史济怀,刘太顺.__复变函数.__习题解答

第一章 复数与复变函数
§1.1习题
2．设12,,...,n z z z 是任意n 个复数，证明：1
1
||||n n
k
k
k k z z ==≤∑∑，并给出不等式中等号成立
的条件.
（提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是12,,...,n z z z 线性相关）. 3(Re Im )Re Im .
z z z z z +≤≤+
证明：设z a ib =+，则Re z a =，Im z b =，||z =
由题2知，z a bi a b ≤+=+
故22
2
2
2222
2
22||2
2
22
a a
b b
a b a b a b ab z +++++=
=
+≤+=，
(Re Im )Re Im .
z z z z z +≤≤+
4．若12||,0z z λλ=>，证明：2
1212||z z z z λλ-=-. 证明：不妨设2
2
2
21210.z z z z λ≠=
则2
2
22
212122
121
112z z z z z z z z z z z z λλ-=-=-=-
即有2
1212||z z z z λλ-=-成立.
5．设|a |<1，证明：若|z|=1，则
11z a
az
-=-.
证明：由1z =得1zz =
故11z a z azz z az az -=-=-=- 即证之.
6．设|a |<1，|z|<1.证明：
11z a
az
-<-.
证明：提示：（
11z a
az
-<-⇔2222||2Re ||12Re ||||;z az a az a z -+<-+
而2
2
2
2
2
2
1||||||||(1||)(1||)0;a z a z a z --+=-->）
7．设12,,...,n z z z ，12,,...,n ωωω是任意2n 个复数，证明复数形式的Lagrange 等式：
22
2
2
1
1
1
1()(),n
n
n
k j j j
j j j k j j j j k n
z z z z ω
ωωω===≤<≤=-
-∑∑∑∑
并由此推出Cauchy 不等式：
22
2
1
11
n
n
n
j j
j j j j j z z ω
ω===⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
∑∑∑. 证明：提示（记1212......n n z z z A ωωω⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
1112'
2212...det det()0.........n n n n z z z z z AA z ωωωωωω⎛⎫ ⎪
⎛⎫ ⎪=≥ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎪⎝⎭
， 2d e t d e t ||j
k j
j j k k j j k k
k z z z z z z ωωωωωω⎛⎫
⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则原式=2
10k j j k j k n
z z ωω≤<≤-≥∑.(1) 另外，2
111
112
22212
11...det det .........n n
j
j j j j n n
n
n j j j n j j n z z z z z z z z z ωωωωωωωωω====⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪
=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭∑∑∑∑ 2
2
2
1
1
1
()()0n
n
n
j
j
j j
j j j z
z ωω
====-
≥∑
∑∑.（2）
由（1）=（2）可得证.
§1.2习题
1． 把复数1cos sin z i θθ=++写成三角形式. 解：1111112
2
2
2
2
2
1()2Re (2cos )2
i i i i i i i z e e e
e
e
e
e
θθθθθθθ
θ
-=+=+==.
2． 问取何值时有(1)(1)n
n
i i +=-. 解：提示（41,1,1k i
i i k N i
+==∈-）
3． 证明：01sin
sin()22cos ,2sin 2n
k n k θ
θθθ=++=∑ 0
1
cos cos()22sin ,2sin
2
n k n k θθθθ=-+=∑ 证明：由于(1)2
01s i n 121s i n 2
in i n n ik i k n e e e e θθθθ
θθ+=+-==-∑，则即可得00cos Re n n
ik k k k e θθ===∑∑，0
sin n n
ik
k k k im e θθ===∑∑.
4． 证明：123z z z ∆和123ωωω∆同向相似的充分必要条件为1122331
11
z z z ωωω=0.
证明：提示（123z z z ∆和123z z z ∆同向相似,a b C ⇔∃∈，使得(1,2,3)k k az b k ω=+=
111122223333111,,111w z w z w a z b w z w z w z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⇔=+⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
线性相关112
2331
det 10.1
z w z w z w ⇔=）
5． 设12z z ≠，证明：z 位于以1z 和2z 为端点的开线段上，当且仅当存在(0,1)λ∈，使得
12(1)z z z λλ=+-；
⇔210,()k z z k z z ∃>-=-210,11z z k z k k
⇔∃>=
+++ 12(0,1),(1),()1k z z z k
λλλλ⇔∃∈=++=
+. 6． 图1.5是三个边长为1的正方形，证明：2
AOD BOD COD π
∠+∠+∠=.
E A B C
解：以O 为原点，OD 为X 轴，OE 为Y 轴，建立坐标系.设123,,OA z OB z OC z →
→
→
=== 则1231,2,3z i z i z i =+=+=+，
从而123arg()arg(1)(2)(3)arg(10)z z z i i i i =+++=
. 因为i 是单位向量，它的辐角为2
π，即2AOD BOD COD π∠+∠+∠=.
10．证明：2
2
2
21212
122(||),z z z z z z ++-=+并说明等式的几何意义.
证明：2
2
2
2
2
2
121211221122||||||2Re ||||2Re ||z z z z z z z z z z z z ++-=+++-+ 2
2
122(||||)z z =+
几何意义是：平行四边形两对角线长的平方和等于它的各边长的平方和.
11．设1,..,n z z 是单位圆周（以原点为中心、半径为1的圆周）上的n 个点，如果1,...,n z z 是正n 边形的n 个顶点，证明：
1
n
k
k z
=∑=0.
证明：记12...n z z z C ω=+++∈，设该正n 边形的一个圆心角为θ，0θπ<<.由复数乘法几何意义及正n 边形对称性，0i e θ
ωωω=⇒=，即证之.
13.设1z ，2z ，3z ，4z 是单位圆周上的四个点，证明：这四个点是一矩形顶点的充要条件为
证明：提示（先为菱形，连线为直径对点则是矩形）
14.设L 是由方程0azz z z d ββ+++=所确定的点的轨迹，其中a ，d 是实数，β是复数.证明：（i ）当a =0，β≠0时，L 是一直线；（ii ）当a ≠0，2
0ad β->时，L 是一圆周.并求出该圆周的圆心和半径. 证明：（i ）令2
2
d λβ=，则2d λββ=，故原方程为()()0z z βλββλβ+++=，即
Re ()0z βλβ+=，即z λβ+与β垂直，从而轨迹是一条通过点λβ-，与β垂直的直线.
