2020届河南省名校(南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校)高三3月线上联合考试数学(理)试题及答案

绝密★启用前2020届河南省名校（南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校）高三3月线上联合考试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}1,1A a a =-+，{}1,2B =，{}2,3C =，若A B =∅，且A C ⋂≠∅，则a =（）A ．1或3B ．2或4C ．0D ．4答案：D推导出3A ∈，分类讨论即可求出a ． 解： 解：因为AB =∅，且AC ⋂≠∅，则3A ∈，若13a -=，则4a =，此时{}3,5A =，符合要求，若13a +=，则2a =，此时{}1,3A =，{}1A B ⋂=，不合题意，舍去， 故选：D ． 点评：本题主要考查交集的定义及应用，属于基础题．2．设复数()(1)z a i i =+-（a ∈R ），则复数z 在复平面内对应的点不可能在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C设复数z 在复平面内对应点的坐标为(,)x y ，则11x a y a =+⎧⎨=-⎩，消去参数a ，得点P 的轨迹方程得答案．解： 解：复数()(1)z a i i =+-(1)(1)a a i =++-，设复数z 在复平面内对应点的坐标为(,)x y ，则11x a y a=+⎧⎨=-⎩，消去参数a ，得点P 的轨迹方程为2x y +=， ∴点P 不可能在第三象限，故选：C ．点评：本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．3．已知212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-（*n ∈N ）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中2x 的系数为（） A ．280 B ．－280C ．35D ．－35答案：A由已知求得n ，写出二项展开式的通项，由x 的指数为2得r ，则答案可求． 解：解：由题意，2128n =，得7n =．22711(2)(2)n x x x x-=-∴，其二项展开式的通项2717143177(2)()(1)2rr r r rr r r T x x x ----+=-=-；由1432r -=得4r =，∴展开式中含2x 项的系数是4(1)2-347280=．故选：A ． 点评：本题主要考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，属于基础题． 4．记[]x 表示不超过x 的最大整数，已知236a b c==，则a b c +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（） A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：C由已知可得：lg 2lg 6a c =，lg3lg 6b c =，再利用对数的运算性质得到45a bc+<<，从而求出[]a bc+的值． 解：解：由已知，lg 2lg 6a c =，lg3lg 6b c =，则lg 6lg 6lg 2lg3a b c +=+lg 2lg 3lg 2lg 3lg 2lg 3++=+lg 3lg 22lg 2lg 3=++24>+=， 又lg 3lg 22lg 2lg 3a b c +=++lg 4lg 32lg 2lg 3<++2215=++=，∴4a b c +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 故选：C ． 点评：本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题． 5．函数()21xxf x x =++的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．答案：A根据导数和单调性的关系，判断函数的单调性，再判断函数的变化趋势，即可得到答案． 解：解：1()22111xx x f x x x =+=-+++的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞， 21()2ln 20(1)x f x x ∴'=+>+恒成立，()f x ∴在(,1)-∞-，(1,)-+∞单调递增，当0x x >时，()0f x '>，函数单调递增，故排除C ，D ， 当x →-∞时，20x →，11xx →+， ()1f x ∴→，故排除B ，故选：A ． 点评：本题主要考查函数图象的识别，关键是掌握函数的单调性和函数值的变化趋势，属于中档题． 6．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于“松竹并生”问题的一个程序框图，则计算机输出的结果是（）A ．6B ．5C ．4D ．3答案：D由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a ，b 的值并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解：解：模拟程序的运行，可得第一次执行循环体，可得6464962a =+=，22754b =⨯=，此时a b >； 第二次执行循环体，可得96961442a =+=，254108b =⨯=，此时a b >； 第三次执行循环体，可得1441442162a =+=，2108216b =⨯=，此时a b =； 终止循环，输出n 的值为3，故选：D ． 点评：本题主要考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．7．在ABC ∆中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且2BD DC =，若34BE AB AD λ=+，则λ=（） A ．54-B ．