高等代数知识点与解题方法笔记
高等代数知识点总结
特殊行列式的计算方法
二阶行列式
一般形式为a11a22-a12a21，计算方法为 将a11和a22相乘，然后减去a12和a21的乘 积。
三阶行列式
一般形式为 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32，计 算方法为将每一项都按照这个公式进行展开 ，然后将各项相加即可得到结果。
3
互换行列式的两行(列)，行列式的值变号，即 |...|=|-...|。
行列式的定义与性质
01
若行列式的某行(列)所有元素都是两数乘积，则可以对该行(列) 进行拆项，拆项后行列式的值不变。
02
若行列式的某行(列)所有元素都是同一个数，则可以对该行(列)
进行提公因式，提公因式后行列式的值不变。
若行列式的两行(列)对应元素互为相反数，则可以对该行(列)进
线性变换可以用于图像旋转，通 过矩阵乘法可以实现图像的旋转 。
线性变换可以用于图像剪切，通 过矩阵乘法可以实现图像的剪切 。
二次型在经济分析中的应用
要点一
投入产出模型
要点二
经济均衡模型
二次型可以用于描述投入产出模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的平衡状态。
二次型可以用于描述经济均衡模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的均衡状态。
03
线性变换的运算
两个线性变换的加法定义为对应元素之间的加法运算；数与线性变换的
乘法定义为数乘运算；两个线性变换的乘法定义为对应元素之间的乘法
运算。
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表示
设V是数域P上的线性空间，T是V的线性变换，对于V中 的任意一组基ε1,ε2,...,εn，有 $T(α)=T(ε1α1+ε2α2+...+εnαn)=T(ε1α1)+T(ε2α2)+... +T(εnαn)=ε1T(α1)+ε2T(α2)+...+εnT(αn)$，则称矩阵 A=(T(α1),T(α2),...,T(αn))为线性变换T关于基ε1,ε2,...,εn 的矩阵表示。
《高等代数》知识点梳理
《高等代数》知识点梳理高等代数是一门重要的数学学科，它是线性代数的延伸和深化，主要研究向量空间和线性变换的性质和应用。
以下是《高等代数》常见的知识点梳理：1.矩阵和线性方程组：-矩阵：矩阵的定义和运算、矩阵的行列式、逆矩阵等。
-线性方程组：线性方程组的定义和解的分类、线性方程组的矩阵表示、线性方程组的消元法、高斯-约当法等。
2.向量空间：-向量空间的定义：向量空间的基本性质和运算规则。
-子空间和张成空间：子空间和子空间的运算、线性组合和线性相关、张成空间的定义和性质。
-基和维数：线性无关和极大线性无关组、基和维数的相关定义和性质。
3.线性变换：-线性变换的定义和性质：线性变换的基本性质和运算。
-线性变换的矩阵表示：矩阵的表示和判断、线性变换的示例和应用。
-矩阵相似和对角化：矩阵相似的定义和性质、对角化的定义和条件、对角化的意义和应用。
4.特征值和特征向量：-特征值和特征向量的定义：特征值和特征向量的基本概念和性质。
-特征多项式和特征方程：特征多项式和特征方程的定义和性质、求解特征多项式和特征方程的方法。
-对角化和相似对角化：对角化和相似对角化的概念和条件、对角化和相似对角化的关系和应用。
5.矩阵的特征值和特征向量的应用：-线性微分方程组：线性微分方程组的特征方程和特解、线性微分方程组的解的表示和求解方法。
-线性差分方程组：线性差分方程组的特征方程和特解、线性差分方程组的解的表示和求解方法。
- Markov过程：Markov过程的概念和性质、Markov过程的平稳分布和转移概率矩阵。
6.内积空间和正交变换：-内积和内积空间的定义：内积的基本性质和运算规则、内积空间的定义和性质。
-正交向量和正交子空间：正交向量和正交子空间的定义和性质。
-正交变换和正交矩阵：正交变换和正交矩阵的概念、正交变换的性质和应用。
7.对偶空间和广义逆：-对偶空间的定义和性质：对偶空间的定义和对偶基的求解方法、对偶空间的性质和应用。
高等代数知识点总结笔记
高等代数知识点总结笔记一、集合论基础1. 集合的定义和表示2. 集合的运算：交集、并集、补集、差集3. 集合的基本性质：幂集、空集、自然数集、整数集等4. 集合的关系：子集、相等集、包含关系5. 集合的基本运算律：结合律、交换律、分配律二、映射和函数1. 映射的定义和表示2. 映射的类型：单射、满射、双射3. 函数的定义和性质4. 函数的运算：复合函数、反函数5. 函数的极限、连续性6. 函数的导数、几何意义三、向量空间1. 向量和向量空间的定义2. 向量的线性运算：加法、数乘、点积、叉积3. 向量空间的性质：线性相关、线性无关、维数、基和坐标4. 线性变换和矩阵运算5. 特征值和特征向量四、矩阵与行列式1. 矩阵的定义和基本性质：零矩阵、单位矩阵、方阵2. 矩阵的运算：加法、数乘、矩阵乘法、转置、逆矩阵3. 行列式的定义和性质：行列式的展开法则、克拉默法则4. 线性方程组的解法：克拉默法则、矩阵消元法、逆矩阵法五、线性方程组1. 线性方程组的定义和分类2. 线性方程组的解法：高斯消元法、矩阵法、逆矩阵法3. 线性方程组的特解和通解：齐次线性方程组、非齐次线性方程组4. 线性方程组的解的性质：解的唯一性、解空间六、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质2. 矩阵的对角化和相似矩阵3. 特征值和特征向量的应用：矩阵的对角化、变换矩阵4. 矩阵的谱定理和矩阵的相似对角化5. 实对称矩阵和正定矩阵的性质七、多项式与代数方程1. 多项式的定义和性质：零次多项式、一次多项式、多项式的加减乘除2. 代数方程的解法：一元一次方程、一元二次方程、高次方程3. 代数方程的根与系数的关系：韦达定理、牛顿定理、斯图姆定理4. 代数方程的不可约性和可解性八、群、环、域1. 代数结构的定义和性质2. 群的定义和性质：群的封闭性、结合律、单位元、逆元3. 环的定义和性质：交换环、整环、域4. 域的定义和性质：有限域、无限域、极大理想以上就是高等代数的一些基本知识点总结，希望对大家有所帮助。
高等代数知识点与解题方法笔记
《高等代数知识体系及解题方法概述》姓名：***学院：理学院专业：数学与应用数学学号：20********1课程：高等代数2020年6月23日第一章：多项式知识体系：解题方法：1，判定数域:关于加减乘除封闭。
2，求最大公因式：(1) 多项式分解成标准分解式;(2) 辗转相除法;3，求多项式的标准分解式：① 利用辗转相除法求出())(),(x f x f '；② 把f(x)单因式化())()()()(),()(21x p x p x cp x f x f x f s ='； ③ 得出重因式的次数，将次数加到f(x)的单因式上去。
4，判定多项式整除：带余除法余式为零。
5，判定重因式并求重因式：(1) ()1)(),(≠'x f x f ；(2) 带余除法。
6，求方程的有理根：(1) 带余除法；(2) 整系数多项式的根为r/s;若是s|an,r|a0。
根据多项式猜想所有可能根，代入方程验证。
7，判定不可约多项式：(1) 艾森斯坦因判别法；(2) 反证法，得出矛盾。
8，证明一多项式因某条件而为简单多项式思路：① 设多项式；② 设多项式次数，比较等式两边多项式次数；③ 设特殊值，比较等式两边系数。
9，多项式按某一次因式的方幂和展开式:综合除法第二章：行列式知识体系：解题方法：1，行列式的计算：(1)行列式的定义；(2)降阶法；(3)按某一行或某一列的代数余子式展开（一般是按零较多的行或列展开），高阶行列式一般需要进行递推；(4)若每一行或每一列的元素相同，相加到第一行或第一列提取公因数后进行降级处理；(5)若行列式形似范德蒙德行列式，则构造对应范德蒙德行列式。
求出范德蒙德行列式的多项式系数，要求的行列式一般与多项式的系数密切相关2，解线性方程组：克拉默法则（非齐次）第三章：线性方程组知识体系：解题方法：1，线性相关性的判别：(1)定义法；(2)向量组的秩，线性相关则其秩小于向量的个数(3)齐次线性方程组有非零解。
大一上期高等代数知识点
大一上期高等代数知识点高等代数是大一上学期的一门重要课程，主要涉及代数方程、线性代数等内容。
下面将介绍一些大一上期高等代数的核心知识点。
一、代数方程1. 一次方程与二次方程一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b为已知数。
解一次方程的方法包括等式两边同时加减同一个数，合并同类项等。
二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，并且a ≠ 0。
解二次方程的方法包括配方法、因式分解和求根公式等。
2. 求根与判别式二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)，其中√表示平方根。
判别式Δ = b² - 4ac可用来判断二次方程的解的性质。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程无实数根。
二、线性代数1. 矩阵与行列式矩阵是一个由m行n列数组成的矩形阵列，常用大写字母表示。
行列式是一个用来描述矩阵性质的数值，常用竖线符号表示。
行列式的计算包括对角线法则和展开法则等。
2. 线性方程组线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。
求解线性方程组的方法包括消元法、逆矩阵法等。
消元法通过行变换将线性方程组转化为相等的简化形式，从而求得方程组的解。
逆矩阵法利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组，前提是矩阵存在逆矩阵。
三、向量与空间1. 向量向量是用来表示方向和大小的量，常用小写字母表示。
向量的运算包括加法、减法及数量乘法等。
向量的模表示向量的大小，向量的内积和外积是常见的向量运算。
2. 空间与子空间空间是指向量所在的集合，常用R^n表示n维空间。
子空间是指在一个空间中的子集，满足一些特定条件，比如封闭性和包含零向量等。
以上是大一上期高等代数的一些核心知识点。
通过学习这些知识，我们可以理解和解决代数方程、线性方程组等问题，为后续学习打下坚实基础。
大一高代数学知识点归纳
大一高代数学知识点归纳高等代数是大学数学中一门重要的基础课程，主要研究线性代数及其应用。
在大一阶段学习高代时，我们需要掌握一些重要的知识点和概念。
本文将对这些知识点进行归纳总结，以便帮助大家更好地学习和理解高等代数。
一、线性方程组1. 线性方程组的概念及表示方法线性方程组由一组线性方程所组成，可以用矩阵的形式表示。
例如，对于二元一次方程组：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2可以表示为矩阵形式：AX = B，其中X = [x, y]是未知量的向量，A是系数矩阵，B是常数矩阵。
2. 矩阵的运算法则矩阵的加法、减法和数乘是矩阵运算的基本法则。
例如，对于两个矩阵A和B的加法：C = A + B，它们的对应元素相加得到C的元素。
3. 矩阵的行阶梯形和行最简形行阶梯形是指矩阵中的非零行首个非零元素（主元）下方全为零。
行最简形是指矩阵已经是行阶梯形，并且主元全为1的形式。
4. 线性方程组的解的性质与求解方法线性方程组的解可以有唯一解、无解或无穷多解。
解的性质与矩阵的秩有关。
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组有唯一解；当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组无解；当系数矩阵的秩等于变量的个数，但小于增广矩阵的秩时，方程组有无穷多解。
二、矩阵理论1. 矩阵的乘法矩阵的乘法满足结合律和分配律。
