数理方程初始条件与边界条件
北理工数学物理方程复习(1)
n 2 2 n 2 l n x X n ( x ) C1 cos l
n 1, 2, ...,
n 特征值 n l2
2
2
n 0,1, 2,
n 0,1,
特征函数 X n ( x ) C1 cos n x l
T 的方程
T a T 0
'' 2
其解为
' ' T0 0 2 2a 2 n Tn'' Tn 0 2
典型方程和定解条件的推导
1）概念:定解问题、初始条件、边界条件; 2）三类典型方程：波动方程，热传导方程， 拉普拉斯方程； 3）三类典型方程的初始条件、边界条件。 根据问题的描述，要会写出定解问题。
典型方程和定解条件的推导
1）概念:定解问题、初始条件、边界条件;
描述某系统或过程边界状况的约束条件称为边 界条件.只附加边界条件的定解问题称为边值问 题.
波方程
2 u( x , t ) 2 a u( x , t ) f ( x , t ), 2 t
弦的自由横振动方程： 弦的强迫横振动方程：
x , t 0
2 2u u 2 a , 2 2 t x 2 2u u 2 a f ( x, t ) 2 2 t x
热传导问题（一维：杆上的温度分布规律） 第一类边界条件：
uS 0 u s f (t )
边界上的温度为0
边界上的温度为f(t)
边界条件的物理意义
热传导问题（一维：杆上的温度分布规律） 第二类边界条件： u 物体和周围介质处于绝热状态， 0 n S 即在边界上热量流速始终为0
u f (t ) n s
故
n at n at n x u( x , t ) A0 B0 t ( An cos Bn sin ) cos l l l n 1
1-2_初始条件与边界条件chen
练习题： 考虑长为 l 的均匀杆的导热问题． 若 １．杆的两端温度保持零度；
２．杆的一端为恒温零度，另一端绝热． 写出杆在上面两种情况下的边界条件． 答案： u
= 0, u = 0;
u = 0, u x = 0;
x=0
x=l
x=0
x=l
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偏微分方程要给出 n 个初始条件才能确定一个特 解．
初始条件的个数的确定：关于时间 t 的 n 阶
边界条件的个数的确定：关于空间变量 x 的 n 阶 偏微分方程不一定要给出 n 个边界条件．
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练习题： 若 考虑长为 l 的均匀杆的导热问题． １．杆的两端温度保持零度； ２．杆的一端为恒温零度，另一端绝热． 写出杆在上面两种情况下的边界条件． 答案：
∂u = f . 外法线方向的方向导数,即 ∂n s 2
第二类边界条件.
第一类边界条件. 三是在边界 S 上给出了未知函数 u 及其沿 S
的外法线方向的方向导数某种线性组合的
⎛ ∂u ⎞ + σ u ⎟ = f3 . 值,即 ⎜ ∂n 第三类边界条件. ⎝ ⎠s
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M
初始条件:
u(M ,t)
t=0
= ϕ (M )
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泊松方程与拉 普拉斯方程
泊松方程与拉 普拉斯方程都是描 述稳恒状态的,与初 始状态无关,不提初 始条件.
