7 相似原理和量纲分析

则(a)式可写成
(dim A) x (dim B ) y (dim C ) z (dim L)1 x 2 y 3 z (dim M ) 1 x 2 y 3 z (dim T ) 1 x 2 y 3 z
要使(a)式无零解，须使齐次线性方程组 1 x 2 y 3z 0 1 x 2 y 3z 0 1 x 2 y 3z 0
Fn F Fm
或
( Ma) n ( Vu2 l ) n F 2 2 l v ( Ma) m ( Vu2 l ) m
亦即
F 1 2 2 l v
✽ 两个几何相似的流动动力相似的必要且充分条件。但还应 考虑两个流动的初始条件和边界条件相似。

设想一(大小与诸外力合力相等，方向相反的)惯性力I， 由此，惯性力便与诸外力形成一封闭的力多边形。动力 相似则表征了流体质点上对应的力多边形相似，亦即， 相应边(即同名力)对应成比例。
③ 相似准则(或特种模型定律)
——考虑某一种外力的动力相似条件。如
Ⅰ. 不可压缩恒定流中，Frn=Frm，Ren=Rem(做不到)。 Ⅱ. 管中有压流动与雷诺模型律，Ren=Rem。
Ⅲ. 明渠流动弗诺得模型律， Frn=Frm。
Ⅳ. 自动模型化与欧拉模型律
• 在阻力平方区，Re不同，黏性效果一样——自动模 型化现象；产生这种现象的Re范围——自动模型区 (或自模拟区)。该区内，设计模型时，不必考虑黏性 力的影响；若是管中流动，或是气体流动，也不必

对于不可压缩流体，常表示为
p Eu 2 v
二、弗诺得数——重力相似准数 (Froude's similarity criterion number)
作用在流体上的力主要是重力和惯性力时，相应的重力相 似准数(或称弗诺得数)为
I l 2 v 2 v 2 Fr : 3 G l g gl
2
四、柯西数——弹性力相似准数 (Cauchy Similarity Criterion Number)
主要作用力为弹性力和惯性力时，相应的弹性力相似 准数(或称柯西数)可表示为
I l 2v 2 v 2 Ca : 2 Ev El E
其中 Ev=El2——弹性力； E——流体体积弹性模量。
对于液体来讲，只有在水击现象中才考虑柯西数。对于高 速气体，可压缩气体的弹性模量为
dp E c2 d
柯西数则表示为
v2 Ca 2 Ma 2 c
亦即用马赫数来表示气体流动压缩性的影响，有
v Ma c
五、韦伯数——表面张力相似准数 (Weber Similarity Criterion Number)
其中 G=l3g ——重力。
三、雷诺数——黏性力相似准数 (Reynolds similarity criterion number)
主要作用力为黏性力和惯性力时，相应的黏性力相似 准数(或称雷诺数)可表示为
I l 2 v 2 vl vl Re : T lv
v lv ——黏性力。 其中 T l l
Fluid Mechanics
流体力学
河北工程大学机电学院
Contents
0
绪言
1
2 3
流体及其物理性质
流体静力学
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4
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7 相似原理和量纲分析 (Similarity Theory and Dimensional Analysis)
一个完整正确的物理方程，不仅其等号两边的数值应 相等，而且其中各项的因次也一定相同，不同因次的 物理量不能相加减。
二、瑞利法 (Rayleigh’s Method)
假定某物理现象与y, x1, x2, … , xn等因素有关，则有
y f ( x1 , x2 , xn )
按因次和谐性要求，上式两边的因次必须相同，即
1 2 3 只有零解，此时 D 1 2 3 0 1 2 3
(dim A) x (dim B) y (dim C ) z (dim L) (dim M ) (dim T ) 1
(a)
⑦因次和谐性原理(Theory Dimensional Homogeneity)
n m
ln l ——长度比例常数 lm
面积比例常数
2 An l n A 2 2 l Am l m
体积比例常数
3 Vn l n V 3 3 l Vm l m
几何相似，是力学相似的前提(或必要条件)。
二、运动相似 (Kinematical Similarity)
y kx1 1 x 2 x n 2 n
或
dim y (dim x1 )1 (dim x2 ) 2 (dim xn ) n
若选用A、B、C作为基本物理量，则应有
dim x i (dim A)ai (dim B )bi (dim C )ci , i 1,2, , n dim y (dim A)a (dim B )b (dim C )c
主要作用力为表面张力和惯性力时，相应的表面张力 相似准数(或称韦伯数)可表示为
lv 2 We :
其中 ——表面张力系数。
7.4 模型律
——原物与模型流动相似准数相等的规律。包括
① 完全相似 ——几何相似的前提下，所有的相似准数相等。 ② 局部(或部分)相似 ——满足主要相似准数相等的相似。
Fn Fm 2 2 2 2 nln vn m lm vm
F : Ne 2 2 l v
——牛顿数(Newton’s number)，或称为牛顿相似准数 (Newton’ s similarity criterion number)。 其中=:“定义为”。
7.3 相似准数 一、欧拉数——压力相似准数 二、弗诺得数——重力相似准数
✽ 两个流动的速度场和加速度场相似，或者说两个流场所有 对应点的流动速度和加速度方向一致、大小成比例，即
v
up um

