运动，得到圆周运动中的动力学方程，有以下各种情况：解题时应根据已知条件合理选择方程形式． 四、开普勒行星运动定律1. 开普勒第一定律（轨道定律）:所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

2. 开普勒第二定律（面积定律）:对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的相等的面积。

（近日点速率最大，远日点速率最小）3. 开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的平方的比值都相等。

即2234G MK Ta π==（M 为中心天体质量）K 是一个与行星无关的常量，仅与中心天体有关长轴短轴五、万有引力定律1. 定律内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比。

2. 表达式：F=GmM/r 2G 为万有力恒量：G=6.67×10-11N·m 2/kg 。

说明：(1)公式适用于质点间的相互作用。

当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。

地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因．但重力又不完全等于引力．这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力．这个向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是2ωr m f =，式中的r 是物体与地轴的距离，ω是地球自转的角速度．这个向心力来自哪里?只能来自地球对物体的引力F ，它是引力F 的一个分力如右图，引力F 的另一个分力才是物体的重力mg ．在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度ω相同，而圆周的半径r 不同，这个半径在赤道处最大，在两极最小(等于零)．纬度为α处的物体随地球自转所需的向心力αωcos 2R m f = (R 为地球半径)，由公式可见，随着纬度升高，向心力将减小，在两极处Rcos α＝0，f ＝0．作为引力的另一个分量，即重力则随纬度升高而增大．在赤道上，物体的重力等于引力与向心力之差．即.2R MmGmg =．在两极，引力就是重力．但由于地球的角速度很小，仅为10－5rad ／s 数量级，所以mg 与F 的差别并不很大．在不考虑地球自转的条件下，地球表面物体的重力.R MmGmg 2=这是一个很有用的结论．从图1中还可以看出重力mg 一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力mg 才能向地心．同样，根据万有引力定律知道，在同一纬度，物体的重力和重力加速度g 的数值，还随着物体离地面高度的增加而减小．若不考虑地球自转，地球表面处有.2R MmGmg =，可以得出地球表面处的重力加速度.2R M Gg =．在距地表高度为h 的高空处，万有引力引起的重力加速度为g ＇，由牛顿第二定律可得：2)(h R Mm G g m +=' 即g h R R h R M G g 222)()(+=+='如果在h ＝Ｒ处，则g ＇＝g/4．在月球轨道处，由于r ＝60Ｒ，所以重力加速度g ＇＝ g/3600． 重力加速度随高度增加而减小这一结论对其他星球也适用．4. 卫星：相对地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星。

①定高：h=36000km ②定速：v=3.08km/s ③定周期：=24h ④定轨道：赤道平面 5. 万有引力定律在天文学上的应用主要是万有引力提供星体做圆周运动的向心力.人造地球卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系①由r v mr Mm G 22=得r GMv = r 越大，v 越小②由22ωmr r MmG=得3r GM=ω r 越大，ω越小③由r T m r Mm G 2224π=得GM r T 324π= r 越大，T 越大行星和卫星的运动可近似视为匀速圆周运动，而万有引力是行星、卫星作匀速圆周运动的向心力。

6. 三种宇宙速度第一宇宙速度(环绕速度)：由mg=mv 2/R=GMm/R 2得： V=3109.7RG R G M⨯==Km/sV 1=7.9km/s ，是人造地球卫星环绕地球运行的最大速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。

第二宇宙速度(脱离速度)：V 2=2V 1=11.2 km/s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。