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数理方程总结完整终极版
00|()()t t u x ux t ϕψ===⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩拉普拉斯算子：四种方法:分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题：初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条件:热传导方程的初始条件初始时刻的温度分布 :泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件：不含初始条件，只含边界条件条件 波动方程的边界条件: (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(2)自由端：x =a 端既不固定，又不受位移方向力的作用.(3) 弹性支承端：在x =a 端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
定解问题的分类和检验：(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
• 解的存在性：定解问题是否有解；• 解的唯一性：是否只有一解；• 解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小k z j y i x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇u u ∇=grad 2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅∇=∇22222y u x u u ∂∂+∂∂=∇0(,)|()t u M t M ϕ==0|0,x u ==(,)0u a t =变动。
分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。
把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等分离变量法步骤：一有界弦的自由振动 二有限长杆上的热传导 三拉普拉斯方程的定解问题常用本征方程 齐次边界条件2''0(0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X xλλββπβ+=⎧⎨==⎩====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。
浅话边界条件与初始条件
浅话边界条件与初始条件边界条件在说边界条件之前，先谈谈初值问题和边值问题。
初值和边值问题：对一般的微分方程，求其定解，必须引入条件，这个条件大概分两类---初始条件和边界条件，如果方程要求未知量y(x)及其导数y′(x)在自变量的同一点x=x0取给定的值，即y(x0 )=y0，y′(x0)= y0′，则这种条件就称为初始条件，由方程和初始条件构成的问题就称为初值问题;而在许多实际问题中，往往要求微分方程的解在在某个给定的区间a ≤ x ≤b的端点满足一定的条件，如y(a) = A , y(b) = B 则给出的在端点(边界点)的值的条件，称为边界条件，微分方程和边界条件构成数学模型就称为边值问题。
三类边界条件:边值问题中的边界条件的形式多种多样，在端点处大体上可以写成这样的形式，Ay+By'=C，若B=0，A≠0,则称为第一类边界条件或狄里克莱(Dirichlet)条件;B≠0,A=0，称为第二类边界条件或诺依曼(Neumann)条件;A≠0,B≠0，则称为第三类边界条件或洛平 (Robin)条件。
总体来说，第一类边界条件：给出未知函数在边界上的数值;第二类边界条件：给出未知函数在边界外法线的方向导数;第三类边界条件：给出未知函数在边界上的函数值和外法向导数的线性组合。
对应于comsol，只有两种边界条件：Dirichlet boundary(第一类边界条件)—在端点，待求变量的值被指定。
Neumann boundary(第二类边界条件)—待求变量边界外法线的方向导数被指定。
再补充点初始条件：初始条件，是指过程发生的初始状态，也就是未知函数及其对时间的各阶偏导数在初始时刻t=0的值.在有限元中，好多初始条件要预先给定的。
不同的场方程对应不同的初始条件。
总之，为了确定泛定方程的解，就必须提供足够的初始条件和边界条件.边界条件与初始条件是控制方程有确定解的前提。
边界条件是在求解区域的边界上所求解的变量或其导数随时间和地点的变化规律。
浅谈数理方程中线性边界条件的分类
浅谈数理方程中线性边界条件的分类摘要： 数学物理方程中有定解离不开初始条件和边界条件，其反映了具体问题所处的环境和背景。
本文针对线性边界条件的分类进行归纳。
关键词： 数学物理方程 线性边界条件 分类一、 引言物理课程中所研究论述的物理规律是物理量在空间和时间中变化的规律。
物理规律用数学表达是：物理量u 在各个地点和各个时刻所取值之间的联系。
通过这种联系，我们就可以由边界条件和初始条件推算出物理量在任意地点和任意时刻的u(x,y,z,t)。
同时它也是解决问题的依据。
为了解算具体问题，应该考虑到所研究的区域所处的环境。
边界条件和初始条件就是反映具体问题所处的环境和背景。
二、 线性边界条件的分类物理规律反映的是物理量在时间和空间上的联系，与特定的周围环境和历史有关。
物理中的联系总是要通过中介，周围环境的影响是通过边界传给其研究对象，所以，周围环境的影响体现于边界所处的物理状况，即边界条件。
而不同的物理过程，因其具体的条件不同，结果也不一样。
下面，将对线性边界条件进行简单的归纳。
1、第一类边界条件这类边界条件直接规定了所研究的物理量在边界上的数值。
()(),,,U x y z t 00000边界x ,y ,z 0,=f t,x ,y ,z ，又称狄利克雷()Dirichlet 边界条件。
