2018年广州市一模文科数学真题(word版+答案)

2018广州一模文科数学详解

10

5, 3 , 则 O A A B
C. 2
(
C
)
B.
D. 2
OA AB OA OB OA ( 4 , 4 ) ( 5 , 3 ) ( 1, 1 ), 2

2O A O B
OA AB
4 . 等差数列 { a n }的各项均不为零 , 其前 n 项和为 S n , 若 a n1 a n 2 a n , 则 S 2n1 = ( A. 4n 2
B.

C.

3
D.
B A
F
G
因为 AB CD, AB CD, 所以 EG FG , EG FG ,
所以 △ EFG是等腰直角三角形 , 所以 EFG

4
,即异面直线 E F
C
E
与 AB所成角的大小为

4
.
D
7.已知某个函数的部分图象如图所示 , 则这个函数的解析式可能是( A . y x ln x C . y ln x 1 x 1 ) B . y x ln x x 1 D. y ln x x x 1
,
D
) C.递增数列
an 1 2an
2
B.摆动数列
2
D.递减数列
因为 2 a na n1 a n 1, 所以 a n1 an 1 bn 1 a n1 1 a n1 1 2an an 1 2an a1 1 1
2 2
,所以
1 1
an 2an 1 an 2an 1

2018年广东省广州市天河区高考数学一模试题和答案(文科)

2018年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A ＝{x|x ≤a}，B ＝{x|1≤x ＜2且A??R B ，则实数a 的取值范围是（）A ．（∞，1]B ．（﹣∞，1）C ．[2，+∞）D ．（2，+∞）2．（5分）某人到甲、乙两市若干小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为（）A ．4B ．3C ．2D ．13．（5分）在复平面内，设z ＝1+i （i 是虚数单位），则复数+z 2对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（5分）小明从甲的去乙的跋山涉水共走了2500米，其中涉水路段x 米．他不小心把手机丢在途中，若手机掉在水里，就找不到了，若不掉在水里，则能找到．已知该手机能被找到的概率为，则涉水长度为（）A ．1750米B ．1250米C ．750米D ．500米5．（5分）已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，则双曲线的渐近线方程为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）满足条件的目标函数z ＝x 2+y 2的最大值为（）A ．B ．C ．2D ．4化简时原代数式可以用”原式”代替，也可以抄一遍，但要抄准确。

每一步变形用“=”连接。

化简完后，按步骤书写：当a=……时，原式=……=……。

当字母的值没有直接给出时，要写出一些步骤求字母的值。

化简正确是关键，易错点：去括号时漏乘，应乘遍每一项；括号内部分项忘了变号，要变号都变号；合并同类项时漏项，少抄了一项尤其常数项。

字母颠倒的同类项，注意合并彻底。

7．（5分）已知点及抛物线x 2＝﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A．B．1C．2D．38．（5分）设函数f（x）＝a﹣x﹣ka x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，则g（x）＝log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b ⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N＝n（modm），例如10＝4（mod6），如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入a＝2，b＝3，c＝5，则输出的N＝（）2。

【高三数学试题精选】2018年广州市高考一模数学试题及答案(文)

2018年广州市高考一模数学试题及答案（文）
5 c 试卷类型A
2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（科）
20183
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟
注意事项1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考式锥体的体积式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
一、选择题本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数的定义域为
A． B． c． D．
2．已知复数（其中，是虚数单位），则的值为
A． B． c．0 D．2。

广州市2018届高三第一学期第一次调研测试文科数学试题(解析版)

A. sin x
【答案】 C 【解析】
B. cos x
∵ f0 x sinx ，
f 1( x)=cos x， f 2( x)= - sin x， f 3( x)= - cos x， f 4( x)=sin x， f 5( x)=cos x. ∴题目中的函数为周期函数，且周期 ∴ f ( 2018 x)= f 2( x)= - sin x. 故选： C.
3
2 ∴ sin 2
0 ， 2 2 kπ，k Z ，
kπ ， k Z ，又
0
3
3
23
当 k 1 时，的最小值为 6
故选： B
11. 在直角坐标系
xOy 中，设
F 为双曲线
C：
x2 a2
y2
b2 1(a 0,b 0) 的右焦点， P 为双曲线 C 的右支上一
点，且△ OPF 为正三角形，则双曲线 C 的离心率为
面积等于
7 ， c 4 ， cosB
3 ，则△ ABC 的
4
A. 3 7
【答案】 B
B. 3 7 2
C. 9
9
D.
2
【解析】
由余弦定理得： b2 c2 a2 2ca?cosB ，即 7 16 a2 6a ，解得： a 3
∴ S ABC 1 casinB 1 4 3 7 3 7
2
2
42
故选： B
8. 在如图的程序框图中， f i ( x) 为 fi ( x) 的导函数，若 f0 (x) sin x ，则输出的结果是
直线的斜率进行比较，避免出错 ; 三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上
取得 .
6. 如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为

2018届广东广州1模(文科)(试卷+答案)