43-C ．45-D ．34-答案：A可设AE xAC =，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出3(1)22x x BE AB AD =-++，从而根据平面向量基本定理即可得出(1)23324x x λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解出λ即可．解： 解：如图，设AE xAC =，且2BD DC =，则：BE AE AB =-xAC AB =-()x AD DC AB =+-1()2x AD BD AB =+-()2xxAD AD AB AB=+--3(1)22x xAB AD =-++，34BE AB AD λ=+， ∴(1)23324x x λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得54λ=-，故选：A ． 点评：本题主要考查向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．8．设点A 、B 分别在双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线1l 、2l 上，且点A 在第一象限，点B 在第四象限，1AB l ⊥，O 为坐标原点，若||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，则双曲线C 的离心率为（） A ．2 B 5 C 3D ．62答案：B由题意可得OA ，AB 用OB 及1l 的倾斜角的三角函数值表示，再由等差数列的性质可得，进而可得a ，b 的关系，求出双曲线的离心率． 解：解：因为||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，所以||||2||OA OB AB +=，如图所示：设1l 的倾斜角为α，因为OA AB ⊥，则||||cos 2OA OB α=，||||sin 2AB OB α=， 于是cos212sin 2αα+=， 即22cos 4sin cos ααα=得1tan 2α=，即12b a =，所以离心率222251c b e a a ==+=， 故选：B ． 点评：本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．9．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y 轴上的截距为3.关于函数()f x 有下列四个结论：①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的最大值为2； ③6x π=-为()f x 的一个零点；④6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数. 其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步求出函数的周期，最值和对奇偶性进行判定． 解：解：根据函数的图象：72()1212T πππ=-=，所以2ω=， 由于2122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=，由(0)3f =，整理得sin33A π=，解得2A =，当6x π=-时，()2sin()0633f πππ-=-+=，故6x π=-为()f x 的一个零点，由于()2sin(2)3f x x π=+，所以2()2sin(2)2sin(2)6333f x x x ππππ+=++=+不是偶函数，故结论①②③正确， 故选：C ． 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查运算能力和转换能力，属于基础题．10．某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动.经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示.据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25.由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为（） 附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=.A ．103B ．105C ．107D ．109答案：D由频率分布直方图估计其均值μ，可得(2 4.5)P X ，乘以800得答案． 解：解：由频率分布直方图估计其均值10.0430.0850.16μ=⨯+⨯+⨯70.4490.16+⨯+⨯110.1130.02+⨯+⨯ 6.967=≈，设日均健步数为X ，则~(7,6.25)X N ， 2.5a =，则 4.5μσ-=，22μσ-=，1(2 4.5)(0.95440.6826)0.13592P X ∴=-=，8000.1359109⨯≈，∴日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为109人，故选：D ． 点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，属于基础题．11．小王想在某市一住宅小区买套新房，据了解，该小区有若干栋互相平行的平顶楼房，每栋楼房有15层，每层楼高为3米，顶楼有1米高的隔热层，两楼之间相距60米.小王不想买最前面和最后面的楼房，但希望所买楼层全年每天正午都能晒到太阳.为此，小王查找了有关地理资料，获得如下一些信息：①该市的纬度（地面一点所在球半径与赤道平面所成的角）为北纬3634︒'；②正午的太阳直射北回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为2326︒'）时，物体的影子最短，直射南回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为2326-︒'）时，物体的影子最长，那么小王买房的最低楼层应为（） A ．3 B ．4C ．5D ．