北京市第十五中学高三数学月考试卷
2024学年北京市十五中数学高三第一学期期末综合测试试题含解析
2024学年北京市十五中数学高三第一学期期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．1,C ．(),1-∞D ．(],1-∞2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．13C ．43D ．563．半正多面体(semiregular solid ) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．2034．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ）A ．{}|02x x ≤≤B ．{}2|x x ≤C ．{}2|0x x -≤≤D ．∅5．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ） A ．3B ．5C ．7D ．97．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A ．622- B ．21-C ．622+ D ．21+8．()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）A ．3n CB ．21n C +C ．1n n C -D ．3112n C + 9．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种. A ．360 B ．240 C ．150 D ．12010．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知函数2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ）A ．1B ．12或0 C ．1或0 D ．2或012．ABC ∆中，25BC =D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（ ）A ．5B ．22C ．65D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年北京市第十五中学高三上学期8月阶段测试数学试卷含详解
北京十五中高三年级阶段测试数学试卷2024.8本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共48分）一、选择题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合{}220A x x x =+<，{}1B x x =>，则A B = （）A.{}21x x -<<- B.{}10x x -<< C.{}01x x << D.{}12x x <<2.在等比数列{}n a 中，若11a =，44a =，则23a a =（）A.2B.2± C.4D.4±3.若a b >，则下列不等式中正确的是（）A.11a b< B.22a b >C.a b +>D.222a b ab+>4.下列函数中，是偶函数，且在区间0,+∞上单调递增的为（）A.1y x=B.ln ||y x = C.2x y = D.1||y x =-5.下列求导运算不正确的是（）A.211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭B.1(1ln )1x x'+=+C.()22ln 2xx'= D.(cos )sin x x'=-6.已知函数()21,12,1x x x f x a x ⎧+≤=⎨->⎩，存在最小值，则实数a 的取值范围是（）A.(],1-∞ B.(),1-∞ C.[)1,+∞ D.()1,+∞7.4(x 的二项展开式中3x 的系数为（）A.15B.6C.4-D.13-8.若函数()1,00,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则“120x x +>”是“()()120f x f x +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.设()11,,2a t b t c t t t t=-=+=+，其中10t -<<，则（）A.b a c <<B.c a b <<C.b c a<< D.c b a<<10.已知e 为单位向量，向量a满足2a e ⋅= ，1a e λ-= ，则a r 的最大值为（）A.1B.2C.D.411.“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为0G G L L D=，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg20.3≈）（）A.75B.74C.73D.7212.已知数列满足()()*1*2N ,2121N ,2n n n a n k k a a n k k +⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪=-∈⎪⎩，，则（）A.当10a <时，为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立B.当11a >时，为递减数列，且存在常数0M >，使得n a M >恒成立C.当101a <<时，存在正整数0N ，当0n N >时，112100n a -<D.当101a <<时，对于任意正整数0N ，存在0n N >，使得1121000n a ->第二部分（非选择题共102分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.13.函数11y x =-的定义域是__________.14.已知复数i(2i)z =+，则||z =___．15.已知命题p ：若,αβ为第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>.能说明命题p 为假命题的一组,αβ的值可以是α=__________，β=__________.16.已知向量a ，b满足2a = ，()2,0b = ，且2a b += ，则cos ,a b = ___________.17.在数列中，122,3a a ==-.数列满足()*1n n n b a a n +=-∈N .若是公差为1的等差数列，则的通项公式为n b =______，n a 的最小值为______.18.已知函数1221log (1),1()23,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[1,1]-，若1[0,)2n ∈，则m 的取值范围是________．三、解答题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.19.在ABC V 中，30A ∠=︒，D 是边AB 上的点，5CD =，7CB =，3DB =.（1）求cos B 与CBD △的面积；（2）求边AC 的长.20.某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．高二成绩分组频数[)7580，2[)8085，6[)8590，16[)9095，14[]95100，2规定成绩不低于90分为“优秀”．（1）估计高一年级知识竞赛的优秀率；（2）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列；（3）在高一、高二年级各随机选取1名学生，用X ，Y 分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差(),()D X D Y 的大小关系．(只需写出结论)21.已知函数()πsin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）若()012f x =，[]00,2πx ∈，求0x 的值；（2）设()()cos g x f x x =⋅，求()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.22.已知函数2()e ()x f x x ax a =--．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．23.已知函数()3223f x x x x =-+．（1）若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的斜率为1，求曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线方程；（2）定义：若[],x a b ∀∈，均有()()f x g x ≤，则称函数()g x 为函数()f x 的控制函数．①[]0,1x ∀∈，试问()g x x =是否为函数()3223f x x x x =-+的“控制函数”？并说明理由；②[]0,3x ∀∈，若()g x x m =+为函数()3223f x x x x =-+的“控制函数”，求实数m 的取值范围．北京十五中高三年级阶段测试数学试卷第一部分（选择题共48分）一、选择题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合{}220A x x x =+<，{}1B x x =>，则A B = （）A.{}21x x -<<- B.{}10x x -<< C.{}01x x << D.{}12x x <<【答案】A【分析】根据集合描述求集合，应用集合交运算求交集即可.【详解】{}220{|20}A x x x x x =+<=-<<，{}1{|1B x x x x =>=>或1}x <-，∴{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选：A【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用集合交运算求交集，属于简单题.2.在等比数列{}n a 中，若11a =，44a =，则23a a =（）A.2B.2± C.4D.4±【答案】C【分析】由等比数列的性质计算即可.【详解】由于{}n a 是等比数列，且11a =，44a =，所以12434a a a a ==，故选：C.3.若a b >，则下列不等式中正确的是（）A.11a b< B.22a b > C.a b +> D.222a b ab+>【答案】D【分析】根据不等式的性质，赋值，如1,1a b ==-，即可判断A 、B 、C ，再根据基本不等式即可判断D.【详解】解：由a b >，令1,1a b ==-，则,1111a b==-，则11a b >，故A 错误；则221,1a b ==，则22a b =，故B 错误；则1ab =-C 错误；因为a b >，则220,0b a ≥>，所以222a b ab +>.故选：D.4.下列函数中，是偶函数，且在区间0,+∞上单调递增的为（）A.1y x=B.ln ||y x = C.2xy = D.1||y x =-【答案】B 【分析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，函数()()1f x f x x-=-=-，所以函数为奇函数，不符合题意；对于B 中，函数()ln ||f x x =满足()()ln ||ln ||f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数，当0x >时，函数ln y x =为0,+∞上的单调递增函数，符合题意；对于C 中，函数2x y =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，1||y x =-为偶函数，当0x >时，函数1y x =-为单调递减函数，不符合题意，故选：B .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.5.下列求导运算不正确的是（）A.211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭B.1(1ln )1x x'+=+C.()22ln 2xx'= D.(cos )sin x x'=-【答案】B 【分析】直接利用导数公式和运算法则求解.【详解】A.由导数公式得211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭，故正确；B.由导数运算法则得1(1ln )x x'+=，故错误；C .由导数公式得()22ln 2x x '=，故正确；D.由导数公式得(cos )sin x x '=-，故正确；故选：B【点睛】本题主要考查导数公式和运算法则的应用，属于基础题.6.已知函数()21,12,1x x x f x a x ⎧+≤=⎨->⎩，存在最小值，则实数a 的取值范围是（）A.(],1-∞ B.(),1-∞ C.[)1,+∞ D.()1,+∞【答案】A【分析】根据分段函数的单调性求解即可.【详解】当1x ≤时，()21f x x =+，所以()f x 在(),0-∞上单调递减，在(]0,1上单调递增，则()()min 01f x f ==，当1x >时，()2xf x a =-，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，无最小值，根据题意，()f x 存在最小值，所以21a -≥，即1a ≤.故选：A.7.4(x 的二项展开式中3x 的系数为（）A.15B.6C.4- D.13-【答案】B【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为3，求出r ，从而可求得结果.【详解】解：4(x 的通项公式为：4244421(1)C (1)C r r r r r rr r T x x x --+-⋅⋅==-，令432r-=，可得2r =，所以二项展开式中3x 的系数：224C (1)6⋅-=．故选：B ．8.若函数()1,00,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则“120x x +>”是“()()120f x f x +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据题意分析可知()f x 为奇函数且在上单调递增，分析可知120x x +>等价于()()120f x f x +>，即可得结果.【详解】由题意可知：()f x 的定义域为，且()00f =，若0x >，则0x -<，可知()()()()110f x f x x x +-=++--=，若0x <，同理可得()()0f x f x +-=，所以()f x 为奇函数，作出函数()f x 的图象，如图所示，由图象可知()f x 在上单调递增，若120x x +>，等价于12x x >-，等价于()()()122f x f x f x >-=-，等价于()()120f x f x +>，所以“120x x +>”是“()()120f x f x +>”的充要条件.故选：C.9.设()11,,2a t b t c t t t t=-=+=+，其中10t -<<，则（）A.b a c <<B.c a b <<C.b c a <<D.c b a<<【答案】C【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.【详解】由10t -<<，故()1,1t ∈-∞-，故10a t t=->，由对勾函数性质可得()1112b t t=+<-+=-，()20c t t =+<，且()()2222111c t t t t t =⋅+=+=+-≥-，综上所述，有b c a <<.故选：C.10.已知e 为单位向量，向量a满足2a e ⋅= ，1a e λ-= ，则a r 的最大值为（）A.1 B.2C.D.4【答案】C【分析】设()1,0e =r ，(),a x y = ，根据2a e ⋅= 求出x ，再根据1a e λ-= 得到()2221y λ=--，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.【详解】依题意设()1,0e =r，(),a x y = ，由2a e ⋅=，所以2x =，则()2,a y = ，又()()()2,,02,a e y y λλλ-=-=-，且1a e λ-= ，1=，即()2221y λ=--，所以a ==≤r 2λ=时取等号，即a r.故选：C11.“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为0G G L L D=，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg20.3≈）（）A.75B.74C.73D.72【答案】C【分析】由已知可得45D =，再由1840.5()0.25G⨯<，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可．【详解】由题设可得18180.50.4D =，则45D =，所以1840.50.25G ⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即()()()45218lg18lg 2lg5182lg 211820.31518log 72452lg 2l 2g53lg 2130.31lg5G --⨯->===≈=--⨯-，所以所需的训练迭代轮数至少为73次．故选：C ．12.已知数列满足()()*1*2N ,2121N ,2n n n a n k k a a n k k +⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪=-∈⎪⎩，，则（）A.当10a <时，为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立B.当11a >时，为递减数列，且存在常数0M >，使得n a M >恒成立C.当101a <<时，存在正整数0N ，当0n N >时，112100n a -<D.当101a <<时，对于任意正整数0N ，存在0n N >，使得1121000n a ->【答案】D【分析】直接构造反例即可说明A 和B 错误；然后证明引理：当101a <<时，对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得112100n a -≥.最后由该引理推出C 错误，D 正确.【详解】当112a =-时，121124a a +==，23211284a a a ==<=，所以此时不是递增数列，A 错误；当132a =时，121524a a +==，23528a a ==，34311352168a a a +==>=，所以此时不是递减数列，B 错误；我们证明以下引理：当101a <<时，对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得112100n a -≥.若该引理成立，则它有两个直接的推论：①存在101a <<，使得对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得112100n a -≥；②当101a <<时，对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得1121000n a ->.然后由①是C 的否定，故可以说明C 错误；而②可以直接说明D 正确.最后，我们来证明引理：当101a <<时，对任意确定的正整数0N ：如果011111,21002100N a +⎛⎫∉-+ ⎪⎝⎭，则01112100N a +-≥；如果011111,21002100N a +⎛⎫∈-+⎪⎝⎭，则00122N N a a ++=或001212N N a a +++=.此时若00122N Na a ++=，则0012111111111111210022420024200242002100N N a a +++⎛⎫=<=+=-+=--<-⎪⎝⎭；若001212N Na a +++=，则001211113111111111210022420024200242002100N N a a ++-++⎛⎫=>=-=+-=+->+ ⎪⎝⎭.无论哪种情况，都有021111,21002100N a +⎛⎫∉-+⎪⎝⎭，从而02112100N a +-≥.这说明01112100N a +-≥或02112100N a +-≥，所以可以选取{}001,2n N N ∈++，使得112100n a -≥.这就说明存在0n N >，使得112100n a -≥.这就证明了引理，从而可以推出C 错误，D 正确.故选：D.【点睛】最关键的地方在于引理：当101a <<时，对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得112100n a -≥.这一引理可以帮助我们判断出较难判断的C 和D 选项.第二部分（非选择题共102分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.13.函数11y x =-的定义域是__________.【答案】{|1x x ≥-且1}x ≠【分析】求使函数有意义的x 的范围即为定义域，逐项求解即可.【详解】解：由题意得1010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且1x ≠，故函数的定义域为{1xx ≥-∣且1}x ≠.故答案为：{|1x x ≥-且1}x ≠14.已知复数i(2i)z =+，则||z =___．【答案】【分析】先计算复数，再根据复数的模的定义求结果.【详解】由i(2i)2i 1z =+=-，故=22+(−1)2=5.15.已知命题p ：若,αβ为第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>.能说明命题p 为假命题的一组,αβ的值可以是α=__________，β=__________.【答案】①.13π6（答案不唯一）②.π6（答案不唯一）【分析】只要找到一组满足题意的角即可.【详解】因为,αβ为第一象限角，且αβ>，取13ππ,66αβ==，则αβ>且在第一象限，此时13ππ1sin sin sin sin 662αβ====，故命题p 为假命题，满足题意，所以,αβ的值可以是13ππ,66αβ==，故答案为：13π6（答案不唯一）；π6（答案不唯一）.16.已知向量a ，b 满足2a = ，()2,0b = ，且2a b += ，则cos ,a b = ___________.【答案】12-##-0.5【分析】由向量模长的计算和数量积计算即可.【详解】2a b += ，222282cos ,88cos ,4a b a a b b a b a b a b ∴+=+⋅+=+=+= ，1cos ,2a b ∴=- ，故答案为：12-.17.在数列中，122,3a a ==-.数列满足()*1n n n b a a n +=-∈N .若是公差为1的等差数列，则的通项公式为n b =______，n a 的最小值为______.【答案】①.6n -②.13-【分析】求出等差数列的首项，直接求出的通项公式即可，利用数列的单调性得最小项为6a ，利用累加法即可求解.【详解】由题意1215b a a =-=-，又等差数列的公差为1，所以()5116n b n n =-+-⋅=-；故16n n a a n +-=-，所以当6n ≤时，10n n a a +-≤，当6n >时，10n n a a +->，所以123456789a a a a a a a a a >>>>>=<<<⋅⋅⋅，显然n a 的最小值是6a .又16n n a a n +-=-，所以()()()()()612132435465a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-+-()()()()()25432113=+-+-+-+-+-=-，即n a 的最小值是13-.故答案为：6n -，13-18.已知函数1221log (1),1()23,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[1,1]-，若1[0,)2n ∈，则m 的取值范围是________．【答案】[1,2]【分析】先判断出1||223x y --=-在(1,1)-上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，然后作出12log (1)y x =-与1||223x y --=-在[1,)-+∞上的图象，求出12log (1)y x =-在[1,]x n ∈-上的值域，再结合图象可求得结果.【详解】当1x >时，10x ->，此时2|1|213232323x x x y ---+-=-=-=-单调递减，当11x -<<时，10x -<，此时2|1|211232323x x x y --+-+=-=-=-单调递增，所以1||223x y --=-在(1,1)-上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以当1x =时，1||223x y --=-取得最大值，为2231-=，作出12log (1)y x =-与1||223x y --=-在[1,)-+∞上的图象如图所示：当1[0,2n ∈，[1,]x n ∈-时，1[1,2]x n -∈-，此时1122()log (1)[1,log (1)]f x x n =-∈--，此时121()log (1)1f x n -≤≤-<，因为()f x 的值域为[1,1]-，则(,]x n m ∈时，()1f x =必有解，即2|1|231x ---=，解得1x =，由图知[1,2]m ∈,故答案为：[1,2]【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合问题，考查分段函数，考查由函数的值域确定参数的范围，解题的关键是根据题意作出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题.三、解答题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.19.在ABC V 中，30A ∠=︒，D 是边AB 上的点，5CD =，7CB =，3DB =.（1）求cos B 与CBD △的面积；（2）求边AC 的长.【答案】（1）11cos 14B =，1534CBD S =△（2）【分析】（1）借助余弦定理与面积公式计算即可得；（2）借助正弦定理计算即可得.【小问1详解】在CBD △中，由余弦定理得22222273511cos 227314BC BD CD B BC BD +-+-===⋅⨯⨯，∵0πB <<，∴53sin 14B ===，∴1153153sin 3722144CBD S BD BC B =⋅⋅=⨯⨯⨯= ；【小问2详解】由（1）知53sin 14B =，∵30A ∠=︒，∴1sin 2A =，在ABC V 中，由正弦定理得sin sin BC AC A B=，即7sin 141sin 2BC B AC A ⋅===.20.