两个矩阵相乘的结果是第一个矩阵的行与第二个矩阵的列的线性组合。
2. 矩阵的转置与逆矩阵的转置是指行与列交换位置得到的新矩阵。
矩阵的逆是指存在一个矩阵使得矩阵与其逆的乘积等于单位矩阵。
只有方阵才有逆矩阵，且非奇异方阵才有逆矩阵。
3. 特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。
对于方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX = λX，其中λ称为A的特征值，X称为对应于λ的特征向量。
4. 线性变换与线性映射线性变换是指满足线性性质的变换。
线性映射是指将一个向量空间映射到另一个向量空间，并保持线性性质的映射。
大学数学高等代数笔记
大学数学高等代数笔记高等代数是大学数学中的一门重要课程，它为我们打开了数学世界中更为抽象和深奥的大门。
在学习这门课程的过程中，做好笔记是至关重要的。
它不仅能够帮助我们在课后复习时快速回忆起课堂上的重点内容，还能让我们在整理思路的过程中加深对知识的理解。
接下来，我将与大家分享我在学习高等代数过程中所做的笔记。
一、行列式行列式是高等代数中的一个基本概念，它具有多种计算方法和重要性质。
1、二阶和三阶行列式的计算对于二阶行列式，其计算公式为：｀｜a b|｀｀｜c d|｀＝ ad bc 。
三阶行列式的计算则相对复杂一些，通过按行（列）展开的方法可以将其转化为二阶行列式的计算。
2、行列式的性质行列式具有很多重要的性质，例如：行列式转置后其值不变；某行（列）元素乘以一个数加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变；交换两行（列），行列式的值变号等。
3、行列式的应用行列式可以用于求解线性方程组的解的情况。
当系数行列式不为零时，方程组有唯一解。
二、矩阵矩阵是高等代数中的核心概念之一。
1、矩阵的定义和运算矩阵是由数按照一定的规则排列成的矩形数表。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法。
需要注意的是，矩阵乘法不满足交换律。
2、逆矩阵若矩阵 A 可逆，则存在矩阵 B ，使得 AB ＝ BA ＝ E （单位矩阵），B 称为 A 的逆矩阵。
3、矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要属性，它反映了矩阵的线性相关性。
三、线性方程组线性方程组是高等代数中的常见问题。
1、高斯消元法通过一系列的初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形或行最简形，从而求解线性方程组。
2、齐次线性方程组当常数项都为零时的线性方程组称为齐次线性方程组。
其解的情况与系数矩阵的秩有关。
四、向量空间向量空间是一个抽象的概念，但在实际应用中具有重要意义。
1、向量的线性相关性判断一组向量是否线性相关是向量空间中的重要问题。
2、基和维数向量空间中的一组基是一组线性无关的向量，能够表示空间中的任意向量。
高等代数笔记与做题思路总结
高等代数笔记与做题思路总结一、行列式相关（5题）1. 计算三阶行列式begin{vmatrix}1 2 3 4 5 6 7 8 9end{vmatrix}解析：- 按第一行展开，begin{vmatrix}1 2 3 4 5 6 7 8 9end{vmatrix}=1×begin{vmatrix}5 6 8 9end{vmatrix}-2×begin{vmatrix}4 6 7 9end{vmatrix}+3×begin{vmatrix}4 5 78end{vmatrix}- 计算二阶行列式begin{vmatrix}ab cdend{vmatrix}=ad - bc- begin{vmatrix}5 6 8 9end{vmatrix}=5×9-6×8 = 45 - 48=- 3- begin{vmatrix}4 6 7 9end{vmatrix}=4×9 - 6×7=36 - 42=-6- begin{vmatrix}4 5 7 8end{vmatrix}=4×8 - 5×7=32 - 35=-3- 所以原行列式=1×(-3)-2×(- 6)+3×(-3)=-3 + 12-9 = 02. 已知n阶行列式D = λ^n+a_1λ^n - 1+·s+a_n-1λ + a_n，求D的第一行元素的代数余子式之和。
解析：- 根据行列式按行展开定理D=a_i1A_i1+a_i2A_i2+·s+a_inA_in（i为行标）- 令λ = 1，构造一个新的行列式D_1，它的第一行元素全为1，其余元素与D 相同。
- 那么D_1按第一行展开D_1=A_11+A_12+·s+A_1n- 又因为D_1也是n阶行列式，且D_1 = 1^n+a_1×1^n - 1+·s+a_n-1×1+a_n- 所以第一行元素的代数余子式之和为1 + a_1+·s+a_n3. 证明：若一个n阶行列式D中零元素的个数多于n^2-n个，则D = 0。
第一章知识点(高等代数)
学习必备欢迎下载第 1章多项式1.1 知识点归纳与要点解析一．多项式的定义与运算1.定义形式表达式 f (x)a n x n a n 1 x n 1a0称为数域P 上以x 为文字的一元多项式,其中 a0 ,a1 ,a n P , n是非负整数.当a n0 时,称多项式 f (x)的次数为n ,记为 f (x)n ,并称a n x n为 f (x)的首项, a n为f (x)的首项系数. a i x i为f (x) 的i次项, a i称为 f (x) 的i次项系数.当a n a n 1a10,a 00 时,称多项式 f (x)为零次多项式,即 f (x)0 ;当a n a n 1a1a00 时,称f (x) 为零多项式.注：零多项式是唯一不定义次数的多项式.2.多项式的相等数域P 上以x 为文字的两个一元多项式 f (x) 与g(x)相等是指它们有完全相同的项.还可以在它们首项系数相等的情况下，证注：证明两个多项式的相等除了利用定义外，明两个多项式相互整除.3.多项式次数设 f (x), g (x)P[ x] ,性质 1. 当f (x)g(x)0 时，(f (x)g(x))max(f (x)), (g(x)) ；性质 2.(f (x)g(x))(f (x))+(g(x)) .二．多项式的整除1.带余除法(1) 定义：设 f (x), g(x)P[x],g (x)0,则存在唯一的多项式q(x), r (x)P[x], 使r (x)g(x).其中q(x)为g(x)除f (x)的商式, f (x) =q(x)g(x)+r (x) .其中 r (x)=0 或r (x) 为 g(x) 除 f (x) 的余式.注：带余除法是多项式分类的工具,是辗转相除法的基础,也是求最大公因式的基础.2.综合除法3.整除的判定(1) 定义设 f (x), g(x)P[x] ，如果存在q(x)P[x] ，使得 f (x)=q(x)g(x) ,则称g(x)整除学习必备欢迎下载第 1章多项式1.1 知识点归纳与要点解析一．多项式的定义与运算1.定义形式表达式 f (x)a n x n a n 1 x n 1a0称为数域P 上以x 为文字的一元多项式,其中 a0 ,a1 ,a n P , n是非负整数.当a n0 时,称多项式 f (x)的次数为n ,记为 f (x)n ,并称a n x n为 f (x)的首项, a n为f (x)的首项系数. a i x i为f (x) 的i次项, a i称为 f (x) 的i次项系数.当a n a n 1a10,a 00 时,称多项式 f (x)为零次多项式,即 f (x)0 ;当a n a n 1a1a00 时,称f (x) 为零多项式.注：零多项式是唯一不定义次数的多项式.2.多项式的相等数域P 上以x 为文字的两个一元多项式 f (x) 与g(x)相等是指它们有完全相同的项.还可以在它们首项系数相等的情况下，证注：证明两个多项式的相等除了利用定义外，明两个多项式相互整除.3.多项式次数设 f (x), g (x)P[ x] ,性质 1. 当f (x)g(x)0 时，(f (x)g(x))max(f (x)), (g(x)) ；性质 2.(f (x)g(x))(f (x))+(g(x)) .二．多项式的整除1.带余除法(1) 定义：设 f (x), g(x)P[x],g (x)0,则存在唯一的多项式q(x), r (x)P[x], 使r (x)g(x).其中q(x)为g(x)除f (x)的商式, f (x) =q(x)g(x)+r (x) .其中 r (x)=0 或r (x) 为 g(x) 除 f (x) 的余式.注：带余除法是多项式分类的工具,是辗转相除法的基础,也是求最大公因式的基础.2.综合除法3.整除的判定(1) 定义设 f (x), g(x)P[x] ，如果存在q(x)P[x] ，使得 f (x)=q(x)g(x) ,则称g(x)整除。
高等代数课本笔记及其例题详解
高等代数课本笔记及其例题详解第一章 多项式1.1 数域定义1.1（数域）：设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1. 如果P 中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P 中的数，那么P 就称为一个数域.即：设{}C x x P ∈=，P b a ∈∀,，其中0≠a 且P ∈0,1都有P abab b a b a ∈-+,,,，称P为一个数域. （注：Z 表示全体整数；R 表示全体实数；C 表示全体复数；Q 表示全体有理数；N 表示全体自然数；）例题1. 设(){}Q b a b a Q ∈+=,22证明：()2Q 是一个数域. 证明：1）()22000,2011Q ∈+=+=（其中：Q ∈1,0）2）Q d c b a ∈∀,,,有()()()2222Q d b c a d c b a ∈+++=+++（其中： Q d b c a ∈++,）；()()()2222Q d b c a d c b a ∈-+-=+-+（其中：Q d b c a ∈--,）； ()()()()()22222Q bc ad bd ac d c b a ∈+++=++（其中：Q bc ad bd ac ∈++,2）； 若02≠+b a ，有()22222222222Q b a bcad b a bd ac b a d c ∈--+--=++（其中：Q b a bc ad b a bd ac ∈----22222,22，且0222≠-b a ）. 2Q ∴是一个数域.例题2. 证明：()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧==∈∈++++++=+m j n i Z b a N n m b b b a a a P j i mm n n ,,0;,,0,,,1010 πππππ是一个数域.证明：1) ()πππππP m n ∈++++++=0010011 , ()πππππP mn∈++++++=0000000 2) 显然该集合的和、差、积封闭；若商不封闭，得()πππππππππP d d d c c c b b b a a a tt ss m m n n ∈++++++≠+++++ 101101010,0,得 ()πππππππππππππππππP a a a b b b d d d c c c b b b a a a d d d c c c n n mm t t s s m n n t t s s ∉++++++⋅++++++=++++++++++++ 1010101010101010,这与该集合的积封闭的结论矛盾，故()πP是一个数域.注：最小的数域为有理数域，任何数域都包含有理数域.1.2 一元多项式定义 1.2.1（一元多项式） 设n 是一非负整数. 