首先以弦振动为例：取一根长为L 的弦，把它的两端0X =和X L =固定起来，然后让它振动。
边界条件0X =和X L =既然是固定的，那位移U 当然始终为零。
()0,0x U x t ==()()()()()000000,,000,,,,,,0,0,,,0x x tx x ax lx y z x a U x t N U x t N f z t u x t uuf t x y z nkUn ρϕ=========∂=∂=边界(),0x t U x t ==对于细杆导热问题，如果杆的某一端点x=a 的温度U 按已知的规律f (t)变化，则该点的边界条件是：()(),x aU x t f t ==特别是如果该端点恒温u 0 ,则边界条件成为()()0,x aU x t f u ==再如，半导体扩散工艺的“恒定表面浓度扩散”中，硅片周围环境是携带着充足杂质的氮气，杂质通过硅片表面向内部扩散，而硅片表面的杂质浓度保持一定。
数理方程 - 01 - 数理方程绪论
2015/10/13
11
通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
2015/10/13
12
例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
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15
受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
2021优选第四讲-边界和初始条件ppt
• 对于气体： – 静压，静温，密度 (其中任意两个参数) – 速度 (或马赫数)
• 对于流体： – 静压，温度和流速
• 对于固体： – 温度
创建初始条件
• 点击 EFD Features 工具栏的初始条件（Initial Condition）
流动参数
• 垂直于平面（Normal To Face）.流动垂直于开口 表面。
• 旋转 （Swirl） .可以定义关于参考轴的旋转流动。 – 右手参考法则 (也就是螺旋法则) – 角速度和径向速度
• 3D 矢量（3D Vector）.在X、Y、Z三个方向成角 度流动
• 入口流动分布 （Inlet Profile）对于质量流量 和体积流量等整体的入
• 可以在 Engineering Database 中找到风扇特性曲线。
强烈建议你联系你的风扇供应商，寻求你所使用风扇的 最新技术参数。
• 风扇曲线
其它参数
• 湿度. – 如果需要计算项目中的气体相对湿度 （Relative Humidity）
• 物质浓度 – 对于多种流体，可以定义每一种流体的相对体积或 质量浓度。
你也可以右击图形区域内的模型表面，并且选择 Insert Boundary Condition 对所选的表面创建 一个边界条件。
• 你可以直接在模型上观察定义的边界条件：
• 不同颜色箭头表示边界条件 的方向和类型。 •在 EFD 分析树中右击边界 条件项，选择 Show 或 Hide 可以显示或隐藏箭头。
边界条件类型
• 流动开口 （Flow Openings）
– 入口或出口 – 速度;质量流量;体积流量
初始条件与边界条件课件
有限体积法
总结词
详细描述
THANKS
• 初始条件 • 边界条件 • 初始条件与边界条件的区别与联系 • 初始条件与边界条件在物理问题中的应用 • 初始条件与边界条件的数学表达 • 初始条件与边界条件在数值模拟中的应用
CHAPTER
定义 01 02
重要性
在许多物理现象和数学问题中，初始 条件的选择对于确定最终状态和行为 至关重要。
经典力学问题
总结词
详细描述
热力学问题
总结词
详细描述
热力学问题
总结词 详细描述
电磁学问题
CHAPTER
初始条件的数学表达
初始条件的定义
初始条件的重要性
初始条件是指在物理过程或数学问题 中，描述系统在初始时刻的状态或状 态变化率的一组条件。
初始条件是决定系统未来状态的重要 因素，对于许多物理过程和数学问题， 初始条件的微小变化可能会导致最终 结果的巨大差异。
初始条件的数学表达形式
在数学中，初始条件通常用一组方程 来表示，这些方程描述了系统在初始 时刻的状态或状态变化率。
边界条件的数学表达
边界条件的定义
边界条件的数学表达形式
边界条件的重要性
CHAPTERຫໍສະໝຸດ 有限差分法总结词 详细描述
有限元法
总结词
一种求解偏微分方程的数值方法
VS
详细描述
有限元法将连续的求解域离散化为有限个 小的单元，通过在这些单元上近似求解偏 微分方程，得到数值解。这种方法在结构 力学、地震工程等领域有广泛应用。
在设定边界条件时，需要考虑问题的实际应用和物理背景，以确保所施加的约束是 合理和有效的。
在某些情况下，边界条件可能需要根据实验数据或观测结果进行校准和调整，以更 好地符合实际情况。
数理方程的建立,初始条件,边界条件的写法部分作业
1、弦在介质中振动，单位长度的弦所受的阻力F 与速度成正比，比例常数R 称为阻力系数，试推导弦在介质中的纵向微振动方程。
（022222=∂∂+∂∂-∂∂t u x u a t u γ，式中ργρR F a T ==2 T F 为弦自身的张力，ρ为弦的质量密度）2、中子在扩散过程中会发生衰变，衰变率与中子密度成正比，且衰变率为β（常量），设D 为扩散系数，试推导中子的扩散方程。
（u u D tu β-=∇-∂∂2） 3、推导弹性细杆的横向振动方程，设杆的杨氏模量为E （常量），质量密度为ρ（常量），杆还受外力的作用，单位长度所受的外力为F(x,t)，力的方向与杆轴平行。
（()t x f x u a t u ,22222=∂∂-∂∂ 其中()()ρρE a t x F t x f ==/,,）4、一长为L 的均匀细杆，左端固定，右端受拉力F 0的作用，写出杆横振动问题的边界条件。
（ES F x u u Lx x 000=∂∂===）5、一长为L 的均匀细杆，截面积为S （常数），左端有恒定的热流流入，其强度为Q ，右端保持恒定的温度，写出热传导问题的边界条件。