某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．高二成绩分组频数[)7580，2[)8085，6[)8590，16[)9095，14[]95100，2规定成绩不低于90分为“优秀”．（1）估计高一年级知识竞赛的优秀率；（2）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列；（3）在高一、高二年级各随机选取1名学生，用X ，Y 分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差(),()D X D Y 的大小关系．(只需写出结论)【答案】（1）30%（2）答案见解析（3）()()D X D Y <【分析】（1）根据频率分布直方图直接求解即可；（2）先分别求出在高一、高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率和不优秀学生的概率，由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，然后求出对应的概率，从而可求出随机变量ξ的分布列；（3）由题意可知X ，Y 均符合两点分布，从而可求出(),()D X D Y 的值，进而可比较大小.【小问1详解】高一年级知识竞赛的优秀率为()0.040.0250.3+⨯=．所以高一年级知识竞赛的优秀率为30%【小问2详解】在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为0.3，选中成绩不优秀学生的概率为10.30.7-=；在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为1420.440+=，选中成绩不优秀学生的概率为10.40.6-=．ξ的所有可能取值为0，1，2；()00.70.60.42P ξ==⨯=；()10.30.60.70.40.46P ξ==⨯+⨯=；()20.30.40.12P ξ==⨯=．所以随机变量ξ的分布列为：P 012ξ0.420.460.12【小问3详解】显然X ，Y 均符合两点分布，且()00.7P X ==，()10.3P X ==，()00.6P Y ==，()10.4P Y ==，所以()0.30.70.21,()0.60.40.24D X D Y =⨯==⨯=所以()()D X D Y <21.已知函数()πsin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）若()012f x =，[]00,2πx ∈，求0x 的值；（2）设()()cosg x f x x =⋅，求()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）5π12或13π12（2）最大值为1224-，最小值为22-【分析】（1）根据条件，利用特殊角的三角函数值，即可求出结果；（2）根据条件得到1π2()sin(2)244g x x =--，再利用sin y x =的图象与性质，即可求出结果.【小问1详解】因为()πsin 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()012f x =，得到0π1sin 42x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得0ππ2π(Z)46x k k -=+∈或0π5π2π(Z)46x k k -=+∈，即05π2π(Z)12x k k =+∈或013π2π(Z)12x k k =+∈，又[]00,2πx ∈，所以05π12x =或13π12.【小问2详解】因为()()2π2211cos2cos sin()cos cos cos )(sin2)42222x g x f x x x x x x x x +=⋅=-⋅=-=-1π2sin(2244x =--，令π24t x =-，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到π3π,44t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由sin y x =的图象与性质知，2sin [,1]2t ∈-，所以()212,224g x ⎡∈--⎢⎣⎦，所以()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为124-，最小值为2-.22.已知函数2()e ()x f x x ax a =--．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．【答案】（1）1（2）答案见解析【分析】（1）先求函数()f x 的导函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，只需保证(1)0f '=，求实数a 的值即可；（2）求得()0f x '=有两个根“2x =-和x a =”，再分2a <-、2a =-和2a >-三种情况分析函数()f x 的单调性即可.【小问1详解】由题可得2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，因为()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，所以(1)0f '=，即e(33)0a -=，解得1a =，经检验1a =符合题意．【小问2详解】因为2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，令()0f x '=，得2x =-或x a =．当2a <-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,)a -∞a (,2)a -2-(2,)-+∞()f 'x +0-0+()f x 单调递增()f a 单调递减(2)f -单调递增所以()f x 在区间(,)a -∞上单调递增，在区间(,2)a -上单调递减，在区间(2,)-+∞上单调递增．当2a =-时，因为2()e (2)0x f x x '=+≥，当且仅当2x =-时，()0f x '=，所以()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增．当2a >-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,2)-∞-2-(2,)a -a (,)a +∞()f 'x +0-0+()f x 单调递增(2)f -单调递减()f a 单调递增所以()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，在区间(2,)a -上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增．综上所述，当2a <-时，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞和(2,)-+∞，单调递减区间为(,2)a -；当2a =-时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当2a >-时，()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(,)a +∞，单调递减区间为(2,)a -．23.已知函数()3223f x x x x =-+．（1）若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的斜率为1，求曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线方程；（2）定义：若[],x a b ∀∈，均有()()f x g x ≤，则称函数()g x 为函数()f x 的控制函数．①[]0,1x ∀∈，试问()g x x =是否为函数()3223f x x x x =-+的“控制函数”？并说明理由；②[]0,3x ∀∈，若()g x x m =+为函数()3223f x x x x =-+的“控制函数”，求实数m 的取值范围．【答案】（1）切线方程为y x =，1y x =-（2）①是“控制函数”，理由见解析；②27m ≥【分析】（1）根据斜率求出切点坐标，再由直线的点斜式方程可得答案；（2）①由()()f x g x ≤得()2230-≤xx ，根据x 的范围可得答案；②转化为[]0,3x ∀∈，3223-≤x x m 恒成立，令()3223=-h x x x 求出()h x 在[]0,3x ∀∈的最值可得答案.【小问1详解】()2661'=-+f x x x ，所以()20006611'=-+=f x x x ，解得00x =或01x =，可得切点坐标为()0,0，或()1,0，所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为y x =，曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为1y x =-；【小问2详解】①，是“控制函数”，理由如下，由()()f x g x ≤得3223x x x x -+≤，可得32230x x -≤，()2230-≤xx ，因为[]0,1x ∀∈时，()2230-≤x x 恒成立，即3223x x x x -+≤恒成立，所以函数()g x 为函数()f x 的“控制函数”；②，若()g x x m =+为函数()3223f x x x x =-+的“控制函数”，则[]0,3x ∀∈，()()3223f x x x x g x x m =-+≤=+恒成立，即[]0,3x ∀∈，3223-≤x x m 恒成立，令()3223=-h x x x ，[]0,3x ∈，()()26661h x x x x x '=-=-，当01x <<时，()0h x '<，当13x <<时，()0h x '>，()h x 在()0,1上单调递减，在()1,3上单调递增，所以()h x 在1x =有极小值，()00h =，()327323323=⨯-=⨯h ，所以27m ≥.【点睛】方法点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.。
2017-2018北京市第十五中学高三(理科)数学12月摸底试卷答案
北京十五中高三年级数学理科月考试卷答案2017.12三、解答题：15、解：(1) 2f()3sin +acos 7224πππ==，则13+a 72=，解得a=8. ……3分 所以2x f(x)=3sinx+8cos 3sinx+4cosx+42=， 则f(x)=5sin(x+)+4ϕ，且cos φ =35，sin φ =45……5分所以函数f(x)的最小正周期为2π.……6分 (2)由x ∈[-2π，2π]，得x+φ∈[-2π+φ，2π+φ]， 则5sin （x+φ）∈[-3，5]，f(x)∈[1，9] ……12分则函数f(x)的值域为[1，9] ……13分 16、解：（Ⅰ）因为3cos 4C =，且0C <<π，所以sin C =． 因为1sin 2S a b C =⋅⋅， 得1a =．…………………6分（Ⅱ）由余弦定理，2222cos c b a b a C =+-⋅⋅所以c =由正弦定理，sin sin c a C A =，得sin 8A =所以cos 8A =．所以sin 22sin cos A A A =⋅=．…………………13分17、(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO 因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点， 又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线， 所以1//EO A B………………2分又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC 所以1//A B 平面1AEC………………4分（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系 所以111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),A A B B C C E 设(0,0,)(02)M m m ≤≤，所以11(2,0,2),(1,1,2)B M m C E =--=--，因为11B M C E ⊥，所以110B M C E ⋅=，解得1m =，所以1AM =………9分 （Ⅲ）因为1(1,1,0),(0,2,2)AE AC ==，设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =， 则有100AE n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1,y =-则1,1x z ==，所以可以取(1,1,1)n =-，………………10分因为AC ⊥平面1ABB A 1,取平面1ABB A 1的法向量为(0,2,0)AC =………11分所以cos ,||||AC n AC n AC n ⋅<>==平面1AEC 与平面1ABB A 114分 18、解：【解析】（1）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2(2)()x x x x f x e ae a e a e a '=--=+-，①若0a =，则2()xf x e =，在(,)-∞+∞单调递增.②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =.当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增. ③若0a <，则由()0f x '=得ln()2a x =-.当(,ln())2ax ∈-∞-时，()0f x '<；当(l n (),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增.（2）①若0a =，则2()x f x e =，所以()0f x ≥.②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-.从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥.③若0a <，则由（1）得，当l n ()2ax =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--.从而当且仅当23[ln()]042a a --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥. 综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-.19、(1)∵过点(0,1)，∴b ＝1.∵c a ＝32，即a 2－b 2a 2＝34. ∴a ＝2，c ＝ 3.∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.………………………4分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝my ＋1，得(my ＋1)2＋4y 2＝4，即(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，且y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4.…………8分特别地，令y 1＝－1，则x 1＝0，m ＝1，y 2＝35.此时A ′(0,1)，B (85，35)，直线A ′B ：x ＋4y －4＝0与x 轴的交点为S (4,0)．若直线A ′B 与x 轴交于一个定点，则定点只能为S (4,0)． 以下证明对于任意的m ，直线A ′B 与x 轴交于定点S (4,0)． 事实上，经过点A ′(x 1，－y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1.令y ＝0，得x ＝x 2－x 1y 2＋y 1y 1＋x 1.只需证明x 2－x 1y 2＋y 1y 1＋x 1＝4，即证m (y 2－y 1)y 1y 2＋y 1＋my 1－3＝0，即证2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝0.因为2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝－6m m 2＋4－－6mm 2＋4＝0，所以2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝0成立．这说明，当m 变化时，直线A ′B 与x 轴交于定点S (4,0)．…………………14分20、解：（I ）当n =7，k =2时，分组方法只能是其中一组3个点，另一组4个点，于是m (G )=33345C C +=…………4分（Ⅱ）当n =13，k =3时，由于13=3+3+7=3+4+6=3+5+5=4+4+5于是m (G )=33333737C C C ++= 或m (G )=33334625C C C ++= 或m (G )=33335521C C C ++=或m (G )=33344518C C C ++=由上可知：所求m (G )的最小值为18．…………8分（III ）由（Ⅱ）可受到启发：分组越均匀，m (G )的值越小．设m (G )的最小值为0m ，G 由分组12100,,,X X X 得到，其中()1,2,,100i X i = 为第i 组的点构成的集合．设()1,2,,100i i X x i == ．则121002010x x x +++= ，且121003330x x x m C C C =+++ ．下面证明：当1100i j ≤≠≤时，有1i j x x -≤（即m (G )取最小时，任意两组的点的个数之差不超过1）．事实上，若存在1100i j ≤≠≤，使得2i j x x -≥，不妨设i j x x >．则作点集P 的另一种分组12100,,,Y Y Y ，其中()1,2,,100i Y i = 为第i 组的点构成的集合．使得()()(),11kk k i jx k i k j y Y x k i x k j ⎧≠≠⎪==-=⎨⎪+=⎩． 于是，对于由分组12100,,,Y Y Y 得到的图案G '，有()12100333y y y m G C C C '=+++ ． 从而()0m G m '-3333i j i j y y x x C C C C =+-- 333311i j i jx x x x C C C C -+=+-- ()332323111i j j i i jx x x x x x C C C C C C ---=++-+- 2210ji x x C C -=-<()1j i x x <- ∴()0m G m '<，这与0m 的最小性矛盾． 故：对任何1100i j ≤≠≤，都有1i j x x -≤． 又2010=100⨯20+10=90⨯20+10⨯21，∴m (G )的最小值33020219010115900m C C =⨯+⨯=．…………13分。
2024-2025学年北京市第十五中学高三上学期8月阶段测试数学试卷(含答案)
2024-2025学年北京市第十五中学高三上学期8月阶段测试数学试卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A ={x |x 2+2x <0}，B ={x ||x |>1}，则A ∩B =( )A. {x |−2<x <−1}B. {x |−1<x <0}C. {x |0<x <1}D. {x |1<x <2}2.在等比数列{a n }中，若a 1=1，a 4=4，则a 2a 3=( )A. 2B. ±2C. 4D. ±43.若a >b ，则下列不等式中正确的是( )A. 1a <1bB. a 2>b 2C. a +b >2 abD. a 2+b 2>2ab4.下列函数中，是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增的为( )A. y =1xB. y =ln |x|C. y =2xD. y =1−|x|5.下列求导运算不正确的是( )A. (1x )′=−1x 2B. (1+ln x)′=1+1xC. (2x )′=2x ln2D. (cos x)′=−sin x 6.已知函数f (x )={x 2+1,x ≤12x −a,x >1，存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,1)C. [1,+∞)D. (1,+∞)7.(x− x )4的二项展开式中x 3的系数为( )A. 15B. 6C. −4D. −138.若函数f (x )={x−1,x <00,x =0x +1,x >0，则“x 1+x 2>0”是“f (x 1)+f (x 2)>0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.设a =t−1t ,b =t +1t ,c =t (2+t )，其中−1<t <0，则( )A. b <a <cB. c <a <bC. b <c <aD. c <b <a 10.已知e 为单位向量，向量a 满足a ⋅e =2，|a−λe |=1，则|a |的最大值为( )A. 1B. 2C. 5D. 411.“CℎatGPT ”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L =L 0D G G 0，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，L 0表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，G 0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg2≈0.3)( )A. 75B. 74C. 73D. 7212.已知数列{a n }满足a n +1={a n 2(n =2k,k ∈N ∗),a n +12(n =2k−1,k ∈N ∗),则( )A. 当a 1<0时，{a n }为递增数列，且存在常数M >0，使得a n <M 恒成立B. 当a 1>1时，{a n }为递减数列，且存在常数M >0，使得a n >M 恒成立C. 当0<a 1<1时，存在正整数N 0，当n >N 0时，|a n −12|<1100D. 当0<a 1<1时，对于任意正整数N 0，存在n >N 0，使得|a n −12|>11000二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市西城区第十五中学2024届高三上学期12月阶段测试数学试题
北京市西城区第十五中学2024届高三上学期12月阶段测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．点P 可以是棱1BB 的中点C ．点P 的轨迹是正方形二、填空题11．621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为三、单空题12．已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为四、双空题（新）13．已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且的一组,αβ的值为α=14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7a =；数列{}n a五、填空题六、证明题16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：//MN 平面11BCC B ；(2)若AB MN ⊥，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．七、问答题为了便于研究，成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：九、问答题十、证明题20．设函数()()()2ln 1R f x x m x m =++∈.(1)若1m =-，求曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若1m =-，当()1,x ∈+∞时，求证：()3f x x <.(3)若函数()f x 在区间()0,1上存在唯一零点，求实数m 的取值范围.十一、问答题(2)若4A具有性质P,证明:4T≠∅;(3)给定正整数n,对所有具有性质P的数列n A,求n T中元素个数的最小值．。
北京市第十五中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷(含答案)