形式表达式011a x a x a n n n n +++-- ,其中∈n a a a ,,,10 数域P ,称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式. （注：i i x a 称为i 次项; i a 称为i 次项的系数. ）定义1.2.2 （多项式相等）如果在多项式()x f 与()x g 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么()x f 与()x g 就称为相等，记为()()x g x f =. 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0. （注：若0≠n a ，则n n x a 称为多项式的首项；n a 称为首项系数; n 称为多项式的次数，记为()()x f ∂; 零多项式是唯一不定义次数的多项式. ） 性质1.2.1 ()()()()()()()()x g x f x g x f ∂∂≤±∂,max .性质1.2.2 ()()()()()()()x g x f x g x f ∂+∂=⋅∂（其中()0≠x f 且()0≠x g ）. 运算规律：1. 加法交换律：()()()()x f x g x g x f +=+.2. 加法结合律：()()()()()()()()x h x g x f x h x g x f ++=++.3. 乘法交换律：()()()()x f x g x g x f =.4. 乘法结合律：()()()()()()()()x h x g x f x h x g x f =.5. 乘法对加法的分配律：()()()()()()()()x h x f x g x f x h x g x f +=+.6. 乘法消去律：如果()()()()x h x f x g x f =且()0≠x f ，那么()()x h x g =.定义1.2.3 （一元多项式环）所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环，记为[]x P ，P 称为[]x P 的系数域.1.3 整除的概念性质1.3.1 （带余除法）对于[]x P 中任意两个多项式()x f 与()x g ，其中()0≠x g ，一定有[]x P 中的多项式()()x r x q ,存在，使()()()()x r x g x q x f +=成立，其中()()()()x g x r ∂<∂或者()0=x r ，并且这样的()()x r x q ,是唯一决定的. （注：()x q 通常称为()x g 除()x f 的商；()x r 称为()x g 除()x f 的余式）定义1.3.1（整除）数域P 上的多项式()x g 称为整除()x f ，如果有数域P 上的多项式()x h 使等式()()()x h x g x f =成立. 我们用“()()x f x g ”表示()x g 整除()x f ，用“()x g ()x f ”表示()x g 不能整除()x f .（注：当()()x f x g 时，()x g 就称为()x f 的因式；()x f 称为()x g 的倍式.）定理1.3.1 对于数域P 上的任意两个多项式()()x g x f ,，其中()0≠x g ，()()x f x g 的充分必要条件是()x g 除()x f 的余式为零. 整除性的常用的性质：1. 如果()()x g x f ，()()x f x g ，那么()()x cg x f =，其中0≠c .2. 如果()()x g x f ，()()x h x g ，那么()()x h x f （整除的传递性）.3. 如果()()x g x f i ，r i ,,2,1 =，那么()()()()()()()x g x u x g x u x g x u x f r r +++ 2211其中()x u i 是数域P 上的任意的多项式.（注：()()()()()()x g x u x g x u x g x u r r +++ 2211称为多项式()()()x g x g x g r ,,,21 的一个组合.） 注：两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变.1.4 最大公因式定义 1.4.1（最大公因式）设()()x g x f ,是[]x P 中两个多项式. []x P 中多项式()x d 称为()()x g x f ,的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：1）()x d 是()()x g x f ,的公因式；2）()()x g x f ,的公因式全是()x d 的因式.（注：两个零多项式的最大公因式就是0） 引理1.4.1 如果有等式()()()()x r x g x q x f +=成立，那么()()x g x f ,和()()x r x g ,有相同的公因式.定理 1.4.1 对于[]x P 中任意两个多项式()()x g x f ,，在[]x P 中存在一个最大公因式()x d ，且()x d 可以表成()()x g x f ,的一个组合，即有[]x P 中多项式()()x v x u ,使()()()()()x g x v x f x u x d +=.（注：两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的；()()()x g x f ,表示首项系数为1的公因式.） 辗转相除法：例题3. 设()343234---+=x x x x x f ，()3210323-++=x x x x g 求()()()x g x f ,，并求()()x v x u ,使()()()()()()()x g x v x f x u x g x f +=,. 解：即：()()()()()()131092595913112x r x q x g x x x x g x f +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=310925952---x x即：()()()()()()22793109259595272212x r x q x r x x x x x g +=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=. ()()()327981108153109259521 +⎪⎭⎫⎝⎛--=---=x x x x x r()()()3,+=∴x x g x f .将（1）代入（2）式可得：()()35251532+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛-x x g x x x f x ()()525,1532x x x v x x u +-=-=∴就有()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+.定义1.4.2（互素）[]x P 中两个多项式()()x g x f ,称为互素（也称互质）的，如果()()()1,=x g x f .定理 1.4.2 []x P 中两个多项式()()x g x f ,称为互素的充要条件是有[]x P 中的多项式()()x v x u ,使()()()()1=+x g x v x f x u .定理1.4.3 如果()()()1,=x g x f ，且()()()x h x g x f ，那么()()x h x f .推论1.4.3.1 如果()()x g x f 1，()()x g x f 2，且()()()1,21=x f x f ，那么()()()x g x f x f 21.推广：定义1.4.3 ()x d 称为()()()()2,,,21≥s x f x f x f s 的一个最大公因式，如果()x d 具有下面的性质：2) ()()s i x f x d i ,,2,1, =；3) 如果()()s i x f x i ,,2,1, =ϕ，那么()()x d x ϕ.（注：符号()()()()x f x f x f s ,,,21 表示首项系数为1的最大公因式.）性质1.4.1()()()()()()()()()()x f x f x f x f x f x f x f s s s ,,,,,,,21121 =-性质1.4.2 ()()()()()()()()()()x f x f x f x f x u x f x u x f x u s s s ,,,212211 =+++，其中 ()()()[]x P x u x u x u s ∈,,,21 .性质1.4.3 ()()()()()()()[],,,,1,,,2121x P x u x u x u x f x f x f s s ∈∃⇔=()()()()()()1:2211=+++x f x u x f x u x f x u st s s .1.5 因式分解定理定义1.5.1（不可约多项式） 数域P 上次数的多项式()x p 称为域上的不可约多项式，如果它不能表示成数域P 上的两个次数比()x p 的次数低的多项式的乘积（注：一个多项式是否是不可约是依赖于系数域的）.性质1.5.1 ()x p 在数域[]x P 是不可约多项式，()[]x P x f ∈∀，()()x p x f 当且仅当()0≠=c x f 或()()x cp x f =.即：对于()[]x P x f ∈∀，有()()x f x p 或者()()()1,=x f x p . 定理1.5.1 如果()x p 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式()()x g x f ,，由()()()x g x f x p 一定推出()()x f x p 或者()()x g x p .定理1.5.2（定理1.5.1的推广） 如果()x p 是不可约多项式，若()()()(),21x f x f x f x p s 则()()()(){}x f x f x f x f s i ,,,21 ∈∃使得()()x f x p i .定理1.5.3（因式分解及唯一性定理）数域P 上每一个次数1≥的多项式()x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式()()()()()()()x q x q x q x p x p x p x f s s 2121==，那么必有t s =，并且适当排列因式的次序后有()()s i x q c x p i i i ,,2,1, ==，其中()s i c i ,,2,1 =是一些非零常数.（注：()()()()x p x p x cp x f s r s r r 2121=的分解称为标准分解式；已知两个多项式()()x g x f ,的标准分解式，那么()x f 与()x g 的最大公因式()x d 就是那些同时在与的标准式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在()x f 与()x g 中所带的方幂中的较小的一个.）1.6 重因式定义1.6.1（k 重因式）不可约多项式()x p 称为多项式()x f 的k 重因式，如果()()x f x p k ，而()x p k 1+ ()x f .（注：0=k 时，()x p 不是()x f 的因式；1=k 时，()x p 是()x f 的单因式；1≥k 时，()x p 是()x f 的重因式.）定义1.6.2（微商）设有多项式()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=-- .我们规定它的微商（也称导数）是()()1211'1a x n a nx a x f n n n n ++-+=--- . 性质1.6.1 ：1）()()()()()x g x f x g x f '''+=+2）()()()x cf x cf ''=，3）()()()()()()()x g x f x g x f x g x f '''+=，4）()()()()()x f x f m x f m m '1'-=.定义1.6.3（高阶微商）微商()x f '称为()x f 的一阶微商；()x f '的微商()x f ''称为的二阶()x f 微商；等等.