绝密 ★ 启用前2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设复数z 满足2)1(i zi -=，则复数z 的共轭复数=z （）A. 2-B. 2C. i 2-D. i 22、设集合}6,5,4,3,2,1,0{=A ，},2{A n n x x B ∈==，则=B A （） A. }4,2,0{ B. }6,4,2{ C. }6,4,2,0{ D. }12,10,8,6,4,2,0{3、已知向量)2,2(=OA ，)3,5(=OB =-（）A. 10B.10 C. 2 D. 24、等差数列}{n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若n n n a a a +=++221，则=+12n S （）A. 24+nB. n 4C. 12+nD. n 25、执行如图所示的程序框图，则输出的=S （）A. 209B. 94C. 92D. 1096、在四面体ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，CD AB =，CD AB ⊥，则异面直线EF 与AB 所成角的大小为（）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π7、已知某个函数的部分图像如图所示，则这个函数的解析式可能是（）A. x x y ln =B. 1ln +-=x x x yC. 11ln -+=xx y D. 1ln -+-=x xxy 8、椭圆14922=+y x 上一动点P 到定点)0,1(M 的距离的最小值为（） A. 2 B.554 C. 1 D. 552 9、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 322410++B. 2414+C. 32244++D. 410、已知函数)0)(6sin()(>+=ωπωx x f 在区间]32,4[ππ-上单调递增，则ω的取值范围为（）A. ]38,0(B. ]21,0(C. ]38,21[D. ]2,83[ 11、已知数列}{n a 满足21=a ，1221+=+n n n a a a ，设11+-=n n n a a b ，则数列}{n b 是（） A.常数列 B.摆动数列 C.递增数列 D.递减数列 12、如图，在梯形ABCD 中，已知CD AB 2=，52=，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，则双曲线的离心率为（）A. 7B. 22C. 3D. 10第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年广东省高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2018年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝1，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．2．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2＜1}，则A∪B＝（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）3．（5分）“常数m是2与8的等比中项”是“m＝4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F 到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．26．（5分）等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…的第四项等于（）A．3B．4C．log318D．log3247．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π8．（5分）已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称9．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100D．n是奇数，n＞10010．（5分）已知函数在其定义域上单调递减，则函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2＝x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（18，34）C．（17，35）D．（6，7）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|＝．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a5＝．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH 分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）证明：；（2）若，求△ABC的面积．18．（12分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001～6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，且BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE ⊥CF ，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD ⊥EC ，求点F 到平面ABCD 的距离．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax．（1）证明：当a≤2﹣2ln2时，函数f（x）在R上是单调函数；（2）当x＞0时，f（x）≥1﹣x恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ＝．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）＝|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．2018年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝1，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：由（1+i）z＝1，得，则复数z的虚部为．故选：D．2．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2＜1}，则A∪B＝（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）【解答】解：∵集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|x＞﹣1}＝（﹣1，+∞）．故选：C．3．（5分）“常数m是2与8的等比中项”是“m＝4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵m是两个正数2和8的等比中项，∴m＝±＝±4．故m＝±4是m＝4的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意此点取自黑色部分的概率是：P＝＝，故选：A．5．（5分）已知F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F 到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．2【解答】解：根据题意，F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b＝2a，则c＝＝a，则双曲线C的离心率e＝＝，故选：C．6．（5分）等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…的第四项等于（）A．3B．4C．log318D．log324【解答】解：∵等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…，∴log3（2x）+log3（4x+2）＝2log3（3x），∴x（x﹣4）＝0，又2x＞0，∴x＝4，∴等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，d＝log312﹣log38＝，∴第四项为＝log327＝3．故选：A．7．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π【解答】解：由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴表面积为：4×6×2+2（4×6﹣4π）+2×2π×4＝96+8π，故选：B．8．（5分）已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称【解答】解：把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+）＝cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故A错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y＝sin[2（x﹣）﹣]＝sin（2x﹣）＝﹣cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故B正确；把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+），取x＝0，得y＝，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故C错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y＝sin[2（x﹣）﹣]＝sin （2x﹣），取x＝0，得y＝﹣，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故D 错误．∴正确的结论是B．故选：B．9．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100D．n是奇数，n＞100【解答】解：n＝1，s＝0，n＝2，s＝2，n＝3，s＝4，…，n＝99，s＝，n＝100，s＝，n＝101＞100，结束循环，故选：D．10．（5分）已知函数在其定义域上单调递减，则函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数在其定义域R上单调递减，可得[]′＝≤0，但不恒等于0，即f（x）≥f′（x）恒成立，对于A，f（x）＞0恒成立，且f′（x）≤0，则f（x）≥f′（x）恒成立；对于B，由f（x）与x轴的交点设为（m，0），（m＞0），可得f（m）＝0，f′（m）＞0，f（x）≥f′（x）不成立；对于C，可令f（x）＝t（t＜0），f′（x）＝0，f（x）≥f′（x）不成立；对于D，f（x）在x＞0时的极小值点设为n，则f（n）＜0，f′（n）＝0，f（x）≥f′（x）不成立．则A可能成立，故选：A．11．（5分）已知抛物线C：y2＝x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，则A（，），B（，﹣），将点A的坐标代入x＝ty+m，得m＝﹣，∴M（﹣，0），∴＝（，）•（，﹣）＝﹣＝（t2﹣）2﹣，则当t2＝，即t＝±时，的最小值为﹣故选：C．12．（5分）设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（18，34）C．（17，35）D．（6，7）【解答】解：互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），可得a∈（﹣∞，﹣1），b∈（﹣1，0），c∈（4，5），对应的函数值接近1时，函数趋向最小值：1+1+24＝18，当函数值趋向0时，表达式趋向最大值：1+1+25＝34．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|＝1．【解答】解：单位向量的夹角为30°；∴，；∴＝；∴．故答案为：1．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为2．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图，则z＝x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（4，﹣2），所以z＝x+y的最大值为：2．故答案为：2．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a5＝14．【解答】解：a5＝S5﹣S4＝﹣＝14，故答案为：14．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH 分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．【解答】解：连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x．则OI＝，IE＝6﹣．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得，解得：x＝4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC＝，OP＝，．∴．该四棱锥的外接球的体积V＝．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）证明：；（2）若，求△ABC的面积．【解答】证明：（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则：，整理得：，由于：b2+c2﹣a2＝2bc cos A，则：2bc cos A＝，即：a＝2cos A．解：（2）由于：A ＝，所以：．由正弦定理得：，解得：b＝1．C ＝，所以：．18．（12分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001～6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．【解答】解：（1）根据题意，由频率分布表分析可得：则K2＝≈1.389＜2.706，则没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；（2）根据题意，设步行数在3001～6000的男性为1、2，女性为a、b、c，从中任选3人的选法有（1，2，a），（1，2，b），（1，2，c），（1，a，b），（1，a，c），（1，b，c），（2，a，b），（2，a，c），（2，b，c），（a，b，c）；共10种情况，其中男性人数超过女性人数的情况有：（1，2，a），（1，2，b），（1，2，c），共3种，则选中的人中男性人数超过女性人数的概率P＝．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC＝2AD＝4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求点F到平面ABCD的距离．【解答】证明：（1）∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC＝2AD ＝4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，∴EF∥AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF＝F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．解：（2）如图，过点D作DG∥AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，又BD⊥EC，BD∩DG＝D，∴EC⊥平面BDG，EC⊥BG，由题意△EGB∽△BEC，∴，∴EB＝＝＝2，设点F到平面ABCD的距离为h，∵V F﹣ABC ＝V A﹣BCF，∴S△ABC•h＝S△BCF•AE，AB＝4，＝8，又BC⊥AE，BC⊥EB，AE∩EB＝E，∴BC⊥平面AEB，故AB⊥BC，∵＝4，AE＝EB＝2，∴h＝＝2，∴点F到平面ABCD的距离为2．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．【解答】解：（1）由题意可得，解得a＝2，b＝1，c＝，故椭圆C的方程为+y2＝1，证明：（2）：设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y＝kx+t（t≠0）．联立，化为（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0．△＝64k2t2﹣4（4t2﹣4）（1+4k2）＞0，化为1+4k2＞t2．∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴y1y2＝（kx1+t）（kx2+t）＝k2x1x2+kt（x1+x2）+t2，∵直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，∴•＝k2，即k2x1x2+kt（x1+x2）+t2＝kx1x2，∴+t2＝0，∵t≠0，∴4k2＝1，结合图形可知k＝﹣，∴直线l的斜率为定值为﹣．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax．（1）证明：当a≤2﹣2ln2时，函数f（x）在R上是单调函数；（2）当x＞0时，f（x）≥1﹣x恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）＝e x﹣2x﹣a，令g（x）＝e x﹣2x﹣a，则g′（x）＝e x﹣2，则x∈（﹣∞，ln2]时，g′（x）＜0，x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，故函数g（x）在x＝ln2时取最小值g（ln2）＝2﹣2ln2﹣a≥0，故f′（x）≥0，即函数f（x）在R递增；（2）当x＞0时，e x﹣x2﹣ax≥1﹣x，即a≤﹣x﹣+1，令h（x）＝﹣x﹣+1（x＞0），则h′（x）＝，令φ（x）＝e x﹣x﹣1，（x＞0），则φ′（x）＝e x﹣1＞0，x∈（0，+∞）时，φ（x）递增，φ（x）＞φ（0）＝0，x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，故h（x）min＝h（1）＝e﹣1，故a∈（﹣∞，e﹣1]．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ＝．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．【解答】解：（1）∵圆C1的普通方程为x2+y2﹣4x﹣8y＝0，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入方程得ρ2﹣4ρcosθ﹣8ρsinθ＝0，故C1的极坐标方程是ρ＝4cosθ+8sinθ，C2的平面直角坐标系方程是y ＝x；（2）分别将θ＝，θ＝代入ρ＝4cosθ+8sinθ，得ρ1＝2+4，ρ2＝4+2，则△OMN 的面积为×（2+4）×（4+2）×sin （﹣）＝8+5．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）＝|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．【解答】解：（1）g（x）＝|4x﹣1|﹣|x+2|．g（x ）＝，不等式g（x）＜6，x≤﹣2时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：x＞﹣1，不等式无解；﹣2＜x ＜时，1﹣4x﹣x﹣2＜6，解得：﹣＜x ＜，x ≥时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：3＞x，综上，不等式的解集是（﹣，3）；（2）因为存在x1∈R，存在x2∈R，使得f（x1）＝﹣g（x2）成立，所以{y|y＝f（x），x∈R}∩{y|y＝﹣g（x），x∈R}≠∅，又f（x）＝3|x﹣a|+|3x+1|≥|（3x﹣3a）﹣（3x+1）|＝|3a+1|，故g（x ）的最小值是﹣，可知﹣g（x）max ＝，所以|3a+1|≤，解得﹣≤a ≤，所以实数a的取值范围为[﹣，]．第21页（共21页）。

2018年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科试题及答案

2018届广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）本试卷共5页，23小题.满分考试用时120分钟*注意事项：1.答卷前，着生务必将自己的姓名和考生号、试室号、殛位号填写在答题卡上，用2B 笔在答題卡的相应位置壞涂考生号，并将试基类型（A〉填涂在答题卡相应位置上。

2.作答选挣题时’选出每小题答案后，用铅笔在答题卡上对应题目选项的寥案信息点涂黑]如需改动，用祿皮擦干净后，再逸潦算他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非逸择题必须用黑莒字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位査上；如需改动*先划掉原来的答案，然后再写上新尊案；不准使用勰笔和漆改液円不按以上要求作答无效口4.考生蛊须僅证答题卡的整洁纽考试结朿后’将试卷和答题卡一并丸回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共测分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.设复数乞満足刃= （1-i）S则复数E的共规复数云二仏-2 B. 2 C.-2i D. 2i2.设集合川二｛0丄2,3,4,5,6] + B=｛*=2耳』w/｝，则/D/ =A. {0,2,4}B. {2,4,6}C. {0,2,4,6}D. {0,2,4,6,8.10,12)3.己知向量03-（2?2）t OB =（5,3）,则网—丽卜A” 10B, TlO C 血D, 24.等差数列｛陽｝的各项均不为零.其前用项和为若a n+l ~ a tt+2 + a n * 则$亦1=A. 4社+ 2 B* 4丹 C. 2n+ ） D. 2/15.执行如图所示的程序框图，则输出的S二□42 9A, — B. - C- - D.—-20 9 9 40J在四面体A BCD中，E, F分别为AD 的中点，AB二CD *HR丄CD,则异面直线EF与/百所成角的大小为A. - B, - C. - D.-6 4 3 21L 己知数列｛%｝满足“严2, 2^+|=^ + 1,设瓦=纟匚二则数列｛*｝是暫+ 1如图，在梯形ABCD 中，已^\AB\^2\CD\t AE^-AC,双曲线过C, D, £三点，且以"，0为焦点，则双曲线的离心率为A+ 41 B. 2^2D. J1O7.已划某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是B + y = xlnx-x4-l D. y- lux 4-x-lx8.椭圆y + ^=l± 一动点P 到定点A/(1,O )的距离的議小值为D.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. 10 + 4V2 + 2V3 C. 44-4V2+2V3吐14 + 4运D, 4A.A.常数列B.摆动数列C.递增数列D.递减数列12. C. 310.己知函数f(x) =上单调递增，则血的取值范围为「I『侧：本题共4小题，每小题5分，共2U分.匚L⑷咯IQI」小学学生人数如图所示.为了解该区学生参加某项社会实践活动的盘I；施拥采用分层抽样的方法来进行调查.若高中需抽取20名学生，聊小学9初中共需抽取的学生人数为_______ 名.2工-y + 3W0,4.y满足约束条件JY-IW0，则2二-x + y的绘小值为_______y-GO,I"15.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在汀"形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”’该数表的规律是每行首尾数字均为1,从①三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和.现将畅辉三角形中的奇数换成1,偶数换成0,得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第川行各数字的和为如^=1,绩=2, E=2, 54=4f……,则S垃二________________________________________ .I II 0 I1 J i I10 0 0 1110 0】10 10 10图②图①g(x) = x'-2兀一4.设0为实数，若存在实数a,hi(x + 2), x^-L使得/何+号何=1成立”则b的取值范围为____________乙解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须做答+第22、23题为选考题，考生根据要求做答.(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)△ ABC的内角, C1的对边分别为口，b , c,已知口二历，c-b = \ , £\ABC 的外接圆半径为J7-(1)求角虫的值：(2)求的面积.U,（本小题满分］2分）某地！TO岁男童年龄％（岁）与身高的中位数兀（cm）卩匸1,2*…,10）如下表:JC （岁）i2456 f 78-------,101 y (cm)76.588396,8io4a111.3117.7124,0150.0135.4140 2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及~些统计量的值.4 y（cm）140130120H01009080,70j r 工f2 3 4 5 6 7r y如)25.5 |112曲82.503947.71566.85（O求y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到o.oi）：（2）某同学认为，y^px2+qx + r更适宜作为p关于工的回归方程类型，他求得的回归方程是7 = -0、30# + 10」4 + 6&0匸经调查，该地11岁男重身高的中位数145.3cm.与（I）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y = a^rbx中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:19.（本小题满分门分）如图，四棱锥尸-/1BCD中，底面ABCD为矩形,（J）求证：AE=PE；（2》若是等边三角形，AB^2AD. 平面只4D丄平面彳BCD，四棱锥P-4BCD的体积为gJL求点F到平面0CD的距裔.20.（本小题满分12分）已知两个定点A/（L0）和N（2,0）,动点P满足\PN\ = ^2\PM\rU）求动点P的轨迹C的方程；（2）若B为（1）中轨迹C上两个不同的点.O为坐标原点+设直线0/1, OB, AB 的斜率分别为耐，k2t k,当k.k2=3时,求jt的取值范围.2L （本小题满分12分）已知函数/*（X）= e r - ax + a -1.（1）若fO）的极值为e —1,求。

