第三章线性规划的解法习题解答090426y

第三章线性规划的解法

§3.1重点、难点提要

一、线性规划问题的图解法及几何意义

1．图解法。

线性规划问题采用在平面上作图的方法求解，这种方法称为图解法。图解法具有简单、直观、容易理解的特点，而且从几何的角度说明了线性规划方法的思路，所以，图解法还有助于了解一般线性规划问题的实质和求解的原理。

（1）图解法适用于求解只有两个或三个变量的线性规划问题，求解的具体步骤为：

1）在平面上建立直角坐标系；

2）图示约束条件，找出可行域。具体做法是画出所有约束方程(约束条件取等式)对应的直线，用原点判定直线的哪一边符合约束条件，从而找出所有约束条件都同时满足的公共平面区域，即得可行域。求出约束直线之间，以及约束直线与坐标轴的所有交点，即可行域的所有顶点；

3）图示目标函数直线。给定目标函数Z一个特定的值k，画出相应的目标函数等值线；

4）将目标函数直线沿其法线方向向可行域边界平移，直至与可行域边界第一次相切为止，这个切点就是最优点。具体地，当k值发生变化时，等值线将平行移动。对于目标函数最大化问题，找出目标函数值增加的方向(即坐标系纵轴值增大的方向)，等值线平行上移到可行域(阴影部分)的临界点，最终交点就是取得目标函数最大值的最优解；对于目标函数最小化问题，找出目标函数值减少的方向(即坐标系纵轴值减少的方向)，等值线平行下移到可行域(阴影部分)的临界点，最终交点就是取得目标函数最小值的最优解。

（2）线性规划问题的几种可能结果：

1）有唯一最优解；

2）有无穷多个最优解；

3）无最优解(无解或只有无界解)。

2．重要结论。

（1）线性规划的可行域为一个凸集，每一个可行解对应该凸集中的一个点；

（2）每一个基可行解对应可行域的一个顶点。若可行解集非空，则必有顶点存在，从而，有可行解必有基可行解。

（3）一个基可行解对应约束方程组系数矩阵中一组线性无关的列向量，对

于n 个变量m 个约束方程的线性规划问题，基可行解的个数不会超过!

!()!m n n m n m C =-。

（4）如果最优解存在，则最优解或最优解之一（具有无穷多个解的情形），一定可在可行域的凸集的某个顶点上找到。

二、线性规划模型的标准形式与标准化

线性规划模型的形式有多种多样，这给求解线性规划问题带来不便。虽然图解法对线性规划模型的形式没有限制，但它对变量个数有约束。为寻求统一规范的求解方法，我们定义线性规划模型的标准形式，将线性规划模型的所有形式都转化为标准形式进行研究。

1．线性规划模型的标准形式

11211122112122222122

,,,max ..n n

n n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x z c x c x c x s t +++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪≥⎪⎩=+++111112

3-1 其中，0,1,2,

,i b i m ≥= 标准形式(3-1)具有几种等价的表示形式。

（1）一般形式 1,2,,1,2,,max ..n j j

j n

ij j i j j

c x a x b i m x j n z s t ==⎧==⎪⎨⎪≥=⎩=∑∑1

10

（2）矩阵形式 max .z cX

AX b s t X ==⎧⎨≥⎩0

（3）向量形式

max ..n

j j j cX

x b X z s t =⎧=⎪⎨⎪≥⎩

=∑P 1

0 其中

n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢

⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 1112121

22212， 11,,)(,n c c c c =，12m b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

=X 1 12,1,2,

,j j j mj a a j n a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P 线性规划模型标准形式中的一般形式、矩阵形式和向量形式等三种表达形式

是等价的，在应用中可根据需要灵活使用。

2．线性规划模型的标准形式的特点

线性规划模型的标准形式具有四个特点：

（1）目标函数是最大化类型：max cX z =

（2）约束条件均由等式组成：AX b =

（3）决策变量均为非负：X ≥0

（4）资源常数项非负：≥b 0

3．线性规划模型的标准化 根据线性规划模型标准形式的特点，我们可以将其它形式的线性规划模型转化为标准形式，这种转化过程称为线性规划模型的标准化。

（1）目标函数的转化。

若原问题的目标函数是最小化，即

min n j j j c x z ==∑1

则可将原目标函数乘以-1，等价转化为最大化问题

max min()n

j j j c x z z ='=-=-∑1

转化后的问题与原问题有相同的最优解。

（2）约束条件的转化。

约束条件的转化是将不等式约束转化为等式约束。如果约束条件为

n ij

j i j a x b =≤∑1

则引入松弛变量0n i x +≥，将其转化为等价的等式约束条件

n ij

j n i i j a x x b +=+=∑1

如果约束条件为

n ij

j i j a x b =≥∑1

则引入剩余变量0n i x +≥，将其转化为等价的等式约束条件

n ij

j n i i j a x x b +=-=∑1

总之，若原问题的约束条件中，约束为“≤”型，则左边+松驰变量转化为等式约束；若约束为“≥”型，则左边－剩余变量转化为等式约束。

（3）变量约束的转化。

如果原问题中某变量非正，即0j x ≤，则令0j j x x '=-≥；

如果原问题中某变量j x 是自由变量(即无非负限制)，则可令

,0,0j j j j j x x x x x ''''''=-≥≥

将变换后的变量代入原问题，得到的转化后的问题与原问题具有相同的最优解。

（4）资源常量的转化。

如果某个资源常量0i b ≤，则先将0i b ≤所在的约束式两边乘以－1使得0i i b b '=-≥后，再将不等约束化为等式约束。

三、单纯形法原理与基本思路

丹捷格（G ．B ．Dantzig ）在1947年提出的求解线性规划问题的单纯形法，使线性规划在理论上渐趋成熟，在实际应用中日益广泛和深入。

单纯形法的原理：如果线性规划问题的可行域D 非空，则可从D 的某一顶点X 0出发，判断它是否最优；如果不是，则沿着边界找其邻近的另一个顶点，新顶点应该比原顶点更优，再次判优；如果不是，再次沿着边界找其邻近的顶点，再判优。通过逐次迭代，直至找出最优解或判定问题无解。 单纯形法的原理表明，单纯形法是一种迭代算法。

根据单纯形法的原理，可得出单纯形法求解的基本思路：

（1）求线性规划问题（LP ）的初始基可行解X 0，并将线性规划问题的相关