北京十五中高三年级数学期中考试试卷2024.11本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}23A x x =-≤≤，{1B x x =<-或}4x >，那么集合A B = （A ）A ．{}21x x -≤<-B ．{3x x ≤或≥4C ．{}24x x -≤<D ．{}13x x -≤≤2．在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（D ）A ．1i--B ．1i-+C ．1i-D ．1i +3．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（A）A ．3()f x x =B ．2()f x x =C ．3()f x x=D ．()sin f x x=4．若0m n <<，则下列结论正确的是（B ）A ．22log log m n >B ．0.50.5log log m n>C ．1122m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22m n>5．若α是第二象限角，且1tan 2α=-，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（D ）A ．2B ．2-C ．5D ．5-6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2822a a +=-，11110S =-，则n S 取最小值时，n 的值为（C ）A ．14B ．15C ．15或16D ．167．已知单位向量,a b ，则“a b ⊥”是“任意R λ∈都有a b a b -λ=λ+r r r r ”的（C ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设函数()21cos cos 2f x x x x =--，则下列结论错误的是（D ）A ．()f x 的一个周期为πB ．()y f x =的图象关于直线4π3x =对称C ．将函数cos 2y x =的图象向左平移π6个单位可以得到函数()f x 的图象D ．()f x 在(π2,π)上单调递减9．在ABC V 中，2π3A =，D 为边BC 上一点，若AD AB ⊥，且1AD =，则ABC V 面积的最小值为（B ）AB C D 10．如图，曲线C 为函数5sin (0)2y x x π=≤≤的图象，甲粒子沿曲线C 从A 点向目的地B 点运动，乙粒子沿曲线C 从B 点向目的地A 点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(,)m n ，乙粒子的坐标为(,)u v ，若记()n v f m -=，则下列说法中正确的是（B ）A ．()f m 在区间(,)2ππ上是增函数B ．()f m 恰有2个零点C ．()f m 的最小值为2-D ．()f m 的图象关于点5(,0)6π中心对称第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数()f x =的定义域为________．[2，﹢∞)12．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．(用数字作答)－16013．已知向量(,1),(1,2)a m b == ，且222||||||a b a b +=+，则m 的值为．－214．对于函数()ln21xf x x =-和()()ln ln 21g x x x =--，给出下列三个结论：①设()f x 的定义域为M ，()g x 的定义域为N ，则N 是M 的真子集.②函数()g x 的图像在1x =处的切线斜率为0.③函数()f x 的图像关于点1,ln24⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.其中所有正确结论的序号是.①③解析：对于①，由题意得，函数()f x 的定义域()10,0,212x M xx ∞∞⎧⎫⎛⎫==-⋃+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，函数()g x 的定义域12N x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.所以N 是M 的真子集，则①正确.对于②，()1221g x x x =--'，则在1x =处的切线斜率()1211121k g ='=-=--，则②错误.对于③只需验证：当1212x x +=时，()()()121212121212lnln ln 2ln22121421x x x x f x f x x x x x x x +=+==----++，则④正确.故答案为：①③.15．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，是中国古老的民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为1的圆形纸片，记为O ，在O 内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为1O ，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分(如图所示阴影部分)，记为一次裁剪操作，L ，重复上述裁剪操作n 次，最终得到该剪纸，则第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和.()202414π12⎛⎫--⎪⎝⎭解析：设n O 的半径为n R ，则122R =，1n O + 的半径为22n R ，即122n n R R +=，故121221222nn nn R R -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，n O 的面积为1ππ22nn S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又第n 次裁剪操作的正方形边长为12122n n R -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故第n 次裁剪操作裁剪掉的面积为1222221111ππ2222n n n n⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21π4π222n n n --=-=，所以第n 次裁剪操作后，裁剪掉的面积之和为()()211114π...4π12222n n ⎛⎫⎛⎫-+++=--⎪⎝⎭⎝⎭，所以第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为()202414π12⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：()202414π12⎛⎫-- ⎝⎭.三、解答题共5小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．已知函数()sin si πn 3f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）若π6x =是函数()(0)y f x ϕϕ=+>的一个零点，求ϕ的最小值.解：（Ⅰ）由函数π1()sin sin sin sin cos 322f x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭3πsin226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，……………3分所以函数()f x 的最小正周期为2πT =.……………5分由πππ2π2π262k x k -+≤+≤，k Z ∈，得2ππ2π2π33k x k -+≤≤+，k Z ∈，所以函数()f x 的单调增区间为2ππ[2,2π]33k k -++，k Z ∈.……………8分（Ⅱ）因为π6x =是函数()(0)f x ϕϕ+>的一个零点，ππ066ϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即πsin 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……………10分所以ππ3k ϕ+=，Z k ∈，即ππ3k ϕ=-+，Z k ∈，……………12分又因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为2π3.……………13分17．在ABC △中，6a =,1cos 3C =-，三角形面积为（Ⅰ）b 和c 的值；（Ⅱ）sin()A B -的值．解：（Ⅰ）在ABC △中，因为1cos 3C =-，所以(,)2C π∈π，22sin 3C =.……………2分因为1sin 2S ab C ==6a =，所以2b =.……………4分由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=，……………5分所以c =……………6分（Ⅱ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，可得62sin sin 223A B ==.…………7分所以sin 3A =，sin 9B =.……………9分因为,(0,2A B π∈，所以3cos 3A =，53cos 9B =.……………11分所以sin()sin cos cos sin A B A B A B-=-39399=⨯-⨯=.……………13分18．已知函数2()ln ,()e e x x f x x x g x ==-．（Ⅰ）求函数()f x 在区间[1,3]上的最小值；（Ⅱ）证明：对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．解：（Ⅰ）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x =+'．……………2分所以()0f x '>在区间[1,3]恒成立，……………4分所以()f x 在区间[1,3]上单调递增，……………5分所以()f x 在区间[1,3]上的最小值为(1)0f =．……………7分（Ⅱ）因为()ln 1f x x =+'．所以当1(0,),'()0e x f x ∈<，()f x 单调递减；1(,),'()0ex f x ∈+∞>，()f x 单调递增……………9分所以，()f x 在1e x =时取得最小值11()e ef =-，可知1()ef m ≥-．……………10分由2()e e x x g x =-，可得1'()e x x g x -=．……………11分所以当(0,1),'()0,()x g x g x ∈>单调递增，当(1,),'()0,()x g x g x ∈+∞<单调递减．……………12分所以函数()(0)g x x >在1x =时取得最大值，又1(1)e g =-，可知1()eg n ≤-，……………13分所以对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．……………14分19．某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：男生818486868891女生728084889297（Ⅰ）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；（Ⅱ）从该校的高一学生中，随机抽取3人，用样本频率估计概率，记成绩为优秀(90>分)的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中男生和女生成绩的方差分别记为21s ，22s ，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为23s ，试比较21s 、22s 、23s 的大小．(只需写出结论)解：（Ⅰ）设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件A ，由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有1166C C 36=种组合，其中男生成绩高于女生()()()()()()()81,72,81,80,84,72,84,80,86,72,86,80,86,84，()()()86,72,86,80,86,84，()()()()()88,72,88,80,88,84,91,72,91,80，()91,84，()91,88.所以事件A 有17种组合，因此()1736P A =；……………3分（Ⅱ）由数据知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（90>分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为14.……………4分X 可取0,1,2,3，……………5分()3327Χ0464P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131327Χ1C 4464P ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()223319Χ2C 4464P ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()311Χ3464P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以随机变量X 的分布列……………10分数学期望2791483()0123646464644E X =+⨯+⨯+⨯.……………11分（Ⅲ）222312s s s <<.……………14分20．已知函数()()2e x f x x a x =--．（Ⅰ）当a =0时，求()f x 在x =0处的切线方程；（Ⅱ）当a =1时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()f x 有且仅有一个零点时，请直接写出a 的取值范围．解：（Ⅰ）当a =0时，()2e x f x x x =-，()00f =，……………1分因为()()1e 2x f x x x '=+-，……………2分所以()10f '=，……………3分所以()f x 在x =0处的切线方程为：y x=……………4分X0123P27642764964164（Ⅱ）当a =1时，()()21e x f x x x =--，所以()()()e 1e 2e 2e 2x x x x f x x x x x x =+--=-=-'，……………6分由()0f x '>，得0x <或ln 2x >，……………8分由()0f x '<，得0ln 2x <<，……………10分所以，()f x 的单调增区间为(),0∞-和(ln 2,)+∞，()f x 的单调减区间为(0,ln 2)．……………12分（Ⅲ）a R ∈．……………15分21.（本小题15分）已知项数为*(,2)N m m m ∈≥的数列{}n a 满足如下条件：①*(1,2,,)n a N n m ∈= ；②12m a a a <<< .若数列{}n b 满足*12()1m nn a a a a b N m +++-=∈- ，其中1,2,,n m = ，则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（Ⅰ）数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12m b b b >>> ；（Ⅲ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且11a =，2049m a =，求m 的最大值.解：（Ⅰ）解：数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.……………1分因为*41357979512b N ++++-==∉-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.……………3分（Ⅱ）证明：因为111n n n n a a b b m ++--=-，*11,n m n N≤≤-∈……………4分又因为12m a a a <<< ，所以有10n n a a +-<所以1101n n n n a a b b m ++--=<-……………6分所以12m b b b >>> 成立……………7分（Ⅲ）∀1≤i <j ≤m ，都有1j i i j a a b b m --=-，……………8分因为*i b N ∈，12m b b b >>> .所以*i j b b N -∈，所以*1j i i j a a b b N m --=∈-……………9分所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-，所以11n n a a m --≥-……………11分又112211()()()m m m m m a a a a a a a ----=-+-++- (1)(1)(1)m m m ≥-+-++- =2(1)m -……………13分所以2(1)2048m -≤，所以46m ≤……………14分又*20481N m ∈-，所以33m ≤例如：6463n a n =-（133n ≤≤），满足题意，所以，m 的最大值是33.……………15分北京十五中高三年级数学期中考试试卷2024.11本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}23A x x =-≤≤，{1B x x =<-或}4x >，那么集合A B = （A ）A ．{}21x x -≤<-B ．{3x x ≤或≥4C ．{}24x x -≤<D ．{}13x x -≤≤2．在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（D ）A ．1i--B ．1i-+C ．1i-D ．1i +3．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（A）A ．3()f x x =B ．2()f x x =C ．3()f x x=D ．()sin f x x=4．若0m n <<，则下列结论正确的是（B ）A ．22log log m n >B ．0.50.5log log m n>C ．1122m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22m n>5．若α是第二象限角，且1tan 2α=-，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（D ）A ．2B ．2-C ．5D ．5-6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2822a a +=-，11110S =-，则n S 取最小值时，n 的值为（C ）A ．14B ．15C ．15或16D ．167．已知单位向量,a b ，则“a b ⊥”是“任意R λ∈都有a b a b -λ=λ+r r r r ”的（C ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设函数()21cos cos 2f x x x x =--，则下列结论错误的是（D ）A ．()f x 的一个周期为πB ．()y f x =的图象关于直线4π3x =对称C ．将函数cos 2y x =的图象向左平移π6个单位可以得到函数()f x 的图象D ．()f x 在(π2,π)上单调递减9．在ABC V 中，2π3A =，D 为边BC 上一点，若AD AB ⊥，且1AD =，则ABC V 面积的最小值为（B ）AB C D 10．如图，曲线C 为函数5sin (0)2y x x π=≤≤的图象，甲粒子沿曲线C 从A 点向目的地B 点运动，乙粒子沿曲线C 从B 点向目的地A 点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(,)m n ，乙粒子的坐标为(,)u v ，若记()n v f m -=，则下列说法中正确的是（B ）A ．()f m 在区间(,)2ππ上是增函数B ．()f m 恰有2个零点C ．()f m 的最小值为2-D ．()f m 的图象关于点5(,0)6π中心对称第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数()f x =的定义域为________．[2，﹢∞)12．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．(用数字作答)－16013．已知向量(,1),(1,2)a m b == ，且222||||||a b a b +=+，则m 的值为．－214．对于函数()ln21xf x x =-和()()ln ln 21g x x x =--，给出下列三个结论：①设()f x 的定义域为M ，()g x 的定义域为N ，则N 是M 的真子集.②函数()g x 的图像在1x =处的切线斜率为0.③函数()f x 的图像关于点1,ln24⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.其中所有正确结论的序号是.①③解析：对于①，由题意得，函数()f x 的定义域()10,0,212x M xx ∞∞⎧⎫⎛⎫==-⋃+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，函数()g x 的定义域12N x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.所以N 是M 的真子集，则①正确.对于②，()1221g x x x =--'，则在1x =处的切线斜率()1211121k g ='=-=--，则②错误.对于③只需验证：当1212x x +=时，()()()121212121212lnln ln 2ln22121421x x x x f x f x x x x x x x +=+==----++，则④正确.故答案为：①③.15．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，是中国古老的民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为1的圆形纸片，记为O ，在O 内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为1O ，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分(如图所示阴影部分)，记为一次裁剪操作，L ，重复上述裁剪操作n 次，最终得到该剪纸，则第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和.()202414π12⎛⎫--⎪⎝⎭解析：设n O 的半径为n R ，则122R =，1n O + 的半径为22n R ，即122n n R R +=，故121221222nn nn R R -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，n O 的面积为1ππ22nn S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又第n 次裁剪操作的正方形边长为12122n n R -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故第n 次裁剪操作裁剪掉的面积为1222221111ππ2222n n n n⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21π4π222n n n --=-=，所以第n 次裁剪操作后，裁剪掉的面积之和为()()211114π...4π12222n n ⎛⎫⎛⎫-+++=--⎪⎝⎭⎝⎭，所以第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为()202414π12⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：()202414π12⎛⎫-- ⎝⎭.三、解答题共5小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．已知函数()sin si πn 3f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）若π6x =是函数()(0)y f x ϕϕ=+>的一个零点，求ϕ的最小值.解：（Ⅰ）由函数π1()sin sin sin sin cos 322f x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭3πsin226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，……………3分所以函数()f x 的最小正周期为2πT =.……………5分由πππ2π2π262k x k -+≤+≤，k Z ∈，得2ππ2π2π33k x k -+≤≤+，k Z ∈，所以函数()f x 的单调增区间为2ππ[2,2π]33k k -++，k Z ∈.……………8分（Ⅱ）因为π6x =是函数()(0)f x ϕϕ+>的一个零点，ππ066ϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即πsin 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……………10分所以ππ3k ϕ+=，Z k ∈，即ππ3k ϕ=-+，Z k ∈，……………12分又因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为2π3.……………13分17．在ABC △中，6a =,1cos 3C =-，三角形面积为（Ⅰ）b 和c 的值；（Ⅱ）sin()A B -的值．解：（Ⅰ）在ABC △中，因为1cos 3C =-，所以(,)2C π∈π，22sin 3C =.……………2分因为1sin 2S ab C ==6a =，所以2b =.……………4分由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=，……………5分所以c =……………6分（Ⅱ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，可得62sin sin 223A B ==.…………7分所以sin 3A =，sin 9B =.……………9分因为,(0,2A B π∈，所以3cos 3A =，53cos 9B =.……………11分所以sin()sin cos cos sin A B A B A B-=-39399=⨯-⨯=.……………13分18．已知函数2()ln ,()e e x x f x x x g x ==-．（Ⅰ）求函数()f x 在区间[1,3]上的最小值；（Ⅱ）证明：对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．解：（Ⅰ）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x =+'．……………2分所以()0f x '>在区间[1,3]恒成立，……………4分所以()f x 在区间[1,3]上单调递增，……………5分所以()f x 在区间[1,3]上的最小值为(1)0f =．……………7分（Ⅱ）因为()ln 1f x x =+'．所以当1(0,),'()0e x f x ∈<，()f x 单调递减；1(,),'()0ex f x ∈+∞>，()f x 单调递增……………9分所以，()f x 在1e x =时取得最小值11()e ef =-，可知1()ef m ≥-．……………10分由2()e e x x g x =-，可得1'()e x x g x -=．……………11分所以当(0,1),'()0,()x g x g x ∈>单调递增，当(1,),'()0,()x g x g x ∈+∞<单调递减．……………12分所以函数()(0)g x x >在1x =时取得最大值，又1(1)e g =-，可知1()eg n ≤-，……………13分所以对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．……………14分19．某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：男生818486868891女生728084889297（Ⅰ）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；（Ⅱ）从该校的高一学生中，随机抽取3人，用样本频率估计概率，记成绩为优秀(90>分)的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中男生和女生成绩的方差分别记为21s ，22s ，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为23s ，试比较21s 、22s 、23s 的大小．