2018年广东省广州市高考数学一模试卷

2018年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x≤0}C．{x|1≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}2．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则复数z所对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数则f（f（﹣2））的值为（）A．B．C．D．4．设P是△ABC所在平面内的一点，且=2，则△PAB与△PBC的面积之比是（）A．B．C．D．5．如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（）A．3 B．6 C．12 D．246．执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．127．在平面区域{（x，y）|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标（x，y）满足y≤2x的概率为（）A．B．C．D．8．已知f（x）=sin（x+），若sinα=（＜α＜π），则f（α+）=（）A．B．﹣C．D．9．如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+x n=10，则|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（）A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+2010．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A．20πB．C．5πD．11．已知下列四个命题：p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p3：若，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4B．8+8+2C．2+2+D． ++二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数f（x）=x3﹣3x的极小值为．14．设实数x，y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的取值范围是．15．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为．16．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，，CD=5，BD=2AD，则AD的长为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2log2a n﹣1，求数列{a n b n}的前n项和T n．18．从某企业生产的某中产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些产品质量指标落在区间[75，85]内的概率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求点C到平面OBB1的距离．20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF 分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=me x﹣lnx﹣1．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当m≥1时，证明：f（x）＞1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．2018年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x≤0}C．{x|1≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}，故选：D2．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则复数z所对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：z===，对应的坐标为（2，﹣1），位于第四象限，故选：D．3．已知函数则f（f（﹣2））的值为（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣（﹣2）=6，f（f（﹣2））=f（6）==﹣．故选：C．4．设P是△ABC所在平面内的一点，且=2，则△PAB与△PBC的面积之比是（）A．B．C．D．【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】由=2可知P为AC上靠近A点的三等分点．【解答】解：∵=2，∴P为边AC靠近A点的三等分点，∴△PAB与△PBC的面积比为1：2．故选：B．5．如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（）A．3 B．6 C．12 D．24【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据余弦函数的相邻两个零点之间的距离恰好等于半个周期，即可求得ω的值．【解答】解：函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，∴T=2×=，又=，解得ω=6．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件x＞100，跳出循环体，确定输出k的值．【解答】解：模拟执行程序，可得x=3，k=0x=9，k=2不满足条件x＞100，x=21，k=4不满足条件x＞100，x=45，k=6不满足条件x＞100，x=93，k=8不满足条件x＞100，x=189，k=10满足条件x＞100，退出循环，输出k的值为10．故选：C．7．在平面区域{（x，y）|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标（x，y）满足y≤2x的概率为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；几何概型．【分析】作出不等式组对应的区域，利用几何概型的概率公式，即可得到结论．【解答】解：不等式组表示的平面区域为D的面积为1，不等式y≤2x对应的区域为三角形ABC，则三角形ABC的面积S==，则在区域D内任取一点P（x，y），则点P满足y≤2x的概率为，故选：A．8．已知f（x）=sin（x+），若sinα=（＜α＜π），则f（α+）=（）A．B．﹣C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角的三角函数的关系，以及两角和的正弦公式，即可求出．【解答】解：∵＜α＜π，sinα=，∴cosα=﹣∵f（x）=sin（x+），∴f（α+）=sin（α++）=sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣（﹣）=，故选：C．9．如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+x n=10，则|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（）A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+20【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线性质得|P n F|==x n+1，由此能求出结果．【解答】解：∵P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，x1+x2+…+x n=10，∴|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（x1+1）+（x2+1）+…+（x n+1）=x1+x2+…+x n+n=n+10．故选：A．10．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A．20πB．C．5πD．【考点】球的体积和表面积．【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，球心为O，一个顶点为A，如右图．可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积．【解答】解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，则球心O是O1，O2的中点．∵正六棱柱底面边长为1，侧棱长为1，∴Rt△AO1O中，AO1=1，O1O=，可得AO==，因此，该球的体积为V=π•（）3=．故选：D．11．已知下列四个命题：p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p3：若，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】p1：根据线面垂直的判断定理判定即可；p2：根据奇函数的定义判定即可；p3：对表达式变形可得=x+1+﹣1，利用均值定理判定即可；p4：根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立．【解答】解：p1：根据判断定理可知，若直线l和平面α内两条相交的直线垂直，则l⊥α，若没有相交，无数的平行直线也不能判断垂直，故错误；p2：根据奇函数的定义可知，f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），故∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），故正确；p3：若=x+1+﹣1≥1，且当x=0时，等号成立，故不存在x0∈（0，+∞），f（x0）=1，故错误；p4：在△ABC中，根据大边对大角可知，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可知，sinA＞sinB，故正确．故选：B．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4B．8+8+2C．2+2+D． ++【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥．作出直观图，计算各棱长求面积．【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A﹣BCD．作出直观图如图所示：其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．∴S△ABC==4，S△BCD==4．∵AC=4，AC⊥CD，∴S△ACD==8，由勾股定理得AB=BD==2，AD=4．∴cos∠ABD==﹣，∴sin∠ABD=．∴S△ABD==4．∴几何体的表面积为8+8+4．故选A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数f（x）=x3﹣3x的极小值为﹣2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】首先求导可得f′（x）=3x2﹣3，解3x2﹣3=0可得其根，再判断导函数的符号分析函数的单调性，即可得到极小值．【解答】解析：令f′（x）=3x2﹣3=0，得x=±1，可求得f（x）的极小值为f（1）=﹣2．故答案：﹣2．14．设实数x，y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的取值范围是[﹣6，15] ．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化简z=﹣2x+3y为y=x+，从而结合图象求解．【解答】解：由题意作平面区域如下，化简z=﹣2x+3y为y=x+，故结合图象可知，在点B（3，0）处有最小值，在点C（﹣3，3）处有最大值，故﹣2×3+3×0≤z≤﹣2×（﹣3）+3×3，即z∈[﹣6，15]，故答案为：[﹣6，15]．15．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出A，F的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，bc的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），F（c，0），B（0，b），可得=（﹣a，﹣b），=（c，﹣b），由，可得﹣ac+b2=0，即有b2=c2﹣a2=ac，由e=，可得e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去）．故答案为：．16．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，，CD=5，BD=2AD，则AD的长为5．【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据题意画出图象，延长BC、过A做AE⊥BC、垂足为E，根据平行线的性质和勾股定理依次求出AE、CE、BC、BD，由条件求出AD的长．【解答】解：如图所示：延长BC，过A做AE⊥BC，垂足为E，∵CD⊥BC，∴CD∥AE，∵CD=5，BD=2AD，∴，解得AE=，在RT△ACE，CE===，由得BC=2CE=5，在RT△BCD中，BD===10，则AD=5，故答案为：5．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2log2a n﹣1，求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）等比数列{a n}中，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项，有等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；（Ⅱ）把（1）中求得的结果代入b n=2log2a n﹣1，求出b n，利用错位相减法求出T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，因为a2=4，所以a3=4q，．）因为a3+2是a2和a4的等差中项，所以2（a3+2）=a2+a4．即2（4q+2）=4+4q2，化简得q2﹣2q=0．因为公比q≠0，所以q=2．所以（n∈N*）．（Ⅱ）因为，所以b n=2log2a n﹣1=2n﹣1．所以．则，①，，②，①﹣②得，．=，所以．18．