初中数学教师解题比赛试题(无答案)

2019-2019学年度初中数学教师解题比赛试题

1.（本题满分8分）如图||，湿地景区岸边有三个观景台A、B、C．已知AB=1400米||，AC=1000米||，B点位于A点的南偏西60.7°方向||，C点位于A点的南偏东66.1°方向．

（1）求△ABC的面积；

（2）景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭||，并修建观景栈道AD．试求A、D间的距离．（结果精确到0.1米）

（参考数据：sin53.2°≈0.80||，cos53.2°≈0.60||，sin60.7°≈0.87||，cos60.7°≈0.49||，sin66.1°≈0.91||，

cos66.1°≈0.41||，2≈1.414）．

2.（本题满分6分）如图||，已知在四边形ABCD中||，点E在AD上||，∠BCE=∠ACD=90°||，∠BAC=∠D||，BC=CE.

(1)求证：AC=CD ；（2）若AC=AE||，求∠DEC的度数.

3.（本题满分8分）如图||，在矩形ABCD中||，E是AD上一点||，PQ垂直平分BE||，分别交AD||，BE||，BC于点P、O||，Q.连接BP、EQ||， (1)求证：四边形BPEQ是菱形；

4.（本题满分10分）如图||，已知△ABC内接于⊙O||，AB是直径||，点D在⊙O上||，OD∥BC||，过点D作DE⊥AB||，垂足为E||，连接CD交OE边于点F．（1）求证：△DOE∽△ABC；

（2）求证：∠ODF=∠BDE；

（3）连接OC||，设△DOE的面积为1S||，四边形BCOD的面积为2S||，若7

2

2

1=

S

S

||，求sinA的值．

5.（本题满分10分）如图||，已知正方形ABCD的边长为4||，点P是AB边上的一个动点||，连接CP||，过点P 作PC的垂线交AD于点E||，以 PE为边作正方形PEFG||，顶点G在线段PC上||，对角线EG、PF相交于点O．

（1）若AP=1||，求AE的长

（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；

②当点P从点A运动到点B时||，点O也随之运动||，求点O经过的路径长；

（3）在点P从点A到点B的运动过程中||，△APE的外接圆的圆心也随之运动||，求该圆心到AB边的距离的最大值．

6.（本题满分8分）如图||，一次函数b

kx

y+

=的图象与反比例函数

x

m

y=（x＞0）的图象交于点

P（n||，2）||，与x轴交于点A（—4||，0）||，与y轴交于点C||，PB⊥x轴于点B||，且AC=BC．

（1）求一次函数、反比例函数的解析式；

（2）反比例函数图象上是否存在点D||，使四边形BCPD为菱形？如果存在||，求出点D的坐标；如果不存在||，说明理由．

7．（本题满分10分）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售||，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系||，经过市场调查获得部分数据如下表：

销售价格x（元/千克）30 35 40 45 50

日销售量p（千克）600 450 300 150 0

（1）请你根据表中的数据||，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p 与x 之间的函数表达式；

（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格||，才能使日销售利润最大？

（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a 元（a ＞0）的相关费用||，当40≤x ≤45时||，农经公司的日获利的最大值为2430元||，求a 的值．

8.（本题满分10分）已知抛物线

32++=bx ax y （a ≠0）经过A （3||，0）||，B （4||，1）两点||，且与y 轴交于点C.

（1）求抛物线32++=bx ax y （a ≠0）的函数关系式及点C 的坐标；

（2）如图（1）||，连接AB ||，在题（1）中的抛物线上是否存在点P ||，使△PAB 是以AB 为直角边的

直角三角 形？若存在||，求出点P 的坐标；若不存在||，请说明理由；

（3）如图（2）||，连接AC ||，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合）经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于

点F ||，当△OEF 的面积取得最小值时||，求点E 的坐标.

9.（本题满分10分）如图1||，在四边形ABCD 中||，如果对角线AC 和BD 相交并且相等||，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．

（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中||，一定是等角线四边形是 （填写图形名称）；

②若M 、N 、P 、Q 分别是等角线四边形ABCD 四边AB 、BC 、CD 、DA 的中点||，当对角线AC 、BD 还要

满足 时||，四边形MNPQ 是正方形；

（2）如图2||，已知△ABC 中||，∠ABC =90°||，AB =4||，BC =3||，D 为平面内一点．

①若四边形ABCD 是等角线四边形||，且AD =BD ||，则四边形ABCD 的面积是 ；

②设点E 是以C 为圆心||，1为半径的圆上的动点||，若四边形ABED 是等角线四边形||，写出四边形ABED 面

积的最大值||，并说明理由．

10.（本题满分10分）如图||，将边长为6的正三角形纸片ABC 按如下顺序进行两次折叠||，展平后||，得折痕AD ||，BE （如图①）||，点O 为其交点．（1）探求AO 到OD 的数量关系||，并说明理由；

（2）如图②||，若P ||，N 分别为BE ||，BC 上的动点．①当PN +PD 的长度取得最小值时||，求BP 的长度；

②如图③||，若点Q 在线段BO 上||，BQ =1||，求QN +NP +PD 的最小值.

11．（本题满分10分）

如图1||，在等边三角形ABC 中||，AC =7||，点P 在△ABC 内||，且∠APC =90°||，∠BPC =120°||，求△APC 的面积．