曲线运动运动的分解与合成

曲线运动、运动的分解与合成一、考点突破
运动的分解与合成：全方位理解运动的合成与分解的方法及运动的合成与分解在实际问题中的应用。

运动的合成与分解是分析解决曲线运动问题的重要方法，是每年高考的必考内容，曲线运动的条件及运动的合成与分解问题是高中物理问题的难点所在，特别是绳子的牵连速度问题，小船渡河问题是学生们学习曲线运动问题的难点，也是历次考试的重点。

二、重难点提示
1. 知道曲线运动中速度的方向，理解曲线运动是一种变速运动，必定具有加速度。

2. 知道做曲线运动的条件。

3. 能够准确地判断合运动与分运动；掌握应用运动的合成与分解的方法求解曲线运动类问题。

一、曲线运动
1. 曲线运动的速度方向：在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度的方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。

2. 曲线运动的性质：曲线运动的速度方向时刻变化。

即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动，加速度不为零。

3. 做曲线运动的条件：
（1）从运动学角度说，物体的加速度方向跟运动方向不在同一条直线上，物体就做曲线运动。

（2）从动力学角度说，如果物体受力的分方向跟运动方向不在同一条直线上，物体就做曲线运动。

二、运动的合成与分解
1. 合运动与分运动的关系
一个物体的实际运动往往参与几个运动，我们把这几个运动叫做实际运动的分运动，把这个实际运动叫做这几个分运动的合运动。

（1）等时性：各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等。

（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。

（3）等效性：各分运动的叠加与合运动有完全相同的效果。

2. 已知分运动求合运动叫运动的合成。

即已知分运动的位移、速度和加速度等求合运动的位移、速度和加速度等，遵从平行四边形定则。

3. 已知合运动求分运动叫运动的分解。

它是运动合成的逆运算。

处理曲线问题往往是把曲线运动按实效分解成两个方向上的分运动。

4. 运动合成的方法
（1）两个分运动在同一直线上时，运动合成前一般先要规定正方向，然后确定各分运动的速度、加速度和位移的正、负，再求代数和。

（2）两个分运动不在同一直线上（即互成角度）时，要按平行四边形定则来求合速度、合加速度和合位移。

（3）互成角度的两个分运动的合成
两个互成角度的匀速直线运动的合运动，仍然是匀速直线运动；两个互成角度的初速度为零的匀加速运动的合运动，一定是匀加速运动；两个互成角度的分运动，其中一个做匀速直线运动，另一个做匀变速直线运动，其合运动一定是匀变速曲线运动；两个
初速度均不为零的匀变速直线运动合成时，若合加速度与合初速度的方向在同一直线上，则合运动仍然是匀变速直线运动；若合加速度的方向与合初速度的方向不在同一条直线上，则合运动一定是匀变速曲线运动。

（4）两个互相垂直的都是匀速直线运动的合成
其合运动与分运动都遵循平行四边形定则或三角形定则。

则合位移的大小和方向为：
2
221x x x +=，21
tan x x =
θ
合速度的大小和方向为：2
221v v v +=，
21
tan v v =
θ
5. 运动分解的方法
（1）对运动进行分解时，要根据运动的实际效果来确定两个分运动的方向，否则分解无实际意义，也可以根据实际情况，对运动进行正交分解。

（2）合运动与分运动的判断：合运动就是物体相对某一参考系（如地面）所做的实际运动，即物体合运动的轨迹一定是物体实际运动的轨迹，物体相对于参考系的速度即为合速度。

（3）曲线运动一般可以分解成两个方向上的直线运动，通过对已知规律的直线运动的研究，可以知道曲线运动的规律，这是我们研究曲线运动的基本方法。

命题规律：对物体做曲线运动的理解，会利用物体做曲线运动的条件判断物体是否做曲线运动及其运动性质和运动轨迹。

三、能力提升例题
例1 一个物体以初速度0v 从A 点开始在光滑的水平面上运动，一个水平力作用在物体上，物体的运动轨迹如图中的实线所示，B 为轨迹上的一点，虚线是经过A 、B 两点并与轨迹相切的直线。