()x f 的k 阶微商记为()()x f k .（注：()()n x f =∂ο，则()()c x f n =，()()01=+x f n .）定理1.6.1 如果不可约多项式()x p 是()x f 的k 重因式()1≥k ，那么它是微商()x f '的1-k 重因式.推论1.6.1.1 如果不可约多项式()x p 是()x f 的k 重因式()1≥k ，那么()x p 是()()()()x f x f x f k 1''',,,- 的因式，但不是()()x f k 的因式.推论1.6.1.2 不可约多项式()x p 是()x f 的重因式的充分必要条件为()x p 是()x f 与()x f ' 的公因式.推论 1.6.1.3 多项式()x f 没有重因式的充分必要条件是()x f 与()x f '互素.（注：辗转相除法可用于求解重因式；()()()()x f x f x f ',是一个没有重因式的多项式与()x f 有完全相同的不可约因式.）1.7 多项式函数定义1.7.1（多项式函数）设()()10111 a x a x a x a x f n n n n ++++=--是[]x P 中的多项式，α是P 中的数，在()1中用α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++--ααα 称为()x f 当α=x 时的值，记为()αf .这样一来，多项式就定义了一个数域上的函数.定理1.7.1（余数定理）用一次多项式α-x 去除多项式()x f ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值()αf .（注：其中()0=αf 时，α=x 是()x f 的一个根或者零点.） 推论1.7.1.1 α是()x f 的根的充分必要条件是()()x f x α-.定义1.7.2（重根）α称为()x f 的重根，如果()α-x 是()x f 的k 重因式.当1=k 时，α称为单根；当1>k 时，α称为重根.定理1.7.2 []x P 中n 次多项式()0≥n 在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算. 定理1.7.3 如果多项式()()x g x f ,的次数都不超过n ，而它们对1+n 个不同的数121,,,+n ααα 有相同的值，即()()1,,2,1,+==n i g f i i αα，那么()()x g x f =.1.8 复系数与实系数多项式的因式分解定理1.8.1（代数基本定理）每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根（即：复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的.）.定理1.8.2（复系数多项式的分解定理）每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.（复系数多项式的标准分解式：()()()()s ls lln x x x a x f ααα---= 2121，其中C s ∈≠≠≠ααα 21，+∈Z l l l s ,,,21 ）定理1.8.3 如果α是实系数多项式()x f 的复根，那么α的共轭数α也是()x f 的根. 定理1.8.4（实系数多项式因式分解定理）每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积（即是说：实数域上只含有一次不可约多项式和含二次共轭复根不可约多项式）.1.9 有理系数多项式定理 1.9.1 每个次数1≥的有理系数多项式都能唯一地分解成不可约的有理系数多项式的乘积.定义1.9.1（本原多项式）如果一个非零的整系数多项式()011b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n -没有异于的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式.（任意一个非零的有理系数多项式()x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式()x g 的乘积：()()x rg x f =）定理1.9.2（高斯（Gauss ）引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理1.9.3 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.推论1.9.3.1 设()()x g x f ,是整系数多项式，且()x g 是本原的. 如果()()()x h x g x f =，其中()x h 是有理系数多项式，那么()x h 一定是整系数的.定理1.9.4 设()011a x a x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式，而sr 是它的一个有理根，其中s r ,互素，那么必有n a s ，0a r .特别地，如果()x f 的首项系数1=n a ，那么()x f 的有理根都是整根，而且是0a 的因子. 例题4. 求方程032234=-+-x x x 的有理根. 解：令()32234-+-=x x x x f 得：24=a 的因子为：2,1±±30=a 的因子为：1±，3± ()x f ∴的有理根可能为：21±，23±，1±，2±.判别根的方法一：0321≠-=⎪⎭⎫⎝⎛-f （不为()x f 的根，舍弃）；0221≠-=⎪⎭⎫⎝⎛f （不为()x f 的根，舍弃）； ()021≠-=-f （不为()x f 的根，舍弃）； ()01=f （为()x f 的根）； 021523≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f （不为()x f 的根，舍弃）； 042723≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛f （不为()x f 的根，舍弃）；()0332≠=-f （不为()x f 的根，舍弃）； ()0252≠=f （不为()x f 的根，舍弃）； 1∴为032234=-+-x x x 方程的有理根.方法二：即2-=x 不是方程032234=-+-x x x 的根.…………经带余除法计算可得：1=x 为032234=-+-x x x 方程的有理根.方法三：21 22002-即21=x 不是方程032234=-+-x x x 的根. …………经综合除法计算可得：1=x 为032234=-+-x x x 方程的有理根.定理1.9.5（艾森斯坦（Eisenstein ）判别法）设()011a x a x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式.如果有一个素数p ，使得1. p n a ；2. 021,,,a a a p n n --；3. 2p 0a .那么()x f 在有理数域上不可约的.例题5.证明()153+-=x x x f 在有理数域上不可约. 证明：依题意可得()x f 的有理根可能为：1±.又()31-=f ,()51-=-f 都不为零1±=∴x 都不是()x f 的有理根，即()x f 在有理数域上不可约的.1.10 多元多项式定义1.10.1（n 元多项式）设P 是一个数域，n x x x ,,,21 是n 个文字. 形式为n k nk k x x ax 2121的式子，其中P a ∈，n k k k ,,,21 是非负整数，称为一个单项式. 由以上一些单项式的和∑nnn k k k k nk k k k k x x x a,,,21212121 就称为n 元多项式，或者简称多项式.（注：若两个单项式中相同文字的幂全一样，那么它们就称为同类项.）定义1.10.2（元多项式环）所有系数在数域P 中的n 元多项式的全体，称为数域P 上的n元多项式环，记为[]n x x x P ,,21.（注：n k k k +++ 21称为单项式n k nk k x x ax 2121的次数；系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式的次数.多元多项式的排列顺序方法：字典排列法；）定理1.10.1 当()0,,,21≠n x x x f ，()0,,,21≠n x x x g 时，乘积()()n n x x x g x x x f ,,,,,,2121 的首项等于()n x x x f ,,,21 的首项与()n x x x g ,,,21 的首项的乘积.推论1.10.1.1 如果,,,2,1,0m i f i =≠那么m f f f 21的首项等于每个i f 的首项的乘积. 推论1.10.1.2 如果()()0,,,,0,,,2121≠≠n n x x x g x x x f ，那么()()0,,,,,,2121≠n n x x x g x x x f .（两个齐次多项式的乘积是齐次多项式，乘积的次数等于因子的次数的和.）1.11 对称多项式定理1.11.1（一元多项式根与系数的关系）设()n n n a x a x x f +++=- 11是[]x P 中的一个多项式.如果()x f 在数域P 中有个根n ααα,,,21 ，那么就可以分解成()()()()n x x x x f ααα---= 21.将其展开即得根与系数的关系如下：()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+++=+++=-∑-n n n k k k k i in n n a i a a a j i αααααααααααααααα 211312122111121，的乘积之和个不同的所有可能的. 定义1.11.1（对称多项式）n 元多项式()n x x x f ,,,21 ，如果对于任意的n j i j i ≤≤≤1,,，都有()()n i j n j i x x x x f x x x x f ,,,,,,,,,,,,11 =，那么这个多项式称为对称多项式. 定理1.11.2 对于任意一个n 元对称多项式都有一个n 元多项式()n y y y ,,,21 ϕ，使得()()n n x x x f σσσϕ,,,,,,2121 =.（其中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=----n n nn n n n n n n x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x 21322211211131212211σσσσ称为n 元初等对称多项式.）例题6. 把三元对称多项式333231x x x ++表为321,,σσσ的多项式. 解：令()333231321,,x x x x x x f ++=得首项为：31x 对应的有序数对()0,0,3，()()332133323131333231321,,x x x x x x x x x x x x f ++-++=-++=∴σ()132123223132222132122163g x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-=得首项：2213x x 对应的有序数对()0,1,2.()()32123223132222132122132123223132222132122121133633x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x g +++++++-+++++-=+σσ23213g x x x =-=对应数对()1,1,1又0332=+σg ()3213132133,,σσσσ+-=∴x x x f .课后习题1. 