6答案：C直接利用解三角形知识的应用求出结果． 解：解：依题意：3634232660α=︒'+︒'=︒，则太阳光与地面的夹角为906030θ︒︒=-=︒． 如图所示：根据题意，得到每栋楼从地面到楼顶的高度为46米． 在图（2）中，设46AB =，60BD =，30AEB ∠=︒，所以在Rt ABE ∆中，463tan 30ABBE ==︒，在Rt CDE ∆中，46360DE BE BD =-=-， 所以tan 304620311.36CD DE =︒=-≈所以中间的楼房距离地面约11.36米的部分，有些天正午不能晒到太阳． 所以，小王买房的最低层应为5层， 故选：C ． 点评：本题主要考查解三角形的实际应用，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 12．如图，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，ABC ∆是边长为3的正三角形.将该四边形沿对角线AC 折成一个大小为120︒的二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（）A ．12πB ．13πC ．14πD ．15π答案：B设四面体ABCD 的外接球的球心为O 点，取AC 的中点E ，连接BE ，设点M 为正ABC ∆的中心，则OM ⊥平面ABC ，由AD DC ⊥，则点E 为ACD ∆的外心，可得OE ⊥平面ACD ，根据二面角D AC B --的大小为120︒，可得30OEB ∠=︒，利用直角三角比即可得出． 解：解：如图，取AC 的中点E ，连结BE ，设M 为正ABC ∆的外心，则点M 在BE 上，且2BM ME =， 设O 为四面体ABCD 的外接球球心，则OM ⊥平面ABC ， 因为AD CD ⊥，则E 为Rt ACD ∆的外心，所以OE ⊥平面ACD ， 因为二面角D AC B --大小为120︒，则直线OE 与平面ABC 成30角， 所以30OEM ∠=︒，因为ABC ∆是边长为3的正三角形，则3sin 60BE =︒=，所以3BE ME ==， 在Rt OME ∆中，1cos30MEOE ==︒，在Rt AEO ∆中，因为32AE =，则OA ==，所以四面体ABCD 的外接球半径2R =，21344134S R πππ==⨯=球， 故选：B ． 点评：本题主要考查二面角、直角三角形与等边三角形的边角关系、球的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题． 二、填空题13．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=（*n ∈N ），n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1012a =，则10S =______.答案：30数列{}n a 满足*12()n n a a n N +-=∈，可得数列{}n a 为等差数列，公差为2d =，利用通项公式求和公式即可得出． 解：解：数列{}n a 满足*12()n n a a n N +-=∈，可得数列{}n a 为等差数列，公差为2d =， 1012a =，11812a ∴+=，解得16a =-，则106045230S =-+⨯=， 故答案为：30． 点评：本题主要考查等差数列通项公式求和公式，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 14．某中学高三年级共有36名教师，将每位教师按1~36编号，其年龄数据如下表：用系统抽样法从这36名教师中抽取一个容量为9的样本，已知在第一组用抽签法抽到的年龄数据为48，则抽取的9名教师年龄的中位数是______. 答案：40先求出所有抽到的教师的编号，再求出所有的年龄，根据中位数的定义即可求出． 解：将36人分成9组，每组4人，因为在第一组抽取的教师年龄为48，其编号为2， 在所有样本数据的编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34， 对应的年龄分别为48，40，36，43，36，37，44，45，37，将这9个数从小到达排序可得36，36，37，37，40，43，44，45，48，故中位数为40， 故答案为：40． 点评：本题主要考查系统抽样和中位数，属于基础题．15．若过点(,0)A a 的任意一条直线都不与曲线C ：xy xe =相切，则a 的取值范围是______.答案：(4,0)-设切点000(,)xB x x e ，利用导数写出过切点的切线方程，把A 的坐标代入，化为关于0x 的一元二次方程，由判别式小于0求解a 的取值范围． 解：解：设点000(,)x B x x e 为曲线C 上任意一点，(1)x x x y e xe x e '=+=+，则曲线C 在点B 处的切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+-，根据题意，切线l 不经过点A ，则关于0x 的方程000000(1)()x xx e x e a x -=+-，即2000x ax a --=无实根．∴△240a a =+<，解得40a ．a ∴的取值范围是(4,0)-．故答案为：(4,0)-． 点评：本题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，属于中档题．16．在ABC ∆中，已知顶点(0,1)A ，顶点B 、C 在x 轴上移动，且||2BC =，设点M 为ABC ∆的外接圆圆心，则点M 到直线l ：2250x y --=的距离的最小值为______. 答案：2设点(,)M x y ，取BC 的中点D ，连结MD ，则MD BC ⊥，且||1BD =，|||||MD y =，根据外接圆性质可求出点M 的运动轨迹，结合点到直线的距离公式转化为二次函数求最值问题即可． 解：解：如图，设点(,)M x y ，取BC 的中点D ，连接MD ，则MD BC ⊥，且||1BD =，||||MD y =，因为||||MA MB =，则222(1)1x y y +-=+，即22x y =，则点M 到直线l 的距离22222222d ===所以当1x =时，d 2， 2． 