2010年南通期中考试答案及评分标准

高三期中考试
数学参考答案及评分标准
1. {2 , 4} 2 . 1
3 .
—
4 .二
5 .
-- ---
4
2
2 x
2
1
6. 1 7 . 2 8 . — _ y =1 9 .-
10 . 2
4
—
3
11
1
12 . 20
13
.
1 3 3 14 . {k|k :::- 27 或k
>0}
.2
1
4 4 _
32
14小题，每小题5分，共70 分.
、填空题: 本大题共
本大题共 6小题，共 90 分. 二、解答题: 15.（本小题满分14分） 解：在△ ABC 中，cosA= - ,••• sinA=3
.又 5 5 4 亠 4 • cos(B — A)=,或 cos(B — A)=—- 5 5 右 cos(B — A)=—, 5
sin(B — A)=3 ,
5
则 sinB=sin[ A+(B — A)]=sinAcos(B — A)+cosAsin(B — A)
3 4 4 3
24
------ ------------ * —
------- !T — ------- ” ，
5 5 5 5
25
右 cos(B — A)=-—
5
12分
则 sinB=sin[ A+(B — A)]=sinAcos(B — A)+cosAsin(B — A)
3 4 4 3 — 3 = 0 (舍去).
5
5
5 5
综上所述，得sinB^24 . 25 14分
（注：不讨论扣2分）
16.（本小题满分14分） （1）证明：•••平面 ABCD 丄平面 ABE ，平面 ABCD 门平面ABE=AB , AD 丄
AB , • AD 丄平面 ABE , AD 丄
AE .
•/ AD // BC ,贝U BC 丄 AE . 又BF 丄平面 ACE ，贝U BF 丄AE .
•/ BCQBF=B,••• AE 丄平面 BCE ,「. AE 丄 BE .
（2）设AC Q BD=G ，连接FG ,易知G 是AC 的中点,
•/ BF 丄平面 ACE ，贝U BF 丄CE .
而BC=BE ,• F 是EC 中点. 10分 在厶 ACE 中，FG // AE ,
•/ AE 二平面 BFD , FG 二平面 BFD , 17. （本小题满分15分）
f a 1 3 :: a 1 " 2d,
解:(
1)由题意，得£+d +5>a1+3d,解得
又 d € Z ,• d = 2 . • a n =1+(n — 1) 2=2n — 1 .
解得m=12.
18. （本小题满分15分）
• AE //平面 BFD .
14分
• S 22
1
a n a
n 1
(2n -1)(2n 1)妇_1 2n 1
1 111 1 [(1 )-( )亠 十 3 5
2n -1 2n 1
1
c 2
厂
,S 2
, S m
1 1
)]
Q 1
2n 1 2n 1 N”）的等比中项,
11分
m 2m T
14分 15分
解：（1）由题意，得a = 2 ,
e = 2 c =1,「. b 2
=1.
2
C
B
2
所以椭圆C 的标准方程为 1 • y 2 =1 .
............................... 6分
2
1
(2)T P( — 1,1), F(1 , 0),••• k pF 一丄，••• k oQ =2 .
2
所以直线OQ 的方程为y =2x.
............................... 10分
又椭圆的右准线方程为 x =2,所以Q(2, 4)，所以k pQ = 4 -1 “ .
2-(-1) 又 k op = -1
，所以 k PQ k op = -1
，即 0P 丄 PQ .
故直线PQ 与圆0相切.
................. 15分
19. (本小题满分16分)
解：(1)该连锁分店一年的利润
L (万元)与售价x 的函数关系式为
L(x)= (x — 4— a)(10 — x)2, x € [8,9] .
............................... 4 分
(2) L (x) =(10-x)2 -2(x-4 -a)(10-x) =(10 — x)(18+2a — 3x),
............. 6 分
2 令 L (x) =0，得 x =6+ a 或 x=10 (舍去).
3
20 2
1 w a w 3,「. — w 6+ a w &
............................... 10 分
3 3
所以 L(x)在 x € [8,9]上单调递减，故 L max =L(8)=(8 — 4 — a)(10— 8) =16 — 4a . 即 M(a) =16 — 4a.
............................... 15分 答：当每件商品的售价为 8元时，该连锁分店一年的利润
L 最大，
最大值为16— 4a 万元.
................. 16分
20. (本小题满分16分)
解：(1) f (x)为单调减函数. ................. 1分
证明：由0<m w 2, x >2，可得
(扪n2，
且0<m w 2, x >2，所以f (x) ：：:0 .从而函数f(x)为单调减函数.
f (x)二 f 1(x) f 2(x) =
mx 2
4x 16
mx 2
4x 16
-2m
(1 )x
(亦可先分别用定义法或导数法论证函数 f i (x)和f 2(x)在［2,；)上单调递减，再得
函数f(x)为单调减函数.) (2)①若 m W 0,由 x i >2, g(xj = f i (x i )
2 -
w 0 ,
4托 +16
X 2V 2, g(x 2)=f 2(X 2)=(g )|x2J ml 0 , 所以g (x i ) = g (X 2)不成立.
................ 7分
②若 m >0,由 x > 2 时，g (x) = f 1 (x)=叭4_马:::0 , (2x 2 8)2
所以 g(x)在［2,二)单调递减.从而 g(x0 (0, f i (2)］，即 g(xj (0,—］.
16
........................... 9分
(a) 若 m >2,由于 X V2 时，g (x) = f 2(x)=(丄)|x 』=』)心=』)m 2x ,
2 2 2
所以g(x)在(—a ,2)上单调递增，从而g(X 2)• (0, f 2(2)),即g(X 2)- (0,(丄于.
2
要使g (x i ) = g (X 2)成立，只需 —，即卩…(丄)",::;0成立即可.
16 2 16 2 由于函数h(m)-(丄)2在［2,；)的单调递增，且h(4)=0 ,
16 2 所以2w m v 4.
.............................. 12分 「1
1
(丄Lx", (b) 若 0v m v 2,由于 x v 2 时，g(x) = f 2(x) =(—)|X 何=2
2
dr 』m w x<2. .2
所以g(x)在(-：：,m ］上单调递增，在［m,2)上单调递减. 从而 g(X 2) (0, f 2(m)］，即 g(X 2) (0,1］.
m 1 1 2 _m 1
由 0v m v 2,得
，()：
16 8 2
4
故当0v m v 2时，m w (丄)2"恒成立.
16 2
要使g (X 1) = g (X 2)成立，只需
成立，即 -w (丄)2成立即可.
16 2
15分
综上所述，m 为区间（0，4）上任意实数．16分。