（ii ）记2
2
0ad λβ=->，则
2
ad ββλ=-，
原式2
22
20()()a zz a z a z ad az az az ββββλβλ⇔+++=⇔++=⇔+=
即证之.
§1.3习题
1. 证明：在复数的球面表示下，z 和
1
z
的球面像关于复平面对称. 证明：设z x iy =+其球面对应的坐标为2
1232
2
2
1,,1(1)
1
z z z z z x x x z
i z z -+-===
+++.
而
1
z
球面像对应的坐标为 1122
211'1111z z z z
z z x x z z z
+
++====+++, 22222
11'1(1)(1)
(1)z z z z
z z x x i z i z i z
-
--====+++, 2
22
33222
1
111'1111z z z
x x z z z
---====-+++, 从而有'
'
'
112233,,x x x x x x ===-，故z 和1
z
的球面像关于复平面对称.
2. 证明：在复数的球面表示下，z 和ω的球面像是直径对点当且仅当z ω=-1. 证明：⇐设z x iy =+，由1z ω=-得11,z z
ωω=-=-， 由于z 对应的球面像为2
1232
2
2
1,,1(1)
1
z z z z z x x x z
i z z -+-=
==
+++，
ω对应的球面像为123',','x x x ，计算可得：11,2233'','x x x x x x =-=-=-，
故z 和ω的球面像是直径对点.
⇒由球面表示的几何意义知，,z ω位于通过竖坐标轴的平面与xoy 平面交点上，从而,z ω
必与原点共线，则,0z ωλλ=->，由33'x x =，易知1λ=.
3. 证明：在复数的球面表示下, ∞C 中的点z 和ω的球面像间的距离为
证明：设z 和w 的球面像的坐标为()123,,x x x 和()123',','x x x ， 则()()()()2
2
2
112233112233'''22'''x x x x x x x x x x x x -+-+-=-++，
112233'''x x x x x x ++()()()()()(
)(
)(
)
2
2
2
2
11
11z z z z z
z
ωωωωωω
++--++-+=
++
()(
)
()()
2
2
2
2
2
11211z
z z ω
ω
ω++--=
++
故
(),
d z ω
==
4. 证明：在复数的球面表示下，若a b c d ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
是二阶酉方阵，则∞C 的变换w= az b
cz
d ++诱导了球面绕球心的一个旋转. 证明：先证
(),,,z w c d z w ∀∈=
，一定有(),,az b aw b d d z w cz d cw d ++⎛⎫
=
⎪++⎝⎭
.
而
()()
2
2
2
2
2
2
22()det 11a b az b aw b
z w cz d cw d
c d az b
cz d
aw b
cw d
az b aw b cz d cw d ⎛⎫
++-
- ⎪
++⎝⎭
=
⎛⎫⎛⎫
++++++++++
⎪⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，
由a b c d ⎛⎫
⎪⎝⎭
是二阶酉方阵知，
()()
222
det 1,11||1,11a b a c a b z z az b cz d z z z c d c d b d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++===+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭ 类似的有22
2||1,aw b cw d
w +++=+故
原式=
()()
()()()()
2
2
2
2
2
2
1111ad bc z w z w
z w z z ---=
++++，
故(),,az b aw b d d z w cz d cw d ++⎛⎫
=
⎪++⎝⎭
成立，从而诱导变换是一个等距. 又等距变换的行列式是a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的连续函数且只取1±两个值，而二阶酉方阵全体是连通的，
从而行列式为常数. 取a b c d ⎛⎫
⎪⎝⎭=1001⎛⎫
⎪⎝⎭
，此时诱导变换是恒等变换，行列式为1，故此常数为1，从而此等距变换为旋转.
1. 设0(,0]z ∉-∞，0n z ≠，n N ∀∈.证明：复数列{}n z 收敛到0z 的充要条件是
0lim n n z z →∞
=和0limarg arg n n z z →∞
=.
证明：因为00(,0],0,..arg z s t z δπδπδ∉-∞∃>->>-+， 由不等式 0000||||||||arg arg n n z z z z z z z -≤-+-即得充分性 由不等式00||||||n z z z z -≥- 及 0
000arg arg ||||||2||sin 2
n n z z z z z z z --+-≥
并注意0arg arg 2
22
n z z δ
δ
ππ--+
<
<-，可得必要性.
2. 设z x iy =+∈C ,证明：()lim 1cos sin n
x
n z e x i y n →∞
⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
.
（提示：分开证明实部与虚部收敛即可.）
2． 设E ⊂C 是非空点集，,z w ∈C .证明：()(),,d z E d E z ωω-≤-成立，而
()()(),,,d z E d E d z E ωω-≤-不成立.
证明：,E ξ∀∈
有 (,)inf ||||||||E
d z E z z z z ξξξωω∈=-≤-≤-+-||(,)||d z E z ωξω⇒-≥--，
取下确界得
(,)inf ||(,)||E
d E d z E z ξωωξω∈=-≥--，即(,)(,)||d z E d E z ωω-≤-（1）
同样可得(,)(,)||d E d z E z ωω-≤-（2） 因此由（1）（2）可得结论成立.
反例：令{1},2,1E z ω===.则(,)d z E =1，(,)d E ω=0，(,)d z E ω-=0
3. 指出下列点集的内部、边界、闭包和导集： (i) N ={k: k 为自然数}；
解：内部：空集；边界：N ；闭包：N ={k: k 为自然数}；导集：空集. (ii) E={
1
k
: k 为自然数}： 解：内部：空集；边界：E ⋃{}0；闭包：E = E ⋃{}0；导集：{0}. (iii) D=B(1,1) (1,1)B ⋃-;
解：内部：D=B(1,1) (1,1)B ⋃-; 边界：{:|1|1D z z ∂=∈-=C 或|1|1}z +=；
闭包：{:|1|1D z z =∈-≤C 或|1|1}z +≤；导集：'
{:|1|1D z z =∈-≤C 或|1|1}z +≤； (iv) G={z ∈C : 12z <≤};
解：内部：{:1||2}o
G z z =∈<<C ；边界：；{:||2G z z ∂=∈=C 或||1}z =
闭包：{:1||2}G z z =∈≤≤C ；导集：'
{:1||2}G z z =∈≤≤C ； (v) C .
