电路分析知识点整理复习总结

- C
- C
特例：R=0时
则 0 ， 0
0
1 ， LC 2
uc U 0 sin(t 90 ) uL U0 i sin t L
+
- C t 等幅振荡
L
L ( 3) R 2 C
R P1 P2 2L
uc A1e
t
A2 te
7.5 二阶电路的零输入响应
1. 二阶电路的零输入响应 +
- C i
已知：
uc
R
L
uc(0+)=U0
i(0+)=0
列电路方程：
Ri uL uC 0
di uL L dt
duC i C dt
2
若以电容电压为变量： 若以电感电流为变量：
d uC duC LC RC uC 0 dt dt d 2i di LC RC i 0 dt dt
di 2i dt
二阶非齐次常微分方程
d 2i di 8 12i 12 2 dt dt
d 2i di 8 12i 12 2 dt dt
解答形式为： 第二步求通解i ’ 特征根为：
'
稳态模型
i i i
'
"
2A
+
0.5u i 1 2W 2W
u
1 -
P1= －2 ，P2 = －6

u1
2W
2W
uL ( 0 )
－i
由0+电路模型：
uL (0 ) 0.5u1 2 u1 2u1 8V
A1 0.5 A2 1.5
2 t

0 1 A1 A2 8 2 A1 6 A2
i 1 0.5e
1.5e
p1t
A2 e
p 2t
( p1 p2 )
uc E A1e t A2 te t ( P1 P2 ) uc E Ae t sin(t ) ( P1、 2 j )
uc ( 0 ) 由初值 duc 确定二个常数 (0 ) dt
U0 uc ( P2e P1t P1e P 2 t ) P2 P1
t
duc U0 p t p t ic C (e 1 e 2 ) dt L( P2 P1 )
t=0+ ic=0 , t= i c=0
ic>0 t = tm 时ic 最大 0< t < tm i增加, uL>0
u1 du1 1 u1 du1 C ) ( C )dt u2 u1 KVL有：R( R dt C R dt 2 d u1 3 k du1 u1 两边微分整理得： ( ) 2 2 0 2 dt RC dt R C
d 2 u1 3 k du1 1 ( ) 2 2 0 2 dt RC dt R C 3k 1 2 P 2 2 0 特征方程为： P RC RC
3k 3k 2 1 2 特征根为： P ( ) ( ) 2 RC 2 RC RC
3k 1 令 , 0 2 RC RC
2 则P 2 0
(1) 时特征根为一对共轭复 数
2
3k 2 1 2 ( ) ( ) 2 RC RC
2 0
|3 - k| < 2 ,1 < k < 5为振荡情况
iC=i为极值时的tm即uL=0时的 t,计算如下:
( P1 e
p1t
P2 e
p2 t
)0
P2 e P1t m Pt P1 e 2 m
p2 n p1 tm p1 p2
由duL/dt可确定uL为极小时的 t .
( P1 e
2
p1t
P2 e
2
p 2t
)0
t 2t m
p2 2n p1 t p1 p2
U0 A sin
ω，ω０，δ间的关系:
， arctg
ω0
0 t uc U 0 e sin(t )
sin 0
0 A U0

δ
ω
0 uc是其振幅以 U 0为包线依指数衰减的正弦函数。 t=0时 uc=U0
uc
U0
0 uc U 0 e t sin(t )
t
小结：
L R2 过阻尼， 非振荡放电 C
uc A1e
p1t
A2 e
p 2t
t t L u A e A te R2 临界阻尼， 非振荡放电 c 1 2 C t L u Ae sin(t ) c R2 欠阻尼， 振荡放电 C
uc ( 0 ) 由初始条件 duc ( 0 ) dt
U0 t t P P 1 2 uC ( P2e P1e ) P2 P1
U0 uc ( P2e P1t P1e P 2 t ) P2 P1
uc
U0
设|P2|>|P1|
P2U 0 P1t e P2 P1
t
P1U 0 P2 t e P2 P1
U0
tm
uc ic 2tm uL
uc
E
t
例
k 2A + -
0.5 u1
2W i1 1/6F 2W 1H
求所示电路 i 的 零状态响应。
u1
2W
解
第一步列写微分方程
2-i
i
i1= i － 0.5 u1 = i － 0.5(2－ i)2 = 2i －2
由KVL： 2( 2 i ) 2i1 6 i1dt 整理得：
uL零点：t = ，+，2+ ... n+
ic零点：t =0，，2 ic极值点为uL零点。
... n ，为 uc极值点
uc
能量转换关系：
U0
ic 0 -

