数理方程初始条件与边界条件

作变量代换
x x at
u a 0
解为：u f ( x at)
f
为任意函数
7
举例（未知函数为二元函数）
3.
2u 0 xt
解为： u g ( x) h(t )
2 2u u 2 a 0 4. 2 2 t x
变换
x at x at
2 2 u u 2 平面上的拉普拉斯算子 2 u 2 2 x y
回顾二：偏微分方程的一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程；
(2) 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和
非线性（包括半线性，拟线性，完全非线性）微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程； (4) 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和 变系数微分方程； (5) 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
1.3 定解条件和定解问题
• 通解和特解
• 定解条件
• 定解问题 1.5 叠加原理和齐次化原理（冲量原理）
1.2.1 通解与特解
举例（设未知函数为二元函数）
1.
u 0 x
解为： u f ( y )
f 为任意函数
u u a 0 2. t x
x t 1 ( ) a
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0,
或： u (a, t ) 0
(2)自由端：弹性杆x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
u x
u T x
xa
0 或：u (a, t ) 0 x
多项式称解：
ux y
2
2
什么是定解问题？
• 泛定方程：描述某类物理现象共同规律的数学表达 式— —偏微分方程（比如，波动方程、热传导方程、拉普拉 斯方程等等）。 注--它的解可含任意函数，因而不能用
来确定或反映一个真实的物理过程。
基 本 概 念
• 定解条件：伴随一个完整的物理过程发生的具体条件， 一般包括初始条件与边界条件 。
u af ( x at ) ag ( x at ) t 2u 2 2 a f ( x at ) a g ( x at ) 2 t u f ( x at ) g ( x at ) x 2u f ( x at ) g ( x at ) 2 x
回顾一：
数学物理方程主要内容
三种基本问题 初值问题 边值问题 混合问题
三种基本方程、 五种基本解法、 两个基本原理、两个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
通解法 行波法（达朗贝尔公式） 分离变量法 (Fourier级数法) 积分变换法 格林函数法
叠加原理 齐次化原理
贝塞尔函数 勒让德函数
一些常见符号
Warm-up 判断下列方程类型：
u u 2 xy 0; x y
一阶线性 三阶拟线性
u u u u 3 0; t x x
3
u 2 u 2 ( ) ( ) 0; x y
一阶非线性
回顾三： 三类典型偏微分方程
2 2u u 2 ☆波动方程： t 2 a x 2 f ( x, t )
琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡 等
u ☆热传导方程： a 2 u f ( x, y, z, t ) t
热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动
☆调和方程： u f 或 u f 空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布
2
Hale Waihona Puke Baidu
第一章 偏微分方程定解问题
• 初始条件：用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。
• 边界条件：用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。
注：初始条件的个数与方程中出现的未知函数u对时间变量t的导数 的阶数有关。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 • 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。
解为：
u g ( x at) h( x at)
2u 0
8
例 验证 u( x, t ) f ( x at ) g ( x at ) 是方程
2 2u u 2 a 0 的解，其中f,g是任意两个二阶 2 2 t x
连续可微函数，a为正常数。 解：
2 2u u 2 a , 移项即证。 2 2 t x
故
特解
2u 1 u 1 2u 2 0 的一些特解： 例：二维Laplace方程 2u 2 2 r r r r
1 中心对称解： u ln ( r 0) r
周期称解：
u e x sin y
• 定解问题：泛定方程加上适当的定解条件就构成一个定 解问题，即定解问题=泛定方程+定解条件。
1.3
定解条件
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t 0 ( x) 系统各点的初位移 u ( x) t 系统各点的初速度 t 0
B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布： u(M , t ) |t 0 (M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 不含初始条件，只含边界条件条件
哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla ˆ ˆ ˆ i j k x y z
与梯度算子有关的场论运算
gradu u
divA A
rotA A
2 2 2 拉普拉斯算子 3 2 2 2 2 x y z
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
x a
k u x a 或
u k u 0 x T xa
B、热传导方程的边界条件 (设S为给定区域V 的边界)