(只需写出结论)解：（Ⅰ）设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件A ，由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有1166C C 36=种组合，其中男生成绩高于女生()()()()()()()81,72,81,80,84,72,84,80,86,72,86,80,86,84，()()()86,72,86,80,86,84，()()()()()88,72,88,80,88,84,91,72,91,80，()91,84，()91,88.所以事件A 有17种组合，因此()1736P A =；……………3分（Ⅱ）由数据知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（90>分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为14.……………4分X 可取0,1,2,3，……………5分()3327Χ0464P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131327Χ1C 4464P ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()223319Χ2C 4464P ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()311Χ3464P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以随机变量X 的分布列……………10分数学期望2791483()0123646464644E X =+⨯+⨯+⨯.……………11分（Ⅲ）222312s s s <<.……………14分20．已知函数()()2e x f x x a x =--．（Ⅰ）当a =0时，求()f x 在x =0处的切线方程；（Ⅱ）当a =1时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()f x 有且仅有一个零点时，请直接写出a 的取值范围．解：（Ⅰ）当a =0时，()2e x f x x x =-，()00f =，……………1分因为()()1e 2x f x x x '=+-，……………2分所以()10f '=，……………3分所以()f x 在x =0处的切线方程为：y x=……………4分X0123P27642764964164（Ⅱ）当a =1时，()()21e x f x x x =--，所以()()()e 1e 2e 2e 2x x x x f x x x x x x =+--=-=-'，……………6分由()0f x '>，得0x <或ln 2x >，……………8分由()0f x '<，得0ln 2x <<，……………10分所以，()f x 的单调增区间为(),0∞-和(ln 2,)+∞，()f x 的单调减区间为(0,ln 2)．……………12分（Ⅲ）a R ∈．……………15分21.（本小题15分）已知项数为*(,2)N m m m ∈≥的数列{}n a 满足如下条件：①*(1,2,,)n a N n m ∈= ；②12m a a a <<< .若数列{}n b 满足*12()1m nn a a a a b N m +++-=∈- ，其中1,2,,n m = ，则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（Ⅰ）数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12m b b b >>> ；（Ⅲ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且11a =，2049m a =，求m 的最大值.解：（Ⅰ）解：数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.……………1分因为*41357979512b N ++++-==∉-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.……………3分（Ⅱ）证明：因为111n n n n a a b b m ++--=-，*11,n m n N≤≤-∈……………4分又因为12m a a a <<< ，所以有10n n a a +-<所以1101n n n n a a b b m ++--=<-……………6分所以12m b b b >>> 成立……………7分（Ⅲ）∀1≤i <j ≤m ，都有1j i i j a a b b m --=-，……………8分因为*i b N ∈，12m b b b >>> .所以*i j b b N -∈，所以*1j i i j a a b b N m --=∈-……………9分所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-，所以11n n a a m --≥-……………11分又112211()()()m m m m m a a a a a a a ----=-+-++- (1)(1)(1)m m m ≥-+-++- =2(1)m -……………13分所以2(1)2048m -≤，所以46m ≤……………14分又*20481N m ∈-，所以33m ≤例如：6463n a n =-（133n ≤≤），满足题意，所以，m 的最大值是33.……………15分。
2024年北京十五中高三(上)10月月考数学试题及答案
2024北京十五中高三10月月考数 学2024.10本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{}1,2,3A =，{}ln 1B x x =>，则A B =A ．∅B ．{}3C ．{}2,3D ．()2,32．已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A ．c a b << B ．c b a << C ．a b c <<D ．b a c <<3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是 A ．3()f x x = B ．()2−=x f x C ．()ln ||f x x =D ．2()f x x =−4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为 n S ，若38304S a ==,，则9S = A ．54 B ．63 C ．72D ．1355．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为 A ．512π B ．3π C ．2π D ．712π 6．设x R ∈且0x ≠,则“1x >”是“12x x+>”成立的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若函数()sin()(0,0,0)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值是A ．3πB ．6πC ．4πD ．12π8．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C的对应边，若sin C C =，则下列式子正确的是 A ．2a b c += B ．2a b c +< C ．2a b c +≥D ．2a b c +≤9．已知函数2,0,()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨−≥⎩当1324m ≤<时，方程1()8f x x m =−+的根的个数为A ．0B ．1C ．2D ．310．数列{}n a 各项均为实数，对任意*n ∈N 满足3n n a a +=，且312n n n n a a a a c +++=+，则下列选项中不可能的是 A ．11a =，1c = B ．11a =−，4c = C ．12a =，2c =D ．12a =，0c =第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11．函数()lg(3)f x x =++的定义域为 .12．在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称.若1sin 3α=，则sin β=__________．13．已知数列{}n a 的前n 项和为1,(1)21nn n n S a a n ++−=−，则8S = ．14．已知函数()f x 为在R 上的偶函数，且满足条件：①在[)0+∞，上单调递减；②()21f =，则关于x 的不等式()11f x −>的解集是 ． 15．已知函数1()e 1x x f x x +=−−，对于函数()f x 有下述四个结论： ①函数()f x 在其定义域上为增函数； ②()f x 有且仅有一个零点；③对于任意的1a <，都有()1f a >−成立；④若曲线e x y =在点000(,e )(1)xx x ≠处的切线也是曲线ln y x =的切线，则0x 必是()f x 的零点.其中所有正确的结论序号是三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．(本小题13分)已知函数2()2cos sin cos f x x a x x =+，π()06f =（Ⅰ）求实数a 的值;（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间.17．(本小题13分)已知函数2()(3)e x f x x =−． （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对[1,2]x ∀∈−都有()f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围．18．(本小题14分)在ABC 中，sin cos b A a B =. （Ⅰ）求B ∠的大小；（Ⅱ）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得ABC 存在且唯一，求ABC 的面积.条件①1cos 2A =−；条件②b =条件③AB . 19．(本小题15分)为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：（Ⅰ）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；（Ⅱ）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X 为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a (098)a <<人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为2s ．当a 为何值时，2s 最小．（结论不要求证明）20．(本小题15分)已知函数1()ln =+f x a x x.()a R ∈ （Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的极值和单调区间；（Ⅲ）若()f x 在[]1,e 上不是单调函数，且()e f x ≤在[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．21．(本小题15分)若有穷数列A ：1a ，2a ，…，()*,3n a n n ∈≥N ，满足()1121,2,,2i i i i a a a a i n +++−≤−=−，则称数列A 为M 数列．（Ⅰ）判断下列数列是否为M 数列，并说明理由；①1，2，4，3 ②4，2，8，1（Ⅱ）已知M 数列A ：1a ，2a ，…，9a ，其中14a =，27a =，求349a a a +++的最小值．（Ⅲ）已知M 数列A 是1，2，…，n 的一个排列．若1112n k k k a a n −+=−=+∑，求n 的所有取值．参考答案8．D解析：由题意可知sin tan cos CC C ==3C π= 由余弦定理可得2221cos 22a b c C ab +−==，所以222a b c ab +−=，所以2223()()34a b a b c ab ++−=≤22()4a b c +≤,即2a b c +≤,9．D解析：画出函数()f x 的图像，有图可知方程()18f x x m =−+ 的根的个数为3个.故选C. 10．C解析：对任意*n ∈N 满足3n n a a +=，∴212n n n a a a c ++−=.对于A ，若11a =，1c =，则12231a a a −=，故230a a =，故20a =或30a =，若20a =，则24233101a a a a a −−==，故31a =−，此时321k a −=，310k a −=，31k a =−，当32n k =−时，2121n n n a a a ++−=；当31n k =−时，2121n n n a a a ++−=；当3n k =时，2121n n n a a a ++−=，故A 成立.对于B ，若11a =−，4c =，则12234a a a −=，故233a a =−，又223423122324a a a a a a a a −=−=+=，234531232224a a a a a a a a −=−=+=，故231a a +=−或23a a =，若23a a =，则23223232344a a a a a a =−⎧⎪+=⎨⎪+=⎩无解；若231a a +=−，则23223232344a a a a a a =−⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，故23a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或23a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩此时321k a −=−，31k a −=，3k a =，满足2124n n n a a a ++−=；或321k a −=−，31k a −=3k a =，满足2124n n n a a a ++−=；故B 成立.对于C ，若12a =，2c =，则12232a a a −=，故232a a =，且222343222a a a a a −=−=， 故32222a a −=，又1222345232322a a aaaa a a −−===−，故232a a +=−或23a a =，若23a a =，则2322323222222a a a a a a =⎧⎪−=⎨⎪−=⎩无解；若232a a +=−，则2322323222222a a a a a a =⎧⎪−=⎨⎪−=⎩也无解，故C 错误.对于D ，若12a =，0c =，则12230a a a −=，故234a a =， 又3222234212320a a a a a a a a =−=−−=，故322a a ==，此时2n a =， 满足2120n n n a a a ++−=故选：B 11．()3,1− 12．13−13．36解析：由题意可得n 为奇数时，12121,21n n n n a a n a a n +++−=−+=+， 两式相减得22n n a a ++=；n 为偶数时，12121,21n n n n a a n a a n ++++=−−=+，两式相加得24n n a a n ++=，故()()()()8135724682282436S a a a a a a a a =+++++++=+++=. 14．()1,3−解析：函数()f x 为在R 上的偶函数，在[)0+∞，上单调递减，故在(),0−∞上单调递增； ()21f =，故()21f −=.画出函数简图，如图所示：()11f x −>，故()()12f x f −>，故212x −<−<，解得13x −<<. 故答案为：()1,3− 15．③④解析：对于①，12()e e 111xx x f x x x +=−=−−−−的定义域为{}|1x x ≠， 因为9109e 19e 192010f ⎛⎫=+>+= ⎪⎝⎭，()292e 32010f f ⎛⎫=−<< ⎪⎝⎭，①错误；对于②，因为()22()e 01xf x x =+>−'，所以()f x 在(),1−∞和()1,+∞上单调递增，又()31130e 2f −=−<，545e 904f ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭，9010f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()20f >， 所以()f x 在区间93,10⎛⎫− ⎪⎝⎭和5,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上都存在零点，又()f x 在(),1−∞和()1,+∞上单调递增，即()f x 在区间(),1−∞和()1,+∞上各有一个零点，②错误； 对于③，因为1a <，所以201a −>−，所以()21e 01a f a a +=−>−， 即()1f a >−，所以③正确；对于④，因为()e e x x '=，所以曲线e x y =在点000(,e )(1)xx x ≠处的切线斜率为0e x ，得切线l 方程为()000e e x x y x x −=−，即0000e e e x x xy x x =−+，设l 与ln y x =相切于点()11,ln x x ，因为()1ln x x '=，所以切线斜率为11x ，得切线l 方程为()1111ln y x x x x −=−，即111ln 1y x x x =+−，所以0001011e e e ln 1x x x x x x ⎧=⎪⎨⎪−+=−⎩，即000101ln e e ln 1x x x x x x =−⎧⎨−+=−⎩， 消去1ln x 得0000e e 1x xx x −+=−−，整理得0001e 01x x x +−=−，即0x 是()f x 的零点，④正确. 16．解：（Ⅰ）由()06f π=可求出a =−（2）先化简得()2cos(2)13f x x π=++，由三角函数的图象和性质可求出函数的周期及单调递增区间． 试题解析：（1）由()06f π=知 22cos sincos0666a πππ+=∴3120422a ⨯+⨯⨯=∴a =−（Ⅱ）解：∵a =−∴2()2cos cos f x x x x =−cos 212x x =+2cos(2)13x π=++∴222T πππω===， ∴2223k x k ππππ−≤+≤（Z k ∈）∴236k x k ππππ−≤≤−（Z k ∈） ∴函数的最小正周期为π，单调增区间为2[,]36k k ππππ−−（Z k ∈） 17．解：（Ⅰ）由2()(3)e x f x x =−，得2()(23)e x f x x x '=+−.令()()223e 0xf x x x −'=+=得3x =−或1.当x 变化时，()f x '在各区间上的正负，以及()f x 的单调性如下表所示：所以当3x =−时取极大值；当1x =时()f x 取极小值(1)2e f =−. （Ⅱ）由（1）可得函数()f x 在[)1,1−上单调递减，在(]1,2上单调递增，则()f x 在[]1,2−上的最小值为()12e f =−. 对[1,2]x ∀∈−都有()f x a ≥恒成立，所以2e a ≤−.18．解：（Ⅰ）在ABC 中，sin cos b A a B =，由正弦定理得sin sin sin cos B A A B =， 由于(0,π),sin 0A A ∈∴≠，则sin cos ,tan 1B B B =∴=， 由于(0,π)B ∈，故π4B =； （Ⅱ）若选①②，ABC 存在且唯一，解答如下：由于1cos 2A =−，2π(0,π),3A A ∈∴=，又b =2ππ34sin sina =，则a =又2ππππ34C A B =−−=−−，故2ππ1sin sin 34222C ⎛⎫=+=− ⎪⎝⎭故11sin 22===ABCSab C ； 若选①③，ABC 存在且唯一，解答如下：由于1cos 2A =−，2π(0,π),3A A ∈∴=，AB 边上的高h，故sin h b A ===则2ππ34sin sina =，则a = 又2ππππ34C A B =−−=−−，故2ππ1sin sin 34222C ⎛⎫=+=− ⎪⎝⎭故11sin 22===ABCSab C ； 若选②③，ABC 不唯一，解答如下：b =AB 边上的高h，故sin h A b === 2π(0,π),3A A ∈∴=或π3，此时ABC 有两解，不唯一，不合题意. 19．解：（Ⅰ）由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为5602500=14001000⨯． （Ⅱ）由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为200110005=．用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为15． 随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．所以()030311640155125P X C ⎛⎫⎛⎫==−=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()21311481155125P X C ⎛⎫⎛⎫==−=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()22311122155125P X C ⎛⎫⎛⎫==−=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()3331113155125P X C ⎛⎫⎛⎫==−=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 所以X 的分布列为13()01231251251251255E x =⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以42a =． 20．解：（Ⅰ）当2a =时，函数()12ln f x x x =+，()221f x x x'=−． 所以()11f =，()11f '=．所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程y x =． （Ⅱ）函数()f x 定义域()0,x ∈+∞．求导得2211()a ax f x x x x−'=−=. ①当0a ≤时，因为()0,x ∈+∞，所以()0f x '<． 故()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，此时()f x 无极值. ②当0a >时，x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：所以()f x 的单调递减区间是1(0,)a ，单调递增区间是1(,)a +∞． 此时函数()f x 的极小值是1()ln f a a a a=−，无极大值． （Ⅲ）因为()f x 在[]1,e 不是单调函数，由第（2）可知此时0a >， 且[]11,e a∈，又因为()e f x ≤在[]1,e 上恒成立，只需 11e (1)e (e)e a f f ⎧<<⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩即可，所以1e e 1e 11e a a ⎧+≤⎪⎪≤⎨⎪⎪<<⎩， 解得a 的取值范围是1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21．解：（Ⅰ）①因为|24||43|−>−，所以该数列不是M 数列；②因为|42||28|81|−<−<−，所以该数列是M 数列．（Ⅱ）由()1121,2,,2i i i i a a a a i n +++−≤−=−，则3221=3a a a a −≥−，得34a ≤或310a ≥，4332213a a a a a a −≥−≥−=恒成立，得41a ≤或413a ≥，同理得543a a −≥⋯，故3494121212=13a a a +++≥++++++.（Ⅲ）当3n =时，因为1||2(1,2)i i a a i +−=，所以1223||||5a a a a −+−<，不符合题意； 当4n =时，数列为3，2，4，1．此时122334||||||6a a a a a a −+−+−=，符合题意； 当5n =时，数列为 2，3，4，5，1．此时12233445||||||||7a a a a a a a a −+−+−+−=，符合题意； 下证当6n 时，不存在n 满足题意．令1||(1k k k b a a k +=−=，2，，1)n −， 则1211n b b b −，且112n k k b n −==+∑，所以k b 有以下三种可能：①1,(1,2,,2)4,(1)k k n b k n =−⎧=⎨=−⎩； ②1,(1,2,,3)2,(2)3,(1)k k n b k n k n =−⎧⎪==−⎨⎪=−⎩；③1,(1,2,,4)2,(3,2,1)k k n b k n n n =−⎧=⎨=−−−⎩．当1,(1,2,,2)4,(1)k k n b k n =−⎧=⎨=−⎩时，因为122n b b b −===，即112||||(1k k k k a a a a k +++−=−=，2，⋯，2)n −．所以112k k k k a a a a +++−=− 或112()k k k k a a a a +++−=−−．因为数列{}k a 的各项互不相同，所以112k k k k a a a a +++−=−．所以数列{}k a 是等差数列．∴1a ，2a ，，1n a −是公差为1（或1−)的等差数列．当公差为1时，由14n b −=得14n n a a −=+ 或14n n a a −=−，所以1142n n a a a n n −=+=++>或14n n n s a a a −−=−=，与已知矛盾．当公差为1−时，同理得出与已知矛盾．所以当1,(1,2,,2)4,(1)k k n b k n =−⎧=⎨=−⎩时，不存在n 满足题意． 其它情况同理．综上可知，n 的所有取值为4或5．。
2017-2018年北京市第十五中学高三(理科)数学10月月考试卷及答案
北京十五中高三年级数学理科月考试卷2017.10考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
请将第Ⅰ卷的答案填涂在机读卡上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。