解：内部：C ；边界：空集；闭包：C ；导集：C .
4.指出下列点集中哪些是开集，哪些是闭集，哪些是紧集：
(i) Z={k: k 为自然数}；
解：闭集，非开集，非紧集；
(ii) E 为有限集； 解：紧集；
(iii) D={}:Im 0\k k z z F ∞=-∞⎛⎫∈>⋃ ⎪⎝⎭
C ， {}:,01k
z z k iy y F =∈=+≤≤C ；
解：开集； (iv) G=B(0,1)\ 1:1k k ⎧⎫⎨
⎬+⎩⎭
为自然数; 解：非开，非闭，非紧； (v) C \B ()R ∞，; 解：紧集.
8. 设D 是开集，F D ⊂是非空紧集，证明： （i ）(),0;d F D ∂>
(ii) ()()1210,,,,...,,,n
n k k d F D F z z z F B z D δδ=∂⊂⋃⊂对任意<<存在中的点使得并且
()()1,,,n k k d B z D d F D δδ=⎛⎫
∂≥∂- ⎪⎝⎭
⋃. 证明：（1）由定理1.5.6可得
（2）(,),k B z ζδ∀∈成立(,)(,)(,)(,)||k k d F D d D d z D d D z ζζζδ∂-∂≤∂-∂≤-< 即(,)(,)d D d F D ζδ∂>∂-，即n
1((,),)inf (,)(,)k k d B z D d D d F D δζδ=⋃∂=∂≥∂-
1.满足下列条件的点z 所组成的点集是什么？如果是域，说明它是单连通域还是多连通域？ （i ）Re 1;z =
实部是1的直线， 不是域
(ii) Im 5z <-;
虚部小于-5的开平面， 单连通域 (iii) 5;z i z i -++= 椭圆曲线 不是域 (iv) 2;z i i -≤- 闭圆盘 单连通域 (v) ()arg 1;6
z π
-=
半射线 不是域 (vi) 11,Im ;2
z z <>
开弓形 单连通域 (vii)
1
2;1
z z -≤+ 圆盘外无界闭区域 (viii) 0arg
.4
z i z i π
-<<+
左半平面（不含虚轴）与以（-1，0为半径的闭圆盘外部之交 多连通域
3.证明紧集的连续像为紧集.
证明：任取()f E 的开覆盖{}U u =，则1
1(){()}f U f u --=是E 的一个开覆盖，因为E 为
紧集，存在有限个开集1
1111
121(),(),...,()(),..()n n k k f
u f u f u f U s t E f
u -----=∈⊂⋃，故1
()k k f E u ∞
=⊂⋃，从而()f E 是紧集..
将紧集换成闭集，结论不一定成立. 反例：取[1,),E =∞令1
().f x x
=则()(0,1]f E =不闭.
5. 证明：若f 在域D 上一致连续，则对任意()0
0,lim .z z z D f z →∈∂存在
证明：因为f 在域D 上一致连续，故0,ε∀>∃0δ>， 对D 上任意的1,2z z ，只要122,z z δ-<有()12f z z ε-<.
因此120,(,)z z D B z δ∀∈⋂，有()12f z z ε-<，由Cauchy 收敛原理，极限存在.
第二章全纯函数
§2.1习题
1.研究下列函数的可微性： （i ）();f z z = 解： 0z ≠时
00000
()()
lim
lim
z z z z z z f z f z z z z z →→--=--不存在 这是因为当0z x iy =+时，
00000
lim
lim y y y y →→=
当0z x iy =+时，
000000
lim x x x x →→=
=
故0z ≠时，()f z 不可导.
当0z =时，有
()(0)i i z f z f r e z z re
θ
θ
-∆∆-∆===∆∆∆ 即知()f z z =在0z =也不可导. 从而()f z z =处处不可导. (ii) 2
();f z z = 解：0z ≠时
0022
0000
()()
lim lim z z z z z z f z f z z z z z →→--=--显然不存在. 这是因为当0z x iy =+时
0022220000000000
()()lim lim 2x x x x x y x y x x x x x x iy x iy x x →→+---+==+--- 当0z x iy =+时，
002222000000
0000()()2lim lim ()y y y y x y x y y y y y y x iy x iy y y i i →→+---+==
+--- 0z =时可导，(0)0f '=.
（iii ）()Re ;f z z =
000
00
()()Re Re lim
lim
z z z z f z f z z z z z z z →→--=--显然不存在. 这是因为当0z x iy =+时，
000
lim
1x x x x x iy x iy →-=+--.
当0z x iy =+时，
00
000
lim
0y y x x x iy x iy →-=+--
从而()Re f z z =处处不可导 (v) ()f z 为常数
不妨设(),f z C =显然'
()0f z = 故()f z C =在处处可导.
2.设f 和g 都在0z 处可微，且'
000()()0,()0f z g z g z ==≠证明：0'0'0()()
lim
()()
z z f z f z g z g z →= 提示：0
000()()()
lim
lim
()()()
z z z z f z f z f z g z g z g z →→-=- 0
000000()()()
lim
()()()
z z f z f z z z f z z z g z g z g z →'--=⋅='--
4．设域G 和域D 关于实轴对称，证明：如果()f z 是D 上的全纯函数，那么()f z 是G 上的全纯函数.
提示：00()()
()()lim lim (),z z f z z f z f z z f z f z z G z z →→⎡⎤+-+-'==∈⎢⎥⎣⎦
§2.2习题
1.设D 是域,).(D H f ∈如果对每个,D z ∈都有'
()0f z =,证明f 是一常数. 证明:因为'
()0f z =,而'
()f z =u v
i x x
∂∂+∂∂=0(定理2.2.4) 所以
u x ∂∂=0, v x ∂∂=0,而u x ∂∂=v y ∂∂,u y ∂∂=v x ∂-∂.故u y ∂∂=0, v
y
∂∂=0. 因此f 是一个常数.