2- 2
t
0 < t <
+ - C
< t <
+
< t < +
+
R L
R L
R L
(2)求特解
" iL 1A
d 2iL di RLC 2 L Ri L 50 dt dt
t
uc ( 0 ) U 0 A1 U 0 由初始条件 duc ( 0 ) 0 A1 ( ) A2 0 dt
解出：
A1 U 0 A2 U 0
uc U 0 e (1 t ) duc U 0 t ic c te 非振荡放电 dt L di uL L U 0 e t (1 t ) dt
di U0 p1t p2 t uL L ( P1e P2e ) t > t i 减小, u <0 m L dt ( P2 P1 )
t 0, uL U 0
t , uL 0
t=2 tm时 uL 最小
di U0 p t p t uL L ( P1e 1 P2e 2 ) dt ( P2 P1 )
P 25 j139
uc Ae 25t sin(139t )
(3)
uc Ae 25t sin(139t ) uc (0 ) 25 A sin 25 A(139 cos 25 sin ) 5 duc C 4 5 0 10 dt
欠阻尼
L (1) R 2 C

uc A1e
p1t
A2e
p 2t
uc (0 ) U0 A1 A2 U0
duC dt
( 0 )
P1 A1 P2 A2 0
P2 A1 U0 P2 P1 A2 P1 U 0 P2 P1
uc的解答形式： 经常写为：
p1t p2t
则 02 2 (固有振荡角频率 )
P j
t jt jt
uc A1e A2e e ( A1e A2e
)
uc Ae
t
sin(t )
A ，为待定常数
u ( 0 ) U 0 A sin U 0 c 由初始条件 duc (0 ) 0 A( ) sin A cos 0 dt
能量转换关系
U0 tm
uc ic 2 tm uL t
0 < t < tm uc减小 ，i 增加。
+ -
t > tm uc减小 ，i 减小.
+
R C
R L
L
- C
L ( 2) R 2 C
R R 2 1 P ( ) 2L 2L LC
特征根为一对共轭复根
R 令： (衰减系数 ) 2L 1 0 (谐振角频率 ) LC
0 U 0 e t
- Βιβλιοθήκη Baidu2- 2
uc零点：t = -，2- ... n-
0
t
0 U 0 e t
uc
U0
ic 0 -
duc U 0 t ic C e sin t dt L
2- 2 t
di 0 uL L U 0 e t sin(t ) dt
6 t
A
2. 全响应
50 W
R
50 V
iR
已知：iL(0)=2A uc(0)=0
L C
iC 100 μF
求：iL, iR 。
0.5H
iL
解
(1) 列微分方程
di L 50 2 d iL dt 节点法： iL LC 2 0 R dt d 2 iL di RLC 2 L RiL 50 dt dt
特征方程：
LCP 2 RCP 1 0
2 R R 2 1 R R 4 L / C 特征根： P ( ) 2L 2L LC 2L
2. 零状态响应的三种情况
L R2 C L R2 C L R2 C
二个不等负实根 二个相等负实根 二个共轭复根
过阻尼 临界阻尼
A 356
356
25 0
， 1760
uc
uc 356e 25t sin(139t 1760 )V
t
例2
R C
i A i 2 左图为RC振荡电路， 讨论k取不同值时u2的 零输入响应。
1 i u 1 3 ku 1
R
C
u 2
对节点A列写KCL有：
u1 du1 i1 c R dt
以电容电压为变量时的初始条件： duC + + 0 uc(0 )=U0 i(0 )=0 dt t 0 以电感电流为变量时的初始条件：
i(0+)=0

uc(0+)=U0
t 0
di uC (0 ) uL (0 ) L dt
U0
di dt
t 0
U0 L
d 2 uC duC 电路方程： LC RC uC 0 dt dt
u1 Ae t sin(t ) 衰减振荡 1< k < 3 > 0
k=3
=0
等幅振荡
3< k < 5 < 0
增幅振荡
( 2) 2 02时特征根为两个负实根
3 k 2 即 k 1 和k 5时为非振荡情况
7.6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 零状态响应
i
uc(0－)=0 ,iL(0－)=0
微分方程为： +
L R
L
Ee( t)
C -
u C
d uc duc LC RC uc E dt dt
求通解的特征方程为；
2
LCP 2 RCP 1 0
uc u u
' c
" c
特解: 特解
u E
" c
通解
uc解答形式为：
uc E A1e
i A1e
第三步求特解 i” 由稳态模型有：
2 t
A2 e
6 t
i = 0.5 u1
u1=2(2－0.5u1)
u1=2
i=1A
0.5 u1
k 2A + 2W 1/6F ＋ 1H
第四步定常数
i 1 A1e 2 t A2 e 6 t
i(0 ) i(0 ) 0 di L ( 0 ) uL ( 0 ) dt
可推广应用于一般二阶电路
定常数
例1.
20Ω
iL
+ u - c 100 μ F
+ 0.5H
50V 10Ω
电路如图，t=0时打开开关。 求uc,并画出其变化曲线。
5Ω
解 （1） uc(0－)=25V
iL(0－)=5A
（2）开关打开为RLC串 联电路，方程为：
10Ω
2
d uc duc LC RC uc 0 dt dt 特征方程为： 50P2+2500P+106=0