（)T u ks Q x uL x x =-=∂∂==0）6、长为L 的弦两端固定，密度为ρ，开始时在ε<-c x 处受到冲量I 的作用，写出初始条件。
（⎪⎩⎪⎨⎧>-<-=∂∂=-=εεερc x c x I t u u t t 02000） 7、一长为L 的均匀细杆，侧面绝热，x=0端有恒定热流流入，强度为1q ，x=L 端有恒定的热流流入，强度为2q ，杆的初始温度分布为()2x L x -，写出该问题的全部定解问题。
（()k q x u k q x u x L x u x u a t u L x x t 210022220=∂∂-=∂∂-=∂∂-∂∂===）。
初始条件和边界条件.ppt
1
bzv
2 f
v v f
0
bxbyv f
v f
(v
2 f
by2 )
bybzv f
1
(v
2 f
by2 )
1
bxv
2 f
0
1
bzv
2 f
v vs v vs
0
bxbyvs vs (by2 vs2 )
bybzv s
1
(b
2 f
v
2 s
)
0
1
bxv
2 s
0
0 bxbyvs vs (by2 vs2 ) bybzvs
n 0
,即
t
0
稳定，但有强反射
0123
2.
等值外推（0次外推）
n 1 0
1n
1
,即
x
0
精度及稳定性均好
3. 线性外推（1次外推）n1 0
21n 1
2n
1
,即
2
x 2
0
可视为无反射条件
4. 增量等值外推
n 1 0
n 0
n 1 1
1n
,即
2
tx
0
5. 单边差分
如对
t
v
x
0(1D不可压流)采用v<0时宜采用，
1
(b
2 f
v
2 s
)
1
bxv
2 s
1
bzv
2 s
1
bzv
2 s
vA
By
vf
...... vs .... 分别为y方向的波速
bx
Bx
；by
初始条件与边界条件
定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时，
引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的，
否则称解是不稳定的。
例 设弦的两端固定于x=0 和x=l，弦的初始位移 如下图，初速度为零，求弦满足的定解问题。 解：
2u 2u a2 0 x l , t 0; 2 2 0 t x u u x l 0; x 0 l x, 0 x u 2 , 0 ut 0 t t 0 l x, l x l 2
u x 0 0; u x l 0
若弦的两端不是固定的，而是按照规律 u1 ( t ), u2 ( t ) 在运动,则其边界条件为
u x 0 u1 (t ); u x l u2 (t )
热传导问题：当物体与外界接触的表面温度 f(M,t) 已知时，其边界条件为
u S f (M,t)
x 0
二阶偏微分方程
2u 2u 2u u u a11 2 2a12 a 22 2 b1 b2 cu f xy x y x y
可简写为 L[u] f . 定解条件
u x
g
x 0
可简写为 B[u ] g.
叠加原理 1 若 ui 满足线性方程
l l 2,2
l
线性方程的叠加原理
一般二阶线性偏微分方程（n个自变量）
n 2u u A B cu f 0 ik i xi xk i 1 xi i 1 k 1 n n
两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu f x xy y x y
u 在边界的值，即 n u f3 S
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
数理方程08
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u − ( A + B) + AB ⋅ 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y
2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u =A + 2 AB +B ∂ξ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 2 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u − ( A + B) A 2 + ( A + B) + B 2 + AB 2 + 2 + = −( A − B ) ∂ξ ∂ξ∂η ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂η 2 ∂ξ∂η
− x2
3 −( y −3 x )2 3 3 −( y + x )2 3 3 −( y −3 x )2 3 −( y + x )2 u= e − C+ e + C = e + e 4 4 4 4 4 4
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u x > 0,−∞ < y < +∞ ∂x 2 − ∂x∂y − 2 ∂y 2 = 0, u (0, y ) = 21 , ∂u (0, y ) = 0, − ∞ < y < +∞ y +1 ∂x y 2 + xy − 2x 2 = ( y − x)( y + 2 x) ∂ 2u =0 ξ = y − x η = y + 2x ∂ξ∂η
2 2
∂ 2u ∂ 2u − a2 2 = 0 ∂x 2 ∂y ∂ 2u ∂ 2u + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂u ∂ 2u = a2 2 ∂t ∂x
y −a x =0
2 2 2
∆ = 0 2 − 4 × 1× ( − a 2 ) = 4a 2 > 0 双曲型方程
数理方程初始条件与边界条件
2
解记为 u1 ( x, t )
（可由达朗贝尔公式给出）
utt a 2u xx f ( x, t ), t 0, x , （C） 解记为 u2 ( x, t ) u ( x,0) 0, ut ( x,0) 0.