点评：本题主要考查点的轨迹方程，考查点到直线的距离公式，涉及二次函数求最值等知识点，属于难题． 三、解答题17．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且有()2cos cos cos sin sin A A C B B C +-=（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ∆的内切圆面积为π，当AB AC ⋅的值最小时，求ABC ∆的面积． 答案：（Ⅰ）3π；（Ⅱ）33（Ⅰ）利用两角和差余弦公式可将已知等式化简为2cos sin sin sin sin A B C C B =，从而求得1cos 2A =；结合()0,A π∈可求得结果；（Ⅱ）根据内切圆面积可知内切圆半径为1，由内切圆特点及切线长相等的性质可得到23b c a +-=，代入余弦定理中可得到b c +与bc 的关系，利用基本不等式可构造不等式求得12bc ≥，从而得到当b c =时，AB AC ⋅取得最小值，将12bc =代入三角形面积公式即可求得结果. 解： （Ⅰ）()()()2cos cos cos cos cos cos A A C B A B C C B +-=-++-⎡⎤⎣⎦()cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos sin sin A B C B C C B C B A B C =-+++= 2cos sin sin sin sin A B C C B ∴=(),0,B C π∈sin sin 0C B ∴≠1cos 2A ∴= ()0,A π∈3A π∴=（Ⅱ）由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+- 由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1如图，设圆I 为三角形ABC 的内切圆，D ，E 为切点可得：2AI =，3AD AE ==23b c a ∴+-=(22223b c b c bc ∴+-=+-，化简得()43348bc b c bc =+≥b c =时取等号）12bc ∴≥或43bc ≤又23b c +>12bc ≥，即[)1cos 6,2AB AC bc A bc ⋅==∈+∞， 当且仅当b c =时，AB AC ⋅的最小值为6 此时三角形ABC 的面积：11sin 12sin 33223bc S A π==⨯⨯=点评：本题考查解三角形的相关知识，涉及到利用两角和差余弦公式化简求值、根据三角函数值求角、余弦定理的应用、三角形中最值问题的求解等知识；解题关键是能够灵活应用三角形内切圆的性质构造出三边之间的关系，代入余弦定理中，利用基本不等式求得两边之积的最值.18．如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点F 为边CD 的中点，23AB AE AD ==，现将ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面BCDE .(1)求证：平面平面；(2)求二面角的大小.答案：（1）详见解析；（2）150︒.解：试题分析：(1)利用直角三角形，先证明折前有,折后这个垂直关系没有改变，然后由平面PBE ⊥平面BCDE 的性质证明平面,最后由面面垂直的判定定理即可证明平面PBE ⊥平面PEF ；（2）为方便计算，不妨设3AD =，先以D 为原点，以DC 方向为x 轴，以ED 方向为y 轴，以与平面EBCD 向上的法向量同方向为z 轴，建立空间直角坐标系，写给相应点的坐标，然后分别求出平面PEF 和平面PCF 的一个法向量，接着计算出这两个法向量夹角的余弦值，根据二面角的图形与计算出的余弦值，确定二面角的大小即可. 试题解析：(1)证明:由题可知：折前，这个垂直关系，折后没有改变故折后有（2）不妨设3AD =，以D 为原点，以DC 方向为x 轴，以ED 方向为y 轴，以与平面EBCD 向上的法向量同方向为z 轴，建立空间直角坐标系7分则设平面PEF和平面PCF的法向量分别为，由10n FP⋅=及可得到即，不妨取又由20n FP⋅=及可得到即不妨取9分11分综上所述，二面角大小为12分.【考点】1.线线垂直的证明；2.线面垂直、面面垂直的判定与性质；3.空间向量在解决空间角中的运用问题.19．如图，已知椭圆C22221x ya b+=（0a b>>）与圆E：22302yx y+--=在第一象限相交于点P，椭圆C的左、右焦点1F，2F都在圆E上，且线段1PF为圆E的直径.（1）求椭圆C的方程；（2）设过点35M⎛⎝的动直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：OA OB⋅为定值，并求出这个定值.答案：（1）2214x y +=；（2）证明见解析，定值为1-. （1）由圆的方程可得与x 轴的交点坐标即椭圆的焦点坐标，和圆的半径，由题意可得1PF 的值，再由存在求出2PF ，再由椭圆的定义可得椭圆的方程；（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出数量积OA OB 的值为定值． 解：解：（1）在圆E 的方程中，令0y =，得23x =，即x =，所以c =将圆E 的方程化为22149416x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则圆E 半径为74，所以172PF =.连结2PF ，因为点2F 在圆E 上，1PF 为圆E 的直径，则212PF F F ⊥.又122F F c ==212PF ===. 据椭圆定义，1224a PF PF =+=，则2a =.从而2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程是2214x y +=；（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的斜率为k ，则l的方程为y kx =+2244x kx ⎛++= ⎝，即()2284105k x ++-=. 设点()11,A x y ，()22,B x y .