3.设iy x z +=,证明xy z f =)(在z=0处满足Cauchy-Reimann 方程,但f 在z=0处不可微.
提示: u =,0v =.直接算偏导.
8.设D 是域, ()f H D ∈,f 在D 中不取零值,
证明: 对于任意p>0,有2222()p f z x y ⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭
=2
p 2()
p f z -2'()f z . 提示:∆=22
22x y ∂∂+∂∂= 42z z
∂∂∂,将()f z 写成1
2()()f z f z ⎡⎤⎣⎦,
利用
f z
∂∂=0, f z ∂∂=0, f
z ∂∂='f , f z ∂∂='f ,计算.
11.设D 是域,(]:D \ ,0f →
-∞是非常数的全纯函数,则log ()f z 和Arg ()f z 是D 上的调
和函数,而()f z 不是D 上的调和函数.
提示: 22
21log ()log ()2
log |()|2f z f z f z z z
∂∆=∆=∂∂ 21()()2|()|f z f z z f z z ⎛⎫∂∂= ⎪∂∂⎝⎭2()()2|()|f z f z z f z ⎛⎫
'∂= ⎪∂⎝⎭
()2
0()f z z f z ⎛⎫
'∂== ⎪∂⎝⎭
2a r g ()()
()
i f z f z e f z =对z 求偏导
(a r g ())f z z ∂∂=12i '()
()f z f z 2z z
∂∂∂(a r g ())f z =0
42z z
∂∂∂(())f z =12()'()f z f z - 如果()f z 调和,则'()f z ≡0,从而f 是常数,矛盾.
12.设D,G 是域, :f D G →是全纯函数,证明:若u 是G 上的调和函数,则u f 是D 上的调
和函数.
证明: 因为u 是G 上的调和函数,局部存在全纯函数g ，s.t. Re u g =, 则g f 局部全纯,
于是局部有Re()u f g f =，从而u f 调和.
15.举例说明:存在B(0,1)\{0}上的调和函数,它不是B(0,1)\{0}上全纯函数的实部. 解: ()log ||u z z =是B(0,1)\{0}上的调和函数,它不是B(0,1)\{0}上全纯函数的实部. (反证) 假设存在B(0,1)\{0}上的全纯函数()f z ,使得Re ()log f z z =, 设()log ||()f z z iv z =+,()v z 是实值函数.
则()
()||f z iv z e
z e =⋅,从而
()
()1,(0,1)\{0}f z iv z e e z B z
==∀∈. 由题2.(iv) 可知()
f z e z
≡常数, 故存在θ∈
s.t. ()
f z i e
ze θ=
即()|
|iv z i z e ze θ⋅=()(arg )iv z i z e e θ+⇒=()2v z argz k θπ
⇒=++.
由()v z 的连续性可知k 是常数.
于是()2argz v z k θπ=--在B(0,1)\{0}连续,不可能.
16.设f u iv =+, 000z x iy =+.证明: (i) 如果极限0
00()()lim Re
z z f z f z z z →--存在,那么()00,u
x y x ∂∂和()00,v x y y ∂∂存在,并且相等.
(ii) 如果极限0
00()()l i m Im
z z f z f z z z →--存在,那么()00,u x y y
∂∂和()00,v x y x ∂∂存在,而且
()00,u x y y
∂∂=-()00,v
x y x ∂∂.
证明:(i)
()00,u
x y x ∂∂=00000
(,)(,)lim
x x u x y u x y x x →-- ()0z x i y =+ ()()000,z x y = =0
0000
(,)(,)
lim Re
x x f x y f x y x x →--
=0
00
()()
lim Re
z z f z f z z z →--
()00,v
x y y
∂∂=00000(,)(,)lim
y y v x y v x y y y →-- =0
0000
(,)(,)
lim Im
y y f x y f x y y y →-- ()0z x iy =+
=()0
00()()
lim Im
z z f z f z i z z →---
=()
00()()
lim Im z z f z f z i
z z →--
=0
00
()()
lim Re
z z f z f z z z →--
(ii)利用[]Im ()Re ()f z if z =-,由(i)即得.
1．求映射i z i
z w +-=在11-=z 和i z =2处的转动角和伸缩率. 解：因为 z i
f z i
-=+
22
2()()
f z i z i i
z z i z i ∂+-+==∂++ 122'()(1)i
f z i =
-+=1 1arg '()f z =arg(1)-=π
22
21'()(2)22i i f z i ===- 2a r g '()2
f z π
=-
2．设f 是域D 上的全纯函数，且'()f z 在D 上不取零值，试证：
（i ）对每一个00()u iv f D +∈，曲线0Re ()f z u =和曲线0Im ()f z v =正交； 证明：（i ）0u u =和0v v =是uv 平面中的正交直线.因为()0f z '≠,故f 是保角的. 从而曲线0Re ()f z u =和曲线0Im ()f z v =的夹角等于直线0u u =和0v v =的夹角,等于2
π
1.验证z
z
e e =
证明：令z x iy =+,则z x iy =-
(cos sin )z x e e y i y =+(cos sin )z x e e y i y ⇒=-
(cos sin )z x e e y i y =-
所以z z
e e =.
3.证明：若1z
e =，则必有2,0,1,.z k i k π==±… 证明：1z
e =||1x z e e ⇔==,20z
Arge y k π=+=
0,2,x y k k π⇔==∈Z 2z k i π⇔=，k ∈Z .
4.设f 是整函数，()0 1.f =证明：
(i)若'
()(),();z
f z f z z f z e =∈≡对每个成立则 (ii) 若对每个,z ω∈,有()()()f z f z f ωω+=,且'(0)1f =,则()z
f z e ≡.
证明：
（i ）'
'
(())()()()()0.z z
z z z f z e f z e
f z e f z e f z e -----=-=-=
()z f z e c -=,11,1c c ⨯==，故()z f z e ≡
(ii) ()()()f z f z f ωω''+=,令0()()z f f ωω'=⇒= 7.设f 在
\(,0]-∞中全纯，(1)0.f =证明：
（i ）若(]'
()
(),\,0,()log f z f z e
z f z z -=∈-∞≡则；
(ii)若()()()f z f z f ωω=+,(]\,0z ∈-∞,()0,ω∈∞,且'(1)1f =,则()log f z z ≡.