由叠加原理可知
u( x, t ) u1 ( x, t ) u2 ( x, t ).
• 定解问题：泛定方程加上适当的定解条件就构成一个定 解问题，即定解问题=泛定方程+定解条件。
1.3
定解条件
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t 0 ( x) 系统各点的初位移 u ( x) t 系统各点的初速度 t 0
B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布： u(M , t ) |t 0 (M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 不含初始条件，只含边界条件条件
哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla ˆ ˆ ˆ i j k x y z
与梯度算子有关的场论运算
gradu u
divA A
rotA A
2 2 2 ห้องสมุดไป่ตู้ 拉普拉斯算子 3 2 2 2 2 x y z
作变量代换
x x at
u a 0
解为：u f ( x at)
f
为任意函数
7
举例（未知函数为二元函数）
3.
2u 0 xt
解为： u g ( x) h(t )
2 2u u 2 a 0 4. 2 2 t x
变换
x at x at
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
数理方程：第2讲典型方程的定解条件
弹性力 k u xl
张力
T u x xl
u
u
x
xl
0
( T )
k
(2) 热传导问题（端点自由冷却）
散失的热量
dQ1 h(u u1)dSdt
内部流到边界的热量
dQ2
k
u dSdt n
dQ1 dQ2 k nu h(u u1 )
即
(u
u )
x xl
u1
( k )
h
§3 定解问题
x
, t
0)
的解等于问题(I)和问题(II)的解之和
(I)
utt u t0
a2uxx 0
( x), ut
t0
(
(x)
x
, t
0)Байду номын сангаас
(II) utt a2uxx f ( x, t ) u t0 0, ut t0 0
( x ,t 0)
如
Lu
a11
2u x 2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
b1
u x
b2
u y
c
u
u x
x0
二阶偏微分方程
a11
2u x 2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
b1
u x
b2
u cu y
f
可简写为
L[u] f
叠加原理 1 若ui 满足线性方程 L[ui ] fi ，i 1,2,, n
➢包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题 (初边值问题)
uutt
0
a2(uxx
(x, y
u yy ,z)
第七章数理方程教材
一般说来，任何一个本征解都不能单独满足初 始条件，因此本征解并不是定解问题的解。
为了获得满足初始条件的解，通常要将本征解 进行线性叠加，从而形成如下的通解式:
可以证明，通解式既满足微分方程，又满足边 值条件。若要使其满足初始条件，那么
(x)和(x)的傅氏展开
根据以上初始条件，可以进一步确定通解式中 待定常数
再假设初始条件为 那么完整的定解问题为:
小结:
1. 定解问题: 描述物理现象的偏微分方程+定解条件; 2. 微元法建立偏微分方程: 在系统中任选一微元,将有
关的物理定律用于这一微元,建立它的运动方程.然 后取趋向于无穷小的极限,保留最低阶小量,略去高 阶小量,就可得到所需的偏微分方程; 3. 定解条件: 边界条件+初始条件(+附加条件);
则w(x)必须满足条件：
求解以上定解问题很容易求出：
根据 v(x,t)定解问题中的初始条件，就可以 确定待定系数
§7.5 有阻尼的波动问题 例10 两端固定弦的小阻尼振动问题
f (x,t)x
弦在振动过程中所受阻力一般正比于速率。 ( , 为常数)
类似于本章例1的推导可以得到：
（阻尼因子）
解：采用分离变量法，设
代入边界条件后得: ，若要使 ，那么
相应的本征函数为： 因此该问题的本征解为:
管乐器中空气的本征振动角频率为： 当n=0时，对应于最低频率ν 0（基频）。 当n>1时，相应的本征振动频率是n次谐频。
管乐器声音中只有奇次谐频，没有偶次谐频。
分离变量法解题的四步:
1. 设具有分离变量法的试探解,并代入偏微分方程和边界条 件,从而化为几个常微分方程(必需有一个方程构成本征 值问题)和相应的边界条件;
【数理方程】92偏微分方程的定解问题
即
（ u n
u）S
u1
S
其中 k1 / k
因此，边界条件可以写成：
（u n
u）S
g( x,
y, z,t)
其中u 表示u沿边界上的单位外法线方向n的方向
n
导数，g( x, y, z, t)表示点（x, y, z) 上的已知函数，
k1 / k为已知正数.