虚线和实线将水平面分成五个区域，则关于施力物体的位置，下列各种说法中正确的是（ ）
A. 如果这个力是引力，则施力物体一定在④区域中
B. 如果这个力是引力，则施力物体可能在③区域中
C. 如果这个力是斥力，则施力物体一定在②区域中
D. 如果这个力是斥力，则施力物体可能在⑤区域中
一点通：该题考查物体做曲线运动的条件，从动力学角度说，如果物体受力分方向跟运动方向不在同一条直线上，物体就做曲线运动。

而且物体受力的方向总是指向曲线弯曲的内侧。

解：物体做曲线运动，一定受到与初速度v 0方向不平行的力的作用，这个力与速度方向垂直的分量起到向心力的作用，使物体的运动轨迹向向心力的方向弯曲，且运动轨迹应在受力方向和初速度方向所夹的角度范围之内，所以此施力物体一定在轨迹两切线的交集处。

如果是引力，施力物体在轨迹弯曲的内侧（相互吸引，使物体运动向轨迹内侧弯曲）。

如果是斥力，施力物体在轨迹弯曲的外侧（相互排斥，使物体运动向轨迹外侧弯曲）。

由A 点的切线方向可知，施力物体可能在①②两区，由B 点的切线方向可知施力物体可能在②③两区，综合可知如果是斥力，施力物体一定在②区。

答案：AC
例2 如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的小车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若小车和被吊的物体在同一时刻的速度分别为v 1和v 2，绳子对物体的拉力为Ｔ，
物体所受的重力为Ｇ，则下列说法正确的是（ ）
A. 物体做匀速运动，且v 1=v 2
B. 物体做加速运动，且v 2>v 1
C. 物体做加速运动，且Ｔ>Ｇ
D. 物体做匀速运动，且Ｔ＝Ｇ
一点通：物体运动的速度和绳子的收缩速度相同，所以可以由小车运动速度和绳子收缩速度的关系求解，再结合竖直方向运动的规律，由牛顿运动定律判断绳子张力和重力的关系。

解：小车在运动的过程中，其速度产生两个效果，故将小车的速度按照沿绳子方向与垂直绳子的方向进行分解，如右图所示，则由图可以看出αcos 12v v =，则12v v <。

随着小车向前移动，α将不断减小，αcos 将逐渐增大，则2v 逐渐增大，即物体做加速运动，根据牛顿第二定律可知，Ｔ>Ｇ。

答案：C
例3 如图所示，质量m ＝2.0 kg 的物体在水平外力的作用下在水平面上运动，已知
物体运动过程中的坐标与时间的关系为
⎩⎨⎧==)(2.0)
(0.32m t y m t x ，g ＝10 m/s 2。

根据以上条件，求： （1）t ＝10s 时刻物体的位置坐标；
（2）t ＝10s 时刻物体的速度和加速度的大小与方向。

一点通：由题目的已知条件，物体参与x 、y 两个方向的运动，可以分别求出两个分方向运动的速度和加速度，再合成得到合运动的规律。

解：（1）由于物体运动过程中的坐标与时间的关系为
⎩⎨⎧==)(2.0)(0.32
m t y m t x ，代入时间t ＝10 s ，可得：
x ＝3.0t ＝3.0×10 m ＝30 m y ＝0.2t 2＝0.2×102 m ＝20 m 。

即t ＝10 s 时刻物体的位置坐标为（30,20）。

（2）由于物体运动过程中的坐标与时间的关系式
⎩⎨⎧==)(2.0)
(0.32m t y m t x ， 比较物体在两个方向的运动学公式，
可求得：v 0＝3.0 m/s ，a ＝0.4 m/s 2
当t ＝10s 时，v y ＝at ＝0.4×10 m/s＝4.0 m/s v ＝＝ m/s ＝5.0 m/s. tan α＝＝
即速度方向与x 轴正方向的夹角为53°。