用()x g 除()x f ，求商()x q 与余式()x r ：1）()1323---=x x x x f ，()1232+-=x x x g ； 解：()9113-=∴x x q ，()99+-=x r . 2）()524+-=x x x f ，()22+-=x x x g解：()12-+=∴x x x q ，()75+-=x x r . 3）()1434--=x x x f ，()132--=x x x g 解：()1032++=∴x x x q ，()929+=x x r . 4）()13235-+-=x x x x f ，()233+-=x x x g . 解：()x g233+-x x22+x()22+=∴x x q ，()562-+=x x x r . 5）()x x x x f 85235--=，()3+=x x g 解：带余除法：()109391362234+-+-=∴x x x x x q ，()()3327-=-=f x r . 6）()x x x x f --=23，()i x x g 21+-=. 解：综合除法：i 21-1 i 2- i 25-- i 89+-()i x r 89+-=∴，()i ix x x q 2522---=. 2. m ，p ，q 适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+321 解：方法一：带余除法：12-+mx xm x -即：()()m q x p m x r ++++=12，又q px x mx x ++-+321()0=∴x r 可得⎩⎨⎧-==++q m p m 012. 2）q px x mx x ++++2421. 解：方法二：待定系数法：设商为：()c bx x x q ++=2，又由q px x mx x ++++2421可得：()()q px x x q mx x ++=++2421即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++=+q c b m c p m b c b m 010.()⎩⎨⎧=-=+-∴0112q m p m q . 3. 把()x f 表成0x x -的方幂和，即表成()() +-+-+22010x x c x x c c 的形式：1）()5x x f =，10=x ；解：辗转相除法：即：()()()111234+++++-=x x x x x x f .即：()()()()[]()()()1154321154321123223+-++++-=+++++--=x x x x x x x x x x x f()()()()[]()()()()()11511063111510631122322+-+-+++-=+-++++--=∴x x x x x x x x x x x f()()()()[])()()()()115110110411151101041123423+-+-+-++-=+-+-+++--=x x x x x x x x x x x f ()()()()()1151101101512345+-+-+-+-+-=x x x x x ()()()()()()1151101101512345+-+-+-+-+-=∴x x x x x x f .2）()3224+-=x x x f ，20-=x 解：综合除法：2-2-2- 2-14a = 38a =-()()()()()11124122181234+---+---=∴x x x x x f . 3）()()i xx i ix x x f ++-+-+=7312234，i x -=0. 解：综合除法：i - i - i - i -即：()()()()()()i i x i x i i x i i x x f 57512234+++-++-+-+=. 4. 求()x f 与()x g 的最大公因式：1）()143234---+=x x x x x f ，()123--+=x x x x g 解：带余除法：即：1322即：()()()1434121322+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+----=x x x x x g又：()()1121322++-=---x x x x()()()1,+=∴x x g xf .2）()1434+-=x x x f ，()1323+-=x x x g . 解：带余除法：即：()()()2312+--=x x x g x f .即：()()13213232-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=xx x x g .即：41942729132232-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x .()()()1,=∴x g x f .3）()11024+-=x x x f ，()124624234+++-=x x x x x g . 解：即：()()x x f x g 242423-=即：()()12232124241624223++-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-=x x x x x x x f .即：()93292889323241223241624223++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=++-x x x x x x x .即：12192426328827932928812232+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-x x x x . ()()()1,=∴x g x f .5. 求()x u ，()x v 使()()()()()()():,x g x f x g x v x f x u =+1）()242234---+=x x x x x f ，()22234---+=x x x x x g . 解：()13即：()()()221223 -++-=x x x x x g()()32223 x x x x -=- ()()()2,2-=∴x x g x f将（1）代入（2）得：()()()()2212-=+++-x x g x x f x即：取()1--=x x u ，()2+=x x v 可得：()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+.2）()951624234++--=x x x x x f ,()45223+--=x x x x g 解：即：()()622--=x x x g x f 即：()()()213139362 +-⎪⎭⎫⎝⎛+-+--=x x x x x g()()()39619362 ++-=+--x x x x()()()1,-=∴x x g x f ，将（1）式代（2）式得：()()()()1322311312-=--+--x x g x x x f x .即：取()()131--=x x u ，()()322312--=x x x v 就有：()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+. 3）()144234++--=x x x x x f ，()12--=x x x g 解：即：1232 -+-=x x x g x f()()()()2312 ++-=x x x g()()()1,=∴x g x f将（1）式代入（2）式得：()()13233123=--+++-x g x x x x f x 即取()()131+-=x x u ，()()233123--+=x x x x v 就有：()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+. 6. 设()()u x x t x x f 22123++++=，()u tx x x g ++=3的最大公因式是一个二次多项式，t ，u 的值. 解：又()()u x x t x x f 22123++++=，()u tx x x g ++=3的最大公因式是一个二次多项式()()u tx x u x t x t +++-++∴3221.即()()()()[]()c x u x t x t u tx x t ++-++=+++21123即：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-+=++-u t cu t t t c u t c t 112012解得：⎩⎨⎧=-=04u t ，或⎪⎩⎪⎨⎧=+=02321u i t ，或⎪⎩⎪⎨⎧=-=0231u i t ，或⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=i u i t 11721121，或⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=i u i t 1172111. 7. 证明：如果()()x f x d ，()()x g x d ，且()x d 为()x f 与()x g 的一个组合，那么()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式.证明：()x d 为()x f 与()x g 的一个组合即：()()()()()x d x g x v x f x u =+.又()()x f x d ，()()x g x d ，即()x d 是()x f 与()x g 的一个公因式.()()x f x h ∀，且()()x g x h 则()()x d x h ()x d ∴是()x f 与()x g 的一个最大公因式.8. 证明：()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x h x f ,,=，（()x h 的首项系数为1）. 证明：()()()()x f x g x f , ，()()()()x g x g x f ,()()()()()()x h x f x h x g x f ,∴，()()()()()()x h x g x h x g x f ,. 即：()()()()x h x g x f ,是()()x h x f 与()()x h x g 的一个公因式. 又()()()()()()()()()x g x f x g x v x f x u st x v x u ,:,=+∃. 则()()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x v x h x f x u ,=+()()()x h x f x c ∀，()()()x h x g x c 有()()()()()x h x g x f x c ,. 即()()()()x h x g x f ,是()()x h x f 与()()x h x g 的一个最大公因式. 又()x h 的首项系数为1.()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x h x f ,,=∴.9. 如果()x f ，()x g 不全为零，证明：()()()()()()()()1,,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x g x f x g x g x f x f .证明：()()()()x f x g x f , ,()()()()x g x g x f ,且()x f ，()x g 不全为零.()()()0,≠∴x g x f ，又()x u ∃，()x v ()()()()()()()x g x f x g x v x f x u st ,:=+()()()()()()()()()()1,,=+∴x g x f x g x v x g x f x f x u .即：()()()()()()()()1,,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x g x f x g x g x f x f 成立. 10.