综合除法与余数定理(含参考答案)-(最新整理)

综合除法与余数定理

数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。

1、综合除法

在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可以推得（此处用表示关于x的多项式）除以的商式系数和余数有如

下规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。

例1 计算（）

分析把除式变成形式用综合除法，

解：，

∴商式为，余式为-38

说明用综合除法计算时要注意：

（1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足；

（2）除式要变成的形式（b可以是负数）

例2用综合除法计算

（1）；

（2）

解：（1）

∴商式为，余式为-3

（2）用除，只需先以除，再把求得的商用2除，而余数不变。

∴商式为，余式为。

说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以，所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。

2、余数定理

若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则

当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。

余数定理多项式除以()所得的余数等于。

特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。

由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式

的值。

余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算复杂时也可以用综合法求。

例3一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时余28，它还可被整除，求。

解：设由题意得

解得 a=3,b=1,c=2。

∴

说明因能被整除，所以是的因式，于是可设

，再由，，列出a,b的方程求解。

例4利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。

分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。

解：令=

当a=b时，，故能被a-b整除；

当a=-b时，

故当n为偶数时，能被a+b整除，当n为奇数时，不能被a+b整除，余式为.

例5 试确定a和b，使能被整除。

解：由于，因此，若设，

假如能被整除，则x+1和x+2必是的因式，因此，当x=-1，，即

①

当x=-2时，即

②

由①，②联立，则得时，能被整除。

练习

A　级

1、当多项式除以多项式时，其余式为（）。

（A）2 （B）-2 （C）2x-2 （D）-2x-2

2、多项除以多项式x-3所得余数为（）。

（A）-71 （B）71 （C）-59 （C）59

3、若多项式含有因式x-1和x-2，则mn=_________。

4、求（除以的商式和余式。

B　级

5、设，以1991除x，所得余数是（）。

（A）0 （B）1 （C）2 （D）4

6、已知，则值为（）。

（A）30 （B）-30 （C）32 （D）-32

7、如果，则_______。

8、已知是二元二次式的一个因式，则

a+b= 。

9、已知能被整除，试求a,b的值。

参考答案

【同步达纲练习】

A　级

1、（C）。

2、（D），提示：利用余数定理。

3、-100，提示：利用余数定理，得从而m=-5，n=20。

4、商式=，余式=

B　级

5、（B），提示：

6、（C），提示：含，得

即。

7、5，提示，

=。

8、-3，提示：含x=y=1，则原式为零，即。

9、含因能整除，因此由余数定理，当

时，即由此得

a=11，b=-6。