第四讲(电磁学基础)

E 0
（2） r R
q
E dS
S2
0
4 πr 2E q
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0
E
4
Qr
π 0r 3
r ++
+ +
O
+ + +
+R +
s2
+++
13
v E
0
Qrv
4 π0r3
++
+ +
O
+ + +
+
+
+++
0rR
rR
QE
4π 0R2
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o Rr 14
4.2 高斯定理
等效体电荷密度 等效面电荷密度
(r') 'P(r')
SP
P(r'
)
n
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7
4.1.3 真空中静电场的高斯定理
在真空中,通过任一闭合 曲面的电场强度通量,等于 该曲面所包围的所有电荷的
代数和除以0。
（与面外电荷无关，闭合曲 面称为高斯面）
Φe
E dS
1
S
0
n
qi
i 1
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rr
Ñs D dS q
分界面上的自由
D2n D1n s
电荷面密度
D1n
1E1n
1
1
n
D2n D1n 0
D2n
2E2n
2
2
n
1
1
n
2
2
n
S
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4.3.2 切向边界条件
vr
Ñl E dl 0
E2t E1t 1 2
tan1 1 tan2 2
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定义：电偶极子是指间距很小的
q l
两个等量异号点电荷组成 q
的系统。
电偶极距：用电偶极矩表示电偶极子的大小和空间
取向，定义为电荷q乘以有向距离l p ql
电位与电场
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ql cos 4 0r 2
pr
4 0 r 3
E
p
4 0r 3
(er
2 cos
e0
sin )
6
(4) 极化强度矢量与极化电荷的关系
23
4.3.3 静电场的边界条件
电位移矢量
D2n D1n
电场 E2t E1t
相位
1
1
n
2
2
n
S
1 2
夹角
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tan1 1 tan2 2
思考：不同媒质中D 和E是否同向？？
24
✓ 理想介质：电导率为零的媒质。不存在自由电荷 分布。
D2n D1n
E2t E1t
✓ 理想导体：导体内部不存在静电场。
4
4.1.2 静电场中的电介质
(1) 电介质的分类
有极分子 + _ p 0
如水、有机玻璃等
无极分子 _+
p 0 如氢、甲烷、石蜡等
(2) 电介质的极化
有极分子介质-----取向极化 无极分子介质-----位移极化
电20介20/6质/12 的极化共同效果: 边缘出现极化电荷分布
5
(3) 电偶极子
E
dS
S
E
8
高斯定理 Φe
E dS
1
S
0
n
qi
i 1
总结
1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 2）高斯面为封闭曲面.
3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正.
4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献.
5）静电场是有源场.
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不同形式的高斯定理
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4.2.2 介质中的高斯定理
有极分子
无极分子
有极分子介质-----取向极化
无极分子介质-----位移极化
等效体电荷密度
r
(r ') ' P(r ')
引入电位移矢量 D描述空间电场分布
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D 0E P
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对于线性各向同性介质
P 0 xe E
D 0 (1 xe )E 0r E E
积分形式
1n
Φe
E dS
S
0
qi
i 1
积分形式的高斯定理用来计算某些对称分布电荷 所产生的电场值。
微分形式
0
E(r ) (r) 0
r处无电荷
r处电荷密度
微分形式的高斯定理用于由电场分布计算电荷分布。
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10
例4-1 有一均匀带电球体，半 径为R，带电量为q(q>0)。求空 间各点的场强。
D2n S
E2t 0
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4.4 泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程
无电荷分 布区域
r
gD=
rr
D= E
r
E= -
2 = -
拉普拉斯方程
2 = 0
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谢谢 敬请批评指正
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式中χe为极化率，是一个无量纲常数 εr为介质的相对介电常数 ε为介质的介电常数
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4.2.3 静电场的基本方程
静电场的无旋性
vr
v
Ñ 积分形式
E dl 0 微分形式 E=0
l
静电场中的高斯定理
Ñ 积分形式
rr
r
D dS q 微分形式 D=
s
本构关系
rv
D= E
4.2.1 真空中高斯定理的应用
积分形式
Φe
E dS
1
S
0
n
qi
i 1
适用于由电荷分布计算电场分布 求解步骤： Step1: 闭合面的对称性判断 Step2: 对称性闭合面直接利用积分形式的高斯定理 2020/6/12 非对称性闭合面根据电场方向分解闭合面 15
微分形式
0
E(r)
0
E
4
qr
π 0r 3
rq
++
+ +
O+
+ + +
+R +
s +++ 2
+
qrv
v E
4 0R3
qrv
4 π 2020/6/12 0r 3
0r R
qE
4 π0R2
rR
o R r12
均匀带电球壳的电场强度
rS +
+
+
O
+ 1+ + +
+R +
+++
解（1）0 r R
E dS 0 S1
解（1）0 r R
q
++
+ +
O+
+ + +
+R +
+++
1
E dS
S1
0
qin
1
0
q
4R3
3
4r 3
3
qr3
0R3
4
πr
2E
qr 2
0R3
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qr
E 4 0 R3
r +
+
+
S+ 1
q
+
O+
+ +
+R +
+++
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（2） r R
q
E dS
S2
0
4 πr 2E q
(r )
0
r处无电荷
r处电荷密度
适用于由电场分布计算电荷分布
求解步骤：
Step1: 根据求解问题的几何特点选择坐标系(如直角坐 标系、柱面坐标系、球面坐标系等)
Step2: 根据选择的坐标系，计算已知电场的散度，再
利用微分形式的高斯定理获得电荷分布
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例4-2 教材 P58 例2-3 教材 P59 例2-4
电磁学基础 第四讲
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第四讲 静电场与恒定电场
4.1 课程回顾
4.2 高斯定理
4.3 静电场的边界条件
4.4 泊松方程和拉普拉斯方程
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2
4.1 课程回顾
4.1.1 静电场中的导体 自由电子受到电场力作反电场方向的运动
+ E0 +
+
E＇
+ + +
E0
+
+
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E E0 Ewk.baidu.com
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导体的静电平衡条件
1)导体的静电平衡状态 导体内部和表面都没有电荷作任何宏观定向运动
2)导体静电平衡条件 导体内任一点的电场强度都等于零，导体表面 为等势面，导体是等势体
导体表面处电场强度的方
向，都与导体表面垂直， 即在导体表面的电场只有
E
法向方向分量，切向电场
恒为零 2020/6/12
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4.3 静电场的边界条件
等效面电荷密度 电位移矢量
SP
r P(r
')
nr
D 0E P
➢ 在两种介质界面上，介质性质有突变，电场性质 也会突变
➢ 分界面两边电场突变遵循的规律，称为电场的边 值关系或者边界条件
➢ 用积分方程来推导边界条件
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4.3.1 法向边界条件