vp vm
——速度比例常数
两个流动的运动相似，其对应质点的运动轨迹也应该满足 几何相似，且流过对应线段的时间亦应成比例，即
t
tp tm
——时间比例常数
速度比例常数又可表为
7 相似原理和量纲分析
(Similarity Theory and Dimensional Analysis)
本章要求 掌握力学相似性原理；
掌握主要相似准数(Re、Fr、Eu 、Ca等)的含义；
初步了解模型律，决定性相似准数及相似性原理
在模型设计中的应用；
理解并掌握瑞利法、π定理。
本章重点与难点
④ 基本因次是独立的，不能从其它因次导出。 一般有长度L、时间T、质量M。 导出因次则是由基本因次的乘幂组合而成。 如面积L2、速度LT1、转速T 1、力MLT 2、压强ML 1T
2、动力黏性系数ML 1T 1，等等。
⑤ 任何物理量X的因次可写成下列形式
dim X (dim L) (dim M ) (dim T )
重点：
1. 相似原理、相似准数； 2. 模型律； 3. 量纲分析。
难点：
1. 相似原理。 2. π定理。
主要内容
7.1 引言
7.2 力学相似性原理 7.3 相似准数 7.4 模型律
7.5 因次分析法
7.1 引言 (Introduction)
✽ 有关概念
a. 流动现象复杂性，使许多问题解只能借助于实验。 b. 实验往往很复杂，有的不可能在实物(prototype)上进行。 c. 运用相似性原理和因次分析法，进行模型(model)实验。 d. 相似性原理提供了解决下列问题的理论基础： ⅰ. 如何设计模型，才能使原物与模型中的流动相似？ ⅱ. 如何将模型实验的结果换算到原物上去？ e. 通过对实验资料的分析，探讨表征流体运动规律的各物 理量之间的关系式，须运用因次分析方法。
l n t n l v l m t m t
加速度比例常数
an v n t n v l a 2 am v m t m t t
运动相似通常是模型实验的目的。
三、动力相似(Dynamic Similarity)
✽ 两个流动的作用力场相似，或说，两个流动对应点的同名 力相互平行且大小成比例。有力比例常数
性力E等。
一、欧拉数——压力相似准数
(Euler similarity critewenku.baidu.comion number) 若流动中，起主导作用的力为总压力和惯性力，则有压力 相似准数(或称欧拉数)
P pl 2 p Eu : 2 2 2 I v l v
其中 P=pl2——总压力； I=pv2l2 ——惯性力。
任何完整的物理方程，必须符合因次和谐性的条件。
一、物理方程的因次和谐性
二、瑞利法
三、布金汉定理
一、物理方程的因次和谐性
① 因次或量纲(dimension)
——物理量的性质和类别, ② 单位(unit) ——物理量的性质和大小或多寡, 如m、kg、sec和N等。 ③ 有因次量的数值决定于所取量度单位，而无因次量的数值 与所取单位无关。 如长度、时间、质量或力等。
的非零解不存在。换言之，若用dimL、dimM和dimT 表示dimA、dimB和dimC，即
dim A (dim L)1 (dim M ) 1 (dim T ) 1 dim B (dim L) 2 (dim M ) 2 (dim T ) 2 dim C (dim L) 3 (dim M ) 3 (dim T ) 3
没有理论的实践是盲目的实践。
流体力学实验，是发展流体力学理论，验证流体 力学假说，理解流体力学现象，解决流体力学工
程问题的一个重要手段。
用什么理论来指导实验，用什么准则来设计实验， 用什么参数来整理成果，不仅对流体力学实验是
重要的，而且对理解实验结果，评价实验数据，
运用实验成果，发展实验技术也是重要的。
——因次公式。物理量X的性质由指数、、来表示。
⑥基本物理量的独立性
若A、B、C为三个基本物理量，它们应满足的条件为
(dimA)x(dimB)y(dimC)z不是无因次量，即
(dim A) x (dim B) y (dim C ) z (dim L) (dim M ) (dim T ) 1
三、雷诺数——黏性力相似准数 四、柯西数——弹性力相似准数 五、韦伯数——表面张力相似准数
⑴ 要满足两个流动的所有合外力相似，实际上是不可能的。 ⑵ 对于某一具体流动来说，通常只有一、二种处于支配地位， 并决定了流体的运动状态。 ⑶ 模型实验中，只要使其起主导作用的外力满足相似条件， 就能基本上反映出流体的运动状态。实践证明，这种近似 能满足要求。 ⑷ 仅考虑其中某种主要外力的动力相似条件，便可得到相应 的动力相似准数。 ⑸ 作用在流体上的外力主要有重力G、黏性力T、压力P、弹
考虑重力G影响；此时只需考虑欧拉相似准则，即
Eu p Eum
Ⅴ. 柯西模型律(或马赫模型律)（略） Ⅵ. 阿基米德模型律（略）
④ 阿基米德数Ar 非等温射流中，影响流动主要因素表现为重力和浮力的不 平衡，有效重力为重力与浮力之差，故用Ar代替Fr。
1 1 T0 gd0 T0 Ar 2 Fr Fr Tu v0 Tu
7.2 力学相似性原理
相似原理
研究模型（m）与原型（n）之间相似关系的基本原理。
流动相似
对应点上所有表征流动状态的同名物理量大小保持各自的 比例关系；若是向量，则这些向量的方向对应一致。
一、几何相似
二、运动相似 三、动力相似
一、几何相似 (Geometric Similarity)
原物与模型保持几何形状和几何尺寸的相似，也就是原物 和模型的任何一个对应角相等、对应线段成比例，即
其中 d0 ——风口直径；
v0 ——风口速度；
T0 ——风口气流相对于室内空气的温差；
Tu——室内绝对温度；
——流体密度和外界介质密度之差；
——流体密度。
7.5 因次分析法
引入因次分析法的必要性 提出因次分析方法的依据：
自然界一切物理现象的内在规律，可以用完整的物理 方程来表示；