第三宇宙速度(逃逸速度)：V 3=16.7km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

【高频考点突破】 考点一 平抛运动问题 1．平抛运动的基本规律(1)水平方向：v x ＝v 0，x ＝v 0t ；竖直方向：v y ＝gt ，y ＝12gt 2.(2)合速度：v ＝v 20＋gt2，tan α＝gt v 0. (3)合位移：物体在时间t 内的位移的大小： s ＝v 0t2＋12gt 22，tan θ＝gt 2v 0. 显然：tan α＝2tan θ. 2．平抛运动的分析方法分析平抛运动的问题，一定要画好示意图，搞清位移关系、速度关系，特别是在速度v x 、v y 、v 构成的速度三角形中以及x 、y 、s 构成的位移三角形中，明确已知量、未知量是解题的突破口．3．平抛斜面模型的分析斜面上物体做平抛运动的分析，一般可以利用平抛运动的推论式，即充分利用斜面倾角与位移或速度的关系，再结合平抛运动的两个分立式即可求解．特别要注意斜面上平抛物体飞行的时间与初速度有关，但到达斜面时，速度的方向则与初速度的大小无关．例1、如图3－5所示，在倾角为θ的斜面顶端A 处以初速度v 0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B 处，设空气阻力不计，求：(1)小球从A 运动到B 处所需的时间、落到B 点的速度及A 、B 间的距离．(2)从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？这个最大距离是多少？图3-5考点二 圆周运动问题 1．圆周运动的基本规律(1)向心力：F ＝m ω2r ＝m v 2r ＝m (2πT)2r ＝m (2πf )2r ＝m (2πn )2r .(2)向心加速度①大小：a ＝ω2r ＝v 2r ＝(2πT)2r ＝(2πf )2r ＝(2πn )2r .②注意：当ω为常数时，a 与r 成正比；当v 为常数时，a 与r 成反比；若无特殊条件，不能说a 与r 成正比还是反比． 2．解决圆周运动问题的主要步骤 (1)审清题意，确定研究对象； (2)分析物体的运动情况；(3)分析物体的受力情况，确定向心力的来源； (4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程； (5)求解、讨论．例2、过山车是游乐场中常见的设施．如图3－7是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的两个圆形轨道组成，B 、C 分别是两个圆形轨道的最低点．半径R 1＝2.0 m 、R 2＝1.4 m ．一个质量为m ＝1.0 kg 的小球(视为质点)，从轨道的左侧A 点以v 0＝12.0 m/s的初速度沿轨道向右运动．A 、B 间距L 1＝6.0 m ．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够大，圆形轨道间不相互重叠．重力加速度取g ＝10 m/s 2，计算结果保留小数点后一位数字．试求：图3-7(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小； (2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B 、C 间距L 应是多少；(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R 3应满足的条件；小球最终停留点与起点A 的距离．(3)如不脱离轨道，可分两种临界情况进行讨论：轨道半径较小时，恰好通过第三个圆轨道：设圆半径为R 3，则：mg ＝m v 23R 3－μmg (L 1＋2L )－mg ·2R 3＝12mv 23－12mv 20(11分) 解得：R 3＝0.4 m ，即：0＜R 3≤0.4 m ，(12分) 滑行距离L ′：－μ·mg ·L ′＝0－12mv 20L ′＝36.0 m ．(14分)轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R 3(圆半径)，则 －μ·mg (L 1＋2L )－mgR 3＝0－12mv 20则：R 3＝1.0 m ，(16分)又由题中条件，轨道不重叠，则有如图3－8所示：图3-8(R 2＋R 3)2＝L 2＋(R 3－R 2)2，解得R 3＝27.9 m 即：1.0 m≤R 3≤27.9 m(18分)小球从第三个圆轨道上滑下后，又滑行距离为：L ′－L 1－2L ＝36－6－25＝5 m ，即从大圆上再退回5 m所以最终停留点与起点A 的距离为：L 1＋2L －5＝6＋25－5＝26 m ．