4.1第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

提示:(1)×.锐角的取值范围是 (0，) .
2
(2)×.第一象限角不一定是锐角.
(3)×.顺时针旋转得到的角是负角.
(4)×.终边相同的角不一定相等.
【易错点索引】
序号 1 2 3
易错警示
典题索引
结果要表示成集合形式
考点一、T2
在弧长公式中,注意角的大小用弧度制, 不是角度制
考点二、T1
用定义求三角函数值,注意判断符号 考点三、角度3T2
核心素养 直观想象——利用三角函数线解不等式
【典例】函数y=lg(3-4sin2x)的定义域为________.
【解析】因为3-4sin2x>0,所以sin2x< 3 ,所以- 3 <sin x< 3 .利用三角函
4
2
2
数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),
所以x∈ (k－，k＋) (k∈Z).
4.三角函数线 用单位圆中的有向线段表示三角函数.如图:
sin α=_M_P_,cos α=_O_M_,tan α=_A_T_.
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角.( ) (2)锐角是第一象限角,反之亦然. ( ) (3)将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角度是30°. ( ) (4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等. ( )
2.弧度制
(1)弧度角:把长度等于_半__径__长的弧所对的圆心角称为_1_弧__度__的__角__.
(2)度与弧度的换算:180°=_π__ rad,1°= rad,1rad= 180 度.
180
(3)扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,面积为S,圆心角为α(0<α<2π),则l=_R_α__,S=__12_l_R__.
4
A.2kπ+45°(k∈Z)
B.k·360°+ 9 π(k∈Z)
4
C.k·360°-315°(k∈Z)
D.kπ+ 5(k∈Z)
4
【解析】选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度,
应为 +2kπ或k·360°+45°(k∈Z).
4
3.(必修4P20习题A组T2改编)已知角α的终边过点P(8m,3),且cos α=- 4 ,
3.任意角的三角函数
y
(Hale Waihona Puke Baidu)终边与单位圆交点P(x,y),sin α=_y_;cos α=_x_,tan α=__x__(x≠0).
(2)任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x,y)是角α终边上异于原点的任一点,它到原点的距离为r(r>0),
y
x
y
那么:sin α=__r__,cos α=__r__,tan α=__x__ (x≠0).
第四章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任 意角的三角函数
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养·微专题 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.任意角 (1)角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着_端__点__从一个位置旋转到另一个位 置所成的图形. (2)角的分类:按旋转方向分为_正__角、_负__角、_零__角;按终边位置分为_象__限__角、 _轴__线__角. (3)与角α终边相同的角的集合:S={β|β= _α__+_k_·__3_6_0_°__,_k_∈__Z_}.
5
则m的值为 ( )
A.- 1
B. 1
C.-
2
2
【解析】选A.由已知得m<0且
3
D. 3
2
2
8m ＝－4
8m2＋32
5
,解得m=- 1 .
2
4.(必修4P9习题A组T1改编)在-720°～0°范围内,所有与角α=45°终边相同的 角β构成的集合为________. 【解析】所有与角α终边相同的角可表示为:β=45°+k×360°(k∈Z), 则令-720°≤45°+k×360°<0°(k∈Z),得-765°≤k×360°<-45°(k∈Z). 解得k=-2或k=-1,所以β=-675°或β=-315°. 答案:{-675°,-315°}
3
3
答案: (k－，k＋) (k∈Z)
3
3
【思想方法指导】 根据三角函数值的范围,确定角的终边在单位圆中的区域,可写出解集.
【迁移应用】
在(0,2π)内,使sin x>cos x成立的x的取值范围为________.
【解析】如图所示,找出在(0,2π)内,使sin x=cos x的x值,sin =
【教材·基础自测】
1.(必修4P5T3(2)改编)角-870°的终边所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.-870°=-2×360°-150°,-870°和-150°的终边相同,
所以-870°的终边在第三象限.
2.(必修4P5T4改编)下列与 9 的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )
4
cos = 2 ,sin 5 =cos 5 =- 2 .根据三角函数线的变化规律标出满足
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4
4
2
题中条件的角的范围,所以x∈ ( ，.5)
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答案: ( ，5)
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