函数与方程综合运用

1.等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +

∈，点(,)n n S ，均在函数

(01,,)x

y b r b b b r =+>≠且均为常数的图像上.

（Ⅰ）求r 的值；

（Ⅱ）当b=2时，记 22(l o g 1)()

n n b a n N +=+∈ 证明：对任意的n N +

∈ ，不等式

1212111

·······1n n

b b b n b b b +++>+成立 (Ⅰ) 由题意知: n n S b r =+,

当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-, 由于0b >且1,b ≠所以当2n ≥时, {n a }是以b 为公比的等比数列, 又11a S b r ==+,2(1)a b b =-,

2

1

,a b a =即

(1),b b b b r -=+解得1r =-. (Ⅱ)∵21n n S =-,∴当2n ≥时,111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=, 又当1n =时, 111211a S ==-=,适合上式,∴12n n a -=,122(log 21)2n n b n -=+=, ∴

111b b +⋅221

b b +⋅1n n

b b +⋅=L 357(21)2123n

n n ⨯⨯⨯⨯+⋅⨯⨯⨯⨯L L , 下面用数学归纳法来证明不等式:

357(21)

12123n n n n

⨯⨯⨯⨯+>+⋅⨯⨯⨯⨯L L

证明:(1)当1n =时,左边=

39224

=>=右边,不等式成立. (2)假设当()n k k N *

=∈时,不等式成立,即357(21)

12123k k k k

⨯⨯⨯⨯+>+⋅⨯⨯⨯⨯L L ,

则当1n k =+时, 不等式左边=

11212111113572123

(246222)

k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++⋅=⋅⋅⋅⋅⋅+L 2

223(23)4(1)4(1)11

1(1)1(1)1224(1)

4(1)4(1)

k k k k k k k k k k k ++++++>+⋅==

=+++>++++++

所以当1n k =+时,不等式也成立, 综上(1)(2)可知:当n N *

∈时,不等式

357(21)

12123n

n n n

⨯⨯⨯⨯+>+⋅⨯⨯⨯⨯L L 恒成立,

所以对任意的n N *

∈,不等式111b b +⋅221

b b +⋅11n n

b n b +⋅>+L 成立.

2.某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x

万件与年促销费用0()m

m ≥万元满足31

k

x m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）． （1）将2009年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解：（1）由题意可知，当0=m 时，1=x ，∴13k =-即2=k ，

∴231x m =-

+，每件产品的销售价格为8161.5x

x

+⨯元. ∴2009年的利润)168(]1685.1[m x x

x

x y ++-+⨯= m m m x -+-

+=-+=)123(8484)0(29)]1(1

16[≥++++-=m m m （2）∵0m ≥时，

16

(1)21681

m m ++≥=+. ∴82921y ≤-+=，当且仅当

16

11

m m =++，即3m =时，max 21y =. 答：该厂家2009年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元 3.讨论关于x 的方程lg(x -1)+lg(3-x )=lg(a -x )的实根个数

解:原方程转化为10

300(1)(3)x x a x x x a x ->->->--=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,即方程x 2

-5x+a+3=0在区间（1,3）内是否有根,由

0∆≥得:134a ≤,设f(x)= x 2

-5x+a+3,对称轴是52x =,若(1)10(3)30f a f a =->=-<⎧⎨⎩

得有一根在区间（1,3）内,即当{}

13(1,3)4a ∈⋃时,原方程有一根; 若(1)10

(3)300

f a f a =->=->∆>⎧⎪

⎨⎪⎩

得13(3,)4a ∈时,原方

程有两根;

13(1,

]4

a ∉时, 原方程无解

4.图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为3,设AB =2x ,BC =y .