从某企业生产的某中产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些产品质量指标落在区间[75，85]内的概率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（2）由频率分布直方图得从[45，65）的产品数中抽取5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取1件，记为a，由此利用列举法求出概率．【解答】解：（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和为1﹣0.04﹣0.12﹣0.19﹣0.3=0.35，∵质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1，∴这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.35×=0.05，（Ⅱ）由频率分布直方图得：这些产品质量指标值落在区间[55，65）内的频率为0.35×=0.2，这些产品质量指标值落在区间[65，75）内的频率为0.35×=0.1，这些产品质量指标值落在区间[45，55）内的频率为0.03×10=0.30，所以这些产品质量指标值落在区间[45，65）内的频率为0.3+0.2=0.5，∵=∴从[45，65）的产品数中抽取6×=5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取6×=1件，记为a，从中任取两件，所有可能的取法有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，a），（B，C），（B，D），（B，E），（B，a），（C，D），（D（C，E），（C，a），（D，E），（D，a），（E，a），共15种，这2件产品都在区间[45，65）内的取法有10种，∴从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率=．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求点C到平面OBB1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明A1O⊥BD．CO⊥BD．即可证明BD⊥平面A1CO．（Ⅱ）解法一：说明点B1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离A1O．设点C到平面OBB1的距离为d，通过，求解点C到平面OBB1的距离．解法二：连接A1C1与B1D1交于点O1，连接CO1，OO1，推出OA1O1C为平行四边形．证明CH⊥平面BB1D1D，然后求解点C到平面OBB1的距离．【解答】（Ⅰ）证明：因为A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1O⊥BD．…因为ABCD是菱形，所以CO⊥BD．…因为A1O∩CO=O，A1O，CO⊂平面A1CO，所以BD⊥平面A1CO．…（Ⅱ）解法一：因为底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，AB=AA1=2，∠BAD=60°，所以OB=OD=1，．…所以△OBC的面积为．…因为A1O⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD，所以A1O⊥AO，．…因为A1B1∥平面ABCD，所以点B1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离A1O．…由（Ⅰ）得，BD⊥平面A1AC．因为A1A⊂平面A1AC，所以BD⊥A1A．因为A1A∥B1B，所以BD⊥B1B．…所以△OBB1的面积为．…设点C到平面OBB1的距离为d，因为，所以．…所以．所以点C到平面OBB1的距离为．…解法二：由（Ⅰ）知BD⊥平面A1CO，因为BD⊂平面BB1D1D，所以平面A1CO⊥平面BB1D1D．…连接A1C1与B1D1交于点O1，连接CO1，OO1，因为AA1=CC1，AA1∥CC1，所以CAA1C1为平行四边形．又O，O1分别是AC，A1C1的中点，所以OA1O1C为平行四边形．所以O1C=OA1=1．…因为平面OA1O1C与平面BB1D1D交线为OO1，过点C作CH⊥OO1于H，则CH⊥平面BB1D1D．…因为O1C∥A1O，A1O⊥平面ABCD，所以O1C⊥平面ABCD．因为OC⊂平面ABCD，所以O•1C⊥OC，即△OCO1为直角三角形．…所以．所以点C到平面OBB1的距离为．…20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF 分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可设椭圆标准方程为+=1（a＞b＞0），结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即可判断存在点P．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则c=2，a2﹣b2=c2， +=1，解得：a2=8，b2=4．可得椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），则+=1，A（﹣2，0），AF所在直线方程y=（x+2），取x=0，得y=，∴N（0，），AE所在直线方程为y=（x+2），取x=0，得y=．则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r=，圆的方程为x2+（y﹣）2==，即x2+（y+）2=．取y=0，得x=±2．可得以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．可得在x轴上存在点P（±2，0），使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角．21．已知函数f（x）=me x﹣lnx﹣1．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当m≥1时，证明：f（x）＞1．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得m=1时，f（x）的导数，可得切点坐标和切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）证法一：运用分析法证明，当m≥1时，f（x）=me x﹣lnx﹣1≥e x﹣lnx﹣1．要证明f （x）＞1，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0，思路1：设g（x）=e x﹣lnx﹣2，求得导数，求得单调区间，可得最小值，证明大于0即可；思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），设h（x）=e x﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0；证明x﹣lnx﹣1≥0．设p（x）=x﹣lnx﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，即可得证；思路3：先证明e x﹣lnx＞2．：因为曲线y=e x与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，结合点到直线的距离公式，求得两曲线上的点的距离AB＞2，即可得证；证法二：因为f（x）=me x﹣lnx﹣1，要证明f（x）＞1，只需证明me x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=me x﹣lnx﹣2，求得导数和单调区间，求得最小值，证明大于0，即可得证；思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．设F（x）=e x﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，再证明me x﹣lnx﹣2＞0，运用不等式的性质，即可得证．【解答】（Ⅰ）解：当m=1时，f（x）=e x﹣lnx﹣1，所以．…所以f（1）=e﹣1，f'（1）=e﹣1．…所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣1）=（e﹣1）（x﹣1）．即y=（e﹣1）x．…（Ⅱ）证法一：当m≥1时，f（x）=me x﹣lnx﹣1≥e x﹣lnx﹣1．要证明f（x）＞1，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0．…以下给出三种思路证明e x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=e x﹣lnx﹣2，则．设，则，所以函数h（x）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=e﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，且．…因为g'（x0）=0时，所以，即lnx0=﹣x0．…当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0．所以当x=x0时，g（x）取得最小值g（x0）．…故．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…思路2：先证明e x≥x+1（x∈R）．…设h（x）=e x﹣x﹣1，则h'（x）=e x﹣1．因为当x＜0时，h'（x）＜0，当x＞0时，h'（x）＞0，所以当x＜0时，函数h（x）单调递减，当x＞0时，函数h（x）单调递增．所以h（x）≥h（0）=0．所以e x≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．…所以要证明e x﹣lnx﹣2＞0，只需证明（x+1）﹣lnx﹣2＞0．…下面证明x﹣lnx﹣1≥0．设p（x）=x﹣lnx﹣1，则．当0＜x＜1时，p'（x）＜0，当x＞1时，p'（x）＞0，所以当0＜x＜1时，函数p（x）单调递减，当x＞1时，函数p（x）单调递增．所以p（x）≥p（1）=0．所以x﹣lnx﹣1≥0（当且仅当x=1时取等号）．…由于取等号的条件不同，所以e x﹣lnx﹣2＞0．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…（若考生先放缩lnx，或e x、lnx同时放缩，请参考此思路给分！）思路3：先证明e x﹣lnx＞2．因为曲线y=e x与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，设直线x=t（t＞0）与曲线y=e x，y=lnx分别交于点A，B，点A，B到直线y=x的距离分别为d1，d2，则．其中，（t＞0）．①设h（t）=e t﹣t（t＞0），则h'（t）=e t﹣1．因为t＞0，所以h'（t）=e t﹣1＞0．所以h（t）在（0，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（0）=1．所以．②设g（t）=t﹣lnt（t＞0），则．因为当0＜t＜1时，g'（t）＜0；当t＞1时，g'（t）＞0，所以当0＜t＜1时，g（t）=t﹣lnt单调递减；当t＞1时，g（t）=t﹣lnt单调递增．所以g（t）≥g（1）=1．所以．所以．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…证法二：因为f（x）=me x﹣lnx﹣1，要证明f（x）＞1，只需证明me x﹣lnx﹣2＞0．…以下给出两种思路证明me x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=me x﹣lnx﹣2，则．设，则．所以函数h（x）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=me﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，且．…因为g'（x0）=0，所以，即lnx0=﹣x0﹣lnm．…当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0．所以当x=x0时，g（x）取得最小值g（x0）．…故．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．…设F（x）=e x﹣x﹣1，则F'（x）=e x﹣1．因为当x＜0时，F'（x）＜0；当x＞0时，F'（x）＞0，所以F（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．所以当x=0时，F（x）取得最小值F（0）=0．所以F（x）≥F（0）=0，即e x≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．…由e x≥x+1（x∈R），得e x﹣1≥x（当且仅当x=1时取等号）．…所以lnx≤x﹣1（x＞0）（当且仅当x=1时取等号）．…再证明me x﹣lnx﹣2＞0．因为x＞0，m≥1，且e x≥x+1与lnx≤x﹣1不同时取等号，所以me x﹣lnx﹣2＞m（x+1）﹣（x﹣1）﹣2=（m﹣1）（x+1）≥0．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用可把圆C的极坐标方程化为普通方程．（II）消去参数把直线l的参数方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，得出直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ，化为x2+y2﹣2y=0，配方为x2+（y﹣1）2=1．（2）曲线C的圆心C（0，1），半径r=1．直线l：，（t为参数，t∈R）化为普通方程：﹣y﹣1=0，可得圆心C到直线l的距离d==1=0，∴直线l与圆C相切，其切点即为所求．联立，解得D．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（I）当a=1时，利用绝对值的意义求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得b大于f（x）的最大值．再根据绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，可得实数b的范围．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）≥，即|x+1|﹣|x|≥，即数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离大于，而﹣0.25对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离正好等于，故|x+1|﹣|x|≥的解集为{x|x≥﹣0.25}．（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，则b大于f（x）的最大值．而由绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，故实数b＞1．。

2018年广东省广州市天河区高考数学一模试卷和答案(文科)