证明：如果()x f ，()x g 不全为零，且()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+，那么()()()1,=x v x u .证明：()()()()x f x g x f , ,()()()()x g x g x f ,且()x f ，()x g 不全为零.且()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+()()()0,≠∴x g x f ()()()()()()()()()()1,,=+∴x g x f x g x v x g x f x f x u ()()()1,=x v x u .11.证明：如果()()()1,=x g x f ，()()()1,=x h x f ，那么()()()()1,=x h x g x f . 证明：()()()1,=x g x f ，()()()1,=x h x f .()x u 1∃∴，()x v 1，()x u 2，()x v 2使得：()()()()()1111 =+x g x v x f x u ()()()()()2122 =+x h x v x f x u . 由（1）式与（2）式相乘可得：()()()()()()()()()()()()()()()121212121=+++x h x g x v x v x f x g x u x v x h x v x u x f x u x u即()()()()1,=x h x g x f .12. 设()x f 1， ，()x f m ，()x g 1， ，()x g n 都是多项式，而且()()()1,=x g x f ji()n j m i ,,1;,,1 ==.求证：()()()()()1,11=x g x g x f x f nm.证明：由11题可得：()()()1,=x g x f ，()()()1,=x h x f ()()()()1,=⇒x h x g x f 又()()()1,=x g x f j i （其中m i ,,1 =；n j ,,1 =）可得，对于i 取m ,,2,1 中的任何一个固定值有：()()()()1,1=x g x g x f n i . 再将()()x g x g n 1看作一个整体可得：()()()()()1,11=x g x g x f x f n m . 13. 证明：如果()()()1,=x g x f ，那么()()()()()1,=+x g x f x g x f . 证明：()()()1,=x g x f 故有：()()()()1=+x g x v x f x u .即：()()()()()()()()()()()()()()()()1=++-=+-+x g x f x v x f x v x u x g x v x f x v x f x v x f x u()()()()1,=+∴x f x g x f ；同理可得：()()()()1,=+x g x f x g()()()()()1,=+∴x g x f x g x f .14. 求下列多项式的公共根：()12223+++=x x x x f ，()12234++++=x x x x x g . 解：()()()212+-=∴x x x f x g 即：()()()112+++=x x x x f()()()1,2++=∴x x x g x f 令：012=++x x 解得：2311i x +-=；2312ix --=. 即：()x f 与()x g 的公共根为：2311i x +-=和2312ix --=.（提示：公共根出现在多项式的公因式中.）15. 判别下列多项式有无重因式： 1）()842752345-+-+-=x x x x x x f解：()()()x x x x x x x x f 1524421205'2234+-=+-+-=又()()()1284275232345++-=-+-+-=x x x x x x x x x f即：()()()()22',-=x x f x f ()x f ∴有三重因式：2-x2）()34424--+=x x x x f解：()124484'33-+=x x x f即：()()()1',=x f x f ()x f ∴没有重因式. 16.求t 值使()1323-+-=tx x x x f 有重根.解：依题意可得：待定系数法：当有()x f 重根时，可得重根为有理根时，此时只能取重根为：1±=α.当重根为：1=α 1可得：3=t .当3=t 时，()()3231133-=-+-=x x x x x f 此时1=x 是()x f 的三重根；当重根为：1-=α1-解得：5-=t ，当5-=t 时，()()()141153223--+=---=x x x x x x x f 与1-=x 为重根矛盾，舍去.设重根为二重时得()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-=323163'22t x x t x x x f()()()()()()()()()12,''131,'',+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x f x f x x f x f x f x f 即得：021'=⎪⎭⎫⎝⎛-f .解得：415-=t . 17.求多项式q px x ++3有重根的条件.解：()()()()()()()()132,'3','3,',23≠⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=q px x f x f x f x f p x q px x x f x f 得： ()x f q px'32+即得：027423=+q p . 18.如果()11242++-Bx Ax x ，求A ，B .解：依题意可由综合除法可得：1 1A A 2B A +3 B A 24+由()11242++-Bx Ax x 可得：⎩⎨⎧=+=++02401B A B A 解得：⎩⎨⎧-==21B A .19.证明：!!212n x x x n++++ 不能有重根.证明：令()!!212n x x x x f n ++++= 得：()()!1!21'12-++++=-n x x x x f n反证法：设()x f 的重根为α得：()()⎩⎨⎧==0'0ααf f 即：()()0'=-ααf f 0!=∴n nα得：0=α 又()010≠=f 矛盾.∴!!212n x x x n++++ 不能有重根.20.如果a 是()x f '''的一个k 重根，证明a 是()()()[]()()a f x f a f x f ax x g +-+-=''2的一个3+k 重根.证明：依题意可得：()()()[]()()0''2=+-+-=a f a f a f a f aa a g ()()()[]()()0'''22'''=--++=a f a f aa a f a f a g()()()()()a f a f aa a f a f a g '''''22''2''''--++=又()0'''=a f ()0''=∴a g()()()()02'''21'''4=-+-=a f a a a f a g又a 是()x f '''的一个k 重根a ∴是()x g '''的一个k 重根. 又()()()()0''''''====a g a g a g a g∴a 是()()()[]()()a f x f a f x f ax x g +-+-=''2的一个3+k 重根. 21.证明：0x 是()x f 的k 重根的充分必要条件是()()()()0'0100====-x f x f x f k ，而()()00≠x f k证明： 0x 是()x f 的k 重根()()x f x x k0-∴即()x g ∃，使得：()()()x g x x x f k0-=，其中0x x -不整除()x g()()()()()x g x x x g x x k x f kk ''010-+-=∴-可得：()()x f x x k '10--()0'0=∴x f同理由此类推可得到：()()()()0'0100====-x f x f x f k 若()()00=x f k 得：()()()x f x x k 0-()()x f x x s k s10+--⇒其中k s ≤，即()()x f x x k 10+-这与0x 是()x f 的k 重根矛盾.()()00≠∴x f k反之显然成立.∴0x 是()x f 的k 重根的充分必要条件是()()()()0'0100====-x f x f x f k ，而()()00≠x f k .22.举例说明断语“如果a 是()x f '的m 重根，那么a 是()x f 的1+m 重根”是不对的. 解：例如：()()111111+-=+m a x x f 则()()()ma x m x f -+=1'a 是()x f '的m 重根，但a 不是()x f 的1+m 重根.23. 证明：如果()()n x f x 1-，那么()()n n x f x 1-. 证明：令：n x y =得：()()y f x 1-即()()011==f f n ∴()()y f y 1-即()()n n x f x 1-.24. 证明：如果()()()323121x xf x f x x +++，那么()()x f x 11-，()()x f x 21-证明：.令：012=++x x 解得：2311i x +-=，2312ix --= 又()()()323121x xf x f x x +++即：()()()32311x f x f x x +-，()()()32312x f x f x x +-()()()()⎩⎨⎧=+=+∴0032223213121311x f x x f x f x x f 即：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=+-+0123110123112121f i f f i f 又0323112311≠-=--+-i i i即该方程程组只有唯一零解：()()⎩⎨⎧==010121f f∴()()x f x 11-，()()x f x 21-.25. 求多项式1-n x 在复数域范围内和在实数范围内的因式分解. 解：在复数域上分解：()()()111----=-n n x x x x εε 其中ni n ππε2sin 2cos +=. 在实数范围内因式分解：当n 为奇数：()()[]()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++--=-+---111112222222212x x x x x x x x n n n n nεεεεεε 其中：n i i n i πεε2cos2=+-为一个实数，21,,2,1-=n i . 当n 为偶数时：()()()[]()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++--+=-+---1111112222222212x x x x x x x x x n n n n nεεεεεε 26. 求下列多项式的有理根： 1）1415623-+-x x x解：令()1415623-+-=x x x x f 则()x f 的有理根可能为：1±，2±，7±，14±.