例
杆的热传导问题，x =L 的一端处在一种自由
稳定的解有实用价值，否则所得的解就无使用价值。
注意
1）定解条件通常总是利用实验的方法获得的， 因此所得的结果总是有一定的误差。 2）当所得的解变动很大时，这种解显然是 不符合客观实际要求的。 3）如果一个定解问题存在唯一且稳定的解， 则此问题称为适定的。 4）讨论定解问题的适定性往往十分困难， 而我们所讨论的定解问题，它们的适定性都 是经过证明了的。在以后的讨论中，我们应 把着眼点放在讨论定解问题的解法上。
面流入的热量为q），杆的初始温度分布是 x(l x)，
试写出相应的定解问题。
2
答案
热传导温度的微分方程为：
u t
a2
2u x 2
这 里a2 k .
c
x(l x) 初始条件： u t0 2
边界条件： u x0 0
定解问题为：
u
k x
xl
q
u t
a2
2u x 2
x(l x)
u t0
答案
弦振动的微分方程为：
2u t 2
a2
2u x 2
初始条件：
e u t0 l x
u t t0 0
边界条件：
u x0 0
u x
xl
0
定解问题为：
数理方程第一章-3讲解
a2
(
2u x2
2u y2
2u z2
)
u t
a2 k c
—— 三维热传导方程
本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。
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第一类边界条件：物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如
u S
f1
第二类边界条件：物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在边界上的值，如
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知识补充：
弹性模量是指当有力施加于物体或物质时，其弹性变 形（非永久变形）趋势的数学描述。物体的弹性模量 定义为弹性变形区的应力－应变曲线的斜率。杨氏模 量指的是受拉伸和压缩时的弹性模量。
杨氏模量(Young‘s modulus)是描述固体材料抵抗形变 能力的物理量。一条长度为L、截面积为S的金属丝在 力F作用下伸长L。F/S叫应力，其物理意义是金属丝 单位截面积所受到的力； L/L叫应变，其物理意义是 金属丝单位长度所对应的伸长量。
dx
x
不考虑垂直杆方向的形变，根据Hooke定律，应力与应变成正
比，即 P E u x
代入
P x
2u t 2
2u t2
a2
2u x2
0 xl , t0
其中
a2 E
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例6：一根均匀杆，原长为l，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长e而静 止。突然松手，任其纵向振动。写出定解问题。
（3）对于稳恒场，上述边界条件的两端均不含时间 t ; （4）边界条件的推导，步骤与泛定方程的推导大致相同，但微元只能在边界上选取。
x
x
S 2u d x
t2
Sdx dm（微元质量）
05 数理方程定解问题
ρ ∆u = − → Poisson 方程 ε → Laplace方程 ∆u = 0
注意：在稳定温度场中
ut = 0
f ut = D∆u + f → ∆u = − D
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15:57:45
第 5 章 数理方程定解问题
本节小结
三类数学物理方程
utt = a2 uxx + f
建立方程的步骤有三步
ut = Duxx + f ρ ∆u = − ε
1、划分出一小块，考虑其与邻近部分的关系； 2、根据物理学规律，表示出此关系； 如：牛顿运动定律、能量守恒定律、麦克斯韦方程等。 3、化简、整理，即得数理方程。
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第 5 章 数理方程定解问题
§5.3 定解条件
*引入定解条件的必要性： a. 从物理的角度看：数理方程仅能表示一般性 b. 从数学的角度看：微分方程的解的任意性 也需附加条件来确定。
初始条件 定解条件 边界条件 其它条件
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第五章 数理方程定解问题
Mathematical Problem 中心: 将物理问题转化为数理方程 目的: 1、用数理方程研究物理问题 2、导出方程 3、能正确写出定解问题
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15:57:42
第 5 章 数理方程定解问题
§ 5.1 引言
Introduction
一、数理方程简介：
1、数学物理方程概念： 数学物理方程是指从物理、工程问题中，导出的反 映客观物理量在不同地点、时刻之间相互制约关系的一 些偏微分方程。 数学物理方程
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琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡 等
u ☆热传导方程： a 2 u f ( x, y, z, t ) t
热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动
☆调和方程： u f 或 u f 空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布
2
第一章 偏微分方程定解问题
• 定解问题：泛定方程加上适当的定解条件就构成一个定 解问题，即定解问题=泛定方程+定解条件。
1.3
定解条件
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t 0 ( x) 系统各点的初位移 u ( x) t 系统各点的初速度 t 0
B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布： u(M , t ) |t 0 (M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 不含初始条件，只含边界条件条件
作变量代换
x x at
u a 0
解为：u f ( x at)
f
为任意函数
7
举例（未知函数为二元函数）
3.