(20分)【答案】 (1)10.0 N (2)12.5 m (3)0＜R 3≤0.4 m 36 m 或1.0 m≤R 3≤27.9 m 26 m 考点三 天体运动问题 1．天体运动的基本规律及应用GMm r2＝mω2r →①ω＝GM r 3 ②M ＝ω2r 3G GMm r 2＝mv 2r →①v ＝GM r ②M ＝v 2rG③E k ＝12mv 2＝GMm 2rGMm r 2＝m 4π2T2r →①T ＝4π2r3GM ②M ＝4π2r 3GT 2 ③r 3T 2＝GM4π2＝常数 利用①可讨论卫星或行星的运动量v 、ω、T 随r 的变化，利用②可计算中心天体的质量并进一步求其密度．2．天体运动的主要问题及解决方法(1)有关天体运动问题主要有：天体质量、密度的估算题；天体运行参数分析题；天体类信息题．(2)解答该类问题的两条主线：一是黄金代换式；二是万有引力与向心力的各种表达式．同时还应注意充分挖掘题中的隐含条件，如近地卫星的特点是r ＝R ，星球表面的重力近似为万有引力．对于常见的估算题，首先要求能正确建立相应的天体运动模型；其次，要求数学运算能力比较强，能快速、正确得出结果．例3、为了探测X 星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r 1的圆轨道上运动，周期为T 1，总质量为m 1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r 2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m 2，则( ) A ．X 星球的质量为M ＝4π2r 31GT 21B ．X 星球表面的重力加速度为g X ＝4π2r 1T 21C ．登陆舱在r 1与r 2轨道上运动时的速度大小之比为v 1v 2＝m 1r 2m 2r 1 D ．登陆舱在半径为r 2轨道上做圆周运动的周期为T 2＝T 1r 32r 31【解析】 飞船绕X 星球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律知G Mmr 21＝m 4π2r 1T 21，则X 星球质量M ＝4π2r 31GT 21，选项A 正确．由G Mm r 21＝m 4π2r 1T 21＝ma 1，知r 1轨道处的向心加速度a 1＝4π2r 1T 21＝GMr 21，而对绕X 星球表面飞行的飞船有G Mm R 2＝mg X (R 为X 星球的半径)，则g X ＝G M R 2＞a 1＝GM r 21＝4π2r 1T 21，选项B 错误．由G Mm r 2＝m v 2r知v ＝GM r ，故v 1v 2＝r 2r 1，选项C 错误．根据G Mm r 2＝m 4π2rT2得T ＝4π2r3GM ，故T 2T 1＝r 32r 31，即T 2＝T 1r 32r 31，选项D 正确． 【答案】 AD 【难点探究】难点一 一般曲线运动问题1．利用运动的合成与分解研究曲线运动的一般思路 (求解)曲线运动的规律(研究)两个直线运动的规律(解得)曲线运动的规律 2．合运动与分运动的关系合运动是物体的实际运动，分运动是合运动的两个效果．(1)曲线运动应按照运动的效果进行分解，应深刻挖掘曲线运动的实际效果，明确曲线运动应分解为哪两个方向的直线运动(特殊情况可分解为一个直线运动和一个圆周运动，如斜拉小船等)．(2)运动的合成与分解问题的切入点：等效合成时，要关注两个分运动的时间关系——运动的等时性． 等时性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等独立性 一个物体同时参与几个分运动，各个运动独立进行而不受其他分运动的影响 等效性各个分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果例1、某研究性学习小组进行了如下实验：如图1－3－2所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R.将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y 轴重合，在R 从坐标原点以速度v 0＝3 cm/s 匀速上浮的同时，玻璃管沿x 轴正方向做初速为零的匀加速直线运动．同学们测出某时刻R 的坐标为(4,6)，此时R 的速度大小为________cm/s.R 在上升过程中运动轨迹的示意图是图1－3－3中的________．(R 视为质点)难点二平抛与类平抛问题1．平抛运动的处理方法是将其分解为水平方向和竖直方向的两个分运动．(1)水平方向：做匀速直线运动，v x＝v0，x＝v0t.