2018年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x＜2且A⊆∁R B，则实数a的取值范围是（）A．（∞，1]B．（﹣∞，1）C．[2，+∞）D．（2，+∞）2．（5分）某人到甲、乙两市若干小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为（）A．4B．3C．2D．13．（5分）在复平面内，设z＝1+i（i是虚数单位），则复数+z2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）小明从甲地去乙地跋山涉水共走了2500米，其中涉水路段x米．他不小心把手机丢在途中，若手机掉在水里，就找不到了，若不掉在水里，则能找到．已知该手机能被找到的概率为，则涉水长度为（）A．1750米B．1250米C．750米D．500米5．（5分）已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．6．（5分）满足条件的目标函数z＝x2+y2的最大值为（）A．B．C．2D．47．（5分）已知点及抛物线x2＝﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A．B．1C．2D．38．（5分）设函数f（x）＝a﹣x﹣ka x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，则g（x）＝log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b ⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N＝n（modm），例如10＝4（mod6），如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入a＝2，b＝3，c＝5，则输出的N＝（）A．6B．9C．12D．2111．（5分）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝|A﹣2|•sin x（x∈R），若对任意的x1、x2∈R，都有f（x1）≤g（x2），则实数A的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，）13．（5分）平面向量与的夹角为60°，＝（2，0），||＝1，则|+2|等于．14．（5分）若函数f（x）＝lnx+ax在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是．15．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为．16．（5分）关于函数f（x）＝cos2x﹣2sin x cos x，下列命题：①若存在x1，x2有x1﹣x2＝π时，f（x1）＝f（x2）成立；②f（x）在区间上是单调递增；③函数f（x）的图象关于点成中心对称图象；④将函数f（x）的图象向左平移个单位后将与y＝2sin2x的图象重合．其中正确的命题序号（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960．（1）求a n与b n；（2）求和：．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD ＝60°，AB＝2，PD＝，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．19．（12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示．（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴交于M点，设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值．21．（12分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）＝e x f （x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y＝g（x）和y＝e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．选做题：第22、23题为选做题，考生只能选做一题，如果多做，则按所做的第一题计分请先用2B铅笔填涂选做的试题号对应的信息点，并将选做的题号填写在括号内再作答[选修44：坐标与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的方程是4x2+y2＝4，直线l 的参数方程是：（t为参数）．（I）求曲线C1的直角坐标方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线l距离的最小值．[选修45：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2a|+|x+|（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．2018年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【解答】解：因为B＝{x|1≤x＜2，所以∁R B＝，由A＝{x|x≤a}，且A⊆∁R B，得a＜1，故选：B．2．【解答】解：由茎叶图知，甲组数据从小到大依次为60，73，74，79，81，82，87，91，中位数是×（79+81）＝80；乙组数据从小到大依次为69，74，75，76，82，83，90，中位数是76；∴甲、乙两组数据的中位数之差为80﹣76＝4．故选：A．3．【解答】解：∵z＝1+i，∴+z2＝+（1+i）2＝＝1﹣i+2i＝1+i，对应的点为（1，1），位于第一象限，故选：A．4．【解答】解：设涉水长度为x米，则手机被找到的概率P＝＝，解得x＝750．故选：C．5．【解答】解：椭圆，焦点为（4，0），（﹣4，0），离心率e＝，∴双曲线离心率为﹣＝2，设双曲线中c＝4，可得a＝2，可得b＝2，故双曲线的渐近线方程为：y＝．故选：D．6．【解答】解：由已知得到可行域如图：目标函数z＝x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方的最大值，由图得知，A是距离原点最远的点，由得到A（0，2），所以目标函数z＝x2+y2的最大值为02+22＝4；故选：D．7．【解答】解：抛物线x2＝4y的准线是y＝1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|＝d﹣1+|PQ|＝|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1＝3﹣1＝2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选：C．8．【解答】解∵f（x）＝a﹣x﹣ka x（a＞0，a≠1）在R上是奇函数，∴f（0）＝1﹣k＝0，∴k＝1，又∵f（x）＝a x﹣a﹣x为减函数，∴0＜a＜1，∴g（x）＝log a（x+1），定义域为{x|x＞﹣1}，且是减函数，故选：D．9．【解答】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．10．【解答】解：模拟运行程序，可得程序的作用是先求2，3的最小公倍数，再除以5，余数为2，故N＝12，故选：C．11．【解答】解：设BD＝a，则由题意可得：BC＝2a，AB＝AD＝a，在△ABD中，由余弦定理得：cos A＝＝＝，∴sin A＝＝，在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，解得：sin C＝，故选：D．12．【解答】解：对任意的x1、x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）⇔f（x）max≤g（x）min，注意到，又g（x）＝|A﹣2|sin x≥﹣|A﹣2|，故．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，）13．【解答】解：∵＝（2，0），||＝1，∴|+2|＝，又平面向量与的夹角为60°，||＝1，∴|+2|＝＝2，故答案为：2．14．【解答】解：∵f（x）＝lnx+ax，（x＞0），∴f′（x）＝+a，若函数f（x）＝lnx+ax在区间（1，2）上单调递增，则+a≥0在区间（1，2）恒成立，即a，故答案为：[﹣）．15．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△P AF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得P A2＝PF•PE，因为，所以侧棱长，PF＝2R，所以18＝2R×4，所以R＝，所以S＝4πR2＝故答案为：16．【解答】解：函数＝＝2sin（2x+）由ω＝2，故函数的周期为π，故x1﹣x2＝π时，f（x1）＝f（x2）成立，故①正确；由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]得，x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]（k∈Z），故[﹣，﹣]是函数的单调增区间，区间应为函数的单调减区间，故②错误；当x＝时，f（x）＝0，故点是函数图象的对称中心，故③正确；函数f（x）的图象向左平移个单位后得到函数的解析式为f（x）＝2sin[2（x+）+]＝2sin（2x+），故④错误故答案为：①③三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n＝3+（n﹣1）d，b n＝q n﹣1依题意有①解得，或（舍去）故a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，b n＝8n﹣1（2）S n＝3+5+…+（2n+1）＝n（n+2）∴＝＝＝18．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD∩BD＝D，AC⊥平面PBD．而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD＝OE，∴PD∥OE，∵O是BD中点，∴E是PB中点．取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD＝D，∴BH⊥平面P AD，．∴＝＝．19．【解答】解：（1）①由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，②第3组的频率为＝0.300，频率分布直方图如图所示，（4分）（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：×6＝3人，第4组：×6＝2人，第5组：×6＝1人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．（7分）（3）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），其中第4组的2位同学B1，B2中至少有一位同学入选的有9，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），∴第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为＝．（12分）20．【解答】解：（Ⅰ）由题意，e＝，a2﹣b2＝c2，则a2＝4b2，…①由椭圆过点（），得，…②由①②解得a＝2，b＝1，故椭圆方程为：；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），∴直线AB的斜率为，∵AB⊥AD，∴AD的斜率，设直线AD的方程为：y＝kx+m，k≠0，m≠0，与椭圆方程联立消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∴，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，可得直线BD的斜率＝﹣＝；故直线BD的方程为：，令y＝0，得x＝3x1，即M（3x1，0），∴AD的斜率．∴，即，故存在常数，使得结论成立．21．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）＝3x2﹣12x﹣3a（a ﹣4）＝3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）＝0，解得x＝a，或x＝4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）＝e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）＝1，f'（x0）＝0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0＝a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0＝a时，f（x）≤f（a）＝1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）＝a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b＝1，得b＝2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）＝2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）＝6x2﹣12x，令t'（x）＝0，解得x＝2（舍去），或x＝0．∵t（﹣1）＝﹣7，t（1）＝﹣3，t（0）＝1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．选做题：第22、23题为选做题，考生只能选做一题，如果多做，则按所做的第一题计分请先用2B铅笔填涂选做的试题号对应的信息点，并将选做的题号填写在括号内再作答[选修44：坐标与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，转化为直角坐标方程为：x2+y2＝4x．直线l的参数方程是：（t为参数）．转化为直角坐标方程为：x﹣y+2．（Ⅱ）曲线C2的方程是4x2+y2＝4，整理得，转化为参数方程为：（θ为参数）．所以点P（cosθ，2sinθ）到直线x﹣y﹣2＝0，的距离：d＝＝，当sin（θ+α）＝﹣1时，．[选修45：不等式选讲]23．【解答】解：（1）当a＝1时，不等式f（x）＞4为|x﹣2|+|x+1|＞4．x＜﹣1时，不等式可化为﹣（x﹣2）﹣（x+1）＞4，解得x＜﹣，∴x＜﹣；﹣1≤x≤2时，不等式可化为﹣（x﹣2）+（x+1）＞4，不成立；x＞2时，不等式可化为（x﹣2）+（x+1）＞4，解得x＞，∴x＞；综上所述，不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞}；（2）f（x）＝|x﹣2a|+|x+|≥|2a+|＝|2a|+||，不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，∴2m2﹣m+2，∴0≤m≤1．。