则122841k x x k +=+，()1228541x x k =-+. 所以1212OA OB x x y y ⋅=+1212x x kx kx ⎛=+++ ⎝()()21212315k x x x x =++++ ()()()2222812435541541k k k k +=--+++()()22841315541k k +=-+=-+， 当l 的斜率不存在时，直线l 与y 轴重合，此时点(1,0)A -，(1,0)B ，1OA OB ⋅=-， 综上分析，1OA OB ⋅=-为定值．点评：本题主要考查圆与椭圆的综合，考查计算能力，属于中档题． 20．已知函数213()ln 222f x x ax x =+-+(0)a ≥. （1）讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点1,x 2x ，证明：()()120f x f x +<. 答案：（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点； （2）由（1）可知，当且仅当01a <<时，()f x 有两个极值点1,x 2x ，且1,x 2x 为方程2210ax x -+=的两根，122,x x a+=121x x a =，求出()()12f x f x +，根据函数的单调性证明即可.解：（1）1()2f x ax x '=+-221,ax x x-+=(0,)x ∈+∞.①当0a =时，21()x f x x-+'=. 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 即函数()f x 只有一个极大值点12，无极小值点. ②当01a <<时，440a ∆=->， 令()0f x '=，得x =当1110,a x a a ⎛⎫⎛⎫+-∈+∞ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在10,,a ⎛-⎝⎭1a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增； 当x∈⎝⎭时，()0f x '<， 所以()f x 在⎝⎭上单调递减.即函数()f x .③当1a ≥时，440a ∆=-≤，此时()0f x '≥恒成立， 即()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值点.综上所述，当0a =时，()f x 有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点； 当01a <<时，()f x 有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点； 当1a ≥时，()f x 没有极值点.（2）由（1）可知，当且仅当01a <<时，()f x 有两个极值点1,x 2x ，且1,x 2x 为方程2210ax x -+=的两根，即122,x x a+=121x x a =，所以()()()()2212121212ln 232a f x f x x x x x x x +=++-++ 21424ln32a a a a a⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭ 2ln 2a a=--+. 令2()ln 2,g a a a=--+(0,1)a ∈，则22122()0ag a a a a -'=-+=>恒成立， 所以()g a 在(0,1)上单调递增， 所以()(1)ln1220g a g <=--+=， 即()()120f x f x +<. 点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用函数的单调性证明不等式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取n 人（*n ∈N ），记这n 人的合计得分恰为1n +分的概率为n P ，求12n P P P +++；（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n 分的概率为n a ，随着抽取人数的无限增加，n a 是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由.答案：（1）分布列见解析，5EX =；（2）1323123n n ++⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）是常数35（1）据题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为13，参加马王堆的概率为23，X 的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和EX ．（2）这n 人的合计得分为1n +分，则其中只有1人计划参观马王堆，从而11212()333n n nn nP C -==，设122324623333n n n nS P P P =++⋯+=+++⋯+，利用错位相减法能求出12n P P P ++⋯+． （3）在随机抽取的若干人的合计得分为1n -分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n 分或1n +分，记“合计得n 分“为事件A ，“合计得1n +分”为事件B ，A 与B 是对立事件，推导出1342()5153n n a --=--，由此能求出随着抽取人数的无限增加，n a 趋近于常数35． 解：解：（1）据题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为13，记1分；参观马王堆的概率为23，记2分，则X 的可能取值为3，4，5，6.