空间直角坐标系、空间向量及其运算专题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间直角坐标系、空间向量及其运算专题
[基础训练组]
1．O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →
，则A ，B ，C ，P 四点( )
A ．一定不共面
B ．一定共面
C ．不一定共面
D ．无法判断
2．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →
＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．不确定
3．如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →
〉＝
3
3
，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( )
A ．(1,1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，32 D ．(1,1,2)
4．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →
＝( )
A.89
B.109
C.259
D.269
5．如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3
，则cos 〈OA →，BC →
〉
的值为( )
A ．0 B.12 C.32
D.22
6．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →
＝ ________ .(用a ，b ，c 表示)．
7．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为8
9，则λ＝
________ .
8．如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ⎝
⎛⎭
⎪⎫
θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，
π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为 ________ .
9．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的各个面都是平行四边形，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1， DF ＝2
3
DD 1.
(1)求证：A 、E 、C 1、F 四点共面；
(2)已知EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→
，求x ＋y ＋z 的值．
10．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →
. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；
(2)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求实数k 的值．
[能力提升组]
11．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线
BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )
A.55
B.53
C.25
5
D.35
12．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周)，若 AM ⊥MP ，则点P 形成的轨迹的长度为( )
A.76
B.75
C.74
D.72
13．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →
＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →
的坐标是 ________ .
14.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：
(1)EF →·BA →； (2)EF →·DC →；
(3)EG 的长； (4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．
空间直角坐标系、空间向量及其运算专题
[基础训练组]
1．O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →
，则A ，B ，C ，P 四点( )
A ．一定不共面
B ．一定共面
C ．不一定共面
D ．无法判断
解析：B [ ∵OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →
，且34＋18＋18
＝1.∴P ，A ，B ，C 四点共面．]
2．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →
＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．不确定
解析：B [如题图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →
＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a )＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0.] 3．如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →
〉＝
3
3
，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( )
A ．(1,1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12
C.⎝
⎛⎭⎪⎫1，1，32 D ．(1,1,2)
解析：A [设PD ＝a ，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，
P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，1，a 2，
∴DP →＝(0,0，a )，AE →＝⎝
⎛
⎭⎪⎫－1，1，a 2.
∵cos 〈DP →，AE →
〉＝33，∴a 2
2＝a
2＋a 2
4·3
3
，∴a ＝2.
∴E 的坐标为(1,1,1)．]
4．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →
＝( )
A.89
B.109
C.259
D.269