第Ⅰ卷 （选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分；把答案填涂在机读卡上．．．．．．．．．．） 1．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1，a －2,5}，∁U A ＝{2,4}，则a 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．62．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝( )A ．(－2,1)B ．(2，－1)C ．(2,0)D ．(4,3)3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A ．y ＝－x 3，x ∈RB ．y ＝sin x ，x ∈RC ．y ＝x ，x ∈RD ．y ＝(12)x ，x ∈R4．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”B ．“x ＞1”是“|x |＞1”的充分不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”，则¬p ：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0” 5．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( )A ．0B ．－4C ．－2D ．26．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝12a log，(12)b ＝12b log，(12)c ＝2c log，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)8．已知实系数一元二次方程x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1＝0的两个实根为x 1、x 2，并且0<x 1<2，x 2>2，则ba －1的取值范围是( )A ．(－1，－13)B ．(－3，－13]C ．(－3，－12)D ．(－3，－12]9．已知函数()=cos sin 2f x x x ，下列结论中错误的是 ()（A ）()y f x =的图像关于(),0π中心对称（B ）()y f x =的图像关于直线2x π=对称（C ）()f x （D ）()f x 既奇函数，又是周期函数10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数 y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－∞，74C.⎝⎛⎭⎫0，74 D.⎝⎛⎭⎫74，2第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案作答在答题纸上．．．．．．．．．．） 11．函数y ＝x －sin x ，x ∈[π2，π]的最大值是________．12．函数f (x )＝ln 1＋ax1＋2x(a ≠2)为奇函数，则实数a 等于________．13．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A＝________.14．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x 及x 轴所围图形的面积是________．15．函数f (x )＝321132x x x a +++，若曲线y cos x =上存在点(00x ,y ),使得00(())f f y y =,则实数a 的取值范围是________．16．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．三、解答题：（本大题共5个小题，共70分）17．（本题满分13分）已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x ． (Ⅰ)求f (x )的最小正周期；(Ⅱ)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值和最小值． 18. （本题满分13分）在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (Ⅰ)求BC 的长； (Ⅱ)求sin2C 的值．19．（本题满分14分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈． (Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ)求函数()f x 的极值. 20．（本题满分15分）设a ∈R ，函数2()()e x f x x ax a =--．（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在[2,2]-上的最小值． 21．（本题满分15分）已知函数f (x )＝nx －x n ，x ∈R ，其中n ∈N *，且n ≥2． (Ⅰ)讨论f (x )的单调性；(Ⅱ)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )，求证：对于任意的正实数x ，都有f (x )≤g (x )； (Ⅲ)若关于x 的方程f (x )＝a (a R ∈)有两个正实数根x 1，x 2，求证：|x 2－x 1|<a1－n+2．北京十五中高三年级、数学理科试卷2017.10考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
北京市中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷含答案
北京35中2025届10月月考数学（答案在最后）2024.10本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}212,340,ZA x xB x x x x =-≤≤=--<∈，则A B = （）A.{}0,1B.{}11x x -≤<C.{}0,1,2 D.{}12x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】计算{}0,1,2,3B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2340,Z 14,Z 0,1,2,3B x x x x x x x =--<∈=-<<∈=，{}12A x x =-≤≤，{}0,1,2A B = .故选：C.2.已知223,tan2,log 3a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】D 【解析】【分析】确定19a =，0b <，1c >，得到答案.【详解】2139a -==，tan20b =<，22log 3log 21c >==，故c a b >>.故选：D.3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是A.3()f x x = B.()lg ||f x x = C.()f x x=- D.()cos f x x=【答案】C【解析】【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在()0,1上的单调性，得到答案.【详解】选项A 中，()3f x x =，是奇函数，但在()0,1上单调递增，不满足要求；选项B 中，()lg f x x =，是偶函数，不满足要求，选项C 中，()f x x =-，是奇函数，在()0,1上单调递减，满足要求；选项D 中，()cos f x x =，是偶函数，不满足要求.故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.4.在621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A.20-B.15- C.15D.30【答案】C 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可求常数项.【详解】621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()623616611rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令360r -=，则2r =，故常数项为()2236115T C =-=，故选：C.【点睛】本题考查二项展开中的指定项，注意利用通项公式帮助计算，本题为基础题.5.已知函数||||()x x f x e e -=-，则函数()f x （）A.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减C.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由偶函数的定义判断函数()f x 的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数()f x 的单调性.【详解】∵||||()x x f x e e -=-∴||||||||()()x x x x f x e e e e f x -----=-=-=，∴函数||||()x x f x e e -=-为偶函数，当(0,)x ∈+∞时，1()=x x xxf x e e e e -=--，∵函数x y e =在(0,+∞)上单调递增，函数1x y e=在(0,+∞)上单调递减，∴()e e x x f x -=-在(0,+∞)上单调递增，即函数||||()x x f x e e -=-在(0,+∞)上单调递增.故选：A.6.阅读下段文字：“为无理数，若a b ==ba 为有理数；若则取无理数a =，b =，此时(22ba ====为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（）A.是有理数B.C.存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数 D.对任意无理数a ，b ，都有b a 为无理数【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.【详解】这段文字中，没有证明AB 错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C 正确；这段文字中只提及存在无理数a ，b ，不涉及对任意无理数a ，b ，都成立的问题，D 错误.故选：C 7.若点5π5πsin,cos 66M ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则tan2α=（）A.33 B.33-C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数定义得到tan α=.【详解】5π5πsin ,cos 66M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故5πcos6tan 5πsin6α==，22tan 23tan21tan 13ααα-===--故选：C.8.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】把函数()f x 拆解为两个函数，画出两个函数的图像，观察可得.【详解】当0a <时，作出ln ,ay x y x==-的图像，可以看出0a <时，函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点，反之也成立，故选C.【点睛】本题主要考查以函数零点为载体的充要条件，零点个数判断一般通过拆分函数，通过两个函数的交点个数来判断零点个数.9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v （单位：/m s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q .科学研究发现v 与3log 100Q成正比.当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当2m /s v =时，其耗氧量的单位数为（）A.1800 B.2700C.7290D.8100【答案】D 【解析】【分析】设3log 100Qv k =，利用当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900求出k 后可计算2m /s v =时鲑鱼耗氧量的单位数.【详解】设3log 100Q v k =，因为1v m /s =时，900Q =，故39001log 2100k k ==，所以12k =，故2m /s v =时，312log 2100Q =即8100Q =.故选：D.【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.10.已知各项均为整数的数列{}n a 满足()*12121,2,3,n n n a a a a a n n --==>+≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（）A.520a >B.10100a <C.151000a >D.202000a <【答案】C 【解析】【分析】依题意根据数列的递推公式可分别判断各选项，再利用各项均为整数即可判断只有C 选项一定正确.【详解】根据题意可知3123a a a >+=，又数列的各项均为整数，所以3a 最小可以取4，即34a ≥；同理可得4236a a a >+≥，所以4a 最小可以取7，即47a ≥；同理53411a a a >+≥，所以5a 最小可以取12，即512a ≥，即520a <可以成立，因此可得A 不一定正确；同理易得645619,20a a a a >+≥≥；756732,33a a a a >+≥≥；867853,54a a a a >+≥≥；978987,88a a a a >+≥≥；108910142,143a a a a >+≥≥，即10100a <不成立，B 错误；又1191011231,232a a a a >+≥≥；12101112375,376a a a a >+≥≥；131********,609a a a a >+≥≥；14121314985,986a a a a >+≥≥，151314151595,1596a a a a >+≥≥，即可得151000a >一定成立，即C 正确；显然若32000a =，则202000a <明显错误，即D 错误.故选：C第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数1ii+的虚部为________.【答案】－1【解析】【详解】试题分析：1ii 1i+=-+，所以其虚部为－1考点：复数的虚部12.函数()f x =的定义域为R ，请写出满足题意的一个实数a 的值______．【答案】1-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的定义域求解即可.【详解】因为()f x =R ，所以20x a -≥在R 上恒成立，即2a x ≤，由于20x ≥在R 上恒成立，故实数a 的取值范围为(],0-∞.故答案为：1-（答案不唯一）.13.已知数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，{}n b 的通项公式为12n b n =-．记数列{}n n a b +的前n 项和为n S ，则4S =____；n S 的最小值为____．【答案】①.1-②.2-【解析】【分析】（1）由题可得1212n n n n a b c n -+==+-，根据等比数列及等差数列的求和公式可得n S ，利用数学归纳法可得3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，进而即得.【详解】由题可知1212n n n a b n -+=+-，所以()()()()()423441712112325271122S +-++-++-++-+-==--=，()()()()1212112112321221122n n n n n n n S n -+--+-++-+++-=-=---= ，令1212n n c n -=+-，则123450,1,1,1,7c c c c c ==-=-==，当4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，下面用数学归纳法证明当4n =时，1221n n ->-成立，假设n k =时，1221k k ->-成立，当1n k =+时，()()()122222121123211k k k k k k -=⋅>-=+-+->+-，即1n k =+时也成立，所以4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，所以3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，由当3n =时，n S 有最小值，最小值为3322132S =--=-.故答案为：1-；2-.14.已知函数()e ,,x x x af x x x a⎧<=⎨-≥⎩，()f x 的零点为__________，若存在实数m 使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.0②.11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用导函数判断函数单调性，利用求解极值的方法画出函数的大致图象，分析运算即可得出结果.【详解】令()e xg x x =，可得()()1e xg x x +'=，由()0g x '=可得1x =-，当(),1x ∞∈--时，()0g x '<，此时()g x 在(),1∞--上单调递减，当()1,x ∞∈-+时，()0g x '>，此时()g x 在()1,∞-+上单调递增，因此()g x 在1x =-处取得极小值，也是最小值，即()()min 11eg x g =-=-，又()00g =，且0x <时，()10eg x -≤<，当0x >时，>0，令()h x x =-，其图象为过原点的一条直线，将()(),g x h x 的大致图象画在同一直角坐标系中如下图所示：当0a <时，如下图，在[),+∞a 上()()f x h x x ==-的零点为0，当0a =时，如下图，在[)0,∞+上()()f x h x x ==-的零点为0当0a >时，如下图，在(),a ∞-上()()e xf xg x x ==的零点为0，综上可知，()f x 的零点为0；当1a ≤-时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点，当11ea -<<时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有三个交点，当1ea ≥时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点；综上可知，若使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：0；11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭15.已知函数()()e 111xf x k x =----，给出下列四个结论：①当0k =时，()f x 恰有2个零点；②存在正数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有2个零点；④对任意()0,k f x <只有一个零点.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】把函数()f x 的零点个数问题，转化为函数e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，作出图象分类讨论可得结论.【详解】令()()e 1110xf x k x =----=，得()e 111xk x -=-+，函数()f x 的零点个数，即为方程()e 111xk x -=-+的根的个数，方程()e 111xk x -=-+根的个数，即为e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，又函数()11y k x =-+是过定点(1,1)A 的直线，作出e 1xy =-的图象如图所示，当0k =直线()11y k x =-+与函数e 1xy =-有一个交点，故()()e 111xf x k x =----有一个零点，故①错误；当()11y k x =-+在第一象限与函数e 1xy =-相切时，函数()()e 111xf x k x =----有一个零点，故②正确；函数()11y k x =-+绕着A 顺时针从1y =转到1x =时，两图象只有一个交点，故0k <时，函数()()e 111xf x k x =----只有一个零点，故③错误，④正确.故答案为：②④.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点.点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-.（1）求cos2α的值；（2）求()sin βα-的值.【答案】（1）725-（2）5665.【解析】【分析】（1）利用三角函数定义可得4sin 5α=，再由二倍角公式计算可得7cos225α=-；（2）利用同角三角函数之间的基本关系以及两角差的正弦公式计算可得结果.【小问1详解】由题可知，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点；点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-，所以45sin ,cos 513αβ==-.即可得27cos212sin 25αα=-=-.【小问2详解】由于22sin cos 1αα+=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23cos 1sin 5αα=-=，同理由于2π12,π,sin 1cos 213βββ⎛⎫∈=-= ⎪⎝⎭，所以()56sin sin cos cos sin 65βαβαβα-=-=.17.某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对,,A B C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.题目A B C做对的概率451214获得的奖金/元204080规则如下：按照,,A B C 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]（1）求甲没有获得奖金的概率；（2）求甲最终获得的奖金X 的分布列及期望；（3）如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）【答案】（1）15（2）分布列见解析，40（元）（3）不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由见解析.【解析】【分析】（1）甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，从而求得对应的概率；（2）易知X 的可能取值为0，20，60，140，再根据题目的对错情况进行分析求解概率与分布列，求出期望值；（3）可以分别求出每种顺序的期望，然后比较得知.【小问1详解】甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，设甲没有获得奖金为事件M ，则()41155P M =-=.【小问2详解】分别用,,A B C 表示做对题目,,A B C 的事件，则,,A B C 相互独立.由题意，X 的可能取值为0,20,60,140.41412(0)()1;(20)()155525P X P A P X P AB ⎛⎫===-====⨯-= ⎪⎝⎭;4134111(60)()1;(140)()52410524101P X P ABC P X P ABC ===⨯⨯-===⨯⎛⎫ ⎪⎝=⎭=⨯.所以甲最终获得的奖金X 的分布列为X02060140P 1525310110()12310206014040551010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.【小问3详解】不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：由（2）知，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望为40元，若按照,,A C B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,20,100,140.141(0)1;(250)1554435P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;41411(100)1;(140)5105421011142P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为110201001403613110550⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B A C 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,60,140.1114(0)1;(400)1212125P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;143141(60)1;(140)254102541011P X P X ==⨯⨯-===⨯⎛⨯ ⎝=⎫⎪⎭.