物体在x 轴方向做匀速运动，在y 轴方向做匀加速运动，a ＝0.4 m/s 2，沿y 轴正方向。

综合运用例题
例1 小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v 1＝2.5 m/s 。

（1）若船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，求：
①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
（2）若船在静水中的速度v 2＝1.5 m/s ，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
一点通：小船渡河同时参与两种形式的运动，从分运动的独立性出发，可知当船头垂直于河岸渡河时，渡河所需要的时间最短，对于船的最短航程问题，应把河水流速与船员在静水中的速度相比较，可分为两大类问题，对于河水的流速大于船速的情况，可通过矢量圆法进行分析。

解：（1）若v 2＝5 m/s
①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。

当船头垂直河岸时，如图所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v 2＝5 m/s
t ＝51802=
=⊥v d v d s ＝36 s
v 合＝
22
21v v +=525m/s
s ＝v 合t ＝90
5
m
②欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一角度α。

垂直河岸渡河要求v 水平＝0，所以船头应向上游偏转一定角度，如图所示，由v 2sin α＝v 1得α＝30°
所以当船头向上游偏30°时航程最短。

s ＝d ＝180 m
t ＝324s 325
18030 cos 2==︒=⊥v d v d s
（2）若v 2＝1.5 m/s
与（1）中②不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程s ＝α
sin d
，欲使航程最短，需α最大，如图所示，由出发点A 作出v 1矢量，以v 1矢量末端为圆心，v 2大小为半径作圆，A 点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v 合与水平方向夹角最大，应使v 合与圆相切，即v 合⊥v 2。

sin α＝535.25.11
2==v v 解得α＝37°
t ＝2
.118037 cos 2=
︒=⊥v d v d s ＝150s
v 合＝v 1cos 37°＝2 m/s s ＝v 合?t ＝300 m 思维提升：（1）解决这类问题的关键是：首先要弄清楚合速度与分速度，然后正确画出速度的合成与分解的平行四边形图示，最后依据不同类型的极值对应的情景和条件进行求解。

（2）运动分解的基本方法：按实际运动效果分解。

例2 绳子末端速度（关联速度）的分解
如图所示，水平面上有一物体，小车通过定滑轮用绳子拉它，在图示位置时，若小车的速度为s m /5，则物体的瞬时速度为 m/s 。

一点通：该题考查运动的合成与分解，注意区分合运动与分运动，找出物体实际的运动和参与的运动。

对于绳子末端速度的分解类问题，一般以绳子和物体的连接点为研究对象，该点随物体的实际运动为合运动，其参与的两个分运动为沿绳子伸缩方向的运
动和垂直于绳子的摆动，分运动与合运动构成平行四边形。

解：由小车的速度为5m/s ，小车拉绳的速度s m v v x /325
30cos 22=
︒=，则物体受到绳的
拉力，拉绳的速度s
m v v x x /325
21=
=，则物体的瞬时速度为
=︒=60cos 11x v v s m /35。

答案：35
思维拓展例题
例1 宽9 m 的成型玻璃板以2 m/s 的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金
刚割刀的速度为10 m/s ，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，则：
（1）金刚割刀的轨道应如何控制？ （2）切割一次的时间为多长？
一点通：该题目求解的重点在于合运动与分运动的确定，由题目条件知，割刀运动的速度是实际的速度，所以为合速度。

其分速度的效果恰好相对玻璃垂直切割。

解：（1）设割刀的速度v 2的方向与玻璃板运动速度v 1的方向之间的夹角为θ，如图所示。

要保证割下的均是矩形的玻璃板，则由v 2是合速度得v 1＝v 2cos θ
所以cos θ＝＝，
即
51arccos
=θ
所以，要割下矩形玻璃板，割刀速度方向与玻璃板运动速度方向成51
arccos
=θ。

（2）切割一次的时间t ＝＝ s≈0.92 s
答案：（1）割刀速度方向与玻璃板运动速度方向成
51
arccos
=θ（2）0.92 s
例2 在光滑的水平面内，一质量m ＝1 kg 的质点以速度v 0＝10 m/s 沿x 轴正方向运动，经过原点后受一沿y 轴正方向（竖直方向）的恒力F ＝15 N 作用，直线OA 与x 轴成α＝37°，如下图所示曲线为质点的轨迹图（g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8），求：
（1）如果质点的运动轨迹与直线OA 相交于P 点，质点从O 点到P 点所经历的时间以及P 点的坐标；
（2）质点经过P 点的速度大小。