其中311(3)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，213212(4)C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，223214(5)C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，328(6)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 所以X 的分布列为34565279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）因为这n 人的合计得分为1n +分，则其中有且只有1人计划参观马王堆， 所以11212C 333n nnn n P -⎛⎫=⋅⋅=⎪⎝⎭. 设1232324623333n n n n S P P P P =++++=+++⋯+，则2311242(1)233333n n n n n S +-=++⋅⋅⋅++.两式相减，得231222222333333n n n n S +=+++⋅⋅⋅+-11111223332113313n n n n n ++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=⨯-=--， 所以121323123n n n n P P P S ++⎛⎫+++==- ⎪⎝⎭.（3）在随机抽取若干人的合计得分为1n -分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n 分或1n +分，记“合计得n 分”为事件A ，“合计得1n +分”为事件B ，则A 与B 为对立事件. 因为()n P A a =，12()3n P B a -=，则1213n n a a -+=（2n ≥），即1323535n n a a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭（2n ≥）.因为113a =，则数列35n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为415-，公比为23-的等比数列，所以13425153n n a -⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，即13423225153553n nn a -⎛⎫⎛⎫=-⋅-=+⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 因为2013<-<，则n →∞时，203n⎛⎫-→ ⎪⎝⎭，从而35n a →， 所以随着抽取人数的无限增加，n a 趋近于常数35. 点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于难题．22．在极坐标系中，已知点P 的极坐标为2,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C的极坐标方程为ρ=.以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程；（2）过点Pl ，交曲线C 于A ，B 两点，求||||PA PB ⋅的值.答案：（1）()0,2，2214y x -=；（2）32 （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用直线参数的几何意义结合一元二次方程根和系数的关系，求出结果．解：解：（1）因为2cos02x π==，2sin 22y π==，所以点P 的直角坐标为(0,2). 由ρ=()225cos 14ρθ-=，即2225cos 4ρθρ-=. 将cos x ρθ=，222x y ρ+=代入，得()22254x x y -+=，即2244x y -=.所以曲线C 的直角坐标方程是2214y x -=.（2）因为直线l ，则l 的倾斜角为60︒，又点P 的直角坐标为(0,2)，则直线l 的参数方程为cos602sin 60x t y t =︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数）.代入C 的方程，得()()224cos602sin 604t t ︒-+︒=，即21804t --=. 设方程的两根为1t ，2t ，则1232t t =-，所以12||||32PA PB t t ⋅==.点评：本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，考查直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题．23．已知函数()||2f x x =-.（1）求不等式(1)(2)1f x f x -++≤的解集；（2）若||2a <，||2b <，证明：()22()f ab f a b +>+.答案：（1）3,2；（2）见解析（1）根据(1)(2)1f x f x -++，可得|1||2|5x x -++，然后利用零点分段法解不等式即可；（2）要证()22()f ab f a b +>+，即证||42||ab a b +>+，利用不等式的基本性质和基本不等式，可得到||42||ab a b +>+，从而证明不等式成立．解：解：（1）因为(1)(2)|1||2|4f x f x x x -++=-++-，则原不等式化为|1||2|5x x -++≤.设()|1||2|g x x x =-++，则当1x ≥时，()(1)(2)21g x x x x =-++=+，由215,1x x +≤⎧⎨≥⎩得12x ≤≤. 当21x 时，()(1)(2)3g x x x =--++=，不等式成立.当2x <-时，()(1)(2)21g x x x x =---+=--，由215,2x x --≤⎧⎨<-⎩得32x -≤<-. 综上分析，原不等式的解集是3,2；（2）所证不等式化为||2(||2)ab a b >+-，即||42||ab a b +>+.因为||2a <，||2b <，则(||2)(||2)0a b -->，即||2(||||)40ab a b -++>， 即||42(||||)ab a b +>+.因为||||||a b a b +≥+，则||42||ab a b +>+.所以原不等式成立，即()22()f ab f a b +>+.点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式和利用分析法证明不等式，属于中档题．。