2u 0 xt
解为： u g ( x) h(t )
2 2u u 2 a 0 4. 2 2 t x
变换
x at x at
u af ( x at ) ag ( x at ) t 2u 2 2 a f ( x at ) a g ( x at ) 2 t u f ( x at ) g ( x at ) x 2u f ( x at ) g ( x at ) 2 x
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0,
或： u (a, t ) 0
(2)自由端：弹性杆x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
u x
u T x
xa
0 或：u (a, t ) 0 x
哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla ˆ ˆ ˆ i j k x y z
与梯度算子有关的场论运算
gradu u
divA A
rotA A
2 2 2 拉普拉斯算子 3 2 2 2 2 x y z
Warm-up 判断下列方程类型：
u u 2 xy 0; x y
一阶线性 三阶拟线性
u u u u 3 0; t x x
3
u 2 u 2 ( ) ( ) 0; x y
一阶非线性
回顾三： 三类典型偏微分方程
2 2u u 2 ☆波动方程： t 2 a x 2 f ( x, t )
多项式称解：
ux y
2
2
什么是定解问题？
• 泛定方程：描述某类物理现象共同规律的数学表达 式— —偏微分方程（比如，波动方程、热传导方程、拉普拉 斯方程等等）。 注--它的解可含任意函数，因而不能用
来确定或反映一个真实的物理过程。
基 本 概 念
• 定解条件：伴随一个完整的物理过程发生的具体条件， 一般包括初始条件与边界条件 。
2 2u u 2 a , 移项即证。 2 2 t x
故
特解
2u 1 u 1 2u 2 0 的一些特解： 例：二维Laplace方程 2u 2 2 r r r r
1 中心对称解： u ln ( r 0) r
周期称解：
u e x sin y
• 初始条件：用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。
• 边界条件：用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。
注：初始条件的个数与方程中出现的未知函数u对时间变量t的导数 的阶数有关。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 • 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。
回顾一：
数学物理方程主要内容
三种基本问题 初值问题 边值问题 混合问题
三种基本方程、 五种基本解法、 两个基本原理、两个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
通解法 行波法（达朗贝尔公式） 分离变量法 (Fourier级数法) 积分变换法 格林函数法
叠加原理 齐次化原理
贝塞尔函数 勒让德函数
一些常见符号
2 2 u u 2 平面上的拉普拉斯算子 2 u 2 2 x y
回顾二：偏微分方程的一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程；
(2) 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和
非线性（包括半线性，拟线性，完全非线性）微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程； (4) 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和 变系数微分方程； (5) 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
1.3 定解条件和定解问题
• 通解和特解
• 定解条件
• 定解问题 1.5 叠加原理和齐次化原理（冲量原理）
1.2.1 通解与特解
举例（设未知函数为二元函数）
1.
u 0 x
解为： u f ( y )
f 为任意函数
u u a 0 2. t x
x t 1 ( ) a
解为：
u g ( x at) h( x at)
2u 0
8
例 验证 u( x, t ) f ( x at ) g ( x at ) 是方程
2 2u u 2 a 0 的解，其中f,g是任意两个二阶 2 2 t x
连续可微函数，a为正常数。 解：
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
x a
k u x a 或
u k u 0 x T xa
B、热传导方程的边界条件 (设S为给定区域V 的边界)