一点通：该题考查曲线运动的处理方法，运动的合成与分解，将物体实际的运动等效为沿x 轴方向的匀速直线运动和沿y 轴方向的匀加速直线运动，由两个熟悉的分运动的求解进而找到合运动的规律。

解：（1）质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力F 和重力mg 作用做匀加速直线运动。

由牛顿第二定律得： a ＝＝ m/s 2＝5 m/s 2。

设质点从O 点到P 点经历的时间为t ，P 点坐标为（x P ，y P ），则x P ＝v 0t ，y P ＝at 2 又tan α＝
联立解得：t ＝3 s ，x P ＝30 m ，y P ＝22.5 m 。

即P （30，22.5） （2）质点经过P 点时沿y 方向的速度 v y ＝at ＝15 m/s 故P 点的速度大小
v P ＝＝5 m/s 。

笔记
要知道物体做曲线运动的条件，能确定曲线运动的轨迹、掌握合运动与分运动的特点及运动合成与分解的方法，会进行运动的合成与分解，掌握两种典型模型，即小船渡河模型和绳拉物体模型（速度分解问题）。

对于“关联”速度问题，应明确绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，其两端点的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，即沿杆（或绳）方向的速度分量大小相等；小船渡河问题中，小船过河有最短时间的条件是：船头沿垂直于河岸方向行驶，小船过河时最短航程的问题是本部分的一个难点，通过运动的合成与分解并结合平行四边形定则进行数学分析，可进一步明确在不同条件下小船过河有最短航程的条件。

高频疑问
两个直线运动的合运动可能是曲线运动吗？
两个直线运动的合运动既可能是直线运动，也可能是曲线运动，实际的运动情况由两个分运动的性质决定，分别归纳如下： 1. 物体做直线运动：（1）两个匀速直线运动的合运动； （2）两个初速度为0的匀加速直线运动的合运动； （3）合初速度与合加速度共线时。

2. 物体做曲线运动：（1）互成角度的一个匀速直线运动和一个变速运动的合运动； （2）互成角度的两个变速运动的合运动（合初速度与合加速度有夹角）。

同步练习
（答题时间：60分钟）
1. 光滑平面上一运动质点以速度v 通过原点O ，v 与x 轴正方向成α角（如图所示），与此同时对质点加上沿x 轴正方向的恒力F x 和沿y 轴正方向的恒力F y ，则（ ）
A. 因为有F x ，质点一定做曲线运动
B. 如果F y ＞F x ，质点向y 轴一侧做曲线运动
C. 质点不可能做直线运动
D. 如果F x ＞F y cot α，质点向x 轴一侧做曲线运动
2. （高考）如图所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原路线返回到O 点，OA 、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA =OB 。

若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为
（ ）
A. t 甲<t 乙
B. t 甲=t 乙
C. t 甲>t 乙
D. 无法确定
3. 如图所示，一根长直轻杆AB 在墙角沿竖直墙和水平地面滑动，当AB 杆和地面的夹角为θ时，杆的A 端沿墙下滑的速度大小为v 1，B 端沿地面滑动的速度大小为v 2。

则v 1、v 2
的关系是（ ）
A. v 1＝v 2
B. v 1＝v 2cos θ
C. v 1＝v 2tan θ
D. v 1＝v 2sin θ
4. 某人在单向上行的自动扶梯上随其上行的同时，自己还不断匀速上行。

从A 层到B 层他共走过N 1级台阶。

当他由B 层返回A 层时，在此梯上又不断下行，共走过N 2级台阶。

则A 与B 之间共有台阶数目是（ ）
A. B. C. D.
水流方向
5. 如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O 点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度（ ）
A. 大小和方向均不变
B. 大小不变，方向改变
C. 大小改变，方向不变
D. 大小和方向均改变
6. 一轮船以一定的速度垂直河岸向对岸开行，当河水流速均匀时，轮船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的正确关系是（ ）
A. 水速越大，路程越长，时间越长
B. 水速越大，路程越长，时间越短
C. 水速越大，路程和时间都不变
D. 水速越大，路程越长，时间不变 7. 在无风的情况下，跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞，下落过程中受到空气阻力，如下图所示的描绘下落速度的水平分量大小v x 、竖直分量大小v y 与时间t 的图象，可能正确的是（ ）
8. 民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。