证明：
（i ）令()
()f z F z e
z =-,则'()'()()10f z F z e f z =⋅-=
()F z c ⇒=(常数)
令z=1,则(1)
0110f e c -=-==F(1)=e
.
故()()log (1)1f z e z f z z f ⎫=⇒=⎬=⎭
(ii)提示()()f z f z ωω''=,令1z =得1
()f ωω
'=.
8．证明：32)(2
++=z z z f 在()1,0B 中单叶.
证明： 取()12120,1,z z B z z ∀∈≠，
12()()f z f z -=1212()(2)z z z z -++
()12121212,0,1()()0()()z z z z B f z f z f z f z ≠∈⇒-≠⇒≠，
故)(z f 在()0,1B 中单叶. 12．设f 在
(]\,0-∞上全纯，(1)1,0.f μ=>证明：
)(i 若(]'()(),\,0f z f z z z
μ
=∈-∞C ，则arg ();i z f z z e μ
μ≡ )(ii 若()()()f z f z f ωω=，(]\,0z ∈-∞C ,()0,ω∈∞,且'(1),f μ=则
arg ()i z f z z e μ
μ≡
证明：(i) 要证arg ()i z
f z z e
μ
μ=，即证
log ()z f z e μ=
()log ()0z
f z e
μ'=,及(1)1f =
log ()||z i Argz f z e z e μμμ⇒==⋅.
(ii) ()()()zf z f z f ωω'=令1ω=得()()zf z f z μ= 即()
()f z f z z
μ'= 14.证明:
)(i cos()cos cos sin sin ;z z z ωωω+=⋅-⋅ )(ii sin()sin cos cos sin ;z z z ωωω+=⋅+⋅
证明:(i) cos()sin()z i z ωω+++()
i z e ω+=
()cos cos sin sin sin cos cos sin z z i z z ωωωω=-++ (1 )
在上式中以z -，ω-代入，得
cos()sin()z i z ωω+-+
()cos cos sin sin sin cos cos sin z z i z z ωωωω=--+ （2）
(1)+(2)得 cos()cos cos sin sin z z z ωωω+=-
(1)(2)得 sin()sin cos cos sin z z z ωωω+=+
19.证明: sin z ω=将半条形域:Re ,Im 02
2z z z π
π
⎧⎫
∈-
<<
>⎨⎬⎩
⎭
一一地映为上半平面. 证明:
sin cos()cos()22z z z ππω==-=-令2
u z π
=-,
则cos w u =是由指数,(Re 0,Im 0),iu
z e u u π=-<<>
与Rokovsky 函数{}11
(),((0,1)\0,0),2z
z z B argz ωπ=+∈-<<的复合.
故sin w z =将半条形区域{:Re ,Im 0}2
2
z z z π
π
∈-
<<
>一一映成上半平面.
20.证明(0,1)B 是2
()(1)z
f z z =-的单叶性域,并求出((0,1))f B . 证明: []
12
12122
121()()()(1)(1)z z f z f z z z z z --=--- 给出f 的单叶性
0z ≠时, 11
2()z f z z
=+-由Rokovsky 函数的性质易得
1
((0,1))\(,]4
f B =-∞-
21.当z 按逆时针方向沿圆周{
:2}z z =}旋转一圈后,计算下列函数辐角的增量:
(iii) 12
4
(23);z z +- (iv) 1
2
11z z -⎛⎫
⎪+⎝⎭
. 解:
(iii) 12
4
(23)z z +-14
[(3)(1)]z z =+⋅-
3-在圆周||2z =外,1在圆周||z =内
所以当z 按逆时针方向沿圆周旋转一圈后, 辐角的增量为
2
π
(iv) 111
2
2
2
2
1(1)(1)1(1)(1)1|1||1|z z z z z z z z ⎡⎤⎡⎤--+⎛⎫==-+⎢⎥⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦
1z =±均在圆周||2z =内,所以辐角的增量为0.
22.设1
(),0 1.(1)
p p
z f z p z -=<<-证明:f 能在域[]\0,1D =上选出单值的全纯分支.
证明: 11()(1)1p
p i p i z z f z e z e z z ππ-⎛⎫
== ⎪+-⎝⎭ 只需考虑()1p
z g z z ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
设γ是D 中的简单闭曲线,则当z 沿γ逆时针绕行一周时, 若γ内部不含[0,1],则辐角增量为0, 若[0,1]位于γ内部,则辐角增量为22()0p p ππ+-=. 故g 从而f 能在域[]\0,1D =上选出单值的全纯分支.
23.证明: 21()z f z Log z ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
能在域(][]()\,10,1D =-∞-⋃上选出单值的全纯分支.
证明: 21z z
-将(][]()\,10,1-∞-⋃映入(]\,0-∞，而对数函数在(]\,0-∞上能选出
全纯分支.
24.设单叶全纯映射f 将域D 一一地映为G,证明:G 的面积为2
'
().f z dxdy ⎰⎰
证明:令iy x z +=,),(),()(y x iv y x u z f +=
变换行列式
(,)(,)u
u v x
v
x y x
∂∂∂=∂∂∂ u y v y
∂∂∂∂= u v v u x y x y ∂∂∂∂⋅-⋅∂∂∂∂ = 22()()u v x x
∂∂+∂∂= 2
u v
i
x x ∂∂+∂∂ = 2
'
()f z
∴ 2'(,)
|
|()(,)G D
D
u v S dxdy f z dxdy x y ∂==∂⎰⎰⎰⎰.
25.设f 是域D 上的单叶全纯映射,)(),(βαγ≤≤=t t z 是D 中的光滑曲线, 证明:(())f t ωγ=的长度为''(())()f t t dt βα
γγ⎰
证明:
''(())()d f t t dt
ω
γγ= 故(())w f t γ=的长度为''
(())()f t t dt βαγγ⎰
26.设D 是z 平面上去掉线段[][]1,,1,i i -和射线z it = ()1t ≤<∞后得到的域,证明函数
2(1)Log z -能在D 上分出单值的全纯分支.设f 是满足0)0(=f 的那个分支,试计算)
2(f 的值.