由综合除法计算得：1即：()41-=f同理：()361-=-f ，()762-=-f ，()02=f ，()7567-=-f ，()1407=f ，()414414-=-f()176414=f∴1415623-+-x x x 多项式的有理根为：2.2）157424---x x x解：令()157424---=x x x x f 则的有理根可能为：41±，21±，1± 将根挨个代入原式得：641114154174144124-=--⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f同理：6417141-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，021=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，521-=⎪⎭⎫⎝⎛f ，()11=-f ，()91-=f∴157424---x x x 多项式的有理根为：21-.3）3111462345----+x x x x x解：令()3111462345----+=x x x x x x f 则()x f 的有理根可能为：1±，3±由带余除法计算得：即：()01=-f 同理：()321-=f ，()963-=-f ，()03=f .∴3111462345----+x x x x x 多项式的有理根为：1-，3. 27. 下列多项式在有理数域上是否可约？ 1）12+x解：不可约；理由如下：依题意可得令()12+=x x f 则()x f 的有理根可能为：1± 又()()0211≠=-=f f 即1±不为()x f 的有理根∴多项式12+x 在有理数域上是不可约的.（二次有理多项式在有理数域上可约的话必有有理根）2）2128234++-x x x解：不可约；理由如下： 取素数2=p 得： （1）p 41a =.（2）38a p =-，212a p =，10a p =，02a p = （3）42=p 02a =由艾森斯坦判别法可得：多项式2128234++-x x x 是不可约的. 3）136++x x解：不可约；理由如下：令()136++=x x x f ，1+=y x 得：原多项式39182115623456++++++=y y y y y y 这时只要取3=p 可由艾森斯坦判别法得出：39182115623456++++++y y y y y y 不可约；∴136++x x 不可约.4）1++px x p ，p 为奇素数；解：令1+=y x 作转化，再由艾森斯坦判别法判别不可约； 5）144++kx x ，k 为整数. 解：同4），不可约：。
《高等代数》：学习笔记
《高等代数(上)》：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。
有些笔误也修正差不多了。
课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。
第一章 行列式§1.1 定义这是行列式（或写为|D|）这是矩阵，注意区别这是三元线性方程组§1.2 逆序数τ§1.3 n 阶行列式的代数和§1.4 行列式性质1、行列式转置值不变：2、k 可以乘上某行(列)：3、加法：某行之和 展开为两行列式之和：4、互换两行(列)：负号5、两行相同(成比例)：零值6、某行乘以k 加到另一行：值不变右下斜线为正 左下斜线为负代数和n 阶排列，有n!个逆序数 偶排列，正号 奇排列，负号阶排列§1.5 代数余子式即展开第 行 列§1.6 范德蒙行列式第二章 线性方程组§2.1 克莱姆法则、 类似左边 解集：当 时，方程组有唯一解：§2.2 消元法初等变换：反复对方程进行row 变换，最后剩下一个上三角矩阵。
如果线性方程组 ，则初等变换后的上三角矩阵，元首都不为0。
§2.3 数域 ：包含 、 且任意两个数的基本运算仍属于 。
如实数 ，有理数 ，复数§2.4 n 维向量α ε ε ε ε数量乘积： α 零向量： 负向量： α行向量与列向量：α余子式：删去i, j 所在的行与列后得到的n-1阶行列式(同等于逆序数τ)表示所有可能的差 i>j如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)只有当常数项b 不全为零时，且s=n 时才可用克莱姆法则系数行列式 (b 在1列)该解法适用于n 阶n 维基本向量组 n 阶行列式§2.5 线性相关ααα线性相关充要有解充要可线性表出充要系数矩阵 增广矩阵向量组等价： α α α 互相线性表出β β βα α α极大线性无关组：每个向量α 都不能被前面某些向量线性表出例 α§2.6 秩rank=极大线性无关组的向量个数行秩＝列秩＝行列式秩 最高阶子式§2.7 求全部解和基础解系的步骤第一步：求梯阵 增广矩阵 初等变换梯阵 第二步：求一般解求 的一般解第三步：求特解γ0设自由 ，求γ第四步：求齐次的一般解 使常数 ，求一般解第五步：求基础解系将ε 代入自由 ，求基础解系η η η 由向量组rank=n ，有唯一解 rank<n ，有无穷多解n-r 个详见书P154-155页 例6注：如果是求矩阵化和求特征值，只需求基础解系 ，又称特征向量即n 维基本向量组常数项为0即第六步：答：得全部解γγ第三章 矩阵附1：矩阵名词汇总：方阵： 系数矩阵：增广矩阵： 梯阵： 左下约化梯阵： 左下 ，元首 三角矩阵： 左下 ，对角矩阵： Λ除对角线，余为 单位矩阵： ，对角 零矩阵： ，全 数量矩阵： 转置矩阵：分块矩阵：满秩矩阵： 逆矩阵： 伴随矩阵： 等价矩阵： 初等变换初等矩阵： 初等变换一次 正交矩阵： ， 相似矩阵： ＝ 约当形矩阵：二次形矩阵：详看§实对称矩阵：实数，对角线对称 (半)正定矩阵：λ全 (半)负定矩阵：λ全 不定矩阵： λ不全 标准形矩阵：对角线附2：一般n 维线性方程组、s ×n 维矩阵、n 维向量组的表示法β α αα αααβRank 即矩阵的秩b 即系数左下：对角线左三角形 对角线上的元素 λ即特征值 注：s 为行数，n 为列数(未知数个数) 附：有的书行数用m 表示注：这个 既可理解为：基础解系 的系数也可以理解为：矩阵对角化后对角线的元素还可以理解为：二次型 的特征值 (同上句)附：本书中用拉丁字母表示向量(或称矢量，但王老师或某书中用“ ”表示，我认为不错，不易混淆。
高等代数大一知识点总结
高等代数大一知识点总结高等代数是大一学习数学的重要课程之一，它是线性代数和数学分析的基础。
以下是对高等代数大一知识点的总结。
1. 向量和矩阵高等代数中，向量和矩阵是最基本的概念。
向量是具有大小和方向的量，可以用多个数值表示；矩阵是由多个行和列组成的方阵。
我们可以进行向量的加法、减法、数乘等运算，也可以进行矩阵的加法、减法、乘法等运算。
2. 行列式行列式是矩阵的一个重要性质，它可以表示线性方程组的解以及矩阵的可逆性。
我们可以通过展开行列式、使用性质进行简化计算，或者使用克拉默法则来解线性方程组。
3. 矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们可以用于解决线性方程组的问题以及描述矩阵的变换。
通过求解矩阵的特征方程，我们可以得到矩阵的特征值和特征向量。
4. 线性变换和线性空间在高等代数中，我们研究线性变换和线性空间的概念。
线性变换是指保持加法和数量乘法性质的函数，线性空间是由一组向量及其线性组合构成的空间。
我们可以通过矩阵的表示来描述线性变换，也可以使用基向量来表示线性空间。
5. 矩阵的特征值分解矩阵的特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积的形式。
这个分解可以帮助我们简化矩阵的计算和描述矩阵的性质。
6. 线性方程组高等代数中，线性方程组是一个重要的研究对象。
我们可以使用矩阵和向量的表示来描述线性方程组，并通过求解矩阵的逆、使用高斯消元法等方法来解线性方程组。
7. 向量空间和基变换向量空间是由一组向量及其线性组合构成的空间，基变换是将向量表示从一个基向量转换为另一个基向量的过程。
我们可以通过矩阵的变换来描述向量空间和基变换。
8. 内积与正交性内积是向量空间中的一种运算，它可以用于计算向量之间的夹角和长度。
正交性是指两个向量的内积为零，表示它们垂直或者正交。
以上是对高等代数大一知识点的简要总结，希望对你的学习有所帮助。
高等代数是数学的重要基础，熟练掌握这些知识点对于后续课程和学习的发展都至关重要。
高等代数知识点总结
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
28
极大无关组与秩数：
1. 1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当 ① 1,...,r线性无关 ② S的每个向量都可由1,...,r线性表示
22
两种常用方法
1.分块矩阵的初等变换和Schur公式
• 把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵 • Schur公式 设A可逆
I
CA1
O I
A C
B D
A O
B
D CA1B
A C
B D
I O
A1B
A
I B
O
D CA1B
I
CA1
O I
A C
B D
I O
按第k行 第k列展开
Laplace定理
|aij| = ak1Ak1+…+aknAkn = a1kA1k+…+ankAnk
| A | j1
jk
式
A
i1 j1
ik jk
代余式
A
i1 j1
ik
jk
aj1Ak1+…+ajnAkn = a1jA1k+…+anjAnk =jk|aij|
分块三角矩阵的行列式
对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一
地表示成初等对称多项式的多项式
10
运算
行列式
高等代数解题技巧与方法
高等代数解题技巧与方法
高等代数解题的技巧和方法有很多，以下是一些常见的技巧和方法：
1. 熟悉基本概念和定理：高等代数是建立在线性代数和抽象代数的基础上的，因此熟悉线性代数和抽象代数的基本概念和定理是解题的关键。
包括矩阵，向量空间，线性映射，同态等。
2. 理解问题并运用适当的定理：对于每个具体的问题，要充分理解问题背景和要求，然后选择适当的定理和方法来解决问题。
有时可以运用维数定理、正交定理等来简化问题的求解。
3. 利用矩阵的性质和运算法则：矩阵的性质和运算法则是高等代数常用的求解工具，如行列式的性质、特征值和特征向量、矩阵的逆等。
熟练掌握和灵活运用这些性质和法则能够简化问题的求解过程。
4. 掌握线性方程组的求解方法：线性方程组是高等代数的重要内容之一，求解线性方程组可以通过消元法、克拉默法则、矩阵运算法则等方法来完成。
熟练掌握这些方法可以快速求解线性方程组。
5. 善于化简和变形：化简和变形是解决高等代数问题的常用方法。
通过将复杂的式子化简为简单的形式，或者通过变量替换、线性组合等方法将问题转化为已知的形式，可以更容易地解决问题。
6. 多设变量和构造特殊情况：在解题过程中，可以适当多设变量和构造特殊情况，以便利用已知的条件和性质来求解。
特别是在证明问题时，通过构造特殊情况可以得到更具体和直观的结论。
7. 坚持练习和总结：高等代数是一门需要反复练习和总结的学科。
通过大量的练习可以熟悉各种求解方法和技巧，提高解题的能力和速度。
同时，要及时总结和归纳解题思路和方法，以便于今后更好地应用。
大一高代复习知识点
大一高代复习知识点为了帮助大家复习高等代数的知识点，本文将对大一高代的重点内容进行总结和讲解，包括矩阵、行列式、向量、线性方程组等方面的知识。
希望本文能够帮助大家对高等代数的知识点有一个更深入的理解。
1. 矩阵(Matrix)1.1 矩阵的定义与性质矩阵是数的一个矩形阵列，由m行n列的数排成的矩形数表称为m×n矩阵。
矩阵的元素一般用a_ij表示，其中i表示行数，j表示列数，a_ij表示第i行第j列的元素。
常见的矩阵有零矩阵、单位矩阵和对角矩阵等。
1.2 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、数乘、矩阵的乘法和转置等。
矩阵加法满足交换律和结合律，数乘与矩阵乘法满足分配律。
矩阵的转置是将矩阵的行与列交换得到的新矩阵。
2. 行列式(Determinant)2.1 行列式的定义和性质行列式是一个标量，用于表示一个正方形矩阵的某些特征信息。
行列式的定义是一个对于n阶方阵而言的递归定义。
行列式有一些性质，如行列式与其转置行列式相等，交换行列式的两行（列）改变行列式的符号等。