假设运动员骑马奔驰的速度为v 1，运动员静止时射出的弓箭的速度为v 2，跑道离固定目标的最近距离为d 。

要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则（ ）
A. 运动员放箭处离目标的距离为
B. 运动员放箭处离目标的距离为
C. 箭射到固定目标的最短时间为
D. 箭射到固定目标的最短时间为
9. 河宽60 m ，水流速度为6 m/s ，小船在静水中的速度为3 m/s ，则它渡河的最短时间是多少？最短航程是多少米？
10. 有一小船正在渡河，如图所示，在离对岸30 m 时，距下游一危险水域40 m 。

假若水流速度为5 m/s ，为了使小船在到达危险水域之前到达对岸，那么，小船从现在起相对于静水的最小速度应是多大？
11. 一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳子提升一个质量为m 的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H 。

车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间t 绳子与水平方向的夹角为θ，如图所示，试求：
（1）车向左运动的加速度的大小； （2）重物m 在t 时刻的速度大小。

1. D 解析：当F x 与F y 的合力F 与v 共线时质点做直线运动，F 与v 不共线时质点做曲线运动，所以A 、C 错；因α大小未知，故B 错，当F x ＞F y cot α时，F 指向v 与x 之间，因此D 对。

2. C 解析：设游速为v ，水速为v 0，OA ＝OB ＝l ，则甲时间00
l l
t v v v v =
+
+-甲；乙沿OB
运动，乙的速度矢量图如图，合速度必须沿OB 方向，则乙时间
2
20
2
t v v
=
⨯-乙，联立解得：
t t >乙甲，C 正确。

3. C
4. C
5. A 解析：如图，笔匀速向右移动时，x 随时间均匀增大，y 随时间均匀减小，说明橡皮水平方向匀速运动，竖直方向也是匀速运动。

所以橡皮的实际运动是匀速直线运动，
A 正确。

6. D
7. B 解析：跳伞运动员在空中受到重力，其大小不变，方向竖直向下，还受到空气阻力，其始终与速度反向，大小随速度的增大而增大，反之则减小。

在水平方向上，运动员受到的合力是空气阻力在水平方向上的分力，故可知运动员在水平方向上做加速度逐渐减小的减速运动。

在竖直方向上运动员在重力与空气阻力的共同作用下先做加速度减小的加速运动，后做匀速运动。

由以上分析结合v －t 图象的性质可知只有B 正确。

8. C 解析：要想以箭在空中飞行的时间最短的情况下击中目标，v 2必须垂直于v 1，并且v 1、v 2的合速度方向指向目标，如图所示，故箭射到目标的最短时间为，C 对，D 错；
运动员放箭处离目标的距离为，又s ＝v
1t ＝v 1·，故＝＝，A 、B 错误。

9. 20 s ，120 m 10. 3 m/s 解析：设小船到达危险水域前，恰好到达对岸，则其合位移方向如图所示，设合位移方向与河岸的夹角为α，则：
tan α＝＝，即α＝37°，小船的合速度方向与合位移方向相同，根据平行四边形定则知，当船相对于静水的速度v 1垂直于合速度时，v 1最小，由图可知，v 1的最小值为：v 1min ＝v 2sin α＝5× m/s＝3 m/s ，这时v 1的方向与河岸的夹角β＝90°－α＝53°。

即从现在开始，船头指向与上游成53°角，以相对于静水的速度3 m/s 航行，在到达危险水域前恰好到达对岸。

11. 解：（1）车在时间t 内向左运动的位移：x ＝H cot θ
又车匀加速运动x ＝at 2 所以a ＝＝
（2）此时车的速度v 车＝at ＝ 由运动的分解知识可知，车速v 车沿绳的分速度与重物m 的速度相等，即v 物＝v 车cos θ， 得v 物＝。