解: 取D 中任一简单闭曲线γ,则1±都不在γ内部,
从而z 沿γ逆时针绕行一周时,2
1(1)(1)z z z -=-+辐角的增量为0, 故能选出全纯分支.
设2
2()log |1|(1)2f z z iarg z k π=-+-+. 由(0)00f k =⇒=, 故
(2)log3(3)log3f iarg i π=+-=+.
§2.5习题
1. 试求把上半平面映为上半平面的分式线性变换,使得∞,0,1分别映为0,1,∞.
解: 1
()1
T z z ω-==-
2. 证明: 分式线性变换az b
cz d
ω+=
+把上半平面映为上半平面的充要条件是d c b a ,,,都是 实数,而且0>-bc ad .
证明: 必要性：因为线性变换把实轴映为实轴,
故az b
cz d
ω+=
+中d c b a ,,,都是实数； 因为2
()()ac bd ad bc i
i c ω++-=属于上半平面，故0>-bc ad .
充分性：对0,1,,z =∞都有()z ω∈R ,从而ω将实轴映为实轴, 又Im ()0i ad bc ω=->,故将上半平面映为上半平面.
4.试求把单位圆盘的外部{}
1:>z z 映为右半平面{}:Re 0ωω>的分式线性变换,使得
(i)1,-i,-1分别变为i,0,-i; (ii)-i,i,1分别变为i,0,-i. 解:(i)()z i
T z z i
ω+==- (ii)()(2)21
z i
T z i z i ω-==-+-
10.设()az b
T z cz d +=+是一个分式线性变换,如果记a c ⎛ ⎝ 1
b d -⎫⎪⎭=αγ⎛ ⎝ βδ⎫⎪⎭,那么
1()z T z z αβ
γδ
-+=
+. 证明:
a c ⎛ ⎝ 1
b d -⎫⎪⎭=d
c ⎛ -⎝
b a -⎫⎪⎭=αλ⎛ ⎝ βδ⎫
⎪⎭ ()az b
T z cz d +=
+()()czT z dT z az b ⇒+=+ 1()b dz z T z cz a z αβγδ
--+⇒=
=-+ 从而证得1
()z T z z αβ
γδ
-+=+.
11.设11111)(d c b a z T ++=
,=)(2z T 2
22
2d c b a ++是两个分式线性变换,如果记
11a c ⎛ ⎝ 11b d ⎫⎪⎭22a c ⎛ ⎝ 22b d ⎫⎪⎭=a c ⎛ ⎝ b d ⎫⎪⎭
那么12()()az b T T z cz d +=+. 证明: 12()()T T z =
12121212
12121212
a a z a
b b
c z b
d c a z c b d c z d d ++++++
又 11a c ⎛ ⎝ 11b d ⎫⎪⎭22a c ⎛ ⎝ 22b d ⎫⎪⎭=a c ⎛ ⎝ b d ⎫⎪⎭
∴121212121212
a a
b
c a
a b b d c c b d d d
+=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩⇒12
12121212121212a a z a b b c z b d az b c a z c b d c z d d cz d ++++=++++ 从而12()()az b
T T z cz d
+=+.
12.设Γ是过-1和1的圆周,z 和w 都不在圆周上.如果,1=zw 那么z 和w 必分别于Γ的内部或外部.
证明:由圆的对称性知Γ的圆心必然在虚轴上，设圆周与虚轴交个交点为12z z ，. 又由平面几何知识知12||||1z z ⋅=,从而21
1z z =
. 设z 在Γ内部，则z 位于走向1，1z ,-1的左边,因此分式线性变换1(x)T x =，将1
()z
T z =映为走向1(1)()(1)T T z T -，，，即1，2z ，-1的左边. 注意()T Γ=Γ，走向1，2z ，-1的左边即Γ的外部，故1
z
在Γ外部.
15.求一单叶全纯映射,把除去线段[]i +1,0的第一象限映为上半平面. 提示: 先作变换4
1z z =,再作412+=z z ,最后作变换23z z =可得.
16. 求一单叶全纯映射,把半条形域:Re ,Im 02
2z z z π
π
⎧⎫
-
<<
>⎨⎬⎩
⎭
映为上半平面,且把2
π,0,2π
-分别映为1,-1,0. 提示: 先作变换1z iz = ,再作12z
e z =,)1
(21,3
3423z z z iz z +=
-=.
即11()2iz iz w ie ie
=-+-
17.求一单叶全纯映射,把除去线段[]hi a a +,的条形域{}:0Im
1z z <<映为条形域{}:0Im 1w w <<,其中,a 是实数, 01h <<
提示:先作变换1z
z e π=,再作变换π
π
a a e z e z z +-=112便可得结论.
19.求一单叶全纯映射,把除去线段[]2,1的单位圆盘的外部映为上半平面.
提示:先作变换111z z z -=+,再作变换2
21324351,,,9
z iz z z z z z ===+=
即w =
.
第三章 全纯函数的积分表示
§3.1习题
1.计算积分23
z dz z γ
-⎰，其中，γ为 (iii)沿圆周{:||2}z z ∈
=的正向.
23z dz z γ-⎰=23dz dz z
γγ-⎰⎰=0-6i 6i ππ=-
2.计算|z|=1
dz
,2z +⎰并证明，012cos 54cos d π
θθθ++⎰
=0. 奇点在区域外积分为0
|z|=1
dz
2z +⎰=20d 2i i e e πθθ+⎰=20
i 2i i e d e π
θθθ+⎰
=20
(2)
i 0(2)(2)i i i i e e d e e π
θθθθ
θ--+=++⎰ 20
2020220
20
120122412cos 2sin 0
52cos 2sin 2cos()2sin()12cos 2sin 0
54cos 12cos 2sin 0
54cos 54cos 12cos ()
54cos i i i e d e e i d i i i d d d i d π
θ
θθ
π
π
π
π
π
π
π
θθθ
θθθθθθθ
θθθ
θ
θθθ
θ
θ
θθ
-+⇒=+++++⇒=+++-+-++⇒=++⇒
+
=++++=+⎰⎰
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
由对称性
20
12cos 12cos 54cos 54cos 12cos 0
54cos d d d π
π
π
π
θ
θ
θθ
θθ
θ
θθ++=+++=+⎰⎰
⎰
所以
3.计算积分
|z|3
21
dz (1z z z =--⎰）.