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B C A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,120,140.1111(0)1;(480)122432P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(120)1;(140)24024510141145P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C A B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,100,140.1314(0)1;(800)1414245P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1141(100)1;(140)10452104111452P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为1080100140284101311200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C B A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,120,140.1311(0)1;(880)144214P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(100)1;(140)40425101411425P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为5311108010014026.401048⨯+⨯+⨯+⨯=元，显然按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大.18.已知()2cos sin ,f x ax x x x a =++∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上为增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2y =（2）[)1,+∞.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）将()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数转化为sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数()sin cos g x x x x =-并求导得出其单调性，求出最大值可得实数a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()2cos sin f x x x x =+，易知()2sin sin cos cos sin f x x x x x x x x'=-++=-可得()()00,02f f ='=，所以切线方程为2y =.【小问2详解】易知()sin cos f x a x x x=+'-由函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，可得′≥0在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，即sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()()ππsin cos ,sin ,,22g x x x x g x x x x ⎡⎤=-=∈-⎢⎣'⎥⎦法一：令()sin 0g x x x '==，得0x =，()(),g x g x '的变化情况如下：x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭0π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x '+0+()g x所以()g x 为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.法二：当π02x -<<时，sin 0,sin 0x x x <>；当π02x ≤<时，sin 0,sin 0x x x ≥≥.综上，当ππ22x -<<时，()()0,g x g x '≥为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.19.现有一张长为40cm ，宽为30cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为cm x ，高为y cm ，体积为()3cm V .（1）求出x 与y 的关系式；（2）求该铁皮盒体积V 的最大值.【答案】（1）21200,0304x y x x-=<≤；（2）34000cm .【解析】【分析】（1）由题意得到244030x xy +=⨯，化简得到212004x y x -=，并由实际情境得到030x <≤；（2）表达出()()3112004V x x x =-，求导得到其单调性，进而得到最大值.【小问1详解】因为材料利用率为100%，所以244030x xy +=⨯，即212004x y x -=；因为长方形铁皮ABCD 长为40cm ，宽为30cm ，故030x <≤，综上，212004x y x-=，030x <≤；【小问2详解】铁皮盒体积()()222312*********x V x x y x x x x -==⋅=-，()()21120034V x x '=-，令()0V x '=，得20,x =()(),V x V x '的变化情况如下：x ()0,2020()20,30()V x +0-()V x '()V x 在()0,20上为增函数，在()20,30上为减函数，则当20x =时，()V x 取最大值，最大值为()3311200202040040cm ⨯⨯-=.20.已知函数1e ()x f x x-=.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）当211x x >>时，判断21()()f x f x -与2122x x -的大小，并说明理由.【答案】（1）230x y +-=；（2）单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞；（3）212122()()f x x x f x -->，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）利用导数求出函数()f x 的单调区间.（3）构造函数2()(),1g x f x x x=->，利用导数探讨函数单调性即可判断得解.【小问1详解】函数1e ()x f x x -=，求导得12(1)e ()xx f x x---='，则()12f '=-，而(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=.【小问2详解】函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且12(1)e ()x x f x x---='，当1x <-时，()0f x '>，当10x -<<或0x >时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞.【小问3详解】当211x x >>时，212122()()f x x x f x -->，证明如下：令2()(),1g x f x x x =->，求导得12(1)e 2()x x g x x-'--+=，令1()(1)e 2,1x h x x x -=--+>，求导得1()e 0x h x x -='>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0h x h >=，即()0g x '>，函数()g x 在(1,)+∞上为增函数，当211x x >>时，21()()g x g x >，所以212122()()f x x x f x -->.21.已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a Nn m ∈= ；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*···1m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m = 则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>；（III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值.【答案】（I ）不存在，理由见解析；（II ）详见解析；（III ）33.【解析】【分析】（I ）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.（II ）利用差比较法判断出{}n b 的单调性，由此证得结论成立.（III ）利用累加法、放缩法求得关于m a 的不等式，由此求得m 的最大值.【详解】（I ）不存在.理由如下：因为*413579751b N ++++-=∈-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.（II ）因为*11,11,1n n n n a a b b n m n N m ++--=≤≤-∈-，又因为12m a a a <<< ，所以10n n a a +-<，所以1101n n n n a a b b m ++--=<-，即1n n b b +<，所以12···m b b b >>>成立.（III ）1i j m ∀≤<≤，都有1j i i j a a b b m --=-，因为*i b N ∈，12m b b b >>> ，所以*i j b b N -∈，所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--.因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-，所以11n n a a m --≥-.而()()()()()()111221111m m m m m a a a a a a a a m m m ----=-+-++-≥-+-++- ()21m =-，即()2204911m -≥-，所以()212048m -≤，故46m ≤.由于*20481N m ∈-，经验证可知33m ≤.所以m 的最大值为33.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.。
北京第十五中学2022年高三数学理月考试题含解析
北京第十五中学2022年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等差数列中，是方程的两根，则A． B． C．1007 D．20 14参考答案：D2. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 ( )(A)(B)（C）(D)参考答案：C3. 若函数（）有大于零的极值点，则实数范围是（）A． B． C． D．参考答案：B解：因为函数y=e（a-1）x+4x，所以y′=（a-1）e（a-1）x+4（a＜1），所以函数的零点为x0=，因为函数y=e（a-1）x+4x（x∈R）有大于零的极值点，故＝0，得到a<-3,选B4. 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S n（万件）近似地满足S n=（21n－n2－5）（n=1，2，……，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是（）A．5月、6月 B．6月、7月 C．7月、8月 D．8月、9月参考答案：C5. 若对?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使4x1lnx1﹣x12+3+4x1x22+8ax1x2﹣16x1≥0成立，则a的取值范围是( )A．[﹣，+∞）B．[，+∞）C．[﹣，] D．[﹣∞，]参考答案：A考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：由x1＞0，4x1lnx1﹣x12+3+4x1x22+8ax1x2﹣16x1≥0化为≥，令f（x）=，x∈（0，2]，利用导数可得其最大值．令g（x）=8ax+4x2，x∈[1，2]，则对?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使4x1lnx1﹣x12+3+4x1x22+8ax1x2﹣16x1≥0成立?g（x）max≥f（x）max．再利用导数可得g（x）的最大值，即可得出．解答：解：∵x1＞0，∴4x1lnx1﹣x12+3+4x1x22+8ax1x2﹣16x1≥0化为≥，令f（x）=，x∈（0，2]，f′（x）==，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=14．令g（x）=8ax+4x2，x∈[1，2]，∵对?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使4x1lnx1﹣x12+3+4x1x22+8ax1x2﹣16x1≥0成立，∴g（x）max≥f（x）max．g′（x）=8a+8x=8（x+a），①当a≥﹣1时，g′（x）≥0，函数g（x）单调递增，∴当x=2时，g（x）取得最大值，g（x）=16a+16．由16a+16≥14，解得，满足条件．②当﹣2＜a＜﹣1时，g′（x）=8[x﹣（﹣a）]，可得当x=﹣a时，g（x）取得最小值，g（2）=16+16a≤0，g（1）=4+8a≤0，舍去．③当a≤﹣2时，经过验证，也不符合条件，舍去．综上可得：a的取值范围是．故选：A．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6. 已知，则的最小值为（）A．8 B．16 C．20 D．25参考答案：7. 下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”.B．“”是“”的必要不充分条件.C．命题“，使得”的否定是：“，均有”.D．命题“若，则”的逆否命题为真命题.参考答案：D8. 已知，满足约束条件，若的最小值为，则A. B. C. D.参考答案：A9. 一个几何体的三视图如图所示（单位长度：），俯视图中圆与四边形相切，且该几何体的体积为，则该几何体的高为A．B．C．D．参考答案：D10. 设向量，，则与垂直的向量的坐标可以是（）A．(3,2) B．(3,－2) C．(4,6) D．(4,－6)参考答案：C；可看出；∴．故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数数列中，，，，把数列的各项排成如图的三角形形状。
2020-2021学年度高三数学10月月考考试试卷及答案
2
2
2
19．
解：（Ⅰ）对 f (x) 求导数，得 f (x) ex x ，
所以切线 l 的斜率为 f (x0 ) ex0 x0 ，
由此得切线 l
的方程为：
y
(ex0
1 2
x02 )
(ex0
x0 )(x
x0 ) ，
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即
y
(ex0
x0 )x (1
x0 )ex0
1 2
x02
③当 a 0 时， t 0 ，使得 f (x) t 有解；
④当 a 2 时， t R ，使得 f (x) t 有三解.
其中，所有正确结论的序号是__________.
第 2 页共 9 页
三、解答题:（本大题共 5 小题，共 85 分. 把．答．案．作．答．在．答．题．纸．上．）
16．(本题 16 分)已知函数 f (x) 2 2 cos( x) cos x a 的最大值为 2 ． 4
二、填空题
11
12
3
108
2
答案
5678 BBCB
13
（-4 3）
14
2－1
9 10 BB
15
③④
三、解答题
16． 解：（Ⅰ）因为
所以函数 的最大值为
所以 所以
（Ⅱ）因为
的单调递增区间为
，
令
所以
函数 的单调递增区间为
，
第 5 页共 9 页
17．
解：（Ⅰ） A 2 ， 2 ， ． 3
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， f (x) 2sin(2x ) ． 3
2
A． 5 2
B． 3 2
C．1
D． 2
北京市第十五中2020届高三下学期数学综合练习 (一)试题及答案word
北京十五中2020届高三数学综合练习（一）第一部分（选择题 共40分）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)（1）若集合{}2|20A x x x =+<，{}|||1B x x =>，则A B =I AA ．{}|21x x -<<-B ．{}|10x x -<<C ．{}|01x x <<D ．{}|12x x << （2）已知,a b ∈R ，且a b >，则C （A ）11ab<（B ）sin sin a b > （C ）11()()33ab<（D ）22a b >（3）已知直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=没有公共点，则实数a 的取值范围为C（A ） (],0-∞ （B ）[)0,+∞（C ) ()0,2（D ） (),2-∞（4）设a 是单位向量，b 是非零向量，则“⊥a b ”是“()=1⋅+a a b ”的C（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是 B (A) 若m α⊥，m n ⊥，则 n α∥ (B) 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥ (C) 若n α∥，m n ⊥，则m α⊥ (D) 若αβ∥，m ⊂α，n ⊂β，则m n ∥ （6）在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 C（A ） （B ）（C ）6 （D ）（7）数列{}n a 是等差数列 ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，公比1q >，且55a b =，则C（A ）3746a a b b +>+ （B ）3746a a b b +≥+ （C ）3746a ab b +<+ （D ）3746a a b b +=+（8）A ，B 两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比(与2017年6月比较)增长率如下表：A 品牌车型 A 1 A 2 A 3 环比增长率 -7.29%10.47%14.70%根据此表中的数据，有如下四个结论： ①A 1车型销量比B 1车型销量多；②A 品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%； ③B 品牌三种车型车总销量环比增长率可能为正；④A 品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B 品牌三种车型总销量环比增长率． 其中正确的结论个数是B（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9）B函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）．若()f x 在区间ππ[,]62上具有单调性，且π2ππ()()()236f f f ==-，则()f x 的最小正周期为（A ）2π （B ）π （C ）2π （D ）32π（10）已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．项目积分规则100米跑 以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分跳高以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分B 品牌车型 B 1 B 2 B 3 环比增长率-8.49%-28.06%13.25%表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：B（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁第二部分 （非选择题 共110分）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）（11）已知复数z 满足(1i)2i z -=（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z = _____.1i --（12）已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 坐标为_________；若双曲线22212y x a-=（0a >）的一个焦点与点F 重合，则该双曲线的渐近线方程是 ． (2,0)；y x =± （13）已知7()a x x-展开式中5x 的系数为21，则实数a 的值为 . 3-（14）已知函数()sin f x x =错误!未找到引用源。
2017-2018年北京十五中高三数学理科5月月考试卷及答案
北京十五中高三年级数学理科月考试卷2018.5考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
请将第Ⅰ卷的答案填涂在机读卡上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。
第Ⅰ卷 （选择题，共40分）一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；把答案填涂在机读卡上．．．．．．．．．．） 1．已知集合{}101，，A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B = （ ）(A){}0 (B){}1,0- (C){}0,1 (D){}1,0,1- 2．设,,a b c R ∈,且a b >,则( )（A ）ac bc >（B ）11a b< （C ）22a b > （D ）33a b >3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 ( )（A ）1y x= (B) x y e -= （C ）21y x =-+ (D) lg ||y x =4．在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于 ( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限5．在△ABC 中，3,5a b ==,1sin 3A =,则sin B = ( )（A ）15 （B ）59 （C （D ）16．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ( )（A ）1 （B ）23（C ）1321（D ）610987北京市第十五中学2018年高三月考试题 班级___________ 姓名____________ 学号___________----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7．双曲线221y x m-=的充分必要条件是 ( )A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m > 8．在平面上，，,.若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 （非选择题，共30分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案作答在答题纸上．．．．．．．．．．） 9．若抛物线22y px =的焦点坐标为（1,0）则p =____；准线方程为_____. 10．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________.11．若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=，则公比q =__________；前n 项n S =_____.12．设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，表示的平面区域，区域D 上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为___________.13．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝_________.14．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号）12AB AB ⊥121OB OB ==12AP AB AB =+12OP <OA 0,2⎛ ⎝⎦,22⎛ ⎝⎦2⎛ ⎝2⎛ ⎝三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 已知函数2(=sin cos sin f x x x x -），R x ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若函数()f x 在区间[,]16a π上递增，求实数a 的取值范围.16．（本小题满分13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC // AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =，2BC CD EA ED ====. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由.1235567889 135567罗非鱼的汞含量（ppm ）18．（本小题满分13分）设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)2y e x =-+.（Ⅰ）求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.19．（本小题满分14分）抛物线2:4C y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）设l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； （Ⅱ）设||2||FA BF =，求直线l 的方程.20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<. 设*m ∈N ， 记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b . （Ⅰ）设数列{}n a 为1，3，5，7，，写出1b ，2b ，3b 的值；（Ⅱ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a ； （Ⅲ）设p a q =，12p a a a A +++=，求12q b b b +++的值.