大一高数期末复习重点讲课讲稿

)
dt dx
dt
15
第三章 微分中值定理及其应用
中值定理
罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
泰勒定理 (泰源自文库公式,麦克劳林公式 )
洛必达法则
(计算 0,,,1等未定型 ) 极 0
证 明 不 等 式
中值定理的应用
讨论方程根的存在与个
数
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函数的单调性
(利用导数判断)
函 数 性 态
x 0(1 ta x n1 six) n(ta x e nesixn )
12lxi m 0teatan xnx essiinnxx1 2lx i0 m es itxna(etn xa n xss iixnn x1)
~ 当x0, etan xsixn1 taxnsinx,
故 原 式 1 2lx i0m estixn(aetxn a xn ss ix inx n1)
第一章 极限与连续
极限存在准则
单调有界必有极限 夹逼定理
limsinx 1
两类重要极限
x0 x
lim(1
1)x
e
x
x
无与穷小 性质 有无限穷个小无与穷有小界的量和的,积积仍仍是是无无穷穷小小 无穷大 比较 (高阶, 低阶,同阶, 等价, k 阶)
1
常用等价无穷小
ex 1 ~ x s inx ~ x tanx ~ x ln1(x) ~ x 1coxs~ x 2
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第二章 导数与微分
导数
定义
左导f(数 x0),右 导f(数 x0) 导数存在的充要条件
几何意义
切 线k斜 f率 (x0)
可导性与连续性的关系
可 导连 续
微分
求微分
dyf(x0)dx
可导与微分的关系
可 导 可 微
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按定义求导
求导数方法 复合函数求导
隐函数, 参数方程求导
2
当x0,
ax 1 ~ xlna arcsinx ~ x arctaxn~ x (1x) 1 ~ x taxn sixn~ x 3
2
2
(1) 消去零因子法; (2) 同除最高次幂; (3) 通分;
(4) 同乘共轭因式; (5) 利用无穷小运算性质
函 (6) 复合函数求极限法则
数 极
(7) 利用左、右极限求分段函数极限;
左x l i连x0m f续(x 、) 右f连(x续0)
间断点的分类
第一类间断 (可去型, 跳跃型) 第二类间断 (无穷型, 振荡型)
闭区间连续函数的性质
有 最界 大性,最小值定理
介值定理, 零点定理
6
例 求f(x)
1
x
的间断, 并点指出其类型.
1e1x
解 当 x0,x1时 ,函数无定义,是函数的间断点.
对 数 法 求 导
分段函数在分段点求导
高 阶 (s导 x in c,o 数 xs,x,e1 )
1x
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参数方程 xy((tt))求导数：
dy
dy dx
dt dx
(t ) (t )
dt
dy
d2 y dx 2
d( dx dx
)
d( d y ) dx dt dx
dt
d(
( t ( t
) )
8
1
例
求y
2x
1
1s
inx(1)sin 1 的间断, 点 x1
2x 1
并判断其.类型
解: 可知 x0，x1是可能的.间断点
(1) 在x0处，
liy m 1 s2 ( i 1 n ) ， liy m 1 s2 ( i 1 n )
x 0
x 0
因 在 x0处 的 左 右 极 限 ,但都 不存 相在 等 ， 所 以 x0为 函 数 的第 一 ,且类 是间 跳断 跃点 . 间
1 taxnsinx 1
2lxi m 0esixn(taxn sinx) 2
4
两对重要的单侧极限
1
1
(a1) limax 0, lim a x ,
x0
x0
limarct1an, limarcta1n.
x0
x 2 x0
x2
一类需要注意的极限
x2 1
lim
1,
x2 1
lim
1.
x x
x x
5
连续的定义
x 0, 由于 lim f (x) lim
1 x ,
x0
1 e x0
1 x
所以 x0是函数的第二类间断点, 且是无穷型.
x 1,
由于 lim f ( x )
x 1
1
lim
x1
1
x
e 1x
0
lim f
x 1
(
x
)
lim
x1
1
x
1 e 1x
1
所以 x1是函数的第一类间断点, 且是跳跃型. 7
函 数 的 极 值
驻点 极值存在的必要条件 极值存在的充分条件
函数的凹凸性 (拐点,凹凸性和判别法)
函数的最大最小值
函数的渐近线 (水平,垂直)
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带Peano型余项的泰勒公式
设 f(x)在x0 含 的(区 a,b)内 间 n阶 有连
导数, 则对 x于 (a,b),有 f(x ) f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 ) f( 2 x 0 )(x x 0 ) 2 f(n )2 (x0)(xx0)no [x (x0)n].
限 (8) 利用夹逼定理;
的 求
(9) 利用两类重要极限;
法 (10) 利用等价无穷小代换;
(11) 利用连续函数的性质(代入法);
(12) 利用洛必达法则.
洛必达法则+等价无穷小代换
洛必达法则+变上限积分求导
3
例
1taxn 1sinx
lim
x0
etan xes ixn
ta x n sixn lim
提示:
f(0)xl i0 m a(1xc2 oxs)
a 2
f(0)lim ln (bx2)l nb x 0
a 1 lnb 2
1cosx ~ 1 x2 2
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例 讨论 f(x)x2sin1x, x0 0, x0
在x 0处的连续性与可导. 性 例 如 果 f(x) eba (1x ,x2)x x , 0 0处 处,那 可么 导 () (A ) a b 1 ; (B ) a 2 ,b 1 ; (C ) a 1 ,b 0 ; (D ) a 0 ,b 1 .
例求
的间断点,并判别其类型.
解 x1,x1,x0是间断点,
x 1,
lim (1x)sinx x1 x(x1)(x1)
1 sin 1 , 2
x 1,
x = –1为第一类可去间断点
limf(x),
x1
x = 1为第二类无穷间断点
x 0, limf(x)1, limf(x)1.
x0
x0
x = 0为第一类跳跃间断点
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(2) 在x1处，
1
lx i1m ylx i1m [21 x1sin x(1)sin x1 1] 2x1
1 3
即 在 x1处 函 数 的 左 右在 极且 限相 都等 存，
所以 x1是函数的第一 ,且类 是间 可断 去点 . 间
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例 设函数
a(1 cosx) x2
在x = 0连续,则a= 2 ,b= e .