|z|3|z|3|z|=3||3
21111
dz=4i (1(1)z 1z z z z dz dz dz z z z z z π===--+=+=---⎰⎰⎰⎰）
4.如果多项式Q(z)比多项式P(z)高两次，试证： ||(z)
lim
0()
R Z R
P dz Q z →∞==⎰
证明：2
(z)lim ()
R P z A Q z →∞= (A 为某个常数)
从而存在M>0,R 0>0使得当R ≥R 0时，有
2
()()
P z z M Q z ≤ 因此2||||||()()2|
||||||0()(z)()|z |z R z R z R
P z P z M M
dz z dz R Q Q z R π===≤≤=→→∞⎰⎰⎰ 所以()
lim 0()
R P z dz Q z →∞=⎰
6.设f 1
(),C D ∈γ是域D 中分别以a 和b 为起点和终点的可求长曲线.证明：
()()
()()z f z f z dz d z f b f a z γ
∂∂+=-∂∂⎰ z)1f ),2f f
i dz dx idy z x y ∂∂∂=-=+∂∂∂（（ )1),2f z f f
i d z dx idy z x y
∂∂∂=+=-∂∂∂（（ ()()11()()()()22f z f z f f f f
dz d z i dx idy i dx dy z x y x y z
f f
dx dy df x y
∂∂∂∂∂∂+=-+++-∂∂∂∂∂∂∂∂=+=∂∂
故()()
{}()()f z f z dz d z df f b f a z z γ
γ
∂∂+==-∂∂⎰⎰
8.设γ是域D 中以a 为起点，以b 为终点的可求长曲线，f,g 1
()().H D C D ∈⋂证明分部积
分公式：'f ()()()()|z).b a z g z dz f z g z f
dz γγ
=-⎰⎰’
（ ()'()'()()['()()()'()][()()]'()()|b a
f z
g z dz f z g z dz f z g z f z g z dz f z g z dz f z g z γ
γ
γ
γ
+=+==⎰⎰⎰⎰故()'()()()|'()()b
a
f z
g z dz f z g z f z g z dz γγ
=-⎰⎰
9.设γ是正向可求简单曲线，证明：γ内部的面积为
1
2i r
zdz ⎰. 证明：由公式得r
zdz ⎰=z
(dz D
d z z ∂-
∧∂⎰
）=-D
dz d z ∧⎰ =-()(i D
dx idy dx idy +∧-∧⎰⎰⎰
D
D
）=2dx dy=2idA
=2iA 所以A=1
2i r
zdz ⎰
11.设f 在z 0处连续，证明：
（i ）200r 00
1
lim
()z 2i f z re d f π
θθπ
→+=⎰
（）；
(ii) 0000
||r
1()
lim
()2r z z f z dz f z i z z π→-==-⎰. 证明：(i)
2200000
1
1
()(|()(|d 22i i f z re d f z f z re f z π
π
θ
θ
θθπ
π
+-≤
+-⎰
⎰）） 00||sup |()()|0(0)z z r
f z f z r +
-=≤-→→
所以200r 00
1
lim
()()2i f z re d f z π
θθπ
→+=⎰
.
(ii) 0
200||r 0
1()1
()22i z z
f z dz f z re d i z z π
θθππ-==+-⎰⎰
故00r 0
||1()
lim
()2z z r f z dz f z i z z π→-==-⎰
12.设D={00z :arg()}(02),z a a θθαπ∈
<-<+<≤ f 在\{}D a 上连续，证明：
（i ）如果a z D\{a}
lim ()(),z z a f z A →∈-=那么r 0
|z a|lim
();r z D
f z dz i A α→-=∈=⎰
(ii)如果z D\{a}
lim ()(),z z a f z B →∞∈-=那么z ||lim
f ().z a R z D
z dz i B α→∞
-=∈=⎰
证明：（i ）
||||||1()i ()|()()|||z a r z a r z a r
z D
z D
z D
A f z dz A f z dz z a f z A dz z a r α-=-=-=∈∈∈-=
-
≤---⎰
⎰
⎰ ||sup |(z )()|0r 0)z a r
z D
a f z A +-=∈≤--→→（
(ii)略
§3.2习题
1.计算积分： （i ）
2|z|||
,||||r
dz a r z a =≠-⎰ 222
|z|0
||||||()()()()
i i r
z r dz rd r dz
z a i re a re a z a r az π
θθθ-====-----⎰⎰
⎰ 22222
||112||||||
/z r ir r dz r a z a r a z r a π=-⎛⎫
=
-= ⎪----⎝⎭⎰ （iii ）
4|z|5
;1zdz
z =-⎰ 22
42222|z|5
|z|5|z|51111012(1)(1)411zdz dz dz z z z z z ===⎛⎫==-= ⎪--+-+⎝⎭⎰⎰⎰
（iv ）22
|z|2,0.z
a
e dz a z a =>+⎰ 22|z|2||2||2112ai 2z z z a
z a z a e e e dz dz dz z a z ai ai z ai ====-+-+⎰⎰⎰ =112i 22sin 2ai 2ai ai i e i e a ai a
πππ-⋅⋅-⋅=
2.设f 在{:||}z r z ∈
<<∞中全纯，且z lim (z).zf A →∞
=证明：
||()2,z R
f z dz iA π==⎰
这里r R >
证明：设'
,r R R <<<∞利用Cauchy 积分公式得
'
||||'
||dz 2()z R
z R z R A f z iA f z dz dz z π===-=
-
⎰
⎰
⎰
（）|z|'
1
|()|||R zf z A dz R =≤-'⎰ '
'||2sup |()|0()z R zf z A R π=≤⋅-→→∞
4.设0,r R f <<在(0,)B R 中全纯.证明：
20
1
i (0)();2i f f re d π
θθπ=
⎰
（）
||ii ().z r
f f z dxdy π<⎰21
（）(0)=
r 证明：（i ）0,R δ∀>> 由Cauchy 积分公式得
||||1()1()
2i 2z r z f z f z dz dz z i z δ
ππ===⎰⎰ 即220
01
1
()()22i i f re d f e d π
π
θ
θθδθπ
π
=
⎰
⎰
，令0δ→，则有
20
1
()(0)2i f re d f π
θθπ
=⎰
(ii)2|z|1()r r
f z dxdy π<⎰=r
2200
1()r i d f e d π
θ
ρρρθπ⎰⎰ （1）
利用（i ）得
20
()2(0)i f e d f π
θρθπ=⎰
（2）
由（1）和（2）式得2||1
(0)()z r
f f z dxdy r π<=⎰
5.设u 是B(0,R)中的调和函数，0.r R <<证明：20
1
u(0)=
().2i u re
d π
θ
θπ
⎰
证明：单连通域上的调和函数是某个全纯函数f 的实部：Re u f =
220
1
1
(0)()0Re (0)()22i i f f re d u f u re d π
π
θ
θθθπ
π
=
⇒==
⎰
⎰（）
6.设0 1.r <<证明：2
log(12rcos r )0d π
θθ-+=⎰
证明：令U(z)=2
ln |1|z -,则U 在B(0,1)上调和，由题5，0=U(0)=
222
2
1
1
1
()log(12cos )log(12cos )22i u re d r r
d r r
d π
π
π
θ
θθθθθπ
ππ=-+=
-+⎰⎰⎰
.