2018年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2018年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x＜2且A⊆∁R B，则实数a的取值范围是（）A．（∞，1]B．（﹣∞，1）C．[2，+∞）D．（2，+∞）2．（5分）某人到甲、乙两市若干小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为（）A．4B．3C．2D．13．（5分）在复平面内，设z＝1+i（i是虚数单位），则复数+z2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）小明从甲地去乙地跋山涉水共走了2500米，其中涉水路段x米．他不小心把手机丢在途中，若手机掉在水里，就找不到了，若不掉在水里，则能找到．已知该手机能被找到的概率为，则涉水长度为（）A．1750米B．1250米C．750米D．500米5．（5分）已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．6．（5分）满足条件的目标函数z＝x2+y2的最大值为（）A．B．C．2D．47．（5分）已知点及抛物线x2＝﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A．B．1C．2D．38．（5分）设函数f（x）＝a﹣x﹣ka x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，则g（x）＝log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b ⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N＝n（modm），例如10＝4（mod6），如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入a＝2，b＝3，c＝5，则输出的N＝（）A．6B．9C．12D．2111．（5分）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝|A﹣2|•sin x（x∈R），若对任意的x1、x2∈R，都有f（x1）≤g（x2），则实数A的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，）13．（5分）平面向量与的夹角为60°，＝（2，0），||＝1，则|+2|等于．14．（5分）若函数f（x）＝lnx+ax在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是．15．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为．16．（5分）关于函数f（x）＝cos2x﹣2sin x cos x，下列命题：①若存在x1，x2有x1﹣x2＝π时，f（x1）＝f（x2）成立；②f（x）在区间上是单调递增；③函数f（x）的图象关于点成中心对称图象；④将函数f（x）的图象向左平移个单位后将与y＝2sin2x的图象重合．其中正确的命题序号（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960．（1）求a n与b n；（2）求和：．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD ＝60°，AB＝2，PD＝，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．19．（12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示．（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴交于M点，设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值．21．（12分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）＝e x f （x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y＝g（x）和y＝e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．选做题：第22、23题为选做题，考生只能选做一题，如果多做，则按所做的第一题计分请先用2B铅笔填涂选做的试题号对应的信息点，并将选做的题号填写在括号内再作答[选修44：坐标与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的方程是4x2+y2＝4，直线l 的参数方程是：（t为参数）．（I）求曲线C1的直角坐标方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线l距离的最小值．[选修45：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2a|+|x+|（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．2018年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【解答】解：因为B＝{x|1≤x＜2，所以∁R B＝，由A＝{x|x≤a}，且A⊆∁R B，得a＜1，故选：B．2．【解答】解：由茎叶图知，甲组数据从小到大依次为60，73，74，79，81，82，87，91，中位数是×（79+81）＝80；乙组数据从小到大依次为69，74，75，76，82，83，90，中位数是76；∴甲、乙两组数据的中位数之差为80﹣76＝4．故选：A．3．【解答】解：∵z＝1+i，∴+z2＝+（1+i）2＝＝1﹣i+2i＝1+i，对应的点为（1，1），位于第一象限，故选：A．4．【解答】解：设涉水长度为x米，则手机被找到的概率P＝＝，解得x＝750．故选：C．5．【解答】解：椭圆，焦点为（4，0），（﹣4，0），离心率e＝，∴双曲线离心率为﹣＝2，设双曲线中c＝4，可得a＝2，可得b＝2，故双曲线的渐近线方程为：y＝．故选：D．6．【解答】解：由已知得到可行域如图：目标函数z＝x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方的最大值，由图得知，A是距离原点最远的点，由得到A（0，2），所以目标函数z＝x2+y2的最大值为02+22＝4；故选：D．7．【解答】解：抛物线x2＝4y的准线是y＝1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|＝d﹣1+|PQ|＝|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1＝3﹣1＝2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选：C．8．【解答】解∵f（x）＝a﹣x﹣ka x（a＞0，a≠1）在R上是奇函数，∴f（0）＝1﹣k＝0，∴k＝1，又∵f（x）＝a x﹣a﹣x为减函数，∴0＜a＜1，∴g（x）＝log a（x+1），定义域为{x|x＞﹣1}，且是减函数，故选：D．9．【解答】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．10．【解答】解：模拟运行程序，可得程序的作用是先求2，3的最小公倍数，再除以5，余数为2，故N＝12，故选：C．11．【解答】解：设BD＝a，则由题意可得：BC＝2a，AB＝AD＝a，在△ABD中，由余弦定理得：cos A＝＝＝，∴sin A＝＝，在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，解得：sin C＝，故选：D．12．【解答】解：对任意的x1、x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）⇔f（x）max≤g（x）min，注意到，又g（x）＝|A﹣2|sin x≥﹣|A﹣2|，故．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，）13．【解答】解：∵＝（2，0），||＝1，∴|+2|＝，又平面向量与的夹角为60°，||＝1，∴|+2|＝＝2，故答案为：2．14．【解答】解：∵f（x）＝lnx+ax，（x＞0），∴f′（x）＝+a，若函数f（x）＝lnx+ax在区间（1，2）上单调递增，则+a≥0在区间（1，2）恒成立，即a，故答案为：[﹣）．15．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△P AF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得P A2＝PF•PE，因为，所以侧棱长，PF＝2R，所以18＝2R×4，所以R＝，所以S＝4πR2＝故答案为：16．【解答】解：函数＝＝2sin（2x+）由ω＝2，故函数的周期为π，故x1﹣x2＝π时，f（x1）＝f（x2）成立，故①正确；由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]得，x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]（k∈Z），故[﹣，﹣]是函数的单调增区间，区间应为函数的单调减区间，故②错误；当x＝时，f（x）＝0，故点是函数图象的对称中心，故③正确；函数f（x）的图象向左平移个单位后得到函数的解析式为f（x）＝2sin[2（x+）+]＝2sin（2x+），故④错误故答案为：①③三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n＝3+（n﹣1）d，b n＝q n﹣1依题意有①解得，或（舍去）故a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，b n＝8n﹣1（2）S n＝3+5+…+（2n+1）＝n（n+2）∴＝＝＝18．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD∩BD＝D，AC⊥平面PBD．而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD＝OE，∴PD∥OE，∵O是BD中点，∴E是PB中点．取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD＝D，∴BH⊥平面P AD，．∴＝＝．19．【解答】解：（1）①由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，②第3组的频率为＝0.300，频率分布直方图如图所示，（4分）（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：×6＝3人，第4组：×6＝2人，第5组：×6＝1人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．（7分）（3）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），其中第4组的2位同学B1，B2中至少有一位同学入选的有9，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），∴第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为＝．（12分）20．【解答】解：（Ⅰ）由题意，e＝，a2﹣b2＝c2，则a2＝4b2，…①由椭圆过点（），得，…②由①②解得a＝2，b＝1，故椭圆方程为：；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），∴直线AB的斜率为，∵AB⊥AD，∴AD的斜率，设直线AD的方程为：y＝kx+m，k≠0，m≠0，与椭圆方程联立消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∴，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，可得直线BD的斜率＝﹣＝；故直线BD的方程为：，令y＝0，得x＝3x1，即M（3x1，0），∴AD的斜率．∴，即，故存在常数，使得结论成立．21．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）＝3x2﹣12x﹣3a（a ﹣4）＝3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）＝0，解得x＝a，或x＝4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）＝e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）＝1，f'（x0）＝0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0＝a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0＝a时，f（x）≤f（a）＝1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）＝a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b＝1，得b＝2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）＝2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）＝6x2﹣12x，令t'（x）＝0，解得x＝2（舍去），或x＝0．∵t（﹣1）＝﹣7，t（1）＝﹣3，t（0）＝1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．选做题：第22、23题为选做题，考生只能选做一题，如果多做，则按所做的第一题计分请先用2B铅笔填涂选做的试题号对应的信息点，并将选做的题号填写在括号内再作答[选修44：坐标与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，转化为直角坐标方程为：x2+y2＝4x．直线l的参数方程是：（t为参数）．转化为直角坐标方程为：x﹣y+2．（Ⅱ）曲线C2的方程是4x2+y2＝4，整理得，转化为参数方程为：（θ为参数）．所以点P（cosθ，2sinθ）到直线x﹣y﹣2＝0，的距离：d＝＝，当sin（θ+α）＝﹣1时，．[选修45：不等式选讲]23．【解答】解：（1）当a＝1时，不等式f（x）＞4为|x﹣2|+|x+1|＞4．x＜﹣1时，不等式可化为﹣（x﹣2）﹣（x+1）＞4，解得x＜﹣，∴x＜﹣；﹣1≤x≤2时，不等式可化为﹣（x﹣2）+（x+1）＞4，不成立；x＞2时，不等式可化为（x﹣2）+（x+1）＞4，解得x＞，∴x＞；综上所述，不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞}；（2）f（x）＝|x﹣2a|+|x+|≥|2a+|＝|2a|+||，不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，∴2m2﹣m+2，∴0≤m≤1．。

广州市2018届高三第一学期第一次调研测试文科数学试题(解析版)