2.2 行列式的性质与计算方法行列式的性质包括行列式性质与计算公式等。
行列式的计算方法有拉普拉斯展开法、行列式按行（列）展开法等。
拉普拉斯展开法是通过将行列式按某一行（列）展开，并用余子式和代数余子式来进行计算。
3. 向量(Vector)3.1 向量的定义与性质向量是有向线段，并且具有方向和大小。
向量可以表示为一个由起点和终点确定的有方向的线段，用a表示。
向量的大小称为模，用∥a∥表示。
向量的相加可以用平行四边形法则进行表示。
3.2 向量的线性运算向量的线性运算包括向量的加法和数乘。
向量的加法满足交换律和结合律，数乘与向量加法满足分配律。
向量的数量积也是向量的一种运算，它表示两个向量的乘积，结果是一个标量。
4. 线性方程组(Linear Equations)4.1 线性方程组的定义与性质线性方程组是一个或多个未知数的一组线性方程组成的方程集合。
考研数学高等代数：重点知识点与解题技巧
矩阵与行列式的典型题型
• 矩阵的加法和减法 • 矩阵的乘法和除法 • 矩阵的转置和逆矩阵 • 行列式的计算和性质 • 矩阵的秩和行列式的值 • 矩阵的相似和合同 • 矩阵的对角化和实对称矩阵 • 矩阵的初等变换和线性方程组 • 矩阵的范数和条件数 • 矩阵的奇异值和特征值
线性方程组的典型题型
多项式的运算与因式分解
添加标题
多项式的加法和减法
添加标题
80
多项式的因式分解
添加标题
因式分解的应用和实例
添加标题
多项式的乘法和除法
添加标题
因式分解的方法和技巧
添加标题
多项式与多项式函数的关系和区 别
多项式函数与泰勒级数
多项式函数： 由多项式组成 的函数
0 1
泰勒级数：将 函数展开为无 穷级数的形式
添加标题
行列式计算：利用行列式的性质 和公式进行计算
添加标题
矩阵的秩：求解矩阵的秩的方法 和技巧
添加标题
矩阵的对角化：求解矩阵的对角 化的方法和技巧
线性方程组求解技巧
项标题
高斯消元法：通过 行变换将系数矩阵 化为阶梯形，然后
进行回代求解
项标题
矩阵法：利用矩阵 的性质和运算法则 求解线性方程组
项标题
度和质量
03
复习方法：采用适合自己的复习方法，如
做题、看书、听课等
04
定期检查：定期检查自己的复习进度和效
果，及时调整复习计划
精选教材与辅导资料
教材推荐：《高等代数》、《线性代数》等 辅导资料推荐：《考研数学复习全书》、《考研数学真题解析》等 视频课程推荐：张宇、汤家凤等名师的考研数学课程 复习策略：先理解基础知识，再通过做题巩固，最后总结解题技巧和思路。
《高等代数》复习提纲
《高等代数》复习提纲一、基础知识回顾1.四则运算：加法、减法、乘法、除法2.复数的表示与运算3.指数与对数的性质4.幂函数与对数函数的图像与性质5.三角函数的定义与性质6.二次方程与不等式的解法7.组合与排列的性质与计算法则二、向量与矩阵1.向量的定义与性质2.向量的线性运算3.向量的模与方向4.向量的数量积与向量积5.矩阵的定义与性质6.矩阵的加法与数乘7.矩阵的乘法8.矩阵的逆与转置三、矩阵与线性方程组1.线性方程组的定义与性质2.初等变换与线性方程组的解法3.高斯消元法与矩阵的行阶梯形4.线性方程组的解的个数与无解情况5.同解条件与齐次线性方程组的解法6.矩阵的秩与方程组解存在的条件四、复数与复矩阵1.复数域与复数的四则运算2.复数的几何表示与指数形式3.复矩阵的定义与性质4.复矩阵的加法与数乘5.复矩阵的乘法与转置6.复矩阵的逆与行列式五、向量空间1.向量空间的定义与性质2.线性相关与线性无关3.矩阵的秩与零空间4.线性变换与线性映射5.矩阵的特征值与特征向量6.矩阵的对角化与相似矩阵六、多项式与多项式方程1.多项式的定义与性质2.多项式的加法与乘法3.最大公约数与最小公倍数4.多项式方程的解法5.代数多项式与整式的除法6.根与系数的关系7.代数方程的根的性质七、数学归纳法与递推关系1.数学归纳法的原理与应用2.递推关系与递推公式3.斐波那契数列与等差数列4.线性递推关系与齐次线性递推公式5.非齐次线性递推公式与特解6.递推关系的特征方程与通解八、行列式与特征值1.行列式的定义与性质2.行列式的展开与性质3.行列式的性质与应用4.矩阵的特征值与特征向量5.特征值与特征向量的求解6.特征值的性质与应用九、线性方程组的解法1.线性方程组的解的存在唯一性定理2.线性方程组的几何解释3.克拉默法则与逆矩阵法4.线性方程组解的数量与自由变量5.齐次线性方程组的解的结构6.分块矩阵与分块矩阵求逆以上是《高等代数》的复习提纲，希望对你的复习有所帮助。
大一高等代数知识点总结
大一高等代数知识点总结高等代数是大一学生必修的一门数学课程，通过学习这门课程，我们可以深入了解代数结构的性质和运算规律。
本文将对大一高等代数的知识点进行总结和梳理，以帮助同学们更好地掌握这门课程。
一、集合论基础知识1. 集合的基本概念集合是由元素组成的整体，具有确定性和互异性。
常用的表示方法有列举法、描述法和符号表示法。
2. 集合的运算包括并集、交集、差集和对称差等运算。
并集表示两个或多个集合中的所有元素的集合，交集表示同时属于两个或多个集合的元素的集合，差集表示属于第一个集合但不属于第二个集合的元素的集合，对称差表示属于两个集合中的一个但不同时属于两个集合的元素的集合。
3. 集合的关系包括包含关系、相等关系和互补关系等。
包含关系表示一个集合中的每个元素都属于另一个集合，相等关系表示两个集合的元素完全相同，互补关系表示两个集合的交集为空集。
二、线性代数的基本概念1. 矩阵与行列式矩阵是数学中一个矩形的数组，行列式是一个可以用于求解线性方程组和计算逆矩阵的重要工具。
行列式的计算方法包括代数余子式法和按行（列）展开法。
2. 向量空间向量空间是由一组向量及其对应的运算构成的代数结构，具有加法、乘法和数乘等运算。
3. 线性映射线性映射是保持向量空间的加法和数乘运算的映射，具有线性性质。
4. 特征值和特征向量特征值和特征向量在矩阵的应用中占据重要地位，通过求解特征值和特征向量，可以对矩阵进行对角化等操作。
三、线性方程组与矩阵运算1. 线性方程组的解法包括高斯消元法、矩阵求逆法、伴随矩阵法等。
这些方法可以用于求解线性方程组的解集，判断线性方程组的解的个数和性质。
2. 矩阵的运算包括矩阵的加法、乘法和转置等。
矩阵的加法和乘法满足一定的运算规律，通过矩阵的转置可以改变矩阵的行和列。
四、线性变换与特征值1. 线性变换的定义与性质线性变换是指保持向量空间的加法和数乘运算的映射，具有线性性质。
线性变换的性质包括保持零向量不变、保持线性组合和保持向量共线等。
大一高等代数重点笔记
大一高等代数重点笔记同学们！大一高等代数可是咱们数学学习路上的一道重要关卡呀，我这儿整理了一份重点笔记，大家快来瞧瞧~。
一、多项式。
多项式这部分呀，就像是高等代数里的基石。
咱们得搞清楚多项式的定义，它就是几个单项式的和嘛。
比如说，3x^2 + 2x 1就是一个多项式。
1. 多项式的运算。
加法和减法：就是同类项相加减呀。
像(2x^2 + 3x + 1) + (x^2 2x + 3)，就把同类项合并，得到3x^2 + x + 4。
乘法：用分配律去算。
比如(x + 1)(x 1)，就用第一个括号里的每一项去乘第二个括号里的每一项，得到x^2 1。
2. 多项式的整除。
如果存在多项式g(x)和h(x)，使得f(x) = g(x)h(x)，那咱就说g(x)能整除f(x)。
这就好比一个数能被另一个数整除一样的道理。
二、行列式。
行列式这玩意儿，刚开始接触可能觉得有点迷糊，但是掌握了规律就还好啦。
1. 行列式的定义。
二阶行列式begin{vmatrix}ab cdend{vmatrix}=ad bc，这个得记牢哦。
三阶行列式就稍微复杂一点啦，不过可以按照对角线法则来算。
2. 行列式的性质。
行列式转置，值不变。
就好像把行列式翻了个身，但是它的值还是那个值。
某一行（列）元素乘以一个数加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变。
这个性质在计算行列式的时候可好用啦。
三、矩阵。
矩阵可是高等代数里的大明星，应用超级广泛的。
1. 矩阵的定义。
矩阵就是由数排成的矩形数表。
比如说(12 34)就是一个二阶矩阵。
2. 矩阵的运算。
加法：对应元素相加就行。
数乘：用一个数去乘矩阵的每一个元素。
乘法：这个有点特别哦，要按照一定的规则来乘。
比如说A是m× n矩阵，B 是n× p矩阵，那AB就是m× p矩阵。
四、线性方程组。
这部分和咱们以前学的方程组有点联系，但是又更深入啦。
1. 线性方程组的一般形式。
a_11x_1 + a_12x_2 + ·s + a_1nx_n = b_1 a_21x_1 + a_22x_2 + ·s + a_2nx_n = b_2 ·s a_m1x_1 + a_m2x_2 + ·s + a_mnx_n = b_m2. 线性方程组的解。
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《高等代数知识体系及解题方法概述》
姓名：***
学院：理学院
专业：数学与应用数学
学号：20********1
课程：高等代数
2020年6月23日
第一章：多项式
知识体系：
解题方法：
1，判定数域:关于加减乘除封闭。
2，求最大公因式：
(1) 多项式分解成标准分解式; (2) 辗转相除法;
3，求多项式的标准分解式：
① 利用辗转相除法求出())(),(x f x f '； ② 把f(x)单因式化
())()()()(),()
(2
1x p x p x cp x f x f x f s ='；
③ 得出重因式的次数，将次数加到f(x)的单因式上去。
4，判定多项式整除：带余除法余式为零。
5，判定重因式并求重因式：
(1) ()1)(),(≠'x f x f ；
(2) 带余除法。
6，求方程的有理根：
(1) 带余除法；
(2) 整系数多项式的根为r/s;若是s|an,r|a0。
根据多项式猜想所有可能根，代入方程验证。
7，判定不可约多项式：
(1) 艾森斯坦因判别法；
多项式
一元多项式整除带余除法最大公因式互素
因式分解定理重因式
复、实系数多项式因式分解
有理系数多项
式
多项式函数多元多项式
对称多项式
对称多项式基本定理
(2)反证法，得出矛盾。
8，证明一多项式因某条件而为简单多项式思路：
①设多项式；
②设多项式次数，比较等式两边多项式次数；
③设特殊值，比较等式两边系数。
9，多项式按某一次因式的方幂和展开式:综合除法
第二章：行列式
知识体系：
解题方法：
1，行列式的计算：
(1)行列式的定义；
(2)降阶法；
(3)按某一行或某一列的代数余子式展开（一般是按零较多的行或列展开），
高阶行列式一般需要进行递推；
(4)若每一行或每一列的元素相同，相加到第一行或第一列提取公因数后进
行降级处理；
(5)若行列式形似范德蒙德行列式，则构造对应范德蒙德行列式。
求出范德
蒙德行列式的多项式系数，要求的行列式一般与多项式的系数密切相关2，解线性方程组：克拉默法则（非齐次）
第三章：线性方程组
知识体系：
解题方法：
1，线性相关性的判别：
(1)定义法；
(2)向量组的秩，线性相关则其秩小于向量的个数
(3)齐次线性方程组有非零解。
2，线性表示：
①设表达式系数；
②左右两边相等，列方程组求系数的结果
3，求极大无关组：
①作矩阵，ai为列向量；
②用初等变化变换成阶梯阵；
③有几个非零行秩就等于几，假设秩为r，取r个列向量若能构成上三角矩阵，则这r个列向量为极大无关组。
4，求齐次线性方程组的基础解系和一般解：
①对矩阵进行初等行变换；
②取所有非零行第一个非零元素所对应的元作为主元，其他元（有m个）作为自由未知变量；
③对自由未知变量中的一个元素取一，其他为零，得到方程的一个解。
自由未知变量按此操作都取过一后，得到m个解。
这m个解构成线性方程组的基础解系；
④一般解为基础解系的线性组合。
5，求非齐次线性方程组的通解：
①列增广矩阵；
②进行初等行变换变成阶梯阵；
③解得方程的特解；
④通解为特解加上基础解系的线性形式。
6，线性方程组有解的判定：
①当r(A)=n,有唯一解
②当r(A)=r<n,有无穷多解。