1.设D 是域，,()f g H D ∈.如果'
fg 在D 上有原函数ϕ.证明：'
fg 在上D 有原函数
fg ϕ-
证明：,()f g H D ∈.由'
fg =ϕ，得'
'
()fg fg ϕ-=.
3．设()
()n
f C H ∈，并且()()0n f z ≡.证明：f 必为次数不大于n -1的多项式.
证明：归纳法 k=1时显然，设k=n-1时成立，取定C ξ∈,由()
(1)()0()n n f z f z C -≡⇒=
故(1)
1()0(1)!n n Cz f z n --⎡⎤-
≡⎢⎥-⎣⎦
，从而1
()(1)!
n Cz f z n ---是次数不超过n-2的多项式.
5.设f 是凸域D 上的全纯函数，如果对每点z D ∈，有{}
'
Re ()0f z >，那么f 是D 上的
单叶函数.
证明：12,z z D ∀∈，12z z ≠ 则 2
1
1
'
'21121210
()()()(())()z z f z f z f d f z t z z z z dt ξξ-==+--⎰
⎰
则
1'21121021
()()
(())f z f z f z t z z dt z z -=+--⎰ 从而
{}1'21121021
()()
Re (())0f z f z f z t z z dt z z -≥+->-⎰ 故12()()f z f z ≠，这表明f 是D 上的单叶函数.
1． 计算下列积分：
（1）
2||1
sin 1z z
dz z =-⎰ 解：
2||1|1|1
1sin 1sin sin 2sin11111z z z z z z dz dz i i z z z z ππ=-==⎛⎫=⋅== ⎪--++⎝⎭⎰⎰ (2)
2||2
;1z dz z =+⎰ 解：
2||2||2111012z z dz dz z i z i z i ==⎛⎫=-= ⎪+-+⎝
⎭⎰⎰ (4)
223||2
;(1)(4)z dz
z z =
++⎰
解：与第二题类似，答案为0.
(6)||()()n
z R
dz
z a z b =--⎰,n 为正整数，a ≠b 不在圆周|z|=R 上. 解：原式0,2()2()0
,.
n
n a b i a b a i a b a a b ππ⎧⎪
⎪⎪-=⎨
⎪-⎪-⎪⎩均在圆外.在圆外，b 在圆内.
在圆内，b 在圆外.均在圆内
3.设D 是由有限条可求长简单闭曲线围成的域，1,n z z …,是D 中n 个彼此不同的点.如果
()()f H D C D ∈，证明：()()
1()()2()n n n D z f P z d i z
ωζωζζπωζζ∂-=
-⎰是次数不超过n-1的多项式，并且1()(),1,2,.()()(-)k k n n P z f z k n z z z z z ω==⋯=-⋯，其中，. （提示：证明
()()
n n z z
ωζωζ--是z 的次数不超过n-1的多项式.）
证明：由于1()()n z z z ω=-n …(z-z )
从而
()()n n z z ωζωζ--是z 的n-1次多项式，记()()
h(,)()n n z z f z
ωζωξξζ-=-
取0ε>充分小，由Cauchy 积分公式
1
1k 11||1
1(,)()(,)()2()k n
n n k k j n j k z j k
j
j h z P z d h z z z z i z ξεξξπξ-===-=≠===∏-∏-∑∑⎰ 因为()
h(,)()n z z f z
ωξξζ-=-是z 的次数不超过n-1的多项式，故P(z)是关于z 的次数不超过
n-1的多项式. 又1
()()(),n
n k j j j k
z z z z z ω=≠-=-∏-故()()k k P z f z =是关于z 的次数不超过n-1的多项式.
5.设((0,1))
((0,1))f H B C B ∈.证明：
220220
2
(1)
()cos 2(0)(0);
22
(2)
()sin 2(0)(0)
2i i f e d f f f e d f f π
θπ
θθθπ
θθπ
⎛⎫
'=+ ⎪⎝⎭⎛⎫
'=- ⎪⎝⎭⎰
⎰
（提示：分别计算积分1111112()2()22d d f f i i ζζζζ
ζζζζπζζπζζ
==⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰和 即可.）
证明：由Cauchy 公式，得
220011()1()1(0)()222i i i i f f e f d ie d f e d i i e i
θππθθ
θζζζθθπζππ====⎰⎰⎰,
220
11()1
(0)()22i i f f d f e e d i π
θθζζζθ
πζπ
-='=
=
⎰⎰
②
又由Cauchy 定理，
1
()0f d ζζζ==⎰
即
20
1
()02i i f e e d π
θθθπ
=⎰
③
②+③得222
1
1
(0)()cos ()(2cos 1)2
i i f f e d f e d π
π
θθθ
θθθππ'==
-⎰
⎰
即
222
2
1
()cos
(0)()(0)2(0)2
i i f e d f f e d f f π
π
θ
θθ
θθππ''=+
=+⎰
⎰
6.利用上题结果证明：。