2018届广州市高三年级调研测试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =->，则AB =A. {}1-B. {}1,0-C. {}1,3-D. {}1,0,3-【答案】A 【解析】由B 中不等式变形得()30x x ->，解得0x <或3x >，即{|0B x x =<或}3x >，{}1,0,1,2,3A =-，{}1A B ∴=-，故选A.2.若复数z 满足()1i 12i z -=+，则z =A.52B.32D.2【答案】C 【解析】由()1i 12z i -=+，得()()()()121i 1213i 131i 1i 1i 222i i z i +++-+====-+--+∴z ==故选：C3.已知α为锐角，cos α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.13 B. 3C. 13-D. 3-【答案】A 【解析】∵α为锐角，cos α=∴sin α=tan?2α= tan?11tan 41tan?3πααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭,故选：A4.设命题p ：1x ∀< ，21x <，命题q ：00x ∃> ，012xx >，则下列命题中是真命题的是 A. p q ∧ B. ()p q ⌝∧ C. ()p q ∧⌝D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】当2x =-时，241x =>，显然命题p 为假命题；当01x =时，01221x x =>=，显然命题q 为真命题； ∴p ⌝为真命题，q ⌝为假命题 ∴()p q ⌝∧为真命题故选:B5.已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为A. 5B. 4C. 6D. 0【答案】B 【解析】作出约束条件表示的可行域如图：由z=2x+y 得y=﹣2x+z ．由图形可知当直线y=﹣2x+z 经过C 点时，直线的截距最大，即z 最大．解方程组20230x y x y -=⎧⎨-+=⎩，得C （1，2）．∴z 的最大值为z=2×1+2=4．故选：B ．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πθ=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是( )C.14D.12【答案】A 【解析】观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，1-,面积为4-；=故答案为：A7.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b =4c =，3cos 4B =，则△ABC 的面积等于A. B.2C. 9D.92【答案】B【解析】由余弦定理得：2222ca?cos b c a B =+-，即27166a a =+-，解得：a 3=∴ABC11casinB 432242S==⨯⨯⨯=故选：B8.在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是A. sin xB. cos xC. sin x -D. cos x -【答案】C 【解析】 ∵()0sin f x x =，f 1(x )=cos x ， f 2(x )=−sin x ， f 3(x )=−cos x ， f 4(x )=sin x ， f 5(x )=cos x .∴题目中的函数为周期函数，且周期T =4， ∴f 2018(x )=f 2(x )= −sin x . 故选：C.点睛：法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A.23B.12C.16D.13【答案】D 【解析】如图，将MB 平移至',M A N 为靠近1DD 的三个等分点处，123D N ∴=，M 为1CC 的中点，'M ∴也为1D D 中点，11'1,'3D M NM ∴=∴=，根据四点共面，//'QN AM ，1'3AQ NM ∴==，故选D.10.将函数2sin cos 33y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A.12πB.6πC.4π D.3π 【答案】B 【解析】将函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数： ()2sin 23y x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，又其为奇函数， ∴2sin 203πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()22k πZ 3k πϕ+=∈，，k π23πϕ=-，()Z k ∈，又0ϕ> 当k 1=时，ϕ的最小值为6π 故选：B11.在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为A. 1+ D. 2+【答案】A 【解析】由题意易知：2c P ⎛ ⎝⎭，代入双曲线方程得：22223144c c a b -=∴42840e e -+=，∴24e =±e 1=±，又e 1>∴e 1=+ 故选：A点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12.如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为A.112π B. 6π C. 11π D. 12π【答案】C 【解析】如图所示，该几何体为三棱锥E FGH -.△EFG 的外接圆直径2r=EGsin EFG∠=∴外接球半径为2= ∴该三棱锥的外接球的表面积为11π 故选：C点睛：求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(),2x x =+a ，()3,4=b ，若//a b ，则向量a 的模为____．【答案】10 【解析】∵//a b ，且(),2a x x =+，()3,4b =， ∴()4x 32x -+=0 ∴x 6=，即()6,8a =∴10a == 故答案为：1014.已知函数2()21x x f x a =+-为奇函数，则实数a =________．【答案】12-【解析】∵()221xx f x a =+-为奇函数∴()()110f f +-= 即2+a-1+a=0 ∴12a =-故答案为：12-15.已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为_________．【答案】1ln2+ 【解析】【详解】设切点为()mlnm m ，1ln y x '=+, 1ln x m y m ==+'∴()()y mlnm 1m m ln x -=+- 即()y 1m m ln x =+-，又2y kx =-∴12lnm km +=⎧⎨=⎩，即1ln2k =+故答案为：1ln2+点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．16.在直角坐标系xOy 中，已知直线0x +-=与椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>相切，且椭圆C的右焦点(),0F c 关于直线cy x b=的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为________．【答案】1 【解析】在RT△ODF 中，tan DOF OF c c b ∠==，，∴2OD ,bc c FD a a ==,∴2122EF E c bcF a a，==，又1EF ?E 2a F +=，即2222a b c c bca a +==，设b c m a ===，，则2222x y m +=，22220x y m x ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，得到：2224y 40y m -+-= 由0=，解得：m =OD 1EF 2==，，∴S=1故答案为：1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 满足()21*1234444n n na a a a n N -++++=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设421n nn a b n =+，求数列{}1n n b b +的前n 项和n T .【答案】(1)*1=()4n na n ∈N ；(2)69nn T n =+. 【解析】试题分析：(1) 因为221*123-144+44,4n n n n n a a a a a n N --++++=∈，所以22123-1-1444,24n n n a a a a n -++++=≥．易得：1=4n n a ；(2)利用裂项相消法求数列{}1n n b b +的前n 项和n T ．试题解析：（1）当1n =时，114a =．因为221*123-144+44,4n n n n na a a a a n N --++++=∈， ①所以22123-1-1444,24n n n a a a a n -++++=≥． ②①－②得1144n n a -=．所以()*1=2,4n n a n n N ≥∈．由于114a =也满足上式，故()*1=4n n a n N ∈．（2）由（1）得421n nn a b n =+=121n +．所以()()11111=212322123n n b b n n n n +⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭．故1111111235572123n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭ 111232369nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 18.如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ABCD 底面⊥，ED PA ∥，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若60ABC ∠=？,求三棱锥P ACE -的体积．【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：(1)要证平面PAC ⊥平面PCE ，即证EF ⊥平面PAC ，又BD EF ，即证BD ⊥平面PAC ，进而转证线线垂直； (2)利用等积法求几何体的体积. 试题解析：（1）证明：连接，交于点O ，设PC 中点为，连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OFPA ，且12OF PA =，因为DE PA ，且12DE PA =，所以OF DE ，且OF DE =．所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ．因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥．因为ABCD是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC ．因为BD EF ，所以EF ⊥平面PAC ．因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ．（2）解法：因为60ABC ∠=，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =．又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥．所以122PAC S PA AC ∆=⨯=．因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高．因为EF DO BO ===所以13P ACE E PACPAC V VS EF --∆==⨯ 1233=⨯=．点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式()()niix x y y r --=∑0.55≈0.95≈．【答案】(1) 0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． (2) 4600元．【解析】试题分析：(1)由折线图，可得,x y ，依次算得()521ii x x =-∑，()521ij y y =-∑，()()51iii x x y y =--∑，可求得r 0.950.75=≈>, 所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(2)分别计算安装1台，2台时所获周利润值（期望值），数值大的为所选择。

(完整word版)广州市2018届高三第一学期第一次调研测试文科数学Word版

秘密★启用前 2018届广州市高三年级调研测试文科数学2017. 12本试卷共5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1•本试卷分第I 卷（选择题）和第H 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2.作答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3 •第n 卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4 •考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 A = {—1,0,1,2,3 }, B={xx 2—3x^0}，则 A“ B =2x - y 乞 0,5.已知变量x , y 满足“x—2y+3^0,贝V z = 2x + y 的最大值为J 芒0，B . 4C . 6试卷类型：AA . ；、-VB . I -1,0/2•若复数z 满足（1 —i ）z = 1 +2i ，则z5 3A .B .—223.已知为锐角， cos ：（则tan ：■51A.1B . 3'3C . ^-1,3?D . ^-1,0,3?C .-246 D .241C . _ —3D . _34 .设命题p : - x 1, x 21，命题q :> 0 , 2^ > —，则下列命题中是真命题的是 X 。