(2)竖直方向：做自由落体运动，v y＝gt，y＝gt2.2．类平抛运动的处理方法也是分解运动，即将其分解为沿初速度v0方向(不一定水平)的匀速运动(v x＝v0，x＝v0t)和沿合力方向(与初速度v0方向垂直)的匀加速运动(v y＝at，y＝at2)．注意加速度方向不一定竖直向下、大小也不一定等于g.例2、如图1－3－5所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是( )A ．球的速度v 等于LB ．球从击出到落地所用时间为C ．球从击球点至落地点的位移等于LD ．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关 【答案】AB【解析】 平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，在竖直方向，由H ＝12gt 2得球的飞行时间为t ＝2H g ，在水平方向，由L ＝vt 得v ＝L t＝L g2H，选项A 、B 正确；球从击出点到落地点的位移应为平抛运动的合位移，即s ＝H 2＋L 2，与质量无关，选项C 、D 错误． 难点三 圆周运动及其临界问题 竖直面内圆周运动的两种临界问题的比较分类 最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、翻滚过山车球与杆连接、车过拱桥、球过竖直管道、套在圆环上的物体等 图示在最高点受力重力、弹力F 弹向下或等于零重力、弹力F 弹向下或向上或等于零恰好过最高点 F 弹＝0，v ＝(在最高点速度不能为零)F 弹＝mg ，v ＝0 (在最高点速度可为零)例3、如图1－3－7所示，倾角θ＝37°的斜面底端B平滑连接着半径r＝0.40 m的竖直光滑圆轨道．质量m＝0.50 kg的小物块从距地面h＝2.7 m处沿斜面由静止开始下滑，已知物块滑到斜面底端B时的速度大小v＝6.0 m/s，已知小物块通过B点时无能量损失，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2，求：(1)小物块与斜面间的动摩擦因数；(2)物块运动到圆轨道的最高点A时，对圆轨道的压力大小．【答案】(1)0.25(2)20 N【解析】(1)物块沿斜面下滑过程中，在重力、支持力和摩擦力作用下做匀加速运动，设下滑加速度为a，到达斜面底端B时的速度为v，则mg sinθ－μmg cosθ＝mav2＝2a·h sinθ解得μ＝0.25难点四曲线运动的综合问题曲线运动的综合问题一般以平抛运动、圆周运动情景为载体，综合考查曲线运动的规律、运动的分解与合成、牛顿运动定律、机械能守恒定律和动能定理等物理主干知识．在曲线运动综合问题的解题过程中，应首先进行物体受力分析和运动过程分析，然后确定应用何种规律解题，并且要注意两种不同运动分界点的运动和受力特征．例4 、 如图1－3－9所示，用内壁光滑的细管弯成半径为R 的圆轨道，固定在竖直平面内，O 是圆心，A 、B 为两个端口，A 与圆心O 等高，∠AOB ＝120°，重力加速度为g.(1)一直径略小于圆管内径的小球从A 点正上方h 高处自由下落，并进入圆管运动，小球质量为m ，求小球经过圆管最低点时对圆管的压力大小．(2)一直径略小于圆管内径的小球从A 点正上方某点向右水平抛出，小球无碰撞地进入圆管运动，求小球水平抛出的初速度．(3)在(2)的情况下，求小球从A 点离开后相对于A 点上升的最大高度.图1－3－9【答案】(1)mg ⎝⎛⎭⎫3＋2hR (2) 3 32Rg (3)3 32R 【解析】 (1)设小球到达最低点时速度大小为v ，圆管对小球的支持力为F N ，则 mg(h ＋R)＝12mv 2F N －mg ＝m v 2R解得F N ＝mg ⎝⎛⎭⎫3＋2h R 根据牛顿第三定律，小球经过圆管最低点时对圆管的压力F ′N ＝mg ⎝⎛⎭⎫3＋2hR .难点五 天体质量和密度的估算问题1．已知环绕天体的周期T 和半径r ，求中心天体的质量、密度由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 可知：只要知道环绕天体的周期T 和半径r ，就可求出中心天体的质量M ＝4π2r 3GT 2.设中心天体的半径为R ，则V ＝43πR 3，其密度为ρ＝M V ，联立解得 ρ＝3πr 3GT 2R3. 若测得中心天体的近表卫星周期T ，此时r ＝R ，则中心天体的平均密度为可见只需要测得中心天体近表卫星的周期，就可以得到中心天体的密度．2．已知星球表面的重力加速度g ，求星球质量在星球表面附近，重力近似等于万有引力，即mg ＝多用代换)，可求得星球质量M ＝，或星球表面的重力加速度g ＝。