（用,,p q A 表示）北京十五中高三数学理科月考答案2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（I ）21cos 21(=sin cos sin sin 222x f x x x x x --=+），…………………………2分 1)42x π=+-，…………………………4分 ()f x 的最小正周期为π，…………………6分（II ）当16x π=时，则322416482x πππππ+=⨯+=<，…………………8分又函数()f x 在[,]16a π上递增，则242a ππ+≥-，即38a π≥-，…………………10分则实数a 的取值范围为3[,)816a ππ∈-. ………………13分 (16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则1251031545()91C C P A C ==，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591. ……………4分 （Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==， ………5分 ξ可能取0，1，2，3. ……………6分则3318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．…………10分 其分布列如下：……………12分所以842101231279927Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………13分 (17)（本小题满分14分）解：（I）由BC CD⊥，2BC CD==.,可得BD=2分由EA ED⊥，且2EA ED==，可得AD=又4AB=．所以BD AD⊥．…………………4分又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD=，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADE．…………………6分（II）如图建立空间直角坐标系D xyz-，则(0,0,0)D，B，(C ，E，(2,BE=-，(2,0,DE=，(DC=．设(,,)x y z=n是平面CDE的一个法向量，则0DE⋅=n，0DC⋅=n，…………………8分即0,0.x zx y+=⎧⎨-+=⎩令1x=，则(1,1,1)=-n．…………………9分设直线BE与平面CDE所成的角为α，则||sin|cos,|||||BEBEBE⋅=<>===⋅αnnn．所以BE和平面CDE所成的角的正弦值3．…………………10分（III）设CF CE=λ，[0,1]λ∈．(DC=，CE=，DB=.x则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ． 设(,,)x'y'z'=m 是平面BEF 一个法向量， 则0EB ⋅=n ，0EF ⋅=n ，…………………12分 即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ令1x'=，则21(1,0,)λλ-=-m ．若平面BEF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BEF ⊥平面CDE .……………14分(18)（本小题满分13分）解：(Ⅰ)函数f (x )的定义域为(0,+∞), f '(x)=ae x ln x+e x -e x-1+e x-1. ……………2分 由题意可得f(1)=2,f '(1)=e. 故a =1,b =2. ……………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f(x)=e x ln x+e x-1,从而f(x)>1等价于xln x>xe -x -. ……………5分设函数g(x)=xln x,则g'(x)=1+ln x. ……………6分 所以当x ∈时,g'(x)<0;当x ∈∞ 时,g'(x)>0.故g(x)在上单调递减,在∞ 上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-. ……………8分设函数h(x)=xe -x -,则h'(x)=e -x (1-x). ……………10分 所以当x ∈(0,1)时,h'(x)>0;当x ∈(1,+∞)时,h'(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-. ……………12分综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1. ……………13分 (19)（本小题满分14分）方法一：（Ⅰ）解：由题意，得(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-.由214y x y xì=-ïïíï=ïî, 得2610x x -+=, 设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , AB 中点M 的坐标为00(,)M x y ,则121122331212x x y x y x =+=-=-=+=-=-,故点(3(3A B ++-- --------------------------3分 所以120003,122x x x y x +===-=, 故圆心为(3,2)M ,直径||8AB =,所以以AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=；----------------------6分 （Ⅱ）解：因为||2||FA BF =, 三点A , F , B 共线且点A , B 在点F 两侧, 所以2FA BF =,设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , 则1122(1,),(1,)FA x y BF x y =-=--,所以121212(1),2.x x y y ì-=-ïïíï=-ïî ○1 因为点A , B 在抛物线C 上,所以2211224,4y x y x ==, ○2 -------------------------10分 由○1○2，解得111122222,2,11,,22x x y y x x y y 祆==镲镲镲镲==-镲镲镲眄镲==镲镲镲镲镲=-=镲铑或所以11(2,(,(2,(22A B A B --或, ------------------------13分故直线l的方程为0,y --或0y +-.-------------------------14分 方法二：（Ⅰ）解：由题意，得(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-.由214y x y xì=-ïïíï=ïî, 得2610x x -+=, 设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , AB 中点M 的坐标为00(,)M x y , 因为264320,D =-=>所以12126,1x x x x +==,所以120003,122x x x y x +===-=, 故圆心为(3,2)M , ------------------------3分 由抛物线定义，得1212||||||()()822p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=, 所以12||8AB x x p =++=(其中p =2).所以以AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=； -------------------6分 （Ⅱ）解：因为||2||FA BF =, 三点A , F , B 共线且点A , B 在点F 两侧, 所以2FA BF =,设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , 则1122(1,),(1,)FA x y BF x y =-=--,所以121212(1),2.x x y y ì-=-ïïíï=-ïî ○1 -----------------------9分 设直线AB 的方程为(1)y k x =-或1x =(不符合题意，舍去). 由2(1)4y k x y xì=-ïïíï=ïî，消去x 得 2440ky y k --=， 因为直线l 与C 相交于A , B 两点，所以0k ¹,则216160k D =+>, 12124,4y y y y k+==-, ○2 由○1○2，得方程组121212442y y k y y y y ìïï+=ïïïï=-íïï?-ïïïïî，解得12k y y ìï=-ïïï=-íïïï=ïïî或12k y y ìï=ïïï=íïïï=-ïïî-----------13分 故直线l的方程为0,y --或0y +-.---------------14分 (20)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：11b =，21b =，32b =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<<<，结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥. ……………… 4分 又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤. ……………… 5分 设2 a k =，则 2k ≥.假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥. 所以21b =，2k b =. 因为{}n b 为等差数列， 所以公差210d b b =-=， 所以1n b =，其中*n ∈N . 这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =. ……………… 6分 又因为123n a a a a <<<<<，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N . ……………… 7分 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ， 所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a =. ……………… 8分 （Ⅲ）解：设2 (1)a k k =>，因为123n a a a a <<<<<，所以1211k b b b -====，且2k b =，所以数列{}n b 中等于1的项有1k -个，即21a a -个； ……………… 9分 设3 ()a l l k =>， 则112l k k b b b -+====， 且3l b =，所以数列{}n b 中等于2的项有l k -个，即32a a -个； ……………… 10分 ……以此类推，数列{}n b 中等于1p -的项有1p p a a --个. ……………… 11分第 11 页（共11页）所以1221321(1())))2((p q p b b b a a a a a p a p -++=-+--+-+++ 121(1)p p a a p a a p -=-----++ 121()p p p pa p a a a a -=+-++++ (1)p q A =+-.即12(1)q q A b b b p ++++=-. ……………… 13分。
北京市2024—2025学年高三上学期10月考数学试卷含答案
北京2024-2025学年（上）高三数学10月考试卷班级______姓名______学号______（答案在最后）考生须知1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分.2.考生务必将答案填写在答题纸（共8页）上，在试卷上作答无效.3.考试结束后，考生应将答题纸交回.一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N = （）A.{21}x x -≤<∣B.{21}x x -<≤∣C.{2}xx ≥-∣ D.{1}xx <∣【答案】A 【解析】【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣，根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选：A2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-，则i z ⋅=（）A.i + B.i-C.iD.i【答案】B 【解析】【分析】首先表示出z ，再根据复数代数形式的乘法运算计算可得.【详解】因为复数z对应的点的坐标是(-，所以1z =-+，则()2i i 1i i z ⋅=⋅-+=-+=.故选：B3.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（）A.()2xf x = B.()ln f x x =-C.()1f x x=- D.()13x f x -=【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.【详解】对于A ：()2xf x =在定义域R 上单调递增，故A 错误；对于B ：因为ln y x =在定义域0,+∞上单调递增，所以()ln f x x =-在定义域0,+∞上单调递减，故B 正确；对于C ：()1f x x=-在0,+∞上单调递增，故C 错误；对于D ：()1113,133,1x x x x f x x ---⎧≥==⎨<⎩，所以()f x 在()0,∞+上先减后递增，故D 错误.故选：B4.已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是（）A.a b >B.a b >C.2a ab >D.2ab b >【答案】A 【解析】【分析】由a a ≥可知A 正确；通过反例可知BCD 错误.【详解】对于A ，a a ≥ （当且仅当0a ≥时取等号），a b ∴>，A 正确；对于B ，当1a =-，2b =-时，a b <，B 错误；对于C ，当1a =-，2b =-时，21a =，2ab =，则2a ab <，C 错误；对于D ，当1a =，2b =-时，2ab =-，24b =，则2ab b <，D 错误.故选：A.5.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是有由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，特别是当x π=时，10i e π+=被认为是数学中最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，i e 在复平面中位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据定义把i e 写成三角形式，即可得出对应点的坐标，从而得其象限．【详解】由题意cos1sin1i e i =+，对应点坐标为(cos1,sin1)，而cos10,sin10>>，点在第一象限．故选：A ．6.已知函数()21,026,2x x f x x x ⎧-<<=⎨-≥⎩，那么不等式()12f x x >的解集为（）A.()0,1 B.()0,2 C.()1,4 D.()1,6【答案】C 【解析】【分析】分别作出=及12y x =的图象后，借助图象分析即可得.【详解】分别作出=及12y x =的图象如下：由图可知不等式()12f x x >的解集为1,4.故选：C.7.设0.40.5a =，0.5log 0.4b =，4log 0.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c << B.b c a<< C.c b a<< D.c a b<<【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】因为0.4000.50.51<<=，即01a <<，又0.50.5log 0.4log 0.51b =>=，44log 0.5log 10c =<=，所以b a c >>.故选：D8.若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】解法一：由2x yy x+=-化简得到0x y +=即可判断；解法二：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x y y x+化简即可，证明必要性可由2x yy x +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由x y y x +通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入即可，证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入，解方程即可.【详解】解法一：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-，所以112x y y y y x y y-+=+=--=--，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.解法三：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xy y x xy xy xy xy+-+++--+=====-，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-，所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.故选：C9.已知函数211,(,0)(),()44ln(1),[0,)x x f x g x x x x x ∞∞⎧+-∈-==--⎨+∈+⎩，设R b ∈，若存在R a ∈，使得()()0f a g b +=，则实数b 的取值范围是（）A.[1,5]-B.(,1][5,)-∞-⋃+∞C.[1,)-+∞D.(,5]-∞【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得函数()f x 的值域为[1,)-+∞，结合题意转化为()1g b -≥-，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，作出函数()y f x =的图象，如图所示，所以，当(,0)x ∈-∞时，()()11f x f ≥-=-；当[0,)x ∈+∞时，()()00f x f ≥=，可函数()f x 的值域为[1,)-+∞，设R b ∈，若存在R a ∈，使得()()0f a g b +=成立，即()()f a g b =-，只需()1g b -≥-，即对于R b ∈，满足2441b b -++≥-成立，即2450b b --≤，解得15b -≤≤，所以实数b 的取值范围为[1,5]-.故选：A.10.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N 的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N 的值为（）M2371113lg M0.3010.4770.8451.0411.114A.13B.14C.15D.16【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算公式计算即可.【详解】由题意知，N 的70次方为83位数，所以()70828310,10N∈，则827083lg10lg lg10N <<，即8270lg 83N <<，整理得1.171lg 1.185N <<，根据表格可得lg14lg 2lg 7 1.146 1.171=+=<，lg164lg 2 1.204 1.185==>，所以lg lg15N =，即15N =.故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()1ln f x x=的定义域是______.【答案】()(]0,11,2 【解析】【分析】根据函数解析式建立不等式组，可解得答案.【详解】由题意可得ln 0020x x x ≠⎧⎪>⎨⎪-≥⎩，解得()(]0,11,2x ∈⋃.故答案为：()(]0,11,2⋃.12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当(],0x ∈-∞时，()123xf x =+，则23log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】1【解析】【分析】根据偶函数的性质及指数对数恒等式计算可得.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且当(],0x ∈-∞时，()123xf x =+，所以2log 2223233log log l 1og 2221213333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎭+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎭+⎝⎝=⎪.故答案为：113.设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为______.【答案】16【解析】【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，从而求得所求面积.【详解】因为()2e 2sin 1x xf x x+=+，所以()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+，则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+，所以该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故答案为：16.14.对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：()f x '是函数()f x 的导函数，()f x ''是()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若()3211533212f x x x x =-+-，根据这一发现，函数()y f x =的对称中心是______.【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】根据所给定义，求出函数的一阶导数与二阶导数，再()0f x ''=，求出x ，即可得解.【详解】因为()3211533212f x x x x =-+-，所以()23'=-+f x x x ，则()21f x x ''=-，令()210f x x ''=-=，解得12x =，又3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()y f x =的对称中心是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭15.已知函数()22,2,x a x af x x ax x a⎧+<=⎨+≥⎩给出下列四个结论：①当0a =时，()f x 的最小值为0；②当13a ≤时，()f x 存在最小值；③当1a ≥时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；④()f x 的零点个数为()g a ，则函数()g a 的值域为{}0,1,2,3.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①④【解析】【分析】对于①，写出此时函数解析式，得到当0x =时，()f x 取得最小值，最小值为0；对于②，举出反例；对于③，两分段均单调递增，但端点处，左端点的函数值不一定小于右端点的函数值，故③错误；对于④，对a 进行分类讨论，结合零点存在性定理得到函数()g a 的值域为{}0,1,2,3.【详解】对于①，当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，当0x <时，021x <<，当0x ≥时，20x ≥，综上，当0x =时，()f x 取得最小值，最小值为0，①正确；对于②，不妨设12a =-，此时()2112,221,2x x f x x x x ⎧-<-⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，当12x <-时，11212,222x⎛⎫--∈- ⎪ ⎪⎝⎭，当21x ≥-时，22111244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，故()12f x >-，此时函数不存在最小值，②错误；对于③，2x y a =+在(),x a ∈-∞上单调递增，且()2,2xay a a a =+∈+，当1a ≥时，()2222y x ax x a a =+=+-在),x a ⎡∈+∞⎣上单调递增，且()2223y x a a a =+-≥，当8a =时，223720a a a +-=>，故当8a =时，()f x 在R 上不单调递增，③错误；对于④，()22,2,x a x a f x x ax x a ⎧+<=⎨+≥⎩，2x y a =+在x a <上单调递增，当0a <时，设()2at a a =+，显然()2at a a =+单调递增，又()110,02t t ⎛⎫-<-> ⎪⎝⎭，故存在011,2a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00t a =，当0a a ≤时，20a a +=无解，即2x y a =+在x a <上无零点，此时22y x ax =+有两个零点，0和2a -，故此时()2g a =，当0a a >时，2x y a =+在x a <上有1个零点，此时22y x ax =+有两个零点，0和2a -，故此时()3g a =，当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，由①知，此时有1个零点，即()1g a =，当0a >时，2x y a =+在x a <上无零点，22y x ax =+在x a ≥上也无零点，此时()0g a =，则函数()g a 的值域为{}0,1,2,3，④正确.故答案为：①④【点睛】函数零点问题处理思路：（1）直接令函数值为0，代数法求出零点；（2）将函数零点问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度；三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.设函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.（1）若()102f =，求ϕ的值；（2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求ω，ϕ的值.