B . （一P ） qC . P （一q ）D . （一P ）（一数学（文科）试题A 第1页共13页数学(文科)试题 A 第2页共13页如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，直角三角形中较小的锐角.若在该大正方形区域内随机地取一点，则该点落在中间小正方形内的概率是67.9. △ ABC的内角A , B , C所对的边分别为 a , b , c,已知舒, c=4 ,的面积等于A. 3 .7 C. 9在如图的程序框图中, 输出的结果是A. sinxC. —sinx f i(x)为f i(x)的导函数，若f o(x)二sin x，则B. cosxD. - cosx正方体ABCD - AB1C1D1的棱长为2，点M为CC i的中点，点N为线段DD i上靠近D i的三等分点，平面BMN交AA i于点Q，则AQ的长为10.将函数Jl I Ky =2sin l x cos x 的图象向左平移＞0个单位,.3 . 3所得图象对应的函数恰为奇函数，则的最小值为兀A .12兀D.-3数学（文科）试题 A 第4页共13页2 2笃一爲=1（a . 0,b . 0）的右焦点，P 为双曲线C 的右支a bC .312.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画出的是某三棱锥11 A .2C . 11 二已知数列满足可+4a 2+42a 3+L +4匕“ =n (n^ N ).上一点，且△ OPF 为正三角形，则双曲线 C 的离心率为11.在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C :D . 2.3的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为二、填空题：共 20 分.13.已知向量 a = x, x 2 , b= 3,4 , 若a //b ，则向量a 的模为14.已知函数f(x) 2a 为奇函数, 2x —115.已知直线y 二kx 「2与曲线y=xlnx 相切，则实数k 的值为16.在直角坐标系xOy 中，已知直线x • Jy -2、、2 =0与椭圆C :2x _ 2 a=1 a b 0相切，且椭c圆C 的右焦点F c,0关于直线yx 的对称点E 在椭圆C 上, b则厶OEF 的面积为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 生都必须做答. 第 22、23题为选考题，考生根据要求做答.（一）必考题：共60 分.17.（本小题满分 12 分)第17〜21题为必考题，每个试题考4 （1）求数列「a n?的通项公式;4门2n 1(2 )设b n = - a［，求数列' b n b n■/的前n项和T n.数学（文科）试题A 第5页共13页如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形,PA _ 底面ABCD，ED. PA，且PA=2ED=2 .（1）证明：平面PAC _平面PCE ;A弋（2）若.ABC =60°,求三棱锥P - ACE的体积.19.（本小题满分12 分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜. 过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周•根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料X （千克）之间对应数据为如图所示的折线图.（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确到0. 01）.（若|r | ■ 0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：周光照量X （单位：小时）30cX £5050兰X兰70X >70光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元•若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值.n _ _乞（X -x）（y j _y）_ _附：相关系数公式r= n n ，参考数据-0.^ 0.55 , . 0.9 0.95 .、（X i -X）2（y i - y）2i d i i =1数学（文科）试题A 第6页共13页已知抛物线C:y2 =2px p 0的焦点为F，抛物线C上存在一点E 2,t到焦点F的距离等于3 .(1 )求抛物线C的方程；(2)过点K -1,0的直线I与抛物线C相交于A，B两点(A，B两点在x轴上方)，点A关于x 轴的对称点为D，且FA _ FB，求△ ABD的外接圆的方程.21.(本小题满分12分)已知函数f x 二a In x • x b a = 0 .(1 )当b =2时，讨论函数f x的单调性；(2)当a b =0, b 0时，对任意x「F，e，有f x辽e -1成立，求实数b的取值范围.(二)选考题：共10分•请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4 —4:坐标系与参数方程(x = cosx ,在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为(〉为参数)，将曲线G经过伸缩变换y = 2si n ax* = 2xQ '后得到曲线C2.在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为y =y「cos v - ：?sin ： -10=0 .(1 )说明曲线C2是哪一种曲线，并将曲线C2的方程化为极坐标方程；(2)已知点M是曲线C2上的任意一点，求点M到直线l的距离的最大值和最小值.23.(本小题满分10分)选修4 —5:不等式选讲已知函数f (x) x a |.(1 )当a =1时，求不等式f (x)勻2x+1 -1的解集；数学(文科)试题 A 第5页共13页(2)若函数g(x) = f (x) - x +3的值域为A，且1一2,1】匸A，求a的取值范围数学（文科）试题A 第8页共13页2018届广州市高三年级调研测试文科数学试题答案及评分参考评分说明：1•本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3•解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.•选择题.填空题13. 1014.三、解答题15. 1 l n2 16. 1117. 解：（1）当n =1 时，a1. ....................................................4因为a1 - 4a2 42a3 L +4n^a n-1■ 4n4a^-,n N* , ①42 n 2 n-1所以a1■ 4a2 4 a3 L 4 a n-1, n _ 2 . ②...........................4①-②得4n°a n =—.. ................................................................41 *所以a n二+ n —2,n N ........... ...............................................................................................................41 1 *由于a1也满足上式，故a n = n （n，N ）............................................4 4（2）由（1）得b n 4$ ___ .................................................................................................... 2n 1=2n 1'所以b n b n 1 =1 1 f 12n 1 2n 3 2 2n 1丄..... .................................2n 31分3分4分5分6分7分9分数学(文科)试题 A 第5页共13页数学（文科）试题A 第10页共13页解法2：因为底面ABCD 为菱形，且• ABC =60 , 取AD 的中点M ，连CM ，则CM _ AD ，且CM数学(文科)试题 A 第故1」—丄一2 3 5 5 7 2n 1 2 n 310分1 1=——2 13 2n +3 丿11分n 6n 912分18.( 1)证明：连接BD ，交AC 于点0,设PC 中点为F ,连接OF , EF . 因为0 , F 分别为AC , PC 的中点, 所以OF 二PA ，且OF4PA，因为DE 〔 PA ，且DE 1石PA ，EDCB 所以OF 二DE ，且OF所以四边形OFED 为平行四边形，所以 OD^EF ，即BD ] EF . 因为 PA _ 平面 ABCD , BD 平面 ABCD ，所以 PA _ BD .因为 ABCD 是菱形，所以BD_AC . 因为 PA^AC 二 A ，所以 BD _ 平面 PAC . 因为 BD 二 EF ,所以 EF _ 平面 PAC . 因为 FE 平面PCE ,所以平面PAC _平面PCE . (2)解法1：因为.ABC =60；，所以△ ABC 是等边三角形，所以 AC =2 . 又因为PA_平面ABCD , AC 平面ABCD ，所以PA _ AC . 1 所以 S P AC PA AC =2 ..............................................................因为EF _面PAC ,所以EF 是三棱锥E - PAC 的高. .............因为 EF 二 DO =BO =寸3，10分1所以 V “CE=VE”C =3S PAC EF11分12分所以△ ACD 为等边三角形. 「3 .7页共13页数学（文科）试题 A 第12页共13页因为PA _平面ABCD ，所以PA _ CM ，又PA AD = A , 所以CM —平面PADE ，所以CM 是三棱锥C - PAE 的高.5__因为' (X j -X)(y j J) =(-3) (-1) 0 0 0 3 1=6, ..................................................................................... 2 分i 4因为r 0.75，所以可用线性回归模型拟合 y 与X 的关系. .................................. 6分（2）记商家周总利润为 Y 元，由条件可得在过去 50周里：当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润 Y=1X 3000-2X1000=1000 元. ..................................................... 8 分当50W X W 70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润 Y=2X 3000-1X1000=5000 元. ..................................................... 9 分当X< 50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润 Y=3X 3000=9000元. .......................................................... 10分1000 10 5000 35 9000 5所以过去50周周总利润的平均值 Y4600元，50所以商家在过去 50周周总利润的平均值为 4600元. ......................................... 12分因为S PAE1 PA AD =2 .2所以三棱锥P- ACE 的体积V1公CE 二 VC _PAES PAE CM3匕10分 11分佃.解:1）由已知数据可得 12分-2 4 5 6 8x5， y5' (X i - X )—O 2 (一1)2 o 2 12 32 = 2.5, ......................................................「(v^y)2i 1=...(-1)2 02 02 02 12=2. ..............................................................n__'、• (X i - X)( y - y)所以相关系数-y)6 2、_5、20.95 .(X i(y i数学（文科）试题 A 第13页共13页20.解：（1）抛物线的准线方程为 X =--,2所以点E 2, t 到焦点的距离为 2 ^=3 . .................................................................... 1分解得p =2 .所以抛物线C 的方程为y 2 = 4x . ............................................................................................................. 2分(2)解法1:设直线l 的方程为x = my-1 m 0 . ........................................................................... 3分将 x = my -1 代入 y 2 = 4x 并整理得 y 2 -4my 4 = 0, ....................................................................... 4 分2由：：=4m -16 0 ,解得 m 1. ......................................................................................... 5 分设 A X 1, y 1 , B X 2,y 2 , D 为，-％ ,则 y 1 y 2 =4m , y°2 =4 , .................................................................................................................. 6 分因为 FAFB=(% —1 )(x 2 — 1 )+%『2 =(1 + m 2)%y 2 —2口(％ + y 2 )+4 =8-4m 2, ............................ 7 分即 8 -4m 2 =0，又 m 0，解得 m 二、.2 . .............................................................................. 8 分所以直线I 的方程为x -、.2y ^0 . 设AB 的中点为x 3,y 0 ,则 y 0 = _ =2m = 2\/2, x o=my 0 -1=3, ................................................................................... 9 分2所以直线AB 的中垂线方程为2迈一泡x-3 .因为AD 的中垂线方程为y =0,所以△ ABD 的外接圆圆心坐标为5,0 .因为FA _ FB ，所以F AL FB = o.10分11分 12分所以圆的半径因为圆心（5,0 ）到直线l的距离为d =2巧，且AB = +m2+y2' _4y』2 =4刀,所以△ ABD的外接圆的方程为x_5 y^ 24 .................................................................数学（文科）试题A 第14页共13页数学（文科）试题 A 第15页共13页解法2：依题意可设直线l:y=kx ・1 k 0 .将直线I 与抛物线C 联立整理得k 2x 2 (2k 2 _4)x • k 2 =0 . .............................................................. 由 A -（2k 2 一4）2 —4k 4 0，解得 0 k < 1 ..... ............................................................. 设 A （X !，y !）,B （X 2，y 2）,4贝V X ! x 2 = -2，X i X 2 = 1k所以 y 1 y 2 = k 2 （x 1x 2 x 1 x 2 1）=4 ,4FB =-（捲 x 2） T y<）y 2 = 8 - k4 J 2所以8 2=°，又k 0，解得k. ................................................................................... 8分k 22以下同解法1.21.解：(1)函数f X 的定义域为 0, •：：.c 22a 2 x 十 a当 b = 2时，f x A alnx x ,所以 f x =一 2x = ---------------------------- . .......................x x①当a 0时，「x0，所以函数f x 在0,上单调递增. ........................综上所述，当b=2 , a 0时，函数f x 在0,= 上单调递增;因为因为FA _ FB ，所以F^L FB = o.②当a ：0时，令f X =0,解得X -时，f x ：0，所以函数f x 在0,当0当x上单调递减;f X 0，所以函数f x 在i,•::上单调递增.i J—■a, ^^上单调递增. .......当b = 2 , a；0时，函数f x在上单调递减，在(2)因为对任意x^|~,e ',有f (x)^e-1成立，所以IL e'f Xmax咗e-1数学(文科)试题 A 第16页共13页数学（文科）试题 A 第17页共13页令 f x ：0，得 0 ：： x ：： 1 ;令 f x 0，得 x 1 .所以函数f （X ）在1 1上单调递减，在（1,e ]上单调递增， ................................. 7分0丿f （xm ax 为f 丨1 ]=b +e 虫与f （e ）=_b +e b 中的较大者. ................................ 8分\e设 g b =f e - f 1 =e b —e 」—2b b 0 ，2丿则 g b =e b e^ -2 2 硏歹一2 =0，所以g （b 在（0,址）上单调递增，故 g （b ）n g （0）=0所以f （e ）〉f 1 l e .丿从而 Il f x max = f e - -b • e b • .................................................................................................................. 9 分所以一b • e b 乞 e -1 即 e b 一 b - e ■ 1 _ 0 .设」b =e b —b —e 1 b 0，则，b=d —1 0. ............................................ 10 分所以' b 在0, •::上单调递增.又，1 - 0，所以e —b - e ■ 1 _ 0的解为b - 1 . .............................................................. 11分因为b 0，所以b 的取值范围为 0,1 ]. ................................................ 12分]L x = COS-I22.解：（1）因为曲线 G 的参数方程为（〉为参数），y =2si na「, x =2x ,…亠八 lx =2cos 。