【答案】（1）π6（2）1ω=，π6ϕ=-【解析】【分析】（1）借助两角和的正弦公式化简后代入计算即可得；（2）由题意可得函数周期，即可得ω，而后借助正弦函数性质代入计算即可得ϕ.【小问1详解】()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+，()10sin 2f ϕ==，故()ππ2π23k k ϕ±+=∈Z ，又π2ϕ<，故π6ϕ=；【小问2详解】由题意可得2ππ22π33T ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故2π1Tω==，又0ω>，故1ω=，由2π13f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()2ππ2π32k k ϕ+=+∈Z ，解得()π2π6k k ϕ=-+∈Z ，又π2ϕ<，故π6ϕ=-.17.在ABC V 中，222b c a bc +-=．（1）求A ∠；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求ABC V 的面积．条件①：11cos 14B =；条件②：12a b +=；条件③：12c =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】（1）π3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）根据题意，若选择①②，求得sin B ，由正弦定理求得7,5a b ==，再由余弦定理求得8c =，结合面积公式，即可求解；若①③：先求得sin 14B =，由83sin sin()14C A B =+=，利用正弦定理求得212a =，结合面积公式，即可求解；若选择②③，利用余弦定理，列出方程求得0b =，不符合题意.【小问1详解】解：因为222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】解：由（1）知π3A =，若选①②：11cos 14B =，12a b +=，由11cos 14B =，可得53sin 14B ==，由正弦定理sin sin a bA B=214=，解得7a =，则125b a =-=，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得249255c c =+-，即25240c c --=，解得8c =或3c =-（舍去），所以ABC V 的面积为11sin 58222S bc A ==⨯⨯⨯=.若选①③：11cos 14B =且12c =，由11cos 14B =，可得sin 14B ==，因为πA BC ++=，可得()111sin sin 2142147C A B =+=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin a cA C =27=，解得212a =，所以ABC V的面积为1121sin 12222142S ac b ==⨯⨯⨯=.若选：②③：12a b +=且12c =，因为222b c a bc +-=，可得22212(12)12b b b +--=，整理得2412b b =，解得0b =，不符合题意，（舍去）.18.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．（1）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X 表示这2名学生中获奖的人数，求X 的分布列和数学期望EX ；（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为0p ；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为1p ；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为2p ，试比较0p 与122p p +的大小．（结论不要求证明）【答案】（1）1240（2）分布列见解析，期望12EX =（3）1202p p p +>【解析】【分析】（1）直接计算概率11102511200300C C ()C C P A =；（2）X 的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；（3）计算出01350p =，12124p p +=，比较大小即可.【小问1详解】设事件A 为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”，则11102511200300C C 1()C C 240P A ==，【小问2详解】随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.记事件B 为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件C 为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件B ,C 相互独立,且()P B 估计为1015151,()2005P C ++=估计为252540330010++=.所以1328(0)()()()1151050P X P BC P B P C ⎛⎫⎛⎫====-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,131319(1)()()()()()1151051050P X P BC BC P B P C P B P C ⎛⎫⎛⎫==⋃=+=⨯-+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,133(2)()()()51050P X P BC P B P C ====⨯=.所以X 的分布列为X012P28501950350故X 的数学期望()2819310125050502E X =⨯+⨯+⨯=【小问3详解】1202p p p +>，理由：根据频率估计概率得04090135250050200p +===，由（2）知115p =，2310p =，故1213150510224200p p ++===，则1202p p p +>.19.已知函数()()11ln f x a x x =+--.（1）若2a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若2a <，证明：当1x >时，()1e xf x -<.【答案】（1）y x =（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）借助导数的几何意义计算可得其切线斜率，即可得其切线方程；（2）分0a ≤及0a >，结合导数讨论即可得；（3）构造函数()()1e ln 11x g x x a x -=+---，多次求导研究其单调性即可得.【小问1详解】当2a =时，()()121ln 2ln 1f x x x x x =+--=--，则()121ln111f =⨯--=，()12f x x'=-，则()1211f ='-=，即曲线=在点1,1处的切线方程为()11y x =-+，即y x =；【小问2详解】()()110ax f x a x x x-=-=>'，当0a ≤时，′<0恒成立，故()f x 在0,+∞上单调递减；当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则′<0，若1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，则′>0，故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增；【小问3详解】令()()()11e11ln e ln 11x x g x a x x x a x --⎡⎤=-+--=+---⎣⎦，()11e x g x a x-+'=-，令()()11ex h x g x a x -=+'=-，则()121e x h x x --'=，令()()121e x m x h x x -=-'=，则()122e 0x m x x-'=+>恒成立，故()h x '在1,+∞上单调递增，则()()011e 01h x h >=-'='，故()g x '在1,+∞上单调递增，则()()011e 201g x g a a >=+-=-'>'，故()g x 在1,+∞上单调递增，则()()()01e ln01110g x g a >=+---=，即()1ex f x -<.20.已知函数()e sin xf x a x =-．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当1a =时，证明：函数()2y f x =-在区间()0,π上有且仅有一个零点；（3）若对任意[]0,πx ∈，不等式()2cos f x x ≥-恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）10x y +-=；（2）证明见解析；（3）(],1-∞.【解析】【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率()0f '，结合()01f =可得切线方程；（2）令()()2g x f x =-，求导后可知()0g x '>，由此确定()g x 在()0,π上单调递增，结合零点存在定理可得结论；（3）()()2cos h x f x x =-+，将问题转化为()0h x ≥恒成立；求导后，分析可知当0a ≥时，()h x '单调递增；当1a >时，利用零点存在定理可说明()h x 在()00,x 上单调递减，由此可得()()00h x h <=，知不合题意；当1a =时，可得()()00h x h ''>=，知()h x 单调递增，满足题意；当1a <时，采用放缩法得()e sin cos 2x h x x x >-+-，结合1a =时的结论可知其满足题意；综合三种情况可得结果.【小问1详解】当2a =时，()e 2sin xf x x =-，则()e 2cos xf x x '=-，()0121f '∴=-=-，又()01f =，()f x \在点()()0,0f 处的切线方程为：1y x =-+，即10x y +-=.【小问2详解】当1a =时，令()()2e sin 2xg x f x x =-=--，则()e cos xg x x '=-；当()0,πx ∈时，0e e 1x >=，cos 1x <，即()0g x '>，()g x ∴在()0,π上单调递增，又()01210g =-=-<，()πe 20g π=->，()g x ∴在()0,π上有唯一零点，即()2f x -在()0,π上有且仅有一个零点.【小问3详解】令()()2cos e sin cos 2xh x f x x a x x =-+=-+-，则对任意[]0,πx ∈，()0h x ≥恒成立；又()e cos sin xh x a x x '=--，令()()t x h x ='，则()e sin cos xt x a x x '=+-；当0a ≥时，若[]0,πx ∈，则0e e 1x ≥=，cos 1≤x ，sin 0x ≥，()0t x '∴≥在[]0,π上恒成立，则()h x '在[]0,π上单调递增；①当1a >时，()010h a '=-<，()ππe 0h a '=+>，()00,πx ∴∃∈，使得()00h x '=，且当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x ∴在()00,x 上单调递减，此时()()00h x h <=，不合题意；②当1a =时，()e sin cos 2xh x x x =-+-；当()0,πx ∈时，()()00h x h ''>=，则()h x 在[]0,π上单调递增，()()00h x h ∴≥=恒成立，满足题意；③当1a <时，()e sin cos 2e sin cos 2xxh x a x x x x =-+->-+-，由②知：对任意[]0,πx ∈，()e sin cos 20xh x x x >-+-≥，满足题意；综上所述：实数a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求解切线方程、函数零点个数问题、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为含参数函数单调性的讨论问题，进而由单调性和函数最值确定满足题意的参数范围.21.已知数列A ：1a ，2a ，…，n a 满足：{}0,1i a ∈（1i =，2，…，n ，2n ≥），从A 中选取第1i 项、第2i 项、…、第m i 项（12m i i i <<< ，2m ≥）称数列1i a ，2i a ，…，m i a 为A 的长度为m 的子列.记()T A 为A 所有子列的个数.例如A ：0，0，1，其()3T A =.（1）设数列A ：1，1，0，0，写出A 的长度为3的全部子列，并求()T A ；（2）设数列A ：1a ，2a ，…，n a ，A '：n a ，1n a -，…，1a ，A ''：11a -，21a -，…，1n a -，判断()T A ，()T A '，()T A ''的大小，并说明理由；（3）对于给定的正整数n ，k （11k n ≤≤-），若数列A ：1a ，2a ，…，n a 满足：12n a a a k ++⋅⋅⋅+=，求()T A 的最小值.【答案】（1）子列为：1，0，0；1，1，0；()6T A =；（2）()()()T A T A T A '''==，理由见解析；（3）22nk n k +--.【解析】【分析】（1）根据()T A 的定义结合条件即得；（2）若121k k m m m m -，，，，L 是12n A a a a ：，，，L 的一个子列，则121k k m m m m -，，，，L 为11n n A a a a -'：，，，L 的一个子列.若121k k m m m m -，，，，L 与121k k n n n n -，，，，L 是12n A a a a ：，，，L 的两个不同子列，则121k k m m m m -，，，，L 与121k k n n n n -，，，，L 也是11n n A a a a -'：，，，L 的两个不同子列，得()()T A T A '≤，同理()()T A T A '≤，得()()T A T A '=，同理()()T A T A ''=；（3）令000111n k k A *-个个：L L 144244314243，得数列A *中不含有0的子列有1k -个，含有1个0的子列有k 个，含有2个0的子列有1k +个，L L ，含有n k -个0的子列有1k +个，即可解决.【小问1详解】由()T A 的定义以及1100A ：，，，，可得：A 的长度为3的子列为：100110，，；，，，有2个，又A 的长度为2的子列有3个，A 的长度为4的子列有1个，所以()6T A =；【小问2详解】()()().T A T A T A '''==理由如下：若121k k m m m m -，，，，L 是12n A a a a ：，，，L 的一个子列，则121k k m m m m -，，，，L 为11n n A a a a -'：，，，L 的一个子列.若121k k m m m m -，，，，L 与121k k n n n n -，，，，L 是12n A a a a ：，，，L 的两个不同子列，则121k k m m m m -，，，，L 与121k k n n n n -，，，，L 也是11n n A a a a -'：，，，L 的两个不同子列.所以()()T A T A '≤；同理()()T A T A '≤，所以()()T A T A '=.同理()().T A T A ''=所以有()()().T A T A T A '''==【小问3详解】由已知可得，数列12n A a a a ：，，，L 中恰有k 个1，n k -个0.令000111n k k A *-个个：L L 144244314243，下证：()()T A T A *≥.由于000111n k k A *-个个：L L 144244314243，所以A *的子列中含有i 个0，j 个1(0101,2)i n k j k i j =-=+≥ ，，，，，，，的子列有且仅有1个，设为：000111i j 个个LL 144244314243.因为数列12n A a a a ：，，，L 的含有i 个0，j 个1的子列至少有一个，所以()()T A T A *≥.数列000111n k k A *-个个：L L 144244314243中，不含有0的子列有1k -个，含有1个0的子列有k 个，含有2个0的子列有1k +个，L L ，含有n k -个0的子列有1k +个，所以2()()(1)22T A n k k k nk n k *=-++-=+--.所以()T A 的最小值为22nk n k +--.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.。
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北京市第十五中学高三数学月考试卷2009.10一、选择题：1．若函数()y f x =是函数log (0,1)a y x a a =>≠的反函数，其图象经过点(a ，则()f x =（ C ）（Ａ）12x （Ｂ） 2x （Ｃ）13x （Ｄ）3x2．在下列命题中：①2,20x R x ∀∈+>；②2,x N x ∀∈≥1；③3,1x Z x ∃∈<；④2,3x Q x ∃∈=.其中,真命题有( B )个A 1B 2C 3D 4 3．函数12-=x y 的图象是 （ B ）（B ）4．已知不等式02<+-c bx ax 的解集为}{32><x x x 或，则不等式02<--c ax bx 的解集为（ D ）A ．}{32<<x xB ．}{23->-<x x x 或C ．}⎩⎨⎧><2131x x x 或 D ．}⎩⎨⎧>-<561x x x 或5．若不等式012≥++ax x 对于一切⎥⎦⎤ ⎝⎛∈21,0x 成立，则a 的最小值是 ( C )A 0B -2C 25-D -3 6．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为()x f'，()00'>f ，对于任意实数，有0)(≥x f 则)0()1('f f 得最小值为( C )A 3 B25 C 2 D 23 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ）8．定义在R 上的函数)(x f ，如果存在函数为常数）b k b kx x g ,()(+=，使得)(x f ≥)(x g 对一切实数x 都成立，则称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数．现有如下命题： ① 对给定的函数)(x f ，其承托函数可能不存在，也可能有无数个； ② ()2g x x =为函数()2x f x =的一个承托函数； ③定义域和值域都是R 的函数)(x f 不存在承托函数． 其中正确命题的序号是（ A ）（A ） ① （B ） ②（C ） ①③（D ） ②③二、填空题：将答案写在解答题前的表格内。
9．已知函数313)(23-+-=ax ax x x f 的定义域为R 则实数a 的取值范围是012≤<-a ． 10．函数1()21xf x a =-+为奇函数，则a 的值为21． 11．函数x x y 41312---=的值域为 ⎥⎦⎤⎝⎛∞-211,． 12．设()1,0∈x ，幂函数αx y =的图象在直线xy =的上方，则α的取值范围是()1,∞-．13．函数()x ax x f a -=2log )(在区间[]4,2上是增函数，则a 的范围()+∞,1． 14. 函数x ax x x f 221ln )(2--=存在单调递减区间，则a 的范围()+∞-,1． 北京市第十五中学高三数学月考答题纸2009.1015．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-.（1）当m =3时，求集合A B ； （2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.{|45}x x ≤≤； 3m ≤16．已知函数()f x 的定义域是),0(+∞，且满足()()()f xy f x f y =+,1()12f =,如果对于0x y <<,都有()()f x f y >, （1）求(1)f ；（2）解不等式2)3()(-≥-+-x f x f 。
解：（1）令1x y ==，则(1)(1)(1),(1)0f f f f =+= （2）1()(3)2()2f x f x f -+-≥-11()()(3)()0(1)22f x f f x f f -++-+≥=3()()(1)22x x f f f --+≥，3()(1)22x x f f --⋅≥则0230,1023122x xx x x ⎧->⎪⎪-⎪>-≤<⎨⎪-⎪-⋅≤⎪⎩。
17．某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是20,025,,100,2530,.t t t N p t t t N +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是40+-=t Q ),300(N t t ∈≤<，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？解：设日销售金额为y （元），则y =p ⋅Q ．2220800,1404000,t t y t t ⎧-++⎪∴=⎨-+⎪⎩ 025,,2530,.t t N t t N <<∈≤≤∈22(10)900,(70)900,t t ⎧--+⎪=⎨--⎪⎩ 025,,2530,.t t N t t N <<∈≤≤∈ 当N t t∈<<,250，t =10时，900max =y (元)； 当N t t∈≤≤,3025，t=25时，1125max =y （元）．由1125>900，知y max =1125（元），且第25天，日销售额最大.18．已知函数,),,( 1)(2R x b a bx ax x f ∈++=为实数⎩⎨⎧<->=)0( )( )0( )()(x x f x x f x F （1）若,0)1(f =-且函数)x (f 的值域为),0[∞+ ,求)(x F 的表达式;（2）在（1）的条件下, 当]2 ,2[-∈x 时, kx x f x g -=)()(是单调函数, 求实数k 的取值范围;（3）设0<⋅n m , ,0>+n m 0>a 且)(x f 为偶函数, 判断)(m F ＋)(n F 能否大于零? 解：（1） ∵0)1(=-f , ∴,01b a =+-又0)( ,≥∈x f R x 恒成立,∴⎩⎨⎧≤-=∆>0402a b a , ∴0)1(42≤--b b , 1a ,2b == ∴22)1(12)(+=++=x x x x f .∴⎪⎩⎪⎨⎧<+->+=)0( )1()0( )1()(22x x x x x F （2） 则1)2(12)()(22+-+=-++=-=x k x kx x x kx x f x g4)2(1)22(22k k x --+-+=, 当222k ≥-或222k -≤-时, 即6k ≥或2k -≤时, )x (g 是单调函数. （3） ∵)(x f 是偶函数∴,1)(2+=ax x f ⎪⎩⎪⎨⎧<-->+=)0( 1)0( 1)(22x ax x ax x F , ∵,0n m <⋅设,n m >则0n <.又,0 ,0>->>+n m n m∴|n ||m |->)(m F ＋)(n F 0)(1)1()()(2222>-=--+=-=n m a an am n f m f ,∴)m (F ＋)n (F 能大于零.19．设函数32()5f x x bx cx =+++，且曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线与x 轴平行．(Ⅰ)求实数c 的值；(Ⅱ)判断是否存在实数b ，使得方程2()0f x b x -=恰有一个实数根．若存在，求b的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（I ）∵曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线与x 轴平行,∴()00'=f .又()c bx x x f ++=23'2，则()00'==c f .（II ）由0=c ，方程2()0f x b x -=可化为32250x bx b x +-+=，假设存在实数b 使得此方程恰有一个实数根，则令()=x g 3225x bx b x +-+，只需()0<极大值x g 或()0>极小值x g∴()()()b x b x b bx x x g +-=-+=323'22令()0'=x g ，得31bx =，b x -=2 ①若0=b ，则方程2()0f x b x -=可化为350x +=，此方程恰有一个实根35=x②若0>b ，则b b->，列表：∴()()053>+=-=b b g x g 极大值，()527533+-=⎪⎭⎫⎝⎛=b b g x g 极小值∴052753>+-b ，解之得30<<b ③若0<b ，则b b-<，列表：∴()0527533>+-=⎪⎭⎫⎝⎛=b b g x g 极大值，()()53+=-=b b g x g 极小值∴053>+b ，解之得35->b ∴053<<-b综合①②③可得，实数b 的取值范围是()3,53-20．已知定义在R 上的函数)3()(2-=ax x x f ，其中∈a R (Ⅰ)若函数)(x f 在区间（－1，0）上是增函数，求a 的取值范围；(Ⅱ)若函数]2,0[),()()(∈'+=x x f x f x g ，在x =0处取得最大值，求正数．．a 的取值范围.（I ）①当a =0时，23)(x x f -=在区间（－1，0）上是增函数，0=∴a 符合题意； ②当ax x x f a x ax x f a 2,0:0)(),2(3)(,021==='-='≠得令时；当a >0时，对任意0,0)(),0,1(>∴>'-∈a x f x 符合题意；当a <0时，当02,12,0)()0,2(<≤-∴-≤∴>'∈a ax f a x 时符合题意；综上所述， 2≥a（II ）].2,0[,6)33()(,023∈--+=>x x x a ax x g a ],2)1(2[36)33(23)(22--+=--+='x a ax x a ax x g令.044(*),02)1(2,0)(22>+=∆=--+='a x a ax x g 显然有即 设方程（*）的两个根为(*),,21由x x 式得0221<-=ax x ，不妨设210x x <<.当202<<x 时，)(2x g 为极小值，所以)(x g 在[0，2]上的最大值只能为)0(g 或)2(g ；当22≥x 时，由于)(x g 在[0，2]上是单调递减函数，所以最大值为)0(g ，所以在[0，2]上的最大值只能为)0(g 或)2(g ，又已知)(x g 在x =0处取得最大值，所以),2()0(g g ≥即].56,0(,0